Full text of "Analytische Mechanik"

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Analytifde Mechanik

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Derrn Labrange

SE: Uabeıien ber Wifenfdnften ju Berlin, Deträbing: karın DE 8 -

| aus dem Franzoͤſiſchen Be
mit einigen Anmerkungen unb erlänternden Zufägen

L 1
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von

Friedrich Wilhelm Auguſ Murhard.

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SOGdttingen, |
bey Vandenboeck und Rupgedft 1797.

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Wohlgebohrner Herr,

Hochzuverehrender Herr Hofrath,

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Nehmen Sie, vortrefflichſter hehter , gegenwaͤr⸗
tige Arbeit fuͤr das an, was ſie nach meiner Abſicht
ſeyn ſoll — ein oͤffentliches Denkmal ver lebhafteſten
Dankbarkeit und innigſten Hochachtung womit ich Sie
verehre. Es iſt dies das einzige Mittel, das gewiſ⸗
ſermaßen in meinem Vermoͤgen iſt, meine Dankbar⸗
keit Ihnen zu bezeigen. Sie haben alle meine bishe⸗
rigen Bemuͤhungen zur Befoͤrderung der Wiſſenſchaf⸗

ten, wofuͤr mein Herz entflammt iſt, mit Ihrem guͤ⸗

tigen Beyfalle beehrt und mir mit Rath und That

beigeſtanden. Wie bin id im Stande alles dieſes zu
vergelten —

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Ki haben ſchon mehrere Sehrbegriffe der Mechanik, aber der
DV» Dlan des gegenwärtigen mi ganz neu. Meine Abficht.
ging dabei dahin, die Theorie dieſer Wiſſenſchaft und die Kunſt
.: Die dahin gehörige Aufgaben aufzulöfen, auf-allgemeine Sormeln
zu bringen, deren Entwickekung die zur Anflöfung jeder Aufgabe
nöthige Sleichungen gäbe. dl

Sc hoffe, . die Art wie ich dies zu bewerfftelligen gefucht
habe, wird nichts mehr zu wünfchen übrig laffen.
Drer Nutzen diefes Werks zeigt fich aber noch auf eine andere
Art; es bringt die verfchiedenen Grundlehren, die man bisher zur
leichtern Auflöfung der mechaniſchen Aufgaben, entdeckt hat, unter
einen Geſichtspunkt, zeigt ihre Verbindung unter einander, und
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wie eine von der —— abhaͤugt, und ſetzt in den Stand uͤber ihre
Richtigkeit und ihren Umfang ein Urtheil zu faͤllen. —

Ich theile es in 2 Theile, in die Statik oder die Sheorie
des Öleichgewichts, und in Die Dynamik oder die Theorie der Be⸗
wegung; und jeder dieſer Theile handelt befonbers von den reiten
und von den flüffigen Körpern.

- Man trifft in dieſem Werke Feine Figur an; die hier ange
wandten Methoden heifdyen weder Eonftruftionen noch geometris

ſche oder mechaniſche Schlüffe, fondern ganz allein analytifche

nach einem — und einfoͤrmigen Wege eingerichtete Rech⸗

nungen. Liebhaber den Analyſe werden mit Vergnuͤgen dadurch
ſehen, und es wird

geflalt erweitert zu

die Mechanik zů einem aan Aſte arg
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vVorerinnerung.

m Jahr 1788 erſchien zu Paris in 4 ir FR der Witwe
Deſaint Mechanique .analytique par M: de La Grange.
an Fonnte es leicht vermuthen, was man für ein Werk zu er⸗

Marten babe, da ein fo berühmter Veteran des Calkuls an.der
. Stirn deffelben als Verfaſſer Rand, auch zeigte der gewaͤhlte Titel
deutlich genug ‚feinen Inhalt an. Herr de 2a Grange hatte
lich dabei vorgeſetzt, alle Grundlehren der‘ mechanifchen Wiſſen⸗
ſchaften unter einem zu darzuftellen, und auf allges
meine Formeln zu bringen. Hiezu war er nun freylich mehr! als
krgend jemand anders im Stande,. er, der. ſchon fo manchen Preiß
davon getzagen, fo manches Problem gluͤcklich aufgelößt hatte, der
mit dem, was vor ihm gethan war, völlig befannt war, und der
ſogar einen Euler an Stärke im Laltul N 21117

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Wer alſo hier einen neuen Lehrbegriff der Mechanik, wie die
gewoͤhnlichen find, mit Anwendungen aͤuf's gemeine Leben ers

. wartet, der betrügt ſich fehr; auch wird jemand, der nur mälfig
‚die Analyfis nady ihrem neuern Zuftande ſtudirt hat, fich vergebs .
lich an. eine. Schrift wagen, mo fo viele neue Kunftgriffe ange⸗

bracht, fo viele der neueften Erfindungen benutzt worden find.
Schon Herr Euler forderte ja in feiner Mechanik, daß der Lefer
ſowohl in der Analyſis endlicher als unendlicher Größen genugfam

geübt ſey, konnte dies Herr de La Grange in unfern aͤufgeklaͤr⸗

tern Zeiten nach einem verfloffeien Zeitraum von mehr als.

so.Zahren nicht auch fordern? — a ficher Fonnte er’ e& Jar
dern, wo nicht in Deutjchland, doch in feinem Vaterlande! —

Sowenig alfo dies Merk Anfängern im Eglful · irgend eine ange

nehme Stunde‘ verfchaffen wird; (woran ich“ um ſoviel mehr" ri
zweifeln Fein Bedenken trage, da man ſich unter diefem Mamen
oft nur den vorſtellt, der die erſten Principien der Buchftaberv
rechnung oder der Algebra gefaßt haf,) um fo. mehr werden Lieb⸗

| haber tieffümiger amalntifcher Unterfuchimgen nit! denk groͤßen

Deramtigen alle methaniſche Geſetze · hter erwichelt finden. EIER
wurklich das einzige im feiner Art, ind wir Haben daran ein glaͤn⸗

endes Beyſpiel, was die neuere Andlyſe vermaag. ‚Eine mathe⸗

matiſche Wiſſenſchaft ohne Figuren abzuhaublen ſcheint im erſten

Anblick etwas unmoͤgliches; aber wer nur mit dem hertigen I
ſtande der Analyſe bekanut iſt, der wird ſich leitht von der Möge -

lichkeit dieſes Verfahrens uͤberzeugen. Herr de La Gra —8

an dem gegenwaͤrtigen Werke hievon ein Muſter gegeben.

Werk, wovon alſo gleichſam eine neue Epoche in den mathema⸗

tiſchen Wiffenſchaften beginnt, füllte doch wohl verdienen auch in

unferm Vaierlande gemeiner — zu werden, deun bey aller
dennorh ziemlich felten gewer⸗
den, und wenige moͤchten wohl in Deutſchland das Gluͤck haben

feiner Vortxeflichkeit iſt dies

—
|
|

es durchſtudieren Ju konnen, wenn fie es auch wällten. Dei
Liebhabern mathematiſcher Wiſſenſchaften glaube ich daher feinen
geringen Dienſt zu erzeigen, es ihnen noch an vielen Orten erlaͤu⸗
tert, und in der Mutterſprache in die Haͤnde zu liefern. Freyli

barf man babeynicht auf Nuten und Anwendung im gemeinen Leben

fehn, da möchte man wohl umfonft verfuchen, auch nur einen He .
:Bel:; daraus. berechnen zu: koͤnnen, aber Herr de La Grange
‚fehrieb much für. Teen Praftifer, ex ſchrieb ‚für den denfenden
Mathematiker, und diefer wird.immer hier Stoff zum Dergnügen
genug finden, wenn auch Fein weiterer Nugen bervorleuchtet. Hier
faͤllt mix die fo-oft an mich gethane Frage wieder ein: was wohl
som der neuern Analyſe beſonders der franzöfiichen Mathematiker
‚zu halten ſey? Ich aberlagfe. die völlige Beantwortung derſelben
andern, de kann ich nicht umhin zu. machen
die miz hier ſehr gut eine Stelle zu verdienen ſcheinen. Es iſt wohl
kein⸗Zweifel, daß viele der neuern Analyſten oft im. Gebrauche
des Calkuls mit Ausfchlieffung. aller Geometrie zu weit. gehen.
Ich bin. felbft. ein großer Bebhaber analytiſcher Berechnungen,
aind voͤllig davon überzeugt, daß wir durch die Syntheſis unmög;
wo weit gekommen jeyn würden, als mir. durch Die Analyſis
wirklich gekommen find; aber ich habe audy nur gar zu oft erfah.
zen, daß man Schlöffer in die Luft bauet, wenn manfid, den -
analytiſchen Rechnungen allein ganz überläßt, und ohne von dr
Geometrie geleitet zu werden, fortcalfuliert. re
HOrn. Euler3 Schriften find vol von analytifchen Unterfuchuns
gen, die bloß für den Verſtand find, denn audy er rechnete bekannt⸗
ich fehr oft fort, ‚ohne ftets die Natur um Rath zu fragen, ob fie
ihm auch ‚erlaube diefem oder . jenen Scheitt zu thun. Bey

fpiele von der Art in Menge-änguführen, würde mir ein Teiche --

%68.feyn, „aber ich unterlaffe es hier um fo chr, da ich vorausfege,
daß wer: :fich an gegenmwärtiges Werk wagt, Eulers Schriften
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wenigſtent die Pperzuͤglichſten geleſen hat. Aber Herr Eu der
wußte auch Anwendung von feinen. Rechnungen zu machen, Dis
son hat er. und viele und. vortrefliche Muſter hinterlaſſen, und
was Voltaire in einer durch den Streit uͤber den Satz ber ſo⸗
genannten kleinſten Wuͤrkung in der Natur verantaßten Schrift -
von ihm ſagt, paßt weit mehr: noch’ auf die neuern franzoͤſt⸗
ſchen Analyſten. Es iſt wahr, man erſtaunt über bie Fertig⸗
keit, ‚welche ein La Grange, La Placke, Condorcet,
Conußin, Monge, Le Gendreu. a. me im calkulieren haben
muͤſſen, aber man ſieht auch zugleich ein, daß ſie, indem ſie
alle Geometrie verbannen, und. ſich ſchlechterdings an nichts als
an ihre Formeln halten, die Mathematik gleichſam nur in me
chaniſche Kunſtgriffe verwandten, und ſo einem der vorzuͤglich⸗
ſten Zwecke derſelben, naͤmlich dem den Verſtand zu fihärfen
‚gerade entgegen handlen. Sr. Eule® forderte in der Vorrede
zu einem feiner vorzuͤglichſten Werke, wie ich fchon angefuͤhrt
Imbe, daß der. Leſer ſowohl in der YUnalyfis des Endlichen co
Anendlichen wohl erfahren .fay, - aber dieſe neuern Analgften
Frankreichs ſordern noch etwas mehr. Mir fcheint das Berfahe
ren derſelben oft viel Arhulichteit/ mit, der Sprache der alten:
| RE men —— rei >
“ fügen! casterls paribus id pure Philoſophie aus! — eben fp
mwie⸗die nee Bhilsfophen. e daß Philoſophie in Mar .
thematik ausartete. 3.
Ach bin aber weit entfant hiedudch den: analytiſchen
Unterſuchungen allen Werth abzuſprechen, suie haben jeden
der vorhin genannten groſſen. Maͤnner teine: ganze Reihe vom
neuen Erfindungen zu verdanken, und es iſt nichts mehr. zu mim '
fchen , als daß die Analyſe noch immer mehr vervollklommuet und
‚verfeinert werde, nur aber gebrauche man die analytiſche Kunſe⸗
griffe ſparſam und bedachtſam. Indeſſen iſt doch auch ſopie
gewiß, daß viele Dinge, die man jetzt mit dem Namen = |
ma *

| oo m | FM
wistfher. Afindungen belegt, nichts: ald Wieberholungen von

dem ſind, was ſchon die Bernoullier, Leibniz u. a. wuß—

ten, nur unter einer andern Geſtalt dargeſtellt. Wiederholum
gen des Alten koͤnnen immer von Nutzen ſeyn, und man kommt
dabey beſonders oft in der Mathematik auf etwas Neues, auch
ala Wiederholungen find daher diefe Bemühungen immer zu
loben. Auch bat man hin und mieber in den neuern Zeiten fihon _
längft befannten Dingen neue Namen beigelegt, und dadurd) ihnen
oft das Anfehen neuer Erfindungen‘ gegeben. Sch brauche die

Lefer nur an die partielle Differentialien zu erinnern, ihre Er—

- indung iſt von ſehr vielen der Erfindung der Spnfinitefimalee
mung. gleidy geachtet worden, und Doch war in der That die Sa— R F
che dorhin ſchon lange: bekannt, nur daß fie keinen beſondern

Mamen hatte. Ich verwies daher oft Leute, die mit fo großem
Enthuſiaſmus von Erfindung, der partiellen Differentiglien ſpra⸗

chen auf Hrn. Hofr. Kaͤſtners Anglyſis des Unendlichen, und
zeigte ihnen, daß die Gründe davon hier deutlich vor Augen a—
gen, ben fo ift es mit dem Dariationscalful'befchaffen, es iſt
das laͤngſt bekannte nur unter einer andern Form Daraefiellt,
und dog man zu. denfelben Nefultaten, wozu man durch Die Va⸗
riationsrechnung gelange iſt, durch die Differentialtechnung alleit
gelangen koͤnne, das haben Euler, Borda, Paul Frifius, Pa
Ferroni u. anm. genugfam gezeigt. Diele Unbequemlichkeiten
ben Leſung der neuern analytiſchen Schriften verurſacht aud).
ber Zeichtfimn vieler ihrer Verfaſſer. Mit Verdrtuß denke id) noch
immer an die Zeit, die ich oft verſchwendete, um einen franzöfl:
arg Unofaften-in:fenen, Rechnungen zu folgen,“ nat ich oft alle
Kunfigriffe der Analyſe, foniele in ‚meiner. Gewalt fanden, ver⸗

geblich aufbot, um mit meinen Author zu einerley Refultat zu Ä

wie ich nachher: fand, daß die Schuld: nicht. ap, min ;
Poabern am, Verfaſſer laͤge, Indem er fich ptrrechnet habe „CH
U ——— en uͤber⸗

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uͤberſchreitet weit die Grenzen und den Zweck einer Vorrede ein ⸗

zele Beyſpiele hier anzufuͤhren, aber ich Jann dem Leſer verficherm,
daß es mir nicht ſchwer fallen wuͤrde, ſie ihm duzendweiſe allein
aus La Place's und Couſſins Scheiften vorzulegen. |

Da' ich mir übrigens den Lafer ſchon als ziemlich geuͤbten

‘ Analyften denke; fo wird man unter: Erläuterungen Feine Zus
ruͤckfuͤhrung auf die Grundfäge des Calkuls eridarten, fie follen

vielmehr dazu dienen, Auch dem geübten Leſer die Leſung Diefer

Schrift zu erleichtern. In dieſer a habe ich da, wo Herr

de La Grange nm bie Reſultate hinſetzt, wo es mir noͤthig
zu ſeyn ſchien, gezeigt, wie er darauf gekommen iſt, wo er Zwi⸗

ſchenſaͤtze und Theoreme, woran man vielleicht Da nicht denkt,

ausgelaffen hat, dieſelben dem Zuſammenhang unbeſchadet einge⸗
ruͤckt, und das meinige vom andern nur dadurch unterſchieden,

daß ich es in () —— Te din ein M. — oem

Beimmert man ſich alſo um eichen nichts; ſo Fan man.
alles ununterbrochen fortlefen.. Nachdem ich fertig. mit dee Ar⸗
beit war, fiel mir zwar oft ein, ob es 1) nicht wohl gut geweſen
wäre, Dinge, zu deren Vorftellung eine große Einbildungsfraft
etfodert würde, durch Figuren zu erläutern, und Db’e8_ 2) nicht.
vortheilhafter für den Lefer gewefen wäre, wenn ich Winke und
‚Dinweifungen auf andere Schriften gegeben häfte, wo man die
iet als befannt vorausgefegten Saͤtze erläutert und erwieſen fände,
Ich hätte z. B. nur auf die Käftnerifchen oder andere beliebfe
Handbuͤcher bey ſolchen Gelegenheiten verweifen Sönnen.
Allein hier gieng e8 mir wie vor einigen Jahren, Da ein gewiſſer
Freund air ein Geſchenk mit einer Kiſte von Mineralien machte, da
ih naͤmlich alles fchon ausgepackt Hatte, fand ich erſt eine Anweiſung

wie ich es auspaden follte. Indeſſen würde, wenn ich das em -

ſtete haͤtte thun wollen, auch der Vreiß muͤſſen erhoͤhet werden

— — | — — — —
4

a Bir | y + —— —
—4 - ‘

.
R F
zw.

hie Wlter wir de — die ich Bey’ diefer Arbeit

hate wäntlich der Died: Werk grmieiner zu machen, in Eoliiffon
en:wähe. Bas das andere: betrifft; fü hätte es nach dem
jiet vieler: guten Schriftſteller immer von Nutzen ſeyn koͤn⸗

doch kann das zu meiner —— — dienen, daß ich
ie feine. —** dies Werk b t habe. Hiezu fomme,

„daß 8 hin und wieder in den Anmerkungen. meis:
for ausgefuͤhrt und audy auf andere Schriften verwieſen habe:
Ich haͤtte dieſe Anmerkungen: leicht versnehren koͤnnen, wenn
meine Abſicht hier geweſen wäre, aber La Grange's Werk
eisen Tommuntat zu. ſchreiben. Einzelne Heine andere Verbeſſe—
rungen, Die ich. gemacht. Pr verlangt man endlich wohl ng

wre chit iu haben.

— An vigens mu ich gefiche, daß die Mesianige anelitiqu6 Ä

ed: Heven Ya Grauge eins von den Büchern ift, ben: ich,

manche, vergnuͤgte Stunde meines Eben⸗ ws verbanfen. habe.

eheinale habe ich Dies. Deeifierwert ve wit. —*2 —
ee ib habe und fieta. nur aus der Hand

um es mit doppeltem Vergnuͤgen bald wieder: m vorzune u
Da ich das Studium de fo einrichteto, daß ich nie wei⸗
tee-lad, bie ih das voehergehende völlig. — Hatte; fe:
mußte ich ‚nothwendig, auf-.viele: neue. Beuerkuugen Tommei
So fand id mande Erweiterung des Principe Der der virtuellen
Geſchwindigkeiter; machte manche Anwendung der. von La

mente a Ha analytifchen Formeln auf Gegenftände der

—3 * —— ad —— = | je ep
. oviele e zur ana en Mechanik, als fie felb
(ah aber bald, daß. diefe mit Ddeifelben für

ehem Band zu viel AR: würde, und - mich, daher ents
ſchloſſen,

. . . % vo * .. .. ER un A
w
Zr“ nr A r

ſchloſſen, alle Erweiterungen oder meitläuftige. ausführlicher
Zuſaͤtze und Erläuterungen des gegenwärtigen Werks auſſer Den
wenigen oben genannten befonders: unter dem .Zitel: Zufäge
und Erweiterungen der analytifchen Mechanik des Herrin Le
Grange herauszugeben, worin man manche neue Bemer⸗
fung und Unterſuchung finden wird. Im manchen iſt mir
zwar ſchon Hr. Rohde zusorgekommen. Dan. fehe f. Preise
Schrift über die Abweichung geworfener Körper von der vertis
> falen Richtungscehene (Berk 1795. 4.) und ſ. mathematiſche
Abhandlungen. (Potsdam 1797. 4)... Allein dies wird mich
nicht hindern, meine Unterſuchungen, wenn fie auch oft uf.
eins mit ihm hinausfommen, befannt zu machen.

Diele Erweiterungen, die id) von dem Grundfate der
virtuellen Sefchivindigkeften, gefunden hatte, finde ich auch. zum
Zheil ſchon in einem fo eben erfchienenen Werke: Memoria ſid
principio delle velocita vi@uali del Cavaliere Zittorio Fos-,
ombroni Aretino vno del. Quaranta della focieta Italiana,
fecio del Inſtituto di Bolegna etc. Firönze 1796. Per
Gasotano Cambiagi Stampatere Granducale 4. 1gı ©.
Moͤchte ich doch beim Schluffe dieſer Arbeit fo gluͤcklich
ſeyn, durch meine geringen Bemühungen etwas zur Verbrei⸗
- einer Wiſſenſchaft, die mir fo merth if, beigetragen zu
haben. | | u

= ättingen, 1799,

Inhalt.

‚Pierter Abſchnitt. Eine ſehr einf—

F
a lt £ ’ -#
E 4
an u .
* * — F
e * £ 4 }

Ste She der Mecyanif oder die Stil,

"ee Aufn. Won den verſchiedenen Grundlehren ber Sarfe. R

Zweyter Abſchnitt. Allgemeine Formel für's Gleichgewicht eines
gewiſſen Syſtems ˖ von Kräften nebſt Ihrem ————

Dritter Abſchnitt. Allgemeine aus der vorhergehenden Formel pers
geleitete allgemeine Eigenfchaften des Gleichgewichts, |
Rethode bie für's Gleichgewicht
eines gewiſſen Syffems von nothige Gleichungen zu finden,
man mag fie nun entweber als Punkte ober als endliche Maſſen bes
trachten, bie von gegebenen Kräften getrieben werden.
Fuͤnfter Abſchnitt. Auflsfung verſchiedener ſtatiſcher Aufgaben.
—XX S. I.

vu 0. —

= er [7 u

$. 1. Vom Gleichgewiht mehrerer an einem Punkte angebrachten
Kräfte, und von der Zufammenfeßung und Zerlegung der Kräfte,

$. I. Vom Gleichgewichte mehrerer auf ein Syſtem von Koͤrpern
angebrachten Kraͤfte, die man als Punkte anſiehet, und die
durch Faden oder Stangen mit einander verbunden ſind.

F. III. Vom Gleichgewichte eines Fadens, deſſen Punkte durch
gewiſſe Kraͤfte gezogen werden, er mag nun entweder vollkom⸗
men biegſam oder unbiegſam, oder elaſtiſch und zugleich aus⸗
dehnbar oder nicht ſeyn.

F. 1v. Vom Gleichgewichte eines feſten Korpers von einer merk⸗
lichen Groͤße, deſſen Pankte insgeſammt durch gewiſſe Kraͤfte
getrieben werden. —

Sechster Abſchnitt. Von — Sereblebren — Hodroſtatik.

Siebenter Abſchnitt. Vom Gleichgewichte der EEE File
Maffen.

Achter Abfchnien, | Vom Siggenige — und isn
flüͤſſe igen Daffen, nn

Zweyter

Zweyter Theil dee Mechanik oder die Dynamik,

Erſter Abſchnitt. Ueber bie verſchiedenen Grundlehren der Dynamit.

Sweyter Abfchnitt. . Allgemeine Formel für die Bewegung eines Sys
fiemd von Körpern, bie durch gewiſſe Kraͤfte getrieben werden.

Dritter Abſchnitt. Allgemeine aus der vorhergehenden Formel —
leitete Eigenſchaften der Bewegung.

Vierter Abſchnitt. Einfachſte Methode zu den Gleichungen zu gelan⸗
gen, die die Bewegung eines gewiſſen durch beſchleunigende Kräfte
getriebenen Syſtems beflimmen.

Sünfter Adſchnitt. Auflsfung verfchtebener — —* Yufgaben, |
6, 1: Allgemeine Yuflöfung der Aufgabe der fehr geritigen Oscilla⸗
‚tionen eines gewiſſen Syſtems von Koͤrpern.

6. IL Von ber Bewegung eines einem oder mehreren Mittelpunkten
angezogenen Koͤrpers.

$. II. Von der Bewegung mehrerer auf einander wuͤrkenden Körper,

es ſey nun durch Anziehung oder durch ihre Verbindung unters

= einander durch Faden ober Hebel.
... 2 Sechs⸗

2 —

Sechster Abſchnitt. Won der Rotation ber Körper.

$. L Allgemeine auf bie Umdrehungsbewegung ſich obeitchenbt
Formeln.

$. II. Gleichungen fuͤr die Umdrehungsbewegung eines feften Koͤr⸗ |

pers von einer gewiſſen — der durch gewiſſe — getries
ben wirb.

6. II, RBeftimmung der Bewegung eines ſchweren Körpers von ir⸗

‘ gend einer Figur,
Biebenter Abfchnitt. Von den Grundlehren der Hybrodynamik.

Achter Abſchnitt. Bon ber Bewegung der unpreßbaren fluͤſſigen —

Koͤrper.

$. I. Allgemeine Gleichungen für die Bewegung unpreßbarer Slip

ſigkeiten. |
IL Von ver Bewegung ſchwerer uud homegener Fluͤfſi pleten in
Gefaͤßen oder Roͤhren von einer gewiſſen Figur.
Neunter Abſchnitt. Won ber Bewegung preßbarer und elaſtlſcher
fluͤſſigen Koͤrper. Se =

» -

Erfer Theil. =

ber

analptifhen Mechanik oder die Statik -

’

Erſter Abſchnitt. | |
Bon den verfchiedenen Grundlehren der Statik.

dazu ein Beftreben aͤußert; nad) ber Größe der eingebrüchten Bewegung

oder des Beſtrebens fie einzudruͤcken wird dann die Kraft gefhäßt. Im.

Zuftande des Gleichgewichts übt die Kraft Keine Würkung aus, nur ein

fimpeles Beftreben zur Bewegung bringt fie in diefem Falle hervor; je⸗

doch muß. fie hier durch die Wirkung allegeit gemeffen werden, welche fie,
wenn eine Hinderniffe ftatt fanden, aushben würde, Nimt man eine

gewiſſe Kraft ober ihre Würkung zur Einheit an, fo iſt die Ausdruͤckung
jeder andern Kraft nichts wie ein Verhältnis zu jener, folglich eine mathes '
matiſche Größe, die durch Zahlen and Linien ausgedruͤckt werden Eann, _
und unter dieſem Geſichtspunkt muß man die Kräfte in der Mechanik bes

trachten.

Gleichgewicht entſteht durch die Aufhebung "mehrerer Kräfte, die

einander entgegengefegt find, und wovon eine die Wuͤrkung der andern
I | A— veruich⸗

De tatik iſt die Wiſſenſchaft des Gleichgewichts der Kraͤfte. Unte
raft verſteht man uͤberhaupt eine Urſache, ſie mag uͤbrigens be⸗

ſchaffen ſeyn, wie ſie will, die einem Koͤrper, woran man ſie ſich ange⸗

bracht vorſtellt, entweder wuͤrklich eine Bewegung eindruͤckt, oder doch

u Te

ie.
2 SE m

—

J vernichtet, die Gefeße nun anzugeben, wonach dieſe Aufhebung dor a6 &

geht, das ift der Zweck der Statik. Diefe Gefege aber beruhen anf alls
gemeine Principien, bie ſich auf drei bringen laffen, nämlich auf das bee
Gleichgewichts beim Hebel, 2) das der Zuſammenſetzung der Bewegung

und 3) das bes Beſtrebens nach Geſchwindigkeit (des vitefles virtuelles).

Archimedes, ber einzige unter den Alten, ber uns eine Art von

Theorie ber Mechanik in feinen 2 Buͤchern de aequi ponderantibus hinters
Iaffen hat, ift der Erfinder dts Gefeßes des Hebels, welches, wie jebers -

man weiß, barin befteht, Daß wenn cin geradlinigter Hebel von 2 Ge

wichten beſchwert ff, deren Eutfernungen vom Ruhepunkt fh ums

gekehrt verhalten wie bie Gewichte felbft, allezeit ein Gleichgewicht
dieſes Hebels erfolge und daß fein Unterfüßungspunft von der
Summe biefer 2 Gewichte befhwert wird. Archimedes nimmt dies
ſes Geſetz in dem Falle, wo gleihe Gewichte gleichweit vom Unters
ſtuͤzungspunkt entferut find, für einen an und für fich evidenten Grund⸗
faß der Mechanik ober doch wenigſtens für ein Erfahrungsgefeg an, und

auf biefen einfachen und erſten Fall bringt ex dann auch den, wo die Ges

wichte ungleidy find, in dem er fich dieſe Gewichte, wenn fie commenſu⸗
rabel find, In mehrere unter einander gleiche Theile getheilt vorftellt und
annimmt, daß die Theile jedes Gewichts von einander ſich trennen und auf
“ beiden Seiten des Hebels in gleichen Entfernmgen ſich vertheilen laſſen,
fo dag der ganze Hebel von mehreren Heinen unter einander gleichen Ges
wichten und in gleichen a vom Unterflüßungspuuft beſchwert
ſey. Hierauf erweißt er aud) die Wahrheit beffelben Theorems für incons
menfurabele Gewichte mit Hülfe ber Erſchoͤpfungsmethode, und zeigt,
daß unter dieſen Gewidyten nie ein Gleichgewicht ftatt finden kann, mern
fie fich nicht im umgekehrten Verhältnig der Entfernungen vom Unters
füßungspunft befinden. Cintge der Neuern wie Stevin in feiner Stas
- tiEund Galilaͤi in feinen Geſpraͤchen über die Bewegung haben Archi⸗

med's Beweis dadurch einfacher zu machen gefucht, daß fie annahmen,

die an ben Hebel angebrachte Gewichte ſeien 2 in ihrer Mitte horizontal
— Parallelepipeda, deren Breiten und Höhen einander gleich, bie
Langen aber boppelt fo groß ſeyen als bie Hebelarmen, bie umgekehrt zu ih⸗
nen gehören. Denn hiedurch find bie beiben Parallelepipeba im umgekehrten.
Verhaͤltniß ihrer Hebelarmen, und ihre Stellung ift fo befchaffen, daß

a — m oo 3
fie nur. rin einziges anomachen, deſſen Mittelpunkt volllommen mit bem
Uaterſtuͤtzungspunkt bes Hebels uͤbereikeommt.

Andere aber haben Fehler in Archimed's Beweis finden wollen,
und ihn auf verfchiebene Art verändert, um ihm eine größere Strenge

zu.geben. Aber auſſer Huyghens verbienet Feiner ‚hier ben Geometern

bekannt zu werben. '
Huyghens Beweis gruͤndet ſich auf die Betrachtung bes Gleichge⸗

wichts einer Ebene, die mit mehrern gleichen Gewichten beſchwert ift und.

deren Unterftägung eine gerade Linie iftz aber ohnerachtet biefer Beweis
ſehr ſinnreich und frey von den Schwürigfeiten tft, benen der Archimes
deifche unterworfen ift; fo kann man doch "manches dagegen einwenben,
Man fehe die Opera varia von Aupgbens Tom, 1.?*)

Kat

an fich ſchon ziemtich evident feheint, geomerrifch auf folgende Art

berzeugen: Es ſeyen P’ P« 2 Rröfte, weiche durch AB, AD ansgebrädt
werben, man verzeichne das Paralldogram ABCD. und nenne P die dur
AC ausgedruͤckte mindere Kraft: fo —— wenn man aus einem wi

ie kuͤhrlichen Punkte von einer der Rich⸗

| tungslinien Diefer 3 Kräfte 2 ſenkrechte

“) — kann ſich von der Richtigkeit dieſes Satzes, ber fuͤr den geradlinigten

— BB 8. Pinin EG, FE ziehet, die Pros
p · — — portion:
— le Be..pe: P==GF: FE: GE.

. Bir wollen mın einen Hebel AB betrachten, hier muß der Ruhepunkt
„ „in der Richtungelinie der — Kraft liegen, ziehet man daher aus die⸗
—— 0000,92 Bo 2 ſenm

a \ — — | Eee.
Kat man einmal das Gefeß des geradliaigten und horizontalen Ser
bels feftgefegt; fo kann man daraus die Geſetze des Gleichgewichto bei

ſem Punkte F die ſenkrechte Ente GF, EF auf die Dirertiondtinien der

W äfte Pe Ps fo Haben wir aus dem

vorhergehenden folgende Proportion:

Pe Pr = FG: FE d. h.

Wenn = an den Endpunften eines Hebeld angebrachte fimple oder Bewe⸗
re gkraͤfte im Sleichgemwiche find, und nun aus dem Ruhepunkt auf Die '
Stang einer jeden ein Perpendikel gegogen wird, fo verhalten fin dieſe
fimplen oder Bewegungskraͤfte umgekehrt wie die auf ihre Richtung gezos
gene Perpendikel. Iſt nun aber AB gerade und die Direktion Kraft
— mit der der Kraft — pl: fo fallen, wenn diefe Linien. auf'Die Rich-
2 tung des Hebeld perpendiculair find, die Yerpendikel FG, FE in die Rich⸗
tungslinie des Hedeld und find der ernung vom Ruhepunkt bis zur
Richtung einer jeden Kraft gleich. Alsdenn werbalten ſich alfo im Falle
des Gleichgewichts Die Rrößte verkehrt, wie die Längen ihrer Hebelarmen.
Gegen wir nun, der Ruhepunkt liege auffer dem von den Richtungen der
Kräfte gemachten Winkel; fo läßt ſich mit einer geringen Abänderung bie
Wahrbeit des vorhergehen Satzes auch für diefen Ball darthun,. und. fo
hat man dann den allgemeinen Gag, daß 2 an einem Hebel angebrachte
' Kräfte, die gegen den Rukrpunft eine gewiſſe Lage haben , fich allemal vers
Lehre wie die Entfernungen ihrer Direktionstinien vom Ruhepuntt verbale
ten. Dies gi daher für alle Arten von Hebel und Archimed’s Sag läfe
ſich alfo auf diefe Art ermeifen, nur mußten wir aber bier einen andern
_ as zu Hülfe nehmen, den mir bisher noch nicht erwiefen hatten, naͤm⸗
lich den der Zuſammenſetzung der — Die Verbindung der mecha⸗
nifchen Geſetze unter einander wird man uͤbrigens ansfuͤhrlich aus einem
WGWerke kennen lernen, deſſen Vollendung alle Kenner der Mathematik mit
Verlangen entgegenſehen, und das gewiß dem Nahmen ſeines Urhebers
Unſterblichkeit verſchaffen wird, nämlich aus der Nouyelle architedure hy-
“ draulique ‚par Mr. de Prony (& Paris 1790. 4 maj.) Tom. I. wovon use
He Cangodorf nun and mit einen bentfchen Keberiegung beſchenkt has

)

* ——
den andern Maſchienen und bei jedem Syſteme von Kraͤften uͤberhaupt
herleiten. Auf dieſe Art find'viele Schriftſteller verfahren, unter andern
Ra Hire in feinem Traktat über die Mechanik, der fi im gten Bande
der alten Memoires de l’scademie des fciences de Paris befindet. Jedoch
ſcheint e&, man hat nicht gleidy anfangs bie Methode gekannt, bie Theo⸗
rie aller andern Mafchienen, befonders die von ber ſchiefen Ebene, auf bie
Zhevrie des Hebels zu bringen; denn man fiehet nicht nur aus den Frag⸗
menten, bie vom sten Buche bed Pappus bis auf uns gefommen find,

daß die Alten das wahre Verhaͤltniß der Kraft zum Gewicht bey ber

fehiefen Ebene nicht kannten; fondern man weiß auch, daß bie Beſtim⸗
mang biefes Verhältniffes lange Zeit ein Problem bei den erften nenern
Mathematilern war, welches der berühmte Stevin, der in Dienften des

Prinzen Moriz von Naſſau war, zuerſt auflöste, und wozu auch er E

zur durch eine indirekte und, von ber Theorie des Hebeld indepeudente Bes
trachtung gelangt war, - Bu Be Ä

Stevin betrachtet ein ſolides Dreyeck, das auf feiner horizontalen

Baſis ſteht, ſo daß ſeine beiden Seitenflaͤchen 2 ſchiefe Ebenen ausma⸗

chen undnimt an, daß ein Kranz von verſchiedenen in gleichen Entfernun⸗
gen von einander durch Faden verbundenen Gewichten, ober vielmehr eine
Kette von gleicher Dicke au die beiden Seiten dieſes Dreyecks angebracht
ſey, fo daß ber obere Theil an den beiden Seiten beffelben feftgemadht
fey, der untere aber frey, unter der Baſis herunterhänge, eben fo ald
weun er an den beiden Enden berfelben feſtgemacht wäre.

Stevin merkt an, daf wenn man felbft auch anmähme, die Kette
koͤnne frey über dad Dreyeck wegrätfchen; fie doch in Muhe bleiben muͤſſe;
denn finge fie an von fich felbft zu rütfchen nach irgend einer Richtung hin;

fo mößte fie fortfahren in alle Ewigkeit zu rütfchen, benn ed würde eben
dieſelbe Urſache der Bewegung immerfort flatt finden, indem die Kette
wegen ber Gleichfoͤrmigkeit ihrer Theile immer auf biefelbe Urt am Dreyeck

‚ feft hänge, woraus eine beftändige Bewegung entfpringen würde, wels

ches abſurd iſt. og. = J

Es muß alſo nothwendig ein Gleichgewicht zwiſchen allen Thellen
der Kette ſtatt finden, man ſieht aber ER ein, daß der unter ber ge”
‚ \ z 3: | 18

2 J

—32

6. —

fid haͤngende Theil der Kette ſchon an und für ſich im Gleichgewicht iſt,

bie Kraft aller Gewichte auf der einen Seite muß daher der auf ber aus

dern Seite das Gleichgewicht halten; aber die Summe ber erfiern vers -

hält {ih zur Summe der andern, wie die Längen ber Seiten, we fie ans -

gebradyt find, fidy gegen einander verhalten, folglich bedarf es Immer -
derfelber Kraft, um ein oder mehrere auf einer ſchiefen Ebene befindliche --
Gerichte zu halten, wenn das ganze Gericht der $änge der Ebene gleich
und die Höhe. diefelbe iſt. Iſt aber bie Ebene vertikal; fo iſt bie
Kraft dem Gewichte gleich; folglich verhält ſich bey jeder fchiefen Ebene bie -
Kraft zum Gericht, wie die Höhe ber Ebene zu ihrer Länge,

Sch habe diefem Beweis Stevins nur deswegen bier eine Stelle ver⸗
gönnt, weil er fehr finnreich, und ſonſt wenig bekannt ift. Webrigens lei⸗
tet er, aus dieſer Theorie, die des Gleichgewichts zwiſchen 3 Kräfte her, .
bie anf einen Punkt wuͤrken, und zeigt, daß dies Gleichgewicht flatt findet,
wenn bie Kräfte einander parallel und ben 3 Seiten irgend eines gerablis
nigten Dreyecks proportional find. Mlan fehe weiter hierüber feine Sta⸗

tik ſelbſt nach, und feine Zufäge dazu in fe Hypommnemat. mathematic. _

Der te Grundfaß des Gleichgewichts ift ter der Zufamtmfnfegung
ber Bewegung. Er beruhet anf bie Vorausfeßung, daß, weun 2 Rıäfte
zugleich auf einen Körper nach verfchiebenen Direktionen würfen, fie einer
einzigen Rraft glei find, bie im Stande ift dem Körper biefelbe Bewe⸗

“gung zu geben, ald die beiben Kräfte ihm gebeir würden, wenn jede bes
ſonders würkte. Nun aber durchlauft.ein Körper, den ınan fich gleich⸗
förmig nach 2 verfdiebenen Direktionen zugleich bewegen laͤßt, nothwendig
die Diagonallinfe des Parallelegrams, beffen Seiten er jede beſonders nad)
jeder der beiden Bewegungen durchlaufen würde, Hieraus folgt aljo, dag
2 Kräfte, die zugleidy auf einen Körper würfen, von einer einzigen im
Gleichgewicht werden erhalten werden können, bereu Größe und Direktion
durch die Dingonallinie des Parallelograms ausgebrüdt wird, deſſen Scis
ten jede die Größen und Direktionen ber beiden gegebenen Kräfte ausdruͤk⸗
fen *). Hierin beſteht das 2te Grundgefeß naͤhmlich die Zuſammenſez⸗

zung ber Kräfte,

*) Man hat dieſen Sag vom Parallelogram der Kräfte auf gar verſchiedene
Weiſe darzuthun gefucht. Zr u u
Wolff,

€ - -
—— —
.
1
—

Es reicht allein Kin in allen Zählen Die Geſetze des Gleichgewichts zu

. beftimmen,. denn indem man nad) und nad die Kräfte zufammenfebt

nähnlidy immer zwei und zwei; fo muß man endlich zu einer einzigen ges
langen, die allen den andern dad Gleichgewicht hält, und die alfo im Valle
bes Gleichgewichts, wenn bei den Syſtem Fein fefter Punkt: vorhanden
ft, — o ſeyn muß; wenn ein folder aber da ijt durch denfelben ihre
Direktion haben muß, Dies kann man In allen flatifchen Büchern fehen,

.. „and indbefondere In ber neuen Medyanik bes Varignon; wo bie Theorie

ber Mafchlenen ans dieſem Fundamentalgeſetz allein abgeleitet worden if.

Esös iſt Har, daß Srevins Theorien vom Gleichgewicht Dreyer Kräfte
bie den 3 Seiten eined gewiffen Dreyecks parallel und proportional find,
etne numittelbare und nothwendige Folge bes Geſeßes von dar Zuſammen⸗
feßung ber Kräfte ift, oder vielmehr daß es baffelde Grundgefeß nur unter
einer andern Form iſt. Allein biefed hat den Vorzug auf einfachen und
- | | natuͤr⸗

Wolff, Krüger u. a. geben nichts weniger als einen geometriſchen Be⸗

weis davon. unter allen [Heine mir noch Newtons Werfahren hier am
meiſtku auf mathematiſche Evidenz Anfprüche zu machen, man findet dass
ſelbe noch weiter ausgeführt und erläutert in der Bibliotheca fifica «’Europs,
wo kann Ich nicht fagen, da Ich das Buch nicht bey der Hand habe.

Im firengften geometriichen Berflande genommen wird man ihn wohl nie

“ erweifen fonnen; aber von der Wahrheit deffelben überzeugen, kann man
ſich auf. mancherlei Art. Herrn Maries Beweis in feinem trait& de méca-
nique fann ſchon völlig dazu dienen Die Nothwendigkeit dieſes Fundamen⸗
talſatzes einzuſehen; Daher hat ihn auch Prony in der Nouvelle archite-

&ure hydraulique wieder abdrucken laflen. Einen ınetapbpfifchen Beweis

davon hat unter audern auch Hr. Rant in f. metapbpfifchen Anfangsgruͤu⸗

den der Naturwiſſenſchaft verſucht. Durch Verfuche kann man ſich übeis

gend ſehr wohl davon überzeugen, auch kann man fi dazu Eleiner Inſek⸗

ten bedienen, die man an einem Lineal fortlaufen laͤßt, und die die Diagonals

linie eines Parallelogramıs beichreiben,, indem mau langſam daß Lineal wei

ter derunterruͤckt. Hiebey fälle mir ein Bepſpiel ein, welches genugſam

. zeigt, wlie fehr andy ſchon die Natur der Sache diefe Bewegung in der Dia

.. gonaliinte des Parallelograms mir ſich bringe. Es gieng jemand fpagleren,

fein Hund Ilef voran, nun theilte fich der Weg in 2; der Hund wolle gerne

voran, wußhte aber nicht, welchen von beiden fein Herr mählen würde,

deswegen gieng er in der Diagonchinie bed Parallelograms weiter, deffen
Seiten die beiden Wege ausmachten. * |

⸗

natürlichen Begriffen zu beruhen, ba hingegen Stevins. Theorem nur
auf indirekte Betrachtungen gegruͤndet iſt. ar 3

Mas aber die Erfindung bes gegenwärtigen Grundgeſetzes betrift,
fo iſt fie meiner Meinung nad dem Galilaͤi zuzufcpreiben, der in der zten
Propofition bes gten Tages feiner Dialogen, erweißt, daß, wenn ein” -
Körper mit 2 gleihförmigen Gefchwinbigfeiten, wovon bie eine horizontal
bie andere vertikal ift, bewegt wird, er eine Geſchwindigkeit annehmen
muß, bie burch die Hypothenuſe des Dreyecks ausgedruͤckt wird, deſſen
beiden andern Seiten dieſe 2 Geſchwindigkeiten ausdruͤcken; jedoch ſcheint
es zugleich, daß Galilaͤi dein ganzen Nuzen dieſes Theorems in ber Theo⸗
rie bes Gleichgewichts nicht gekannt habe. Denn in dem zten Dialog,
wo er von der, Bewegung der ſchweren Koͤrper auf ſchiefen Ebenen han⸗
delt, leitet er, anſtatt den Grundſatz der Zuſammenſetzung der Bewegung
zur direkten Beſtimmung der einem Koͤrper auf einer ſchiefen Ebene zu⸗
kommenden Schwere anzuwenden, vielmehr dieſe Beſtimmung von der
Theorie des Gleichgewichts auf ſchiefen Ebenen nach dem her, was er vor⸗
‚her in feinem Traktat della fcienza Mecanica feſtgeſetzt hatte, worinn er
die fchiefe Ebene vom Hebel Herleitet. Ä ——

Nach Galilaͤi findet man die Theorie der zuſammengeſetzten Bewe⸗
gungen in ben Schriften des Des Cartes, Aobervals, Merſenne,
Wallis u a.; aber Darignon hat das Verdienft den Nutzen biefer
Theorie bei dem Gleichgewicht der Maſchienen gezeigt zu haben. a.

Seine Abſicht bei feiner nouvelle mechanique bie er 1687 publicirte,
war bie Regeln ber Statik durch bie Zufammenfeßung der Bewegungen

ober ber Kräfte zu bemweifen, aber died wurde nachher noch weit umſtaͤud⸗
licher in ber nouvelle mechanique geleiftet, die erft nad) feinem Todt im
Jahr 1725 erſchien. Schon im Jahr 1685 aber hatte er ein Memoire
über die Rollen dein Druck übergeben, worin er die Theorie biefer Art von
Maſchienen durch die der zufanımengefeßten Bewegungen erflärte, |

Ich komme endlich zum zten Grundgeſetß nehmlich dem des Beſtre⸗
bens nach Geſchwindigkeit. Man verſteht hierunter dasjenige, was ein.
im Gleichgewicht ſich befindender Körper, wenn daſſelbe aufgehoben if,“ . -
| 0 Ä Ä | befommt

⸗

“
re 29
—

bekomint b. h. die Geſchwindigüeit, die er im erſten Augenblick feiner Bewe⸗
gung wuͤrklich erhaͤlt. Das gegenwaͤrtige Grundgeſetz beſteht alſo darin,

daß Kraͤfte im Gleichgewicht find, wenn fie ſich umgekehrt wie ihre Beſtre⸗

bungen nach Geſchwindigkeit, die nach ben Richtungen dieſer Kräfte ges

ſchaͤtzt werden, verhalten.

Erwaͤgt man nur ein wenig die Vedingungen des Gleichgewichts beim
Hebel und den andern Maſchienen; ſo erkennt man leicht die Wahrhelt
dieſes Geſetzes, dennoch ſcheinen die Geometer vor Galllaͤus es nicht ge⸗
kannt zu haben, und ich glaube ihm die Erfindung deſſelben zuſchreiben zu
möüffen, wenigſtens trägt er es in feinem Traktat della fcienza Mecenica,
und in feinen Dialogen über die Bewegung als eine allgemeine Eigenſchaft

des Gleichgewichts der Maſchienen vor. Man fehe bie Anmerkung zum

aten Satze des ten Dialogs.

Unter Moment eined Gewichts ober einer an einer Maſchlene anger
brachten Kraft verſteht Galilaͤus die Stärke, die Würkung, die ges
ſammte Gewalt *), welche diefe Kraft anwendet, bie Mafchiene in Bes

wegung 'zu feßen, fo daß 2 Kräfte im Gleichgewicht feyen, wenn ihre Mo⸗
mente um bie Maſchiene auf entgegengefeßte Art in Bewegung gu feßen, -

gleich groß find, und er zeigt, daß dad Moment allemal dem Probufte

au der Kraft in dad Beſtreben nad; Geſchwindigkeit gleish iſt, welches

don ber Art, wie bie Kraft wuͤrkt, abhängt,

In eben der Bedeutung nahm auch Wallis in ſeiner 1669 herausge⸗
ehenen Mechanik das Wort Moment, er nimt darin den Satz der Gleich⸗

jeit der Momente zum Grund der Statik an, und leitet daraus umſtaͤnb⸗
U die Theorie des Gleichgewichts bey den vornehmſten Maſchienen her.

Heut zu Tage verſteht man gewoͤhnlich unter Moment das Produkt
einer Kraft in die Entfernung ihrer Direktion von einem gewißen Punkte,
oder einer gewißen Linie, d. h. in den Hebelsarm, wodurch ſie wuͤrkt; aber
bie Bedeutung, worunter Galilaͤus und Wallis das Wort Moment nah⸗
ee - . | F men,

— Gar Hriginal ſteht Peffort, laction, ‚P’energie, l’impetus,

* ‘
= 8

i
5 .
* = “ er“
“ = *
10 ——
⸗
⸗ ! u

men, ſcheint mir nathrlider und allgemeiner zu feyn, und ich ſehe nicht
ein, warum man fie verworfen, und an ihre Stelle eine andere gefeßt
‚bat, die nur dem Werth bes Moments in gewiſſen Fällen wie z. E. beim .
Hebel ic. ausdruͤckt?). — | ne

Des Cartes brachte auf gleiche Art die ganze Statik auf ein ein⸗
ziges Princip, welches im Grunde mit dem Galilaͤiſchen einerlei, nur
weniger allgemein iſt. Es beſteht darin, daß man nicht mehr und nicht
weniger Kraft gebraucht, ein Gewicht zu einer gewiſſen Hoͤhe zu erheben,
als ein ſchwereres Gewicht zu einer um eben ſoviel geringern Höhe. (Man
fehe den 73ten Brief im ıten Theile, und feine in feinen operibus pofthu-
mis befindliche Mechanik). Hieraus folgt, daß ein Gleichgewicht flattfins

- den wirb, wenn 2 Gewichte dergeftalt gefegt find, daß die perpendiku⸗

latre Wege, die fie durchlaufen koͤnnen, mit ihnen in einer umgekehrten

. Verhältnis fliehen. Uber bey ber Anwendung biefed Principe auf vers
ſchledene Mafchienen, muß man nur bie im erften Augenblid der Bewe⸗
"gung durchlaufenen Räume, bie dem Beftreben nach Geſchwindigkeit pros
portional find, in Betrachtung ziehen; fonft würde man die wahren Ge
ſetze des Gleichgewichts nicht erhalten. . |

- Man mag übrigens ben Gag bes Beftrebens nach Geſchwindigkeit entwe⸗
der ald eine allgemeine Eigenfchaft bes Gleichgewichts annehmen, wie bies
Galilaͤus thut, oder man mag ihn. mit Des Lartes und Wallis für die
‚ wahre Urfadje des Gleichgewichts halten; fo wird man Immer geſtehen
müffen, daß er alle Einfachheit befißt, die man nur von einem Fundas
mentalfaße verlangen kann, und wir werben weiter unten exft fehen, tie
fehr er fich durch jeine Allgemeinheit empftelt, |

9 Dies iſt eine fehr richtige Erinnerung, die Bedeutung die Galilaͤus und
Woallis dem Worte Moment gegeben haben, iſt aewiß von weit größern
Umfang ald die man ihm jetzt giebt, allein der Sprachgebrauch hat Diefe lez⸗
tere nut einmal fo allgemein eingeführt, daß auch alle Schriftfieller beinahe,
die äber die Mechanik gefchrichen Haben , fie.anneuommen baden. Die
Größe D V, wo D die Entfernung von einem gewiſſen Punkt, und V bie
Krafı bedeutet, kommt auch fo oft vor, daß man ihr nothwendig einen Ras
mengeben mußte, nur bite man fih nicht dazu eines Worte bedienen
follın, das {dom eine andere Bedeutung hatte, a en

‘

Tor .'

| gr — 1
‘= Toreteelli, der berühmte Schüler des Galilaͤus, ift Erfinder eis '
ned andern. Principe, welches jedoch mit dem ſeines Lehrerd einerlei oder .
. vielmehr uur eine Folge davon -ift; es befteht dieſes darin, daß wenn =
Gewichte fo mit einander verbunden find, daß, man mag ihnen eine Stel
Yung geben, wie man will, ihr Schwerpunkt weber erhöhet noch erniebrigt
werde, fie immer im Gleichgewicht find. Torricelli macht von dieſem
Sage nur auf die ſchiefe Ebene eine Anwendung, allein man Tann fi
leicht davon überzeugen, baß er bey den andern Mafchtenen nicht weniger
flatt findet. Man fehe feinen Traktat über die befchleunigte Bewegung,
welcher im Jahr 1644 erfchien. | |

- Torricelli’s Princip veranlaßte ein anderes, befjen fich einige Schrift;
fteller bedient haben, um verfchiedene ftatifhe Aufgaben mit mehrerer

Leichtigkeit aufzulöfen. Es iſt folgendes: Bey einem Syſteme von fhmweren . .

Körpern, das ſich im Gleichgewicht befindet, iſt der Schwerpunkt fo weit
unten als möglid. In ber That weiß man aus ber ‘Theorie de maximis .
and minimis, daß der Schwerpunkt am niebrigften ift, wenn das Diffe⸗
rential ſeides Herabſinkens — o ift ober, welches auf eins hinauslommt,
wenn der Schwerpunft weder fteigt noch fällt, während dem dag das
Syſtem eine unendlich geringe Veränderung feines Orts erleidet.

Allgemein ausgedrückt iſt das Sefeß des Veſtrebens nach Geſchwin⸗
digkeit folgendes: —

Wenn ein gewiſſes Syſtem von fo viel Koͤrpern ober Punkten als
man will, auf welche gewiffe Kräfte wuͤrken, im Gleichgewicht ift, und
man giebt demfelben eine gewifle geringe Bewegung, vermoͤge ber jeber
Punkt einen unendlich Heinen Raum durchlauft, ber fein Beſtreben nad
Geſchwindigkeit ausdruͤckt; fo wird die Summa ber Kräfte multiplicirt
durch die von den Punkten, wo die Kräfte angebracht find, nach ben Rich⸗
tungen berfelben durchlaufene Räume allezeit = q ſeyn, indem man bie
kleinen Räume bejaht ober verneint nimmt, nachdem folche in einerlei oder

in der entgegengefegten Richtung der Kräfte durchlaufen worben find.
Sovtel ich weiß hat Johann Bernoulli zuerft die große Allgemeins
beit dieſes Saßes bes Beſtrebens u Geſchwindigkeit und feinen Nußen
— 82 bey

12 | BE — -- 1) | -

| : ß \
bey Aufloͤſung flatifcher Aufgaben wahrgenommen, - Died erficht man and
einem feiner Briefe an Varignon im Jahr 1717, ben biefer leztere im
gten Abſchnitt feiner neuen Mechanik eingerückt hat, welchen er überhaupt
ganz allein dazu anwendet, die Wahrheit und ben Nußen dieſes Satzes
durch verſchiedene Anwendungen zu zeigen. Ä

Eben dies Orundgefeß veranlaßte In der Folge den Gaß den der
Hr, von Maupertuis unter dem Namen des Gefeßes ber Ruhe ?) in
den Memoiren ber Parifer Akademie ber. Wilfenfchaften für das Jahr
1740 bekannt gemacht hat, und den Hr. Euler noch mehr entwickelt und
allgemeiner gemacht hat in den Berlin. Memoiren für 1751.

Endlich lag eben dies Grundgeſetz auch bei dem des Marquis von
Courtivron zum Grunde, welches man in den Pariſer Memoiren für
1748 und 1749 findet. |

| Und überhaupt glaube ich behaupten zu koͤnnen, bag alle allgemeine -
Grundfäße, die man no In der Wiffenfhaft vom Gleichgewicht entdecken
koͤnnte, nichts anders als jened Geſeß vom Beſtreben nach Geſchwindig⸗
| tr

R
* .

») Der Eat bed Herrn von Maupertuis iſt auch unter dem Namen bes Gas
zes der kleinſten Wärfung und des Gefeges der Sparſamkeit bekannt. Er
glaubte daran einen fruchtbaren Grundſatz erfunden zu haben, woraus ſich
alle Sefege der Ruhe und Bewegung herleiten ließen, und der an Allge⸗
meinheit alle vorher erfundene weit hinter fich zuruͤckließe. Er zeigte felbft
eine Anwendung defleiben. in verfiäiedenen Källen und Hr. Euler fand bier:
eine neue Gelegenheit zu rechnen, und feine Stärke In der Analifid zu zei⸗
gen. Der Streit wegen diefed Satzes zwiſchen dem Hrn. von Naupertiug
und Hrn. Rönig in Holland iſt zu bekannt, als daß ed noͤthig wäre ihn.
umfiändlich hier zu erzählen. Er gehört eigentlich auch gar nicht in die

Wiſſenſchaft, die hier abgehandelt wird, und gehörte er auch bineln: fo - _

würde ſchon das mid) berechtigen ihn mit Stillſchweigen zu übergehen, daß
die meiften darin agirenden Derfonen gar nichts von Mathematik verflans
den. llebrizens hat biefer Streit eine ganze Reihe von Schriften verans
laßt, die man zum Theil in des Hrn. Hofratih Kaͤſtners höheren Mechanik
angezeigt findet. Voltaire fchried bei dieſer Gelegenheit mehrere luſtige und
wigige Schriften. Ich verweife uͤbrigens aufmeine Geſchichte dieſes Streits,
die vielleicht bald herausfommen wird. a:

23
Zeit feyn werben, nr ſolches aus verfchiebenem Geſichtspunkt betrachtet
und anders auögebrädt *). we oe

Uebrigens iſt eben dies Geſetz an und für ſich nicht allein fehr einfach
und doch fehr allgemein, fundern e8 hat auch den ſchaͤzbaren und vor ans
dern einzigen Vorzug, daß ed in einer allgemeinen Formel dargeftellet
werben kann, welde alle Aufgaben, die. beim Öteichgewicht ber Körper ſtatt
finden Einen, enthält. Mir wollen diefe Formel in ihrem ganzen Um⸗
fang darftellen, ja wir wollen uns bemühen ihr noch eine allgemeinere

Form ın geben, alg bisher gefchehen ift, und neue Anwendungen berfels

ben zeigen. r

*) Es iſt nicht zu leugnen, daß Hrn. de la Grange's Brundfaß der Gtatif
in der That ein fehr fruchtbarer Fundamentalſatz iſt, davon iſt auch dies
ganze Werk ein deutlicher Zeuge, welches blos von bemfeiben ausgeht, und
doch ale mechanıide Geſetze fo fchön entwickeln, Er iſt im Grunde mit dem

. befannten Eartefianifchen Brundfage der Statik eineriey, aber weder Dies
fer noch jener Fann im geometrifchen Berflande Arlom genannt werden, Hr.
Rarften bewieß die Befege der Statif einzeln in aller Strenge, eben fo
wie died auch Hr. Raͤſtner nethan har, und fehloß erft aus: diefen ſtrey⸗

- gen Bewelfen der einzelen Gefege auf die allgemeine Richtiskeit des Gars
tefianifhen Grundſatzes, ‚oder des allgemeinen Geſetzes vom Beſtreben nach

- Gefchwindigfeie. Diefed Geſetz aber allgemein und direkt zu demonftriren, -
dazu hat man Dis jezt noch nicht gelangen koͤngen, ohnerachtet feine Ri» _
tigkeit Hinlänglich ausgemacht iſt, indem ed Reſultate -giedt die völlig des
nen A find, welche man anf andern Wengen gefunden bat: - Man kann

. diefed Beleg alio, wenn man ed anch nicht für einen Srundfaß gelten laſ⸗

“fen wi. wie died einige neuere franzöfifche Schriftfteller nach dem Hrn.
de la Grange gethan haben , Doch weniaftens als ein allgemeines Refuls
tat der ganzen Statik anfeben, und in fo fern verdient diefer Sag doch unfre
größte Aufmerkſamkeit. Auch Eonnteman wohl ſchon daran, daß alle ein⸗
zele Belege der Statik anf bies allgemeine führen, fchliefen, daß wenn mau
nun biefen Sag zum allgemeinen Zundamentalfag annehme, fich daraus
auch alle einzele Geſetze rückwärts herleiten ließen. F *

B | 83vweiter

14 i —

Zweiter Abſchuitt.

ig Zormel - das Gleichgewicht eines zwiſſen Sylten⸗
| von Kräften nebft ihrem Gebrauch.

ad — Geſetz des s Gteißgeniäts bey den Dein.
tft, * die Kraͤfte ſich verkehrt verhalten wie die Geſchwindigkeiten der
Punkte, worauf ſie angebracht fi nd, wo dieſe nad der Direktion —

Kraͤfte geſchaͤt werden.

In dieſem Geſetze beſteht das des Beſtrebens nach ——
keit, ein Grundſatz ber ſchon ſeit langer Zeit für den Fundamentalſatz

des Gleichgewichts erkannt worden iſt, fo wie wir fm vorigen Abs "

ſchnitte gezeigt. haben, und den man folglich als ene Art von Axiom in
der Mechanik aufehen Faun.

Um biefen Satz in eine Formel zu bringen; fo wollen wir auneh⸗ er

men, bie Kräfte P, QR,2c., Die nach gegebenen Unien würken, feyen uns
ter einander im Gleichgewicht. Wir wollen und ferner von den Punkten,
. worauf diefe Kräfte angebracht find, gerade einander gleiche Linien pqr x.
in den Direktionen diefer Kräfte gezogen vorflellen; und allgemein durch
dp dq dr ac. die Variationen oder Differentialien biefer Linien, infofern

ſie von einer unendlich geringen Veränderung in ber Stellung ber vers

fehiedenen Körper oder Punkte des Syſtems entfpringen koͤnnen, aus⸗
druͤcken.

EGs iſt klar, daß dieſe Differentialien die Raͤume ausdruͤcken werben,
‚bie die Kräfte P. O, R. zc. in einem Augenblid durchlaufen, d. h. die Ge⸗
ſchwindigkeiten dieſer Kräfte nach ihren Direktionen geſchaͤt.

Dies

— 15

Died vorausgeſetzt wollen wir uns zuerſt 3 Kräfte P,Q,R fın Gleich
gewicht dorftellen,. man fichet leicht ein, daß da® Gleichgewicht noch im⸗

. mer flats finden wird, wenn wir an die Stelle einer diefes Kräfte einen

feften Unterſtuͤzungspunkt ſeten, der im Stande iſt der gemeinfchaftlichen

Wuoͤrkung ber beiden andern zu wiberfichen. Ich fange haher an, bie

Geſetze des Gleichgewichts zwiſchen den beiden Kräften P und Q zu fuchen,
in bem ich ben Punkt, worauf bie Jte Kraft wuͤrkt, als fefl annehme, fo
bag bie Linie r unverändert bleibt, während dein ba aus ben Linien p ımb
g p + dpund q + dq oder p— dp und q — dq wird. Nach dem allges
meinen Princip müßten die Kräfte P und Q ſich gegen einander verkehrt
wie bie Differemialien dp dq verhalten, allein man begreift leicht, daß

zwiſchen 2 Kräften kein Gleichgewicht ftatt finden kann, wenn fie niht fo

geftellt find, daß wenn bie eine von ihnen fig bewegt, die andere ſich Im

entgegengefeßten Sinne bewegt; hieraus folgt benn, daß die Zeichen ber

Differentialien dp und dq einander entgegengefeßt feyn muͤſſen; und ba bie
Werthe der Kräfte P und Q alle beide als poſitiv m angenommen wor⸗
den; fo wirb für das Gleichgewicht ſeyn 5 — — ober Pdp + Qdq
= 0 und. dieß iſt die allgemeine Formel für das Gleichgewicht zweier
Kraͤfte. Auf gleiche Art wird man, wenn man bie Kraft Qals auf
einem feften Punkt angebracht anfieht, bie Gleichung Pdp „+ Rdr == 0
für die Bedingungen bed Gleichgewichts zwifchen ben Kräften P und R exs
halten; und eben fo hot man für das Gleichgewicht der beiden Kräfte Q
mb R bie Gleichung: Qdq Rdr == 0, |

Dran hat alfo für bie 3 Kraͤfte POR bie 3 Gleichungen Pdp + Q

da= o,Pdp „> Rär= o, Qdg + Rde = 0; Inden man in der erflen
= Confi. feßt, in der aten q = Confl, und in ber 3ten p= Confi.

Mimt man folglich p q und r zugleich ald veränderlih anz fo hat
man Pdp + Qdgq + Rdr=o. |

* Und in der That müffen die Kraͤfte P,Q,R wenn fie im Gleichgewicht
ſeyn follen, fo geftellet feyn, daß eine unabhängig von ber andern fich
bewegen fun, |

16 Tr — —

Es muß folglich Ein gegebenes Verhaͤltniß zwiſchen ben Differentia⸗
lien dp, dq. dr und daher auch zwiſchen den endlichen Größen pqr ſtatt fin⸗
den; bied Verhältnig mag nun beſchaffen ſeyn, wie es will; fo kann man
die veraͤnderliche Größe p ald eine Funktion der beiden andern q und r
anſehen; und ihr Differential dp kann folglich allgemein fo ausgedrückt
werden: dp==mdg „nd. Gebte man — Confl., fo hätte man
‚dp = mdg; und feßte man-q =.Conft.; fo ‚hätte man dp = ndr;
bie Größe Pdp in den vorigen Sleihungen, Tann alfo im erftern

Sal durch Pmdq, im andern durd Pndr außgebrücht werben ;' fo

dag bie Summe diefer beiden Größen ſeyn wird: P (mdq 4 ndr)
— Pdpe Auf gleihe Art erweißt man, daß, wenn man q ald
eine Funktion von p und r anfiehet, bie Summe ber beiden Auss
druͤckungen von Qdg bie in ber erflern und gten Gleichung vorkoms

men, wenn man in dq p und r-zugleidh als veraͤnderlich anfieht, den
Werth von Qdq geben wird; und eben fo wird man den Werth von Rde
finden, wenn man p und q zugleid; als veraͤnderlich annimt. Auf biefe
Urt wird bie Summe ber 3 oben gefundenen befondern Gleichungen,
wenn man p, q und r zugleich als veräuberlih annimt,. Pdp + OQdq
+ Rede == 0; und dieſe Formel druͤckt das Gleichgewicht des 3 Kräfte
p ‚8.Raus

Waͤre noch eine 4te Kraft S vorhanden, bie nach der Linie s ihre
Rreichtung hätte; fo würde man durch ein ähnliches-Raifonnement finden,
daß das. Gleichgewicht ber. 4Kraͤfte P. Q, R,S durch die Gleichung Pdp
«+ Qdq + Rdr Sds = 0. ausgebrüdt wäre. Und fo ferner, bie

Zahl der Kräfte mag beym Gleichgewicht fo groß feyn wie fie will,

:- 2) Man hat baber allgemein für das Gleichgewicht einer gewiſſen

Anzahl von Kräften. P. Q, R, 2c., die ihre Richtungen nad ben ‚Linien

p, 9r,2c. haben, und die auf ein Syſtem von Körpern oder Punkten, die

unter einander eine gewiſſe Stellung haben, angebracht find, eine Gleis

ung von folgender Form: 7 X
Pdp +0Odg + Ride tet. =o - |

und dies iſt die allgemeine Formel für das Gleichgewicht eines gewiſſen

j} 2 das

Edyſtems von Kräften, Wir wollen jedes Glied dieſer Formel als Pdp

—

Biefem Priricip gemacht hat, ba es doch ſcheint, d

Sn. &

das Moment von ber Kraft P nennen, und dies Mort alſo in ber Be⸗
deritung nehmen. weldye iym Galilaͤus beygelegt hat, naͤmlich ald das

—II— 00— 17

Produkt aus der Kraft in das Beſtreben nach Geſchwindigkeit, fo daß
. das Gleichgewicht ftatt finden wird, wenn die Summe aller Momente
dieſer Kräfte = 0 ſey⸗ wird. Fe

3) Bey der Anis ..ıbung dieſer Formel wird alle Schwierigkelt dahin

hinauslaufen,. die Werthe der Differentialien dp, dq, di, etc. der Natur
des gegebenen Syftems gemäß zu beflimmen,

Wir wollen in diefer Abſicht das Syſtem in 2 verſchiedenen aber uns

Ausdruͤckungen für die befagten Differentialien fuchen, indem wir fo viele
unbeſtimmte Größen in biefelben einführen wollen, als willführliche Ele⸗
mente durch die Variation der Stellung des Syſtems entflanden find;

wir wollen hierauf dieſe Ausdruͤckungen von dp, dq, dr, etc. in Die gegebene

endlich nahen Stellungen betrachten, und foviel als möglich allgemeine

Gleichung fubftituiren und diefe Gleichung muß unabhängig von allen den '

unbeftiinmten Größen flatt finden, damit das Gleichgewicht des Softems .
Rberall ımd in allem Betracht ftatt finde. Mir werden daher bie Sumine,

ber Glieder, worin’ fid) diefelben unbeſtimuten Größen befinden, jede
befonderd = 0 feßen und dadurch fo viele beſondere Gleichuugen bekom⸗
men, -ald unbefiimnte Größen find; es iſt aber nicht ſchwer fich davon
zu überzeugen, daß Ihre Anzahl allezeit der Anzahl der unbekannten Größen
gleich ſeyn muß, bie ben der Stellung des Soſtems ſich eingemiſcht has

ben; wir befommen daher durch diefe Methode fo viel Gleichungen als

noͤthig find, den Zuftand des Gleichgewichts des Syſtems zu beſtimmen.

Auf dieſe Art ſind alle Schriftſteller verfahren, die bis auf unſre |

Zeiten den Gag bes Beſtrebens nach Geſchwindigkeit zur Aufloͤſung ſtati⸗
fer Aufgaben angewandt haben; aber diefe Methode biefes Princip aus

zuwenden, erfodert genmetrifche Zeichnungen und Betrachtungen, die bie

Aufiöfungen eben fo lang madyen, ald wenn. man fie von den gewöhnlichen

ſtatiſchen Grunbfäßen herleitete; und dies war Vieleicht der Voruchmfe

Grund, ber verhinderte, dag man nicht. in allen Fällen Gebrand vor
| aß man ed wegen feiner

Einfähkeit und Allgemeinheit hätte —— muͤſſen.

4) Die.

%
N

4) Die Kräfte P, Q,R, ete. die auf — Koͤrper oder e Punkte
des Syftems würken, mögen auch beſchaffen ſeyn wie man will; ſo iſt
klar, daß man ihre Wuͤrkungen immer nach Punkten, die in den Rich⸗
tungen der Kraͤfte ſelbſt liegen, und die wir Centra der ra nennen
— ‚, annehmen Tonne,

as ”
18 — —
ı vr

Um alfo die Linien P» qr, ete: zs-erhalten, die die Richtungen der

. Kräfte P,Q,R, etc. ausdrücken, .hat man nur bie geradlinigten Entfernuns
gen zwiſchen ben Koͤrpern oder Punkten, worauf die Kraͤfte wuͤrken, und
den Mittelpunkten dieſer Kraͤfte zu nehmen. Dieſe Mittelpunkte aber

koͤnnen entweder auſſerhalb des Syſtems liegen oder einen Theil: davon

‚ausmachen. Sm erftern Falle ift deutlich, daß bie Differentialien 8
de, ete die geſammten Variationen der Linien p, qer, ete, die durch die
aͤnderung der Stellung des Syſtems bewuͤrkt worden ſind, ——
‚fie ſind folglich die vollſtaͤndigen Differentialien ber Größen p, q, r, etc,
. wenn man alle Größen, die Beziehung auf die Stellung des Syſtems
haben, als veränderlih, und alle diejenigen die Beziehung auf die Stel⸗

lung der verſchiedenen Mittelpunkte der Kräfte haben, als beſtaͤndig

anſieht.

Im andern Falle ſind einige der Koͤrper des Syſtems ſelbſt die Mit⸗
telpunkte der Kraͤfte, die auf andere Koͤrper deſſelben Syſtems wuͤrken,
und weil Wuͤrkung ſtets der Gegenwuͤrkung gleich iſt; ſo werden dieſe
letztern Koͤrper zu gleicher Zeit die Mittelpunkte der Am ſeyn, bie auf
die erſtern wuͤrken.

Betrachten wir daher 2 Koͤrper, bie auf elnander mit einer gewiſſen
Kraft P wuͤrken, ed mag nun dieſe Kraft die Anziehung oder Zuruͤckſto⸗
ſung dieſer Cörper oder die zwiſchen ihnen ſtatt findende Elaſticitaͤt ober
etwas anders zur Urſache haben, und iſt p die Diſtanz zwiſchen dieſen
beiden Körpern, dp’ die Variation dieſer Diſtanz iu fo fern fie von der
Veränderung bed Orts eines dieſer Körper abhängt; fo ift Klar, daß
man in Beziehung auf biefen Körper P dp' für das Moment der Kraft P
- bat; eben fo wenn man durch dp” die Variation derſelben Diftanz-p , du fo

fern fie von der Veränderung be Orts ded andern Körpers entfpringt,
bezeichnet; fo hat ınan Pdp" für dad Moinent von P in Weziehung auf bies
| . “ | ne are fen .

—

ken andern — das ganze Mement, das zu biefer Kraft gehört,

Kann alfo durch P(dp’ + dp") ausgedruͤckt werden; aber man fi eht leicht,

"daß dp’ + dp” das vollftändige Differential von pi ift, weldes wir durch

dp an , weil bie Diftanz p nur durch bie Veränderung bed Orts
der beiden Körper eine Variation erleiden kann; Pdp wird alfo das vor⸗
gegebene Moment ausdruͤcken; man kann dieſe Zul anf fo viel Koͤr⸗
per als man nur will erſtrecken.

5) Hieraus folgt, daß, um die Summe der Momente aller
Kräfte eines gegebenen Syſtems zu erhalten, man jede ber Kräfte, bie
auf die verfhiedenen Körper oder Punkte des Syſtems wuͤrken, befons
derö zu betrachten hat, und daß man bie Summe ber Producte biefer
verſchiedenen Kräfte, jede durch das Differential der reſpektiven Diftanz

zwiſchen den beiden Grenzen jeder Kraft d. h. zwiſchen dem Punkt, wors

auf diefe Kraft würft, und dem, wovon fie ausgeht multiplichrt, nehmen
müfle, indem man bey diefen Differentialien alle Größen ald veraͤnderlich
anfieht, die von der Stellung bes Syftemd abhängen, und als beftänbig
alle diejenigen, die ſich auf die Auffere Punkte oder Mittelpunfte beziehen,
d, h. Indem man diefe Punkte ald feſt betrachtet, wahrend dem daß die
Stellung des Syſtems eine Variation erleidet. Setzt man biefe Größe
nun == 0; fo erhält man bie allgemeine —— fuͤr's Princip des

Gleichgewichts.

6) Um dieſe Groͤße analytiſch auszudruͤcken; ſo iſt die einfachſte

u Methode, die fich darbiether, die, die Stellung aller Punkte des gegebes

nen Syſtems auf ER Eoordinaten, die dreien rg aa

- fegen, zu beziehen.

Bir bezeichnen durch a, b, c, bie Coorbinaten für die Mittelpuntte
ber Kraͤfte; man fieht alsdenn ieicht „daß die Diſtanzen p, q, r, etc allge
mein durch Folgende Formel ausgedruͤckt werden koͤnnen
| rn [a-9’ + Br * Bee

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&
* s x *
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wo- bie Größen ß, b c entweber befländig End, ober fern wenigſtens als
folche angefehen werben müffen, während bein daß x,y,z varüren in dem,

Falle wo fie ſich auf fefte — des Soſtemo befindliche Punkte bs .

jiehen; aber diefe Größen =, b, c, werben x” etc y” et 2" etc. und folg⸗
lich veraͤnderlich in dem Falle, wo. die Kräfte un _ ber Körper *

Soyſtems ſelbſt ausgehen.
Hat man auf dieſe Art die Ausdruͤckungen der endlichen Großen

P p. q. etc in befannten Funktienen der Coordinaten der verfchiedenen Körs

per des Syſtems; fo hat man nur nöthig auf die gewöhnliche Art zu Difs
ferentfiren indem man dieſe Coordinaten als beränderlid) annimmt, and
auf diefe Art erhält man die gefuchten Werthe ber Differentialien dp, dq
dr eteʒ die in der allgemeiien Formel des Sleihgewigits vorlommen.

Ohnerachtet man aber jederzeit bie Kräfte P, Q,R, ers als — ge⸗
weiſſen gegebenen Mittelpunkten wuͤrkend anſehen kann; fo gehoͤrt
doch die Betrachtung dieſer Mittelpunkte eigentlich nicht zur Aufgabe ſelbſt,
woriu man gemeiniglich nur bie Größe und Direktion jeder Kraft als ges
geben annimmt; das folgende wird allgemeinere Methoden enthalten, bie

Differentialien dp, dq, dr, etc anspiirhden, |

| 2) Nimmt man zuerft an, was jeberzeit erlaubt if, daß bie en
P auf — feſten Mittelpunkte wuͤrke; fp —— man

e5 .)’ + (vb)? * + (1%
and wenn man —— ohne ⸗, b, c als veranderlich anne

— — IE Aa — + dz.
— p Po. eh

—b
Man fieht aber leicht, daß —— —— ur I gihts anders find

als die Coſinus der Winkel, bie bie * p mit den — x,y,2 il
det. —— man alſo allgemein a, ß, y die Winkel, die die Direktion der
Kraft

— — 1 ro *

* -- m 52 — &
. : j gr 7 !
2 =
1

I 21
Gr Ri den fon, be cn fen erkenne ad

fo bet man = — Col «,

DD ase
pP

— | | x . F

p
folglich dp = == Col « dx Col Ady 4 Cof y de.

Und eben fo kann man die andern Differentialien dq, dr, etc aus⸗
druͤcken.

An Anfehung der Winkel a, 4, vift erfilich zu bemerken; daß Col? a

+ Col?8 + Col?y== 1, welches kicht aus ben porberachenden Fors _
melnzu erſehen ift; zweitens, daß, wenn man s ben Winkel nennt ben

die Projektlon der Ente p auf der Ebene der x und y mit der aafe ber x

. man bat
x — ⸗ Cl. |
*
— a UNE j Be —
wenn mann = (x —.)? n(y— b)? ſett; ſetzt man num flattx —e,
"y—b ihre Werthe p Cola, p Col 8 fo hat man ;
„=—pY (Col?« .=Cof?) u ur

= pv(1— Col?)
(weil nehmlich ee 1, 2.)
— 7—— fin y,

SLOT ORERNERERN ER — * ſio⸗ folglich

j bat man, wenn man'ben eben gefundenen Werth von = fubftituirt:
= s € |

x —a—pfinyCols

⸗

y— — fin’y ſin⸗ M.)
— — fin y fin s

daher _— — for Col s |
folglich Cof = (= _ 5 2

— b
— M.) = finy Ga a

p
M.) = finy Cols

Cof 8 (=

8) Ich erwäge hierauf, daß weil dp ben Heinen Raum ausdrückt,
ben der Körper vder Punkt, worauf bie Kraft P angebracht ift, nach ber
Direktion diefer Kraft durchlauft, diefer Punkt fih nur in ſenkrechten Dis
reftionen auf die diefer Kraft bewegen könne, wenn dp == 0. Folglich
ift dp = 0 bie Differentiaigleihung für eine Oberfläche, worauf die Dis
rektion der Kraft P ſenkrecht iſt. Ä J

Nehmen wir nun uͤberhaupt an, die Kraft P wuͤrke ſenkrecht auf eine
durch die Differentialgleichung da = 0 ausgedruͤckte Oberflaͤche, es mag.
nun du eine complette Differeuttalgröße ſeyn oder nicht; fo muß dieſe Gleis
chung mit der dp = 0 einerley feyn, und man hat nothmendig du — Vdp,
wo V eine enbliche Funktion der Coorbinaten x, y, z iſt. Um nun diefe
Funktion zu finden; fo hat man unr nöthig anzumerken, daß weil

- dp = Coladx 4 Cof8dy „ Coly dz (7)
und Col?« 2 Col?3 2 Coly —=t . —
man nad) ben bekannten Begriffen der partiellen Differentialien hat:

— ———
La >E CE
mr | +G@) +]
re

dp —

und

v. du < 2 duN® /dun2,
rD+n +]

Auf.

— 23
- Auf gleiche Art aid‘ man bie Werthe ber andern Differentialien dq
dr, stc. nach den Differentialgleichungen der Oberflächen, worauf bie Dis -

rektionen der Kräfte Q,R,etc. ſenkrecht find, beftimmen Eönnen.

9) Sind nun die Differentialten dp, d 4 dr, etc. in Differential
Funktionen der Coordinaten ber verfchledenen Körper bes Syſtems aus⸗
gedrüdt; fo braucht man fie nur in der aNgEMEINER Formel.

Pdp + Odq 4 Rdr 2 et —= 0°

zu fubflitniren und hierauf diefe Gleichung fo allgemein als moglch jedoch
unabhaͤngig von den Differentialien, die fie enthaͤlt, complettiren. Iſt

—

alſo das Syſtem voͤllig frey und findet folglich keine Verbindung zwiſchen

ben Soordinaten der verſchiedenen Körper, und daher auch nicht zwiſchen
ihren Differentialien ſtatt; ſo mußte man nnabhaͤngig von dieſen Differen⸗

tialien der vorhergehenden Gleichung ein Genuͤge leiſten, und daher die

Summe aller Glieder, die durch jede derſelben multiplicirt ſind, allemal
— o ſetzen; dies giebt denn ſo viele Gleichungen als veraͤnderliche Coor⸗
dinaten vorhanden ſind, und folglich ſo viele als noͤthig ſind alle dieſe
veraͤnderliche Groͤßen zu beſtimmen, und mit Huͤlfe derſelben die Lage des
ganzen Syſtems im Zuſtande des Gleichgewichts kennen zu lernen.

10) Iſt aber die Natur des Syſtems ſo beſchaffen, daß die Koͤrper

‚iu ihren Bewegungen befondern Bedingungen unterworfen find; fo mußte

man damit ben Anfang machen, bag man biefe Bebingungen dur anas
Intifche Gleichungen ausbrüdte, bie wir VBedingungsgleihungen nennen
wollen; und died ift allezeit leicht. Mußten 3. B. einige Körper ſich auf ges
gebenen Linien oder Oberflächen bewegen; fo hätte man zwifchen ben Coor⸗
dinaten biefer Körper die Gleichungen der gegebenen Linien ober Dberfläs .
chen felbft. Wären 2 Körper dergeflalt wit einander _derbunben, daß fie _
ſich allezeit in dergleichen Diftanz K von. einander, befinden mäßten; fo

en. man augenſcheinlich die Gleichung

— (x! — - x)? + ' — ER " (z’ — 200*
und weg.
Hat man die STRENGE auf dieſe Art gefunben; fo muß

man ——— derſelben ſo viele Deren allen ald —— in den —
| en uns

214 En —

druͤckungen von dp, dq, dr, etd. wegſchaffen, fo daß die übrig bleibenden.

Differentialten völlig unabhängig von einander feyen, nnd. nur das wills
kuͤhrliche bey der Veränderung der lage des Syſtems ausdruͤcken. Da
‚ nun bie allgemeine Formel bed Gleichgewichts ftatt finden muß, biefe Vers.
&uderung mag auch befhaffen feyn, ‚wie fie will; fo muß man die Summe .
'aller Glieder, worin jede der unbeftiinmten Differentialten vorkommt, als
mal — 'o feßen; und daraus werben dann fo viele befondere Gleichungen -
entftehen, als folder Differentialten vorhanden find; dieſe Gleichungen
aun derbunden mit den gegebenen Bedingungsgleichungen fchließen alle zur
Beſtimmung des Zuftandes bed Gleichgewichts bes Syſtems nöthige Be⸗
dingungen in fi} ein; denn ed ift leicht zu begreiffen, daß alle dieſe Glei⸗
chungen immer von gleicher Zahl mit den verfchiebenen veränderlichen Grös
ßen feyn werben, die allen Rörpern bes Syſtems zu Coordinaten dienen,
und fie reichen alfo hinlaͤnglich dazu him, jebe dieſer veraͤnderlichen Größen
zu Beflimmen. |

11) Haben wir übrigens die Drte ber Körper immer durch rechts.
winklichte Coordinaten beflimmt, fo iſt dies blos deswegen gefchehen, weil '.
dadurch der Calkul überaus einfach und leicht wird; man kann aber fih
eben ſowohl anderer bei der vorhergehenden Methode bedienen; denn es
tft klar, daß und nichts zwingt chr vechtwinklichte Coordinaten anzuneh⸗
nen al& andere Linien oder Größen, die auf die Drte der Körper Bezie⸗
buug haben. So könnte man flatt der beiden Coorbinaten x,y, wenn
es bie Umſtaͤnde heifchten, einen Radius s Vektor pp — Y (x? + y?)

and einen Winkel @ gebrauchen, beffen Zangente —.1 fey, (welches
s v

x — oe Col ©, y == p fin P gäbe); bie zte Coordinate z Könnte man
fo laſſen wie fie vorhin war; oder vielmehr man koͤnnte einen Radius
Vektor p = (x + y? + 2?) mit 2 Winkeln pP und Y gebrans

F bat — ——

chen, ſe aß tang ꝙ a, tang y == vorm, welches er
x — pColy Cofp, y—pColyfap, z —p ſin oder au
andere Winkel und Enten, |

Wir

age 25
[2 ‘

i Wir benerden noch, daß da eigentlich nur die Betrachtung ber Diffes
ventlalien dx, dy, dz in unferer Methode vorkommt, ed erlaubt ift, an Hure
Stelle andere Differentials Auspräcde, fie mögen nan an fich integrabel
— oder nicht, und ohne allen Bezug auf die Werthe von xyz, einzu⸗
fuͤhren. | u

Dritter Abſchnitt.

Algemeine aus der vorhergehenden Formel hergeleitete Eigenſchaf—
ten des Gleichgewichts.

—

1) Wi wollen nun ein Syſtem oder eine gewiſſe Menge von Koͤr⸗
pern oder Punkten betrachten, die indem fie von gewiſſen Kräften gezogen
werden, einander gegenfeitig das Gleichgewicht halten. Hoͤrte in einem
Angenblid die Würkung biefer Kräfte aufgehoben zu werben, aufs fü
wuͤrde dad Syften anfangen fid) zu bewegen, und bie Bewegung beffelben
mag auch befchaffen feyn, wie fie will; fo kann man fie fiä) doch- allezeit
als zufammengefeßt vorftellen, 1) aus einer allen Körpern gemeinfcyafts -
‘ lichen fortrückenden Bewegung =) aus einer brehendem Vewegung um einen’ -
gewiſſen Punkt *) 3) aus Bewegungen, bie ſich auf die einzelnen Körper
nur beziehen, und wodurd; ihre gegenfeitige Sage und Diftanz verändert
‚Bed. Soll alſo ein Gleichgewicht ftatt finden, fo müffen die Körper
Leine diefer verfchlederen Bewegungen annehmen koͤmen. Nun ift Har,
dag bie eigenen relativen Bewegungen von der Art abhängen, wie bie Körs
- per gegen einander eine gewiſſe Lage haben; folglich müflen die zur Hinde⸗

| u “rung

6 Der fortrüctenden Bewegung (mouvement de tranflation); fleht Hier bie
drehende Bewegung (mouvement de rotation) entgegen ; weder für die sine
noch für die andere hat man im deutſchen uͤberall eingeführse Benennungen ;
die gegenwärtigen fcbienen mir Die Same noch am beften auszudrücken, -

m,
D —

26 ° — v
rung dieſer Bewegungen noͤthige Bedingungen, bei jedem Syſtem beſon⸗
ders ſeyn. Aber die ſortruͤckende und drehende Bewegungen brauchen
nicht von ber Form bes Syſtems abzuhaͤngen, und fie koͤnnen vor ſich ge⸗
hen, ohne daß die lage gegenſeitige Verbindung ber Körper aufgeho⸗
ben wird.

⸗

Die — dieſer beiden Arten von Bewegungen muß alſo die
allgemeinen Bedingungen oder Eigenſchaften des Gleichgewichts vera
und in diefe Unterfuchung wollen wir uns jeßt einlaffen.

2) Es ſey baher eine gewiſſe Zahl don Koͤrpern, die man als Punkte
betrachten kaun, und die auf eine beliebige Art geordnet, und mit einan⸗
der verbunden find, geſetzt, fie wuͤrden durch die Kraͤfte P, P’, P’ erc,
nach den Direktionen der tinten p p* p‘’ etc. gezogen; fo hat man Wach
dem vorhergehenden Abſchnitt) für das EIER ia ee bie
Formel:

Pdp + P’dp’ + P dp” u etc, = 0
Es feyen x, y, z bie rechtwinklichten Coordinaten bed durch die Kraft
P gezogenen Punkte, x’, y’, z’ die des durch die Kraft P’/ gezogenen Punkte

und fo weiter; und ed feyen dieſe Coorbinaten alle dreien- a Achſen pa⸗
rallel, und haben i in einem Punkte ihren Anfang,

Es feyen ferner «, ß, ydle Winkel, die die Linie p oder bie Direktion
der Kraft P/, mir den Achſen, der x, y,z macht, «“, 8°, y' die Winkel,
bie bie Direktion ber Kraft P’/ mit eben dieſen Adyfen macht und fo weg;

Dean bekommt auf diefe Art (vorkerg. Abſchn. 7-)

: dp == Cola dx 2 Col dy 2 Coly dz,
dp! == Cola! dx! 2 Col 8 dy! 4 Cofy! dz’, etc,

dp‘ — Cof a dx’ 4 Coſ BU dyu Cof y da’,

aub für bie Formel für’s Gleichgewicht:

Eee.

Er ee 27
— 7 (Col a dx Cof 3 dy + Cofly_ dz)
- P’ (Cofa'! dx! + Col ß! dy! = Col y/ dz!)

: = + PU lCofa'' dx! Colßdyit + Cofyd da!

* etc,

- =

3) Wie wollen fegen, welches immer erlaubt iſt,
u, Mt Zxı4$' Mi -

yZytı "—Zyrr!
!" —Zzr; U — 2 * y
" s etc.
fo wird aus der vorhergehenden Formel, wenn man alle dieſe Werthe:
ſubſtituirt:

F ee (PCof al 2 Pi Cofal + PU Cof al u etc.) dx
_ + (PCof 8 + P’ Col Al PM Col! + etc.) dy
E + (P Cofy «+ P/ Cofy! + PM Colylt + etc.) dz
+ P! (Cof a': d£ + Cof B' dan + Coly’ d3) |
. + PU (Cofall del 2 Cof B4 dyt 2 Cofyl! dyN)
“etc. |

! Nun find x,y, z bie freyen Eoorbinaten bes durch die Kraft P gezos
gmen Körpera, folglich werben £, 7, 8, &'. m', ete. bie relativen Coordi⸗
naten ber andern Koͤrper in Anfehung deſſen feyn, der al& ihr gemeins -
ſchaftlicher Aufang angenommen worden if, fo daß bie gegenfeltige Lage.
der Körper nur von diefen leztern Coorbinaten und keinesweges von ben
erſtern abhängen mird, Nimmt man daher das Syſtem als völlig frey
— an, d.h. nimmt man an, daß die Körper unter einander auf eine ges
wiſſe Art verbunden find, aber ohne daß fie von gewiſſen feften Unter⸗
ſtuͤtzungspunkten ober geriffen äußeren Hindernißen zurückgehalten ober
aufgehalten werden; fo ift leicht einzufehen, daß bie von der Natur bes
Soſtems herkommenden Bedingungen u die Größen &,2, 2, 8, 4/2, etc.
/ 9 und

28 : u

und — bi⸗ &rößen x, y, 2, angehen koͤnnen, beren Diffesentins
lien folglich unabhängig und unbeffimmt bleiben, |

Manımuß daher in. bey Lorhergehenden, Glethuug iebe der Glieder,
worin dx, dy. dz, vorkommt, beſonders = o ſetzen, ud hieraus ent⸗
ſtehen die 2 folgenden befonbern Gleichungen:

| P Cola + P/ Cof a! „+ P! Coſ .p'etc, zum 0
BColB + FColp' + PiColp" eco
PCofy + P! Col. y! PU Col y!. ete. O0
welche Immer beim Gleichgewicht eines feenen Soſtems flatt finden muͤſſen.

Dies .find alfo bie zur ——— der ———— Bewegung nörtige
Gleichungen.

4) Wären ‚bie Kräfte P, P/, Pi, etc. parallel; fo hätte men
æ mm al. a! etc.
— er 8" un: A4 etc.
und die 3 ——— Steigungen verwandelten ſich in dieſe:
‚B+ PI PEA etc. som 0
melche zeigt, daß bie Summe ber parallelen Kräfte — 0 fepn mößte,
Ueberhaupt iſt leicht einzufchen , baß, wenn P die .gange Wuͤrkung
ber. Kraft P nach ihrer dguen Direktion anzeigt, P Col a die relative Würs
kung ausdrücen wird, bie nach ber Direktion der Achſe Der x geſchaͤzt
wird, bie mit ber Direktion der Kraft ben Winkel a macht; eben. fo find

P Col. 8 und P Col y die zelativen Wuͤrkungen chen dieſer Kraft nach den
Direktionen der Achſen von y und. ⁊ gefhägt u. ſ. w. |

Und bierans entfpringt dann der Lehrſatz: Beim Gleich ewicht Pur
freyen Syſtems muß die Summe der Kräfte, die nad) ber Direktion ber
drei auf einander ſenkrechten Achfen er werben, in Anfehung jeder
m ae — 0 ſeyn. |

5) Mir

— ⸗⸗ 29
) Wir wollen nun, welches immer geſchehen kann, statt. ber , Coon
dinaten x, y. x, y“, xu, yu ec, die Radios Vektores p, p/, ete.
wit den Winkeln O, 9’, ꝙ ete., bie dieſe Radien mit. der uli ee
En: annuehmen; fo haben wir wieber
EURE x! == p! Col
== ep fin pP y ſiu «.
Folgt dx — Col de — y dp
dy — Sfanpd + x dp
dx’ — Col! dp! — y do!
dy’ — Ren + x! dp!
etc.

und die Gleichung 8* wird nun in bolgende durch dieſe Subſtitutionen |

verwandelt:

o — P(x Cola — y.Cof«) dp
uP/ (xt Col! — y’ Cola!) dp Ä FE
pr Pix Cofß!! — y’' dp
ee

+ PlCcof® Cola + fin 9 Col 8) %

“+ P/(Colp! Cof a! + finp!.Cof N) dp!

- 4 PlColp" Cola!’ 4 fin ꝙ Col 8") dp!
* etc. |
+ RB Coly day P Cocꝙ dat Pi Cafe —* + ei

Macht man mun PM. Oo

QI—ZO He

etc.

fe r offenbar, daß ⸗ o’ etc. bie Winkel ſeyn werden, bie die Rabien ⸗

p‘, p, etc. mit dem Radius p machen; folglich werben die Diſtanzen ber

Körper ſowobl unter einander, als = Beziehung auf die Fläche ber “7
< 3

. h

30 oo. —

und auf den Punkt, ber ber Anfang der Koordinaten iſt, nur don den Groͤ⸗
Ben p, pf. p!!, etc. o,0', etc. z, z', ⁊, ete. abhängen. Hat daher das Syftem
Die Freyheit um dieſen Punkt ſich zu drehen, der Ebene derxy paralleld. h.

um die Uchfe der z, die auf dieſer Ebene ſenkrecht ſteht; fo wird ber Wins
+ Bel 9 unbeflimmt, und die Differentialgröße dp willlührlich fen. Hier⸗

aus folgt alſo, daß das Glied, worin dp in der vorhergehenden Gleis
hung vorfömmt, an und für fih = 0 ſeyn muß.
5) Auf diefe Axt entſteht alfo die Gleichung:
P(xCofß — y Cofa) -r P! (x! Col 8‘ — y! Cofa!)

+ P/ (x! Cofß!! — y!l Col a!) «m etc. == 0,
welche beim Gleichgewicht jebes Syſtems, das bie Freyheit hat ſich um
bie Achſe ber z zu drehen, ſtatt finden muß.

Auf eben bie Art finder man in Beziehung auf die Achſe der y,
‚wenn das Syſtem die Freyheit hat, fi um dieſe Achfe zu Drehen, die
Gleichung:

P(xX Coſy — 2 Cole) HP’ (x! Col y'— z! Cola’)
> PX (x Coly!! — z'! Cola!) + etc, == 0
and in Beziehung auf bie Uhfedrx °
P(yColy—z Col 8) --P’/(y‘ Cof y! — z’Cof 8‘).
>> Pl (yl Coly!! — z'! Cof 8") + etc —= 0.

Hat alfo das Syſtem bie Freyheit ſich um jede dieſer drey Achſen zu

bewegen; ſo muͤſſen fuͤr's Gleichgewicht dieſe 3 EEE zugleich ftatt.

finden,

Segt man in ber Größe x Col’ — y Cola, welche mit der Kraft
P in der erſten Gleichung mulliplicirt iſt, für Cola, Cof ß ihre Werthe
fay Col s, fin y fins (2 Abſchn. $ 7.)5 fo bekommt man

(iny xlns— yCols); welches fid in

efiny fin (s — 9) verwandelt, wenn man wieder für x und y ihre

Werthe p Cof 9 p fin 9 ua
Nun

— —

— 2
* J
— — a 32*
|
|

| | *
‚Nun aber tft ⸗ der Winkel, den die Projektion der Kraft Paufber
| Ebene ber x und y mit der Achſe der x macht und P ber Winkel, ben der
| Radius Vektor p mit eben biefer Achſe macht. "Folglich ift a — der
| Winkel, “den die eben genannte Projektion. mit diefem Radius Weltor -
| madıt; und daher wirb p fin (s— 9) bie ſenkrechte Linie feyn , die vom
| F Mittelpunkt der Radien pan Die auf ber Ebene der x y projichrte Direktion -.
der Kraft gezogen iſt; d. h. überhaupt die ſenkrechte Linie, die von der Achſe
der z (die ſelbſt ſenkrecht auf den Radlus p iſt) zur Direktion biefer Kraft
gezogen worden ifl. Nennt man-alfo x biefe ſenkrechte Linie fo hat man
xCld— yCofa=—rfiny *
und anf eine aͤhnliche Form koͤnnte man bie analogen Größen bringen,

die -in den 3 vorhergehenden Öleihungen mit P P’ P4 etc, multiplis
cdirt find, u Ze er |

| 7) Kat das Syſtem die Freyheit fich auf jede Art um einem Punkt
zu drehen; fo Fönute man zweifeln, ob es hinlänglich fey, nur die Rotas-
tiouen um bie Z durch biefen Punkt gehenden ſenkrechten Achſen zu betrach⸗
ten, und ob, wenn dieſe 3 Rotationen verhindert würden, Feine andere
Rotation mehe um denfelben Punkt flatt finden Eönne? — |

Um biefen Zweifel zu benehmen, fo erwäge ic, daß, wenn man
wie oben x — pColp, . | er
y_ p fin OD,
> — p’ Cof p,
y— p' fin 9,
ete. u Ben: De
fegt und nur bie Winkel 9 H’etc. als veraͤnderlich annimmt, man erhaͤlt
‚dx=—ydo, . dy=xdp, = |
dx =— y’d9, dy'=x/dp, etc,
and dies find bie Variationen von x, y, x‘, y ete. in Anfehung der
i elementariſchen Rotation dp des Syſtems um bie Achſe der z,
Er 7

i
on

ur
ce
|
32 — —
|

Auf gleiche Art bekommt man die Varlationen von y, z, y’, ZU, etc.

welche durch die dlementarifge Notation dp um die Achſe der x entfichen,
‚indem man nur in ben vorhergehenden Formeln x, y, x’, y etc. in yı 2,
2 erc. und do in dp verwandelt; dies giebt

dy= = — zdy,. dz= ydy,

dy/—zidy, dei ya

etc, Ä
Verwandelt man endlich in dieſen letztern — y, 2, y, ⁊ etc.

in z, x, z’,x’ etc. und di in dw; fo bekommt man die Variationen, bie
‚aus ber elementartfihen Rotation dw um bie — der y entſpringen;

dieſe ſind
— xsiw dx — dyu, = P
dd ——xdw, dt mzidw, ı |
etc. |

Setzt man nun, daß die 3 elementariſchen Rotationen dQ, Ay, av |

zugleich ftdtt haben; fo werben bie gauzen Variationen ber Coordinaten
X, Yı 2, x, y’, z', etc. nad ben Gruͤndlehren des Differentialcalkuls
der Summe der einzelen Variationen, die aus jeder biefer Rotationen

entfprungen find, gleich feyn, fo daß man ae wirb:

dx — zdw — ydp,
dy — xdp — zdy,
de —ydy — xdw,

dx’ — z/dw! — y’dp', .-

dy! — — xtdg! —&

de — y'Wyl — ze

etc. Ä

8) Ich bemerke bier, daß wenn bie Coordinaten x y 2 eines gewiſ⸗

ſen Punkis des Syſtems, den Groͤßen dp dw d@ proportional wären,
die Varlationen dx, dy, dz == o. ſeyn wuͤrden wie man dies aus den

eben

z | —. 33

in gefundenen Formehu leicht erſieht. Alle Dante — bie zu biefen
Coordinaten gehörten, würben in dem Augenblick, daß dad Syſtem bie
3 Winfel dp, do, do befchricbe, indem es ſich um die Achſen der y,

drehte, unbeweglich ſeyn.
* Man ſieht aber leicht, daß alle dieſe Punkte in einer geraden Linie

feyn müffen, die durch den Anfang der Coorbinaten geht, unb man bes
greift leicht, daß diefe gerabe Linie mis ben Achſen der x, y, x Winfel mas
chen wird, deren ee

—W dw | a
ya + dar ndp®)’ Y (dY?-r de? Er |
I

AP FIRE 89%) |
ſeyn werden; dieſe gerade Linie wird alſo in eben dieſem Augenblick un⸗

beweglich ſeyn, und die Bewegung des Syſtems Tann nur eine einfache

drehende Bewegung um eben diefe Linie feyn, die wir eben beöwegen bi

mormentanifche Umdrehungsachſe (axe ———— de a) nennen

werben.

Um den durch dieſe Rotation — Winkel zu erhalten; ſo
erroäge man, daß c(dxꝰ 4 dy? + dz*) überhaupt das Element des
burch einen gewiſſen zu den Coordinaten x, y. 2 gehoͤrigen Punkt beſchrie⸗
denen Raumes ausdruͤckt. Subſtituirt man nun die Werthe von dx, dy,
dz, bie wir oben gefunden haben, fo erhält man

dx? dyꝰ + dz? = (zdo — ydp)2 4
(zip — zdy)?. + (ydy — xdw)?
== (x? + y? 422) (dp? + dw? ++ dp?)
— — ++ ydo +1dp)?

Auf einer Seite iſt es leicht — die a zu beweifen,
daß xy + yda + 2d® = 0 eine Gleichung für eine Durch der Aufaug
ber Coordiuaten gehenden Ebene y. ‚ bie ZH anf die gerade Zinie >

en |

—

—4 * “
2 ⸗
*

2 — —

34 u — |
| — J
in Anfehung deren die Coordinaten ben gegebenen Größen dy, da, dp

* proportional find, d. h. die momentaniſche Umdrehungsachſe, wenn man

durch x, y, z immer die Coordinaten andentet. Der durch einen gewiſſen

Punkt eben dieſer Ebene beſchriebene elementasifhe Raum wird daher

dur UV (x” + y?-r 2?) + UV (dp? + da? + dp?:; ausgedruͤckt wer⸗

den; und da UV (x? ++ y? ++ z?) bie Diftanz biefed Punkte von Anfange .

der Coordinaten ft, wo bie Ebene und die momentanifhe Umdrehungss

achſe ſich unter rechten Winkeln ſchneiden; fo folgt daraus, daß V’(dıp?

- + do? ++ d@?) der elementarifche Rotationswinkel um dieſe Achfe in Uns

fehung der einzelen Umdrehungen dy, dv, dp um die Achſen ber Coor⸗
dinaten X, Ys Z, feyn wird:

9) Hieraus muß man den allgemeinen Schluß ziehen daß gewiffe
Drehungen dY, do, dp, um bie drei Achfen, bie fi) fenfrecht in einem Punkte
Schneiden, ſich in eine einzige da — V (dy? + dw? + do?) um eine Achfe -
zerlegen laffen, die durch eben dieſen Durchſchnittspunkt gehen, und mit jenen
| d - de
die Winkel A, z, v bergeftalt machen, daß Cof. A - ‚ Ccle= F.

d —
Col», = re ‚ und dag umgekehrt eine Umdrehung dY um eine gegebene
N Achſe in 3 einzele Umdrehungen zerlegt werden kann, die durch d9 Coſa,

d3 Col a, do Col» ausgedruͤckt werden koͤnnen, um bie 3 Achſe

bie ſich fenfreht in einem gegebenen Punkte der Achfe fehneiden, und
mit ihr bie Winkel A, a, machen; dies giebt, wie man fieht, ein ſehr
einfaches Mittel an die Hand, die Umbdrehungs » Bewegungen zufanımens
zufeßen und zu zerlegen *). - e =

| to) Das

_*) Hr de la Grange beweißt bier alfo blos analptifch, daß wenn ein Gleich -
‚gewicht in Anſehung der Umdrehungs» Bewegung um 2 auf einander ſenk⸗
. rechte Achfen, die durch einen Yunft durchgehen, eintritt; daflelbe auch in
er | Anſehung einer jeden andern beliebigen Ychfe, weiche durch den gedachten
. Bunte durchgeht, flatt findet. : Es findet auch die Eigenichaft Key jedem
- Spfteme von Körpern flatt, daß es allegeit wenigſtens 3 Achſen gibt, wore -
um ed fi bewegen kann; eben fo wie dies zuerfi Hr. von Segner in ſei⸗
nem fpecimine theoriae turbinum (Halae 3755.) für geden Körper einzeln
Der 0

i — | 35

= Das Soſtem mag alſo eine Umdrehung um ein Punkt, welches
der Anfang der Coordinaten ift, haben, melde es will; fo kann man fie
doc) allezeit auf drei dy, do, dp um die drei Achfen ber Koordinaten x, y,
£ bringen, und die Variationen von allen Coordinaten x; y, z, x’, y/,
2‘. eto. ber verſchiedenen Körper des Syſtems, bie allein durch dieſe Uin—
drehungen erzeugt werben, koͤnnen allgemein durch die (7) ——— —
Formeln ausgedruͤckt werden. J

Subftituirt man daher nur r dieſe Werthe von dx, dy, de, dx’, dy’,
det, etc, in ber allgemeinen Formel für's Gleichgewicht (2); fo erhält
man bie non den Umdrehungen dy, do, dp, des Syſtems entflandenen
Werthe, und dba dirfe Umdrehungen völlig willführlih find, wenn das
"Epyfiem bie Freyheit hat, ſich nad) allen Seiten zu drehen; fo müßte in
dieſem Falle jedes ber Glieder, -worinn dv, do, do vorkommt, insbe⸗
fonvere — o ſeyn; und dies würde die (6) ſchon gefundenen 3 Gleichun⸗
‚gen ‘geben, bie aljo hinrelchend find alle Umdrehung bes Soſtems um.
‚ben Anfangopunkt der Coordinaten zu En

ır) Wis

entdeckt hat, welche Elgenſchaft in der Folge Hr. Euler in feiner theoria
motus corporum folicorum ſ u rıgidorum (Rottocksi et ür yphiswaldiae 176)
noch allgemeiner gemacht bat.

Die Verhaͤltniß der Umdrehungs Bewegungen, welche man zuſammen⸗
ſetzt, iſt aber willkuͤhrlich, wenn fie nicht durch eine beſondere Bedinaung
beſtimmt wird; die bier angeführte Methode die Umdrehungs Bewegun⸗e
gen sufammenzufegen und zu zerlegen aiedt alfo. an Allgemeinheit derjeni⸗
gen nichts nach, bie ſich auf die fortruͤckende Bewegungen bezieht.

Da den ſchoͤnen Beweis des Hrn de la Grange vom oblaen Satze eine
zuſchen, ſchon viele Kenniniße des Rulfuls erfodert werden; ſo verwerſe I
os die einen geometrifchen Geweis davon verlangen, auf des Kra.

von Prony Nouv. Archıt.& Hyıraulıq $ 1:4 nebfl.der Rote, wo man
ihn mit aller der’ Klarheit und Strenge vorgetragen und durch Figu⸗
en —** findet, als diefem Geometer in feinem ganzen Werke überhaupt
e gen I
3 m.

-
“
’ “

—

*
" * 7
-

36 | —
11) Wären alle die Kräfte e. P, pi, etc, varallel ein einandery
fo hätte man Ä
u al all ete.
BR == Pl = P!! etc.
yt!=t!d

und die eben genannten: 3 Gleichungen verwandelten fih in diefem alle
in folgende:
(Pxer Pixl.r Plxit.z etc.) Col 8B— (Py-+ P/y’-+ etc.) ee: 0
. (Px + Pix’ - Plxl — Colr - — (Pz + Pizt + PAͥ etc, )

Col « ——— 0
— — e/y⸗ ete.) — (Pa PEα etc.)
Col A *0

wovon die aie, eine Folge aud ben beiden erftern iſt. * es iſt
(2 Abſchn. 7 |

Coft« + Col? 4 4 Col? y— 1 =

. folglich Tann man durch dieſe Gleichungen die Winkel , 8, », etc. u |
men, Geßen wir daher um ber Kürze willen

Px-r P/x’ ++ PUxt! 2 etc, — L,
Py .Py PEYVA etc. — M,
ı Pz+ P’/z! + Plz nn etc, — N,

ſo findet man
| —— = —
Vd FM?rN?)
M |
— vr-õũ
N

Chr V.

Nun

/ s

. Nun ift die Lage der Körper in Anfehung dev 3 Achſen gegeben;
folglich muß, damit alle Umdrehungs : Bemegung bed Syſtems aufgehals
ten werbe, es in Anfehung der Direktion der Kräfte eine ſolche Lage haben,
daß diefelbe mit eben diefen Achfen die eben beftimmten Winkel a, 8, y
macht. ee u | J
12) Wären die Größen L,M,N === 0; fo blieben die Winkel
x, 8; y unbeſtimmt, und die Sage bed Syſtems in Unfehung ber Kräfte
kann gar fehr verfchieden ſeyn; hieraus erwaͤchſt denn folgender Lehrſatz:
Wenn die Summe ber Produkte der parallelen Kräfte in ihre Entfernuns
gen von dreien auf einander ſenkrechten Ebenen in Anfehung jeder dieſer
Ebenen — oft; fo wird bie Würkung ber Kräfte, um das Syſtem
am den gemeinfdyaftlihen Durchfchnitts » Punkt diefer Ebenen zu drehen,
aufgehuben. |

Bekanntlich wuͤrkt die Schwere vertikal und in Verhältniß der Maße; 2;
firht man daher in einem Syſteme von ſchweren Körpern einen Yunkt, ber .
fo befhaffenift, daß die Summe jeter Mage und der Entfernung von
der durch diefen Punkt gehenden Ebene in AUnfehung breyer auf einander
ſenkrechten Ebenen = o iſt; fo wird derſelbe auch die Eigenfchaft. haben,
daß die Schwere dem Syſtem Feine Umbdrehungsbeweguug um eben biefen
Punkt verfhaffen ann. Diefen Punkt nenut man den Schwerpunlt *),
und er iſt von einem ausgebreiteten Außen in der ganzen Mechanik. 2

Unm ihn zu beflimmen hat man nur die Entfernung deflelben von
dreien auf einander fenkrediten gegebenen Ebenen zu fuhen. Die Summe
der Produkte ber Maßen In ihre Entfernungen von einer.burch ben Schwers
punkt gehenden Ebene aber iſt — 0; folglidy wirb die Summe der Pros
j oo € 3 dukte
©) Er pflegt auch wohl Mittelpunkt der Schwere nach dem franzoͤſiſchen cenıre
- de gravite, auch Mittelpunkt ded Gleichgewichts, Bteichgewichtspunft ger
nannt zu werden. Wenn alfo der Körper und die Kräfte gegeben find; fo
muß man, am diefen Punkt zu finden, Drei auf einander fendrechre Ebenen,
der Tage nach als befannt annehmen, und alddann bermöge der Analyfiée
die Lage dreier anderer Ebenen,. die mit den erfiern parallel lanfen, und des
a — — Burchſchnitt den verlangten Schwerpunkt giebt, bes

“ 5 E
’
38 — —
* ’
A R N

dukte eben biefer Maßen in ihre Entfernungen von einer andern ber boris
gen parallelen Ebene nothwendig dem Produkte aller Maßen in die Ents
fernung des Schwerpunft8 von eben biefer Ebene gleich ſeyn, und man
erhält diefe Entfernung, wenn man die Summe der Produkte der Maßen
in ihre Entfernungen durch die Summe der Maßen ſelbſt bividirt, Hier⸗
aus entfpringen bie bekannten Sormeln für die Schwerpunkte der Linien,
‚ber Flächen und ber Körper,

! 13) Wir wollen jegt die maxima und minims in Betrachtung tee
bie beym Gleichgewicht ftatt — koͤnnen, und in dieſer Hinſicht bie all⸗
gemeine Formel

Pdp Qdq + Rdr 4 etc. 0,

fuͤr's Gleichgewicht zwifchen den nach ben Linien p, q, r, etc, wuͤrkenden
Kräften P, Q, R, etc. (3 Abſchn. 2) wieber vornehmen,

Man kan leicht annehmen, daß dieſe Kraͤfte fo beſchaffen ſeyen, daß
die Größe Pdp + 20q + Rdr + etc. eine vollkemmene Differentialgröße
einer Funktion p, q, r etc. ſey; brückt man biefe durch ® aus; - iſt —
do0o —=Pdp + Qdq-r Rdr + etc.

und man hat alsdann fuͤr's Gleichgewicht bie Gleichung dd — 0, woraus
man fieht, daß dad Syftem eine ſolche Lage haben muͤſſe, daß die Funk⸗
tion ® allgemein gevebet entweder ein maximum oder ein mininium ſey.

Ich fage mit Vorbedacht: allgemein geredet, denn man weiß, daß
wenn ‚eine Differentialgroͤße ZDo iſt; dies nicht Immer ein maxinrum oder
ein minimum andeute; wie man bie aus ber Theorie der krummen Lis

nien erfieht.

Die vorige Vorausſetzung hat allgemein flatt, bie Kräfte pP; Q, R,
etc. mögen nun würklich auf fefte Punkte würfen oder auf Körper deſſel⸗
ben Syſtems, wenn fie zugleich gewiſſen Funktionen der Entfernungen“
(2 vergl 54) BEP find, welches gemeiniglich in der Natur der
Fall iſt.

Bey dieſer Annahme ber Kräfte, wird alfo das Syſtem im Gleis
gewicht ſeyn, wenn x — ® ein maximum oder ein minmuum iſt ʒ

| as

— ah 39

und hierinn beſteht der Grundſatz, ben Kr. von Mlanpertuis unter dem
Namen bed Geſetzes der Ruhe bekannt gemacht hat, |

14) Betrachtet man nun ein Syſtem von ſchweren Körpern im
Gleichgewicht; fo werden bie Kräfte P,O.R etc. ,. die von der Schwere
herkommen, wie nir bereit wiffen; den Maßen ber Körper proportios
nal, folglich beftäntig feyn, und tie Entfernungen p, q, r etc, werben nach
dem Mittelpunkt ter Erbe gerichtet fey. In dieſem Falle hat man daher;

® — Pp + Qg + Rr + etc. |

und es wird folglich, da bie Linien p, q. r etc. als parallel augefchen wers
Den, bie Groͤße U

®
\ P+QHR LE.

die Entfernung des Schwerpunkts des ganzen Syſtems vom Mittelpunkt
ber Erde anzeigen; bie alſo entweder ein maximum ober: ein minimum
ſeyn wird, wenn das Syſtem ſich im Gleichgewicht befinden wird; fie wird
3. B. ein minunum bey ber Kettenlinte und ein maximum bey mehrern

Kugeln, bie eine Hölung bilden, feyn. Diefer Grundfaß iſt fehr alt.

15) Dentt man fich jeßt in ber Vorausſetzung (13) dad Syſtem im
Bewegung und druͤcken u‘.u‘, u, erc. die Geſchwindigkeiten m“. m, m’, etc.
aber die Maffen in Rückficht auf die verfchiebenen Körper, bie das Syſtem
wuöntachen, aus; fo verfhaft dad Gefeg ber Erhaltung ber lebendigen
Kräfte, wovon wir im aten Theile einen direkten und allgemeinen Beweis
geben werden, folgende Gleichung: |

m’u/? + mu 2 m! uU etc. — Conft. — 26.

Weil daher im Zuftande des Gleichgewichts bie Größe ® entweder ein
minimum oder ein maximum ift; fo folgt daraus, daß auch die Größe m’ u
mitt 2 ml gt? 4 ete,, die die lebendige Kraft des ganzen Sys
ſtems ausdrückt, ein maximum ober ein minimum iſt; und hierinn befteht
der Grundfaß der Statik, den ber Marquis von Courtivron befamtt ges
macht hat, daß nehmlich unter allen Lagen, die ein Syſtem annehmen
kann, diefenige, worinn die lebendige Kraft am größten oder .— er

’ — zugle

40 J ——

zugleich auch diejenige iſt, — man es vor allen — ſehen muͤſſe,
damit es ein Gleichgewicht ſey.

| 16) Wir haben eben gefehen, daß bie Funktion © ein. minimum ne
maximum iſt, wenn die tage des Syſtems ſo beſchaffen iſt, daß ein Gleich⸗
gewicht vorhanden iſt; jetzt wollen wir ermweifen,, daß wenn dieſe Funktion
ein minimum ift, alddanı dag ‚Gleichgewicht Beftande hat, fo dag wenn
man gleich anfangs das Syſtem ald im Zuftand des Gleichgewichts fich
vorſtellt, nnd ed hernach ein wenig, don dieſem Zuftande abgebradyt wird,
ſich wieder in feinen vorigen Zuftand zu verfegen, und unendlich kleine
Oscillationen machen wird; und daß Im Gegentheil in dem Falleg wo
diefelbe Funktion ein maximum tft, das Gleichgewicht nicht fortdauren
wird; fondern bag, menn das Syſtem alsbenn einmal geftdrt worden ift,
| ed Dscillationen machen Bann, die nicht unenblich Flein find, und bie es
immer mehr von feinem erſten Zuftand abbringen Tönnen.

17) Um diefen Satz auf eine allgemeine Art darzuthun, fo —

ich, daß die Lage des Syſtems, ſeine uͤbrige Form mag auch beſchaffen
seyn wie fie will, d. h. die Lage der verſchiedenen Körper die daſſelbe aus⸗
machen, allezeit durch eine gewiſſe Anzahl von veränderlichen Größen bes
ſtimmt iſt, und dag die Größe O eine gegebene Funktion eben biefer vers
änderlihen Größen feyn wird. Gefeßt nun, im Zuftande des Gleichge⸗
wichts feyen bie eben genannten veraͤnderlichen Größen — a, b, c, ete.
und in einem demſelben fehr nahe kommenden Zuſtaude fenen fiea -- x,
b+ry,c-+zetcmo bie Groͤßen x, y, 2 ete. fehr Elein ſeyen; ſo bes
kommit die Funktion ®, wenn man dieſe letztern Werthe in den vorigen.
Ausbruc für diefelbe fubftituirt, und nach den_Dimenfionen von x, y,
‚ z, etc. ordnet, folgende Form:

—AHBe+Cy+Dz + ei.
+ Fy? + Gxy + Hy? + Kaz + Lyz + Me 4 —
wo die Groͤßen A, B, C, etc. in 2, b, c, etc. gegeben ſind.

Aber im Zuſtande des Gleichgewichts muß der Werth von dd — o
fen, bie m bed a mag auch eine Beräuberung. nen ‚ welche
’ fe

> = * J
2 —
1}
> ar € * — 7
*
— F
= .
Pr .
C z .
“ *
— ‘
224 *
*

ie ni: Das Differeutial von © muß daher Gßerkaupt = 0 feyn, wenn |
x, y,2, 0 == 0 fin, folglich ſt = 0, C= 0, D == 0.ete. |
Man befommt daher für einem dem Gleichgewicht fehr nahen Bu ne
ſtand diefen Ausbrud für ꝙ |
® — A -r Fx? -+ Gxy + Hy? + Kız 4 Lyz + Mz? + ee, A Pe
worinn man, fo lange bie veraͤnderlichen Größen x, y, z, etc. fir Men a |
find, nur bis auf ihre ate Dimenfion zu gehen braucht.
18) Man ſieht aber hieraus, daß, damit die Größe ® ie ein
minimum ſey, wenn x, y, 2, etc. ==o find; bie Funktion
Fx? Gxy Hy⸗ ++ Kxz ++ Lyz -r Mz2 +4 etc
die ich X nennen will, allezeit poſitiv ſeyn muß, die Werthe ber rin — |.
| — Größen x,:y, m etc. moͤgen auch beſchaffen feyn, wie ſie wollen.

Wir wollen. weft y, z, etc. — o feßen, alsdann haben wir
X— Fx2, welche Größe immer pofitio feyn wird, wenn F pofitio iſt;
alfo haben wir für die erſte Bedingung des Sleichgewichts Fyo,

Weil man die Gebe X allexit poſttw tt, went y.z, etc, =o '
ſind; fo iſt Har, daß, damit Le e immer pofitio bleibe, fienle == o mer ⸗
ben koͤnne, wenn man biefen veraͤnderlichen Größen verſchlebene Wertke '
giebt. Zieht man alfo aus ber Eleichung X = 0 den Werth von x; — —
ſo muß derfelbe imaginair ſeyn, aber bie Gleichung X —20 giebt:

| Kz + e®. 2. lyz + : '
| — ——

(= +Kz + etc
| — | |
ſolglich maß die Geige: - —

— Be rn ER .3 Gy ik en
| 3 — TE m). j
F die

42
Be ich Y nennen il, allezeit pofitiv fan Dife au nt ſch aber
anf folgende Form bringen:

= 75 ae | | \
— > ‚GB ‚ | \
M: K?
"F Sam
ete·

Durch) den — abeliche Schläfe — man daher wer —
Webingung P o und dann muß ber Werth von y, ber aus ber Glei⸗
ung Y == 0 erhalten worden tft, imaginair feyn, dieſe Gleichung aber
diebte |

Kr etc. · | | RER — *
—
Re? etc. - 702 ++ eic.\ ?
pP 7 „pP ze

die ich Z nennen will, und bie ſich auf bie Form T? + ete. bringen lͤgt,

et . R a ;
menn man um ber. Kürze willen T= — Fr etc, ſebt, jederzeit pp»

fitio ſeyn. Folglich muß man — Tod haben u. ſ. w.

Enthaͤlt die Funktilon X nur. veraͤnderliche Größen x, 9 ‚2, r ik
offenbar, daß die 3 Bedingungen P >o, P>o, baʒu hinreichen werden,

fe allezeit poſitiv zu machen, une flat wird alddenn auch ein minimum
ftatt

"
—

—
=

«4

. 4 *
ei 7
‘
"SBRERE i
a x
x —

ſlatt Finden. Wire u cine gie veränberliche Größe vorhanden; ſo
müßte man noch eine Bedingung finden, und überhaupt muß bie Zahl ber
. Bedingungen der Zahl der veränberlichen Größen allezeit gleich ſeyn.

Sollte gegenthells bie Größe © immer ein maximum feyn, wenn
x, y,zec.=o find, fo mößte bie Fuunktion X allezeit negativ ſeyn.
Folglich muß F erſtlich in dieſem Falle negativ ſeyn, und 2tend die Glei⸗
‘hung X = 0 feine wuͤrkliche Wurzel für x geben; dies wird biefelben
Bedingungen verſchaffen, die man im vorhergehenden Falle ER hat,
nehlich F > 0, T<o et.

Hieraus folgt, baß die Vedingungen des maximum einerley mit de⸗
nen bed mumum find auſſer ber erſtern, die für daß minimum F „0 und
fuͤr's maximum F Coif,

gende Form bringen ar ee
Gy * Ræa + etc,
xt (x ar Sa]
Qz »r etc, ? |
rar [ir +2] u

u — sie)" ter] .

etc,

—*88 wenn man nach und nach die gehorigen ae ———
ſo erhält man?
Kuflı — kꝛ etc. 2
23
-FP “ * *

» FRT EHE)
etc,

F 2 | Sier⸗

44 3 =

Sterand ficht man denn deutlich, daß der Werth von X allezeit po⸗
ſitiv feyn wird, wenn F,P, T, etc. > o und tm Gegentheil, daß er als
lezeit negativ ſeyn wird, wem F << ombP, Tec. >o.

Nimmt man nun um mehlrever Einfachheit willen fast der Heränders
lichen Groͤßen x, y.z, etc. andere £, 7, 9, etc. an, fo daß
| Gy Ræ ete.

X fe

— 2 F
— „Quer en
217 pP
etc.

fo Bann man der Funktion X dieſe fehr einfache Forın geben:
X = ff? pn gg? hęꝰ etc. ſo daß = |
(AH XM)—=A Hr FE — gu? hęꝰ ete.

mwo.bie Goefficienten f,'g „h, etc. noshwenbig alle pofitiv ſeyn werden,

in dem Kalle, worinn ® ein minimum tft, aber negatis in dem. Falle,
woriun ® ein maxımum iſt. :

20) Um alfo ben £chrfag (16) zu erweifen, braucht man nur bir 5
vorige Ansdruͤckung für ® in der Gleichung der Erhaltung der lebendigen
Kraͤfte zu ſubſtitniren (15); fo erhält man
M’u’® + Mu? — M’UulH2 2 etc. = Conft. —

2A— 2 fte — 2 g — 26bę ec.
Nun hat man im Zuſtande des Gleichgewichts nad der Vorausſez⸗
gmx=0,y=>9 z=o etc; folglich u S o, y=o,
E = 0 etc. (19); Gefeßt alfo, man bringe daß Spſtem etwas von bies
fem Zuftande ab, und gäbe den Körpern M’, M’, M’, etc, bie fehr klei⸗
nen Geſchwindigkeiten V/,V’, V’!, erc, fo müßte man u = V/, u = Vi,
vet — Vi etc. haben, wen — 0, 7=0, o etc Man hat
alfo M/V/? > MU Vu MIUVUN ete. = Conſi. — 2 A; und
dadurch wird bie beliebige befländige Größe fich beflimmen laſſen.

Die

Die vorhergehende Gleichung verwanbelt ſich alfo in: diefe:
Mu? > Miu? 2 MU ete. = M/VR . MU VW sp:
MAvuma etc, we
— 2 ff? ag? — 3 h?? ec.
und hieraus iſt es leicht folgende 2 Schluͤße zu ziehen: -

I) Daß im Falle, daß ® ein minimum tft, worin die Coeffüctenten
f, g. h, etc. allezeit pofitto find, bie allegeit pofittve Größe 218?
287? + hf? »+ etc, kleiner ober wenigſtens nicht viel größer feyn
Tann, ald die gegebene Größe M/V'? 2. MV! .. MUVAU2 etc.,
bie an und für ſich fehr klein if; nennt man alfo diefe Größe T; fo hat
man für jebe ber veränberlihen Größen £, 4, Ö. etc. biefe Grenzen

2 T T

wozwiſchen fie nothwendig eingefchloffen fepn werben; woraus folgt, daß
in diefem Falle das Syſtem ſich nur ſehr wenig von feinem Zuftande des
GSleichgewichts entfernen kann, und daß es nur fehr Fleine Oscillationen,
und zwar von einem beftimmten Umfange wird machen koͤnnen.

3) Daß im Falle, daß ® ein maximum iſt, worinn die Goefficiene .
ten $, g. h,.etc. alle negativ find, bie allezeit pofitive Größe — 2f£?

— 297? — ah” etc. ind unendliche wachfen kann, und daß ſich auf
dieſe Art das Syſtem immer mehr von feinem Zuftande des Gleichgewichts

entfernen Tann. | |
Wenigſtens zeigt die obige Gleichung, daß in biefem Falle nichts

hindere, daß die veränberlichen Größen £,7.£ etc. immer mehr zunehmen;
jebeih folgt daraus nicht, - daß fie in der That immer zunehmen muͤſſen,

. — letztern Satz werben wir noch Im fünften Abſchnitt ber Dynamik er⸗

—
—

53 Vier⸗

x
r
r
F
*

“ [ “ ”

%
.

-
F

Vierter Abſchnitt.

Eine fehr einfache Methode die nöthigen Gleichungen für das

Gleichgewicht eines Syſtems von Körpern zu finden, Die als

Funkte oder als endliche Maßen angefehen find, und
durch gegebene Kräfte gezogen werden, -

1) Diejenigen) bie biöher über das Gefeg bes Beſtrebens nach
Geſchwindigkeit geſchrieben haben, bemuͤhten ſich mehr die Wahrheit die⸗

"es Geſetzes durch die Uebereinſtimmung feiner Refultate mit denen ber ges

wöhnlichen Grundfäge der Statik zu beweifen, als den Nuben zu zeigen
den man davon machen ann, um bie Aufgaben biefer Wiffenfcyaft direft

aufzuloͤſen. Wir haben und vorgefeßt dies Teztere mit aller der Alges

meinheit zu esfüllen, als die Sache fähig iſt aus: dieſein Gefeg analytifihe
Formeln herzuleiten, die bie Auflöfung aller Aufgaben enthalten, die nur
beym Gleichgewichte der Körper vorlummen koͤnnen; eben fo beinah wie
die Formeln der Subtangenten, der Radien Oſculi u, a, die Beflimmung .
dieſer Linien in allen krummen Linien in fich einfchliejen.

- 9) Die im erften Abſchnitt gezeigte Methobe iſt in allen Faͤllen ans
wendbar und erfordert, wie man gefehen hat, ganz allein aualytiſche Ope⸗
zationen; allein man ftößt oft, wenn man bie veränderlichen Größen und
fhre Differeutiatien ſogleich durch die Bebingungsgleihungen wegſchaffen
will, auf ſehr zweifelbafte und verwickelte Calkuls; wir wollen Daher dies
felbe Methode noch unter einer einfachern Form barftellen, und in dieſer
Abſicht alle Fälle auf den eines völlig freyen Syſtems zurückbringen,

3) Es ſeyen L=—=o, M==0,N ==p, etc. bie verfchiedenen Bes
Dingungsgleichungen, bie durch bie Natur bed Syſtems gegeben find; bie
Größen L, M, N, ete. mögen gewiſſe enblihe Funktionen der veränberkis.
chen Größen x, y. z, x, y, 2’, etc. ausdruͤcken. Differentiirt man

biefe

en | 47

*— Gleichungen; fo bekommt man folgende: dL — o, IM— 0.

dN—o, etc. und dieſe geben das Verhaͤltniß au, welches zwiſchen den

Differentialien ber veränberlichen Größen ſtatt findet. Ueberhaupt wer⸗

den wir unter dL—= 0, dM = 0, dN == 0 etc, bie Bedingungsgleis

ungen zwifchen. biefen Differentialien anzeigen, es mögen dieſe —
gen nun felbft entweder vollſtaͤndige Differentialien ſeyn oder nicht, in dem
ſich die Differentialien. hier nur auf &inien beziehen. ; .

Diefe Gleichungen follen nur dazu dienen eine gleiche Anabt: —
ferentialien in ber Gleichung bed Beſtrebens nach Geſchwindigkeit wegzu⸗

ſchaffen, und alsdann muß jeder ber Coefficienten der übrig bleibenden

Differentialien, = 0 ſeyn. Es iſt baher nicht ſchwer aus ber Theorie
biefer auf Linien ſich beziehenden Gleichungen es zu bereeifen, daß man
diefelben Mefultate erhalten wird, wenn man nur zur Gleihung bed Bes
— nach Geſchwindigkeit die verſchiedenen Vedingungsgleichungen

dL=0o,dM=o0, dN==o, etc. jebe durch einen unbeſtinunten Coef⸗
ficienten multiplicirt addirt, und hernach alle Glieder, die durch einerley
Differential multiplicirt find = 0 ſetzt; dies giebt nehmlich ſoviel einzele
Gleichungen ald Differentialten vorhanden find; endlich ſchaffe man aus
biefen leztern Öleichungen die unbeftimmten Goefficienten weg, wodurch
man bie Bedingun gögleichimgen multiplicirt hat.

4) Hieraus erwaͤchſt dann bie ſehr einfache Regel, um die Bedin⸗
— bed Gleichgewichts für ein gewiſſes Syſtem zu finden:

Man nehme bie Summe der Momente aller Kräfte, die im Slide
— ſeyn ſollen (1 Abſchn. 5.), und addire dazu die verſchiedenen Dif⸗
ferentialfunktionen, die Rull ſeyn muͤſſet, nach den Bedingungen ber Auf⸗
gaben, jede dieſer Funktionen multiplicire man durch einen unbeſtimmten

Goeffictenten und feße alled — 0; fo erhält man eine Differentialgleihung,

die man wie eine gewöhnliche Gleichung de maximis et mınimis behandlen

muß, und woraus man fo viele einzele endliche Gleichungen zieht, als vers

änderlihe Größen vorhanden find; "befreit man endlich diefe Gleichungen
von den unbeſtimmten Eoefficienten; fo werben fie * für das Gleichges
wicht nbihige Bedingungen geben. © -

5) Die

\ 5) Die geſuchte Differentialgleidiung wird baher bie Form haben:
Pdp > Qdq FRdr 4 etc. 4. RdL p adM 2 sdN > ec, =o,

wo R, 2, v unbeftimmte Größen find, wir werden fie in ber Folge allges
meine Gleichung des Gleichgewichts nennen.

Dieſe Gleichung wird für jede Coordinate als x von jebem ber Koͤr⸗
per bes Syſtems eine Gleichuug von folgender Geſtalt geben:
dd ,;d :.„ de ü dL
| dM AN
a re ee WE El

fo daß die Zahl diefer Steigungen der Zahl aller Eoorbinaten der Körper
gleich if. Wir werben dieſe befondere Gleichungen des Gleichgewichts
nennen. |

6) Alle Schwierigfeit beftet daher bartn; bie unbeſtimmten Größen
R,2,yv, ete. aus biefen letztern Gleichunger wegzuſchaffen, bies Kann
nun zwar jeberzeit Durch die befaunten Methoden gefchehen, allein mau
ja immer diejenigen hiezu wählen, bie zu den einfachiten Reſultaten
uhren Sonnen. Die endlichen Gleichungen enthalten alle fuͤr's Gleichges
wicht nöthige Bebingungen; und da bie Zahl biefer Gleichungen ber Zahl
aller Coordinaten ber Körper bes Syſtems weniger der ber unbeflimmten
Größen R, x, v, etc, bie man hat wegſchaffen müffen, gleich ift, und
überbied eben diefeunbeflimmte Groͤßen an Zahl ben endlichen Bebingungss
gleihungn L=—o, M==o, N == 0, etc. glei ift; fo muͤſſen auch
bie genannten Gleichungen mis biefen leztern verbunden, jeberzeit mit den
Coordinaten aller Körper von gleicher Zahl ſeyn, fie reichen alfo dazu hin,
diefe Coordinaten zu beftimmen, unb bie Lage bekannt. zu machen, bie jes
ber Körper annehmen muß, um wit den übrigen im Gleichgewicht zu ſeyn.

| 7) Sch bemerke jeßt, ba bie Glieber RdL, „dM, »dN, ete. ber
allgemeinen Gleichung für's Gleichgewicht, auch als ſolche angefehen —

eg
ten Bbnuen, bie die Mormielte der verfälebenen am Syſtem angebrachten
Kräfte vorſtellen. | — |

Denn weil AL eine. Differentialfünftion. ber veraͤnderlichen Größen
x', y’, z', x, WW, etc. tft, bie zu Coordinaten ber verſchiebenen Koͤr⸗

pern bed Syſtenis bienenz fo if} diefe Funktion aus verfchiebenen Theilen

zufammengefeßt, bie ich durch dL!, dL“, etc, anbenten will, .fo daß dL,
= dL’ .# dL’' + etc.; wo dL’ nur ſolche Glieder in fi einfchliegt,

worin dx‘, dy’, dz’, vorkommt, dL’’ aber nur folde, bie dx‘, dyN,

de“ enthalten, u. ſ. w.

Auf dieſe Art wird das Glied RÄL der allgemeinen Gleichung aus
ben Gliedern RdL’, RdL etc. zufammengefeßt feyn. Giebt man alfe
bem Gliede RdL’ die Form: -

dri\ ® dt’. 2 din? en
aEc)ERte DEE)
£ ’ «AL En SEE j

—
pn. 2 In
rd ++]

fo iſt Bar (2 Abſchn. 8), daß biefe Größe das Moment einer Kraft

= dLA 3 L’ x al’?

vorftellen kann, die an einem Körper angebracht iſt, deſſen Coorbinaten

x, y4 2), find,. and bie ſenkrecht auf ber Flaͤche iſt, deren Gleichung
EL! — o iſt, wenn man nur x‘, y', z/, als variabel anfieht. Auf gleiche

. Art Bann das Glifd RdL das Moment einer Kraft vorftellen, bie .

ER dL4.2 rdLın?®. dLNJ.

ec 4 LG) +) I

€ At einem Koörper angebracht ift, deſſen Cobrdinaten xt, ylı, zu find,
ud die ſenkrecht anf die krumme Fläche iſt, deren Gleihung dL’ —=oif,
ba nur xt yet, x Alb variabel betrachtet u. w.
“ } j & L Allge⸗

—3

’ \ “
[1 *
50 BEE

Kräfte ausbrücen koͤnnen, die rkung ſchiebe |

er f dL\ 2 dL =... rdLna Er an

= (3) EDEN EE an

\ dL\2 :fdLN\? dL\ 2 ae 3
vd =

find, und bie an bie Körper angebracht find, wozu bie Coordinaten x’, y⸗
2, x, y!l, zHetc. gehören nad, deu fenkrechten Direktionen auf verſchie⸗
dene krumme Flächen, bie durch bie Gleichung dL == vorgeftellet wird,
2 wenn man guerft x’, y/ 2° mb beruadh x, yir, zu als Yeränderich ans
nimmt u. f m Tu

8) Hieraus ergiebt ſich, daß jede Bedingungsgleichung zu efner
oder mehreren Kräften gehört, bie anı Syſtem nady gegebenen Direktionen
angebracht find, fo daß daſſelbe im Gleichgewicht bleiben wird, man mag:
nun entweder auf biefe Kräfte, ober anf bie Bebingungsgleichungen Ruͤck⸗
ficht nehmen. J — —

Gegentheils koͤnnen dieſe Kräfte ſtatt den Bedingungsgleichungen dienen,
die aus der Natur des gegebenen Syſtems herflieſſen, ſo daß wenn man
dieſe Kraͤfte anwendet, man die Koͤrper als ganz frey und ohne eine Ver⸗
bindung unter einander anſehen kann. Und hieraus erſieht man den me⸗
taphyſiſchen Gruund, warum die Einführung. ber, lieder RdL >» „adM »r '
‘etc, tu die allgemeine Gleichung fürs Gleichgewicht macht, daß man herz
nach diefe Gleichung fo behandlen Bann, als wenn alle Körper des Gyr
fiems völlig frey wären, woriun daun der Geiſt ber. gegenwärtigen Mies
shobe beftebt. | a aa

Um eigentlicher zu reden, fo vertreten bie genannten Kräfte die Stelle
der Widerſtaͤnde, bie bie Körper wegen ihrer gegenfeitigen Verbindung.
erleiden müßten ober ber Hinderniſſe, bie nad der Natur des Syftems:

ihrer Bewegung. ſich entgegenfegen Fönuten, ober vielmehr biefe Kräfte,
- find nichts anders ald die Kräfte diefer Widerſtaͤnde ſelbſt, die einander --
gleich und dem von ben Körpern verühten Druck gerade eutgegen finb«

. no ® .% fre 2

zug derſelben vor andern,

mh —— 51

Unſre Methode giebt, wie man ſieht, das Mittel an die Hand, dieſe

Kräfte und Widerſtaͤnde zu heſtimmen, und dies iſt nicht ein geringer Vor⸗

9) Bisher haben wie die Körper nur als Punkte betrachtet, und

geſehen, wie man die Geſetze des Gleichgewichts dieſer Punkte beſtimmt,

ihre Anzahl mag auch ſo groß ſeyn, und die Kräfte die auf fie wuͤrken
von einer Beſchaffenheit ſeyn, wie fie wollen. Ein Körper von einem ges
wiſſen Volumen und Figur aber iſt nichts anders als die Vereinigung mus
zähliger materieller Theile oder Punkte, und man ficht alfo hieraus, baß
enan durch Anwendung der vorhergehenden Grundfäße auch die Gefeße
bed Gleichgewichts für Körper von einer gewiſſen Figur beftimmen Tann.

Sn ber That beſteht die gewoͤhnliche Art mechaniſche Aufgaben, die

Koͤrper von endlichen Maßen betreffen, aufzuloͤſen, darin, daß man am

fangs nur eine gewiſſe Anzahl von Punkten, die in endlichen Entfernun⸗

gen fih von eiuander beſiuden, betrachtet und die Geſetze des Gleichge⸗

wichts uud der Veweguug berfelben aufſucht; hierauf aber biefe Unterfüs.
hung auf eine unbeflimmte Anzahl von Punkten erfiveckt, uub’endlich gar
Die Anzahl dieſer Punkte unendli groß, ihre Entfernungen von einan⸗
ber aber zugleich unendlich Flein, annimmt, zugleidy aber auch bie für eine
enbliche Anzahl von Punkten gefundene Formeln gehörig verändert, ſowie
es ber Uebergang vom Endlichen zum Unenblichen erfobert. |

MDies Verfahren iſt wie man fieht ben gedmetriſchen und analytifchen
Methoden glei, bie der Infinitefimals Mednung vorher giengen, und
hat biefer Ealkul vor aubern den Vorzug auf eine erfiaunenswürdige Art
bie Auflöfung der Aufgaben, die die krummen Linien betreffen, zu erleich⸗
tern und zu vereinfachen; fo befteht berfelbenur barin, baß er bie Frums
men Unlen als wuͤrklich krumm betrachtet, ohne noͤthig zu haben ſie zuerſt
als Volygone, und dann erſt als krumm auzuſehen. Faſt denſelben Vor⸗

ell hat man alfo bey ber Behandlung mechaniſcher Aufgaben, wenn man

ten oder Rörperchen betrachtet, wovon auf jebed gewifle gegebene Kräfte

eine direkte Auflöfung verlangt und fogleich die Körper, bie endlihe Ma;
Ben haben, als eine Vereinigung von einer unendlichen Menge von Punk.

wuͤr⸗ |

“

meln, die bie gewöhnlicher Differentialien geben, auch bie Varlationen

t
. * *
2 ———— es
* ⁊

wuͤrken. Durch dieſe Vetrachtang iſt nichts Leichter als die eben vorhin vor⸗

getragene allgemeine Methode zu vereinfachen und zu veraͤndern.
10) Man bemerke aber ja vor allen andern, daß bey der Anwendung

dieſer Methode auf Koͤrper yon einer endlichen Maße, wovon jeder Punkt
durch gewiſſe Kräfte getrieben wird, zwei Arten von Differeutialgrößen .

vorkommen, die man ja gut zu unterſcheiden hat. Die einen beziehen fick
“auf bie verſchiedenen Punkte, die die Körper ausmachen; bie andern hoͤn⸗

gen gar nicht von ber gegenfeltigen Lage biefer Punkte ab, fondern ſtellen
nur die unendlich Kleinen Raͤume vor, die jeber Punkt befchreiben kann;

indem man feßt, die Lage bed Körpers erleide eine unendlich Kleine Vers

änderung.

Wir hatten bisher nım Differentialfen von _ leztern Art zu ber
trachten, und fie burdy das gewöhnliche Zeichen d’ angezeigt; jetzt aber

muͤſſen wir zugleich auf zwei Arten von Differentiaften fehen, und baher noch

ein neues Zeichen einführen ; wir wollen daher durch d ind kunftige Differentials

n von ber erfiern Art andenten, die mit denen Übereinkommen, welche
man gersöhnlich in der Geometrie betrachtet, die Differentialgroͤßen von
der aten Art aber, bie dem Gegenftand, ben wir hier abhandlen, eigen
find, wollen wir durch 8 andenten, welches Zeichens wir und.chemal®
fhon beym Variations⸗Calkul bedient. haben, womit der gegenmärtige
ganz uͤbereinkommen muß, |

Eben aus: diefer Urſache wollen wir auch die Differentialgrößen dfe
durch ⸗ angebeutet: werben, Warlationen nennen, Differentialten aber follew
diejenigen heißen, deren Kennzeichen di; übrigens werben dieſelben For⸗

‚geben, wenn man. nur flatt d, d fubftituis. . . . .
11) Zulegt bemerfe ich noch, daß man anſtatt eine gegebene Plage

als eine unendliche Dienge von Punkten zu betrachten, wovon ineß i us

mer auf ben andern folgt, nach Bem; Geiſt der nfinſteſimaſ 3 ndug fie
vielmehr als aus unendlich kleinen Elementen ——— ſich vor⸗

ſtellen kann, die von derſelben Dimenſion als die ganze Maße ſelbſt ſeyen.
Um. nun die Kraͤfte zu erhalten, bie auf jedes dieſer Elemente wuͤrken;
| | muß

e
“ > z
>
* 53
er

| muß man Me Kräfte P, Q,R.- ete., bie man auf jeben Punkt dieſer Ele⸗

mente angebracht feßt, und bie man ald mit: denen analog auſieht, bie von
der Wuͤrkung der — u R mit biefen Elementen em multi⸗

pliciren. = ns

]

2) Nennen wir daher m bie — dm einen —— ——
fo druͤcken Pdım, Qdm, Rdm ete die Kraͤfte aus, die aufꝰs Element dm

mwürfen, nach ben Direktionen der Linien p. q rei... Mulgiplicet inan

daher wiederum diefe Kräfte durch die Variationen. dp. dq, dr etc.; fo ers
&lt man ihre Momente, deren Summe für jebes Element dm. buch bie
ormel

(Pop >» Osdg ++ Rör rm etc.) dm ausg⸗druckt werden koͤnnen. Um

nun die Summe der Momente aller Kraͤfte des Syſtems zu erhalten,

braucht man nur dieſe Formel mit u; ht auf die ganze —— Maße
zu integriren.

Dieſe ganzen Integrale b. h. in Anſeheng des — der ganzen

Maß— wollen wir durch den großen Buchſtaben S andeuten, das gewoͤhn⸗

liche Zeichen ſaber dazu gebrauchen, die einzelen und unbeſtimmten In⸗
tegralien dadurch anzuzeigen.

15) Auf dieſe Art erhalten wir für bie Summe der Momente als

fer Kräfte bes Syſtems die Integralformel:
S (Pöp Qeq Rar 4 etc.) dm;

und dieſe Groͤße muͤßte aͤberhaupt = == 0 im Zuſtande des Gleichgewichts
feyn.

Nach der Natur des Syſtems aber giebt es nothwendig PORN
Verhaͤltniſſe zwifchen den perfhitdenen Wariationen Ep, dq, dr etc., bie
fi auf jeben Punkt dee Maße. beziehen ;; man muß fie daher auf eine ges

wiſſe Anzahl vor — und unbeſtimmten Variationen bringen;
"durch dieſe letztern Variationen multiplicirte Glieder

alsdann werden d
— o ſeyn, und man bekoͤmmt auf dieſe Art die einzelen Gleichungen
fuͤr's Gleichgewicht. Dieſe Reduktionen aber koͤnnen oft ſehr verwickelt

a G 3. feyn ;

⸗

34 | m
- fen; man muß fie daher vermittelſt ber Methode, die wir in fen
Abſchnitte gegeben haben, zu bermeiben ſuchen.

14) Um diefe Methode aber auf den gegenwärtigen Fall ———
‚ben, wollen wir annehmen, L == 0, M == o etc. fehen bie Bedins
ungögleichungen, die nad) ber Natur ber Aufgabe. flatt finden muͤſſen in
“en jedes Punfts der Maſſe, und. wir wollen ſie unbeſtimmte Be⸗
dingungsgleichungen nennen.

Differentlirt man dieſe Gleichungen nach dem Zeichen & ſo erhoͤlt
"man biefes dEL=—— 0, EM == 0, etc. Man multiplicire bie Groͤßen
&L, dM etc. dur die unbeftiinmten Größen a ete.; und nehme daß -
gauze Integrael davon, welches it ee

8 (RBöL «r „EM etc.);

man addire hierauf dieſes Integrale zu dem bes —— Artikels
ſo bekomunt man bie allgemeine Gleichung fuͤr's Gleichgewicht.

Uebrigens iſt zu bemerken, daß ed nicht nothwendig tft, daß dl,
8M etc. voſſkommene Variationen der Funktionen x, y, z, dx, dy, ete.
find, fondern, daß es genug if, wenn nur dL == o; IM — o etc,
die unbeflimmten VBedingungsgleihungen zwiſchen, ben Variationen von
xy 2, dx, dy ete. (3) ſind.

15) Um aber die Sache ſo allgemein als moͤglich zu — fü be⸗
merke man, daß es gar wohl moͤglich iſt, daß auſſer den Kräften ‚ die
überhanpt auf alle Punkte der Maſſe wuͤrken, einige noch vorhanden feyen,
die nur auf beflimmte Punkte dieſer =. wuͤrken, und dieſe Punkte find
gewoͤhnlich diejenigen, die ſich an ben Enden ber gegebenen Maſſe befin⸗
den, d. h. die iw Anfang und am ne bes mit S ad Integrals
ſind.

Auf gleiche Art koͤnnen auch einzele Beblngungsaleidungen biefer
Punkte ſtatt finden, und dieſe wollen wir beftimmte Bebingungsaleihun ⸗
gen nennen, um fie von beuen zu unterfcheiden, bie bei dem gauzen Bm
fange der Maffe überhaupt ſtatt finden, und wir wollen ie durch A —
B—=0,C=o, etc. oder vielmehr durch SA= 0, B=o, SC= *
etc. bezeichnen. —

Eu Ge ’ N
2 ' L

%
z . 55
'
u * -.... .
2 '

Wuir wollen mit einem Weinen Strich ober init zweien dreien, etc,

allle Größen andeuten, die ſich auf beſtimmte Punkte der Maſſe beziehen,

und Insbefondere wollen mir durd, einen Strich, diejenigen anzeigen, bie
fi) anf den Anfang des dur 3 bezeichneten Integrals beziehen, mit
zweien Streichen aber diejenigen, die ſich auf's Ende dieſes Integrals ber
en init dreten und mehrern, die zu den dazwiſchen Viegenden Punkten
gehören. on 2

Man maß alfo zum SintegraleSCPep + Osp + Rör + etc.) dm

bie Größe Pop! Fr Qög’ + Rt’ + etc. P/gpl Qliggt!

+ RB’ + etc. hinzuaddiren, und zum Integrale S(adL P aM:

+ etc.) die Größe dA + AB + rict etc.

gende Form: |

S (r »Wgr Rör 4 etc.) dm SL 4 etc.) 4 Pläpt

+ gl HR! Pete. Pildpl + Qlidgl r Rilicl ete. + adh

”

16) Subſtituirt man im dieſer Gleichung: die Werthe von ey, aq; di,

etc.; ., dM, etc. in dx, dy, dz, ddx, ddy, ete. eben fo wie die

von dp’,-cp", etc. dgl, dq”’,etc., dA, BB, etc. in x‘, x’, etc, dx’, dxtd,

ex’, eto., ddx‘, ete., die aud einzelen Umftänden jeder Aufgabe hergelei⸗

tet werden; fo erhält man allezeit eine Form, bie denen, die ber Varia⸗
tions s Calkul zur Beſtimmung ber maxima und minima der Integralfor⸗
meln giebt, analog iſt; man hat alfo nur bit bekannten Megeln. dieſes
Calkals hier anzuwenden. Man wird daher erwägen, daß, ba bie eis
d und d ziveli Arten von Differentialgrößen andeuten, die vbllig von
nanber unabhängig find „- ed einerley auch iſt, wenn fie fich zuſammen
befinden, in welcher Ordnung fie genommen werben, benn wenn man
annimint, ein. Groͤße leibe auf zwei ganz verſchiedene Arten eine Ver⸗
änderung; fo bekomunt man ſtets daſſelbe Reſultat, man mag dieſe —
— J | | 'ände

je a

Y ‘

Auf biefe Art erhaͤlt bie allgemeine Formel für’d Sleichgewicht fol⸗

—

66 | —

—— in einer Orbmung nehmen als man wi u wird Hi
= dex und d? dx = dd?x P).n. ſ. w.

Man kanu alſo jederzeit nach — die Ordnung dieſer Zeichen
veraͤndern, ohne body den Werth der Differentialgrößen zu veraͤndern;
für unſre Abficht wird ed aber thunlicher ſeyn, das Zeichen d vor d zu
feßen, damit bie vorgegebene Gleihung nur Varlationen ber Coorbinaten
und die Differentialien derfelben enthalte. Hierinu beftebt ee eine Funda⸗ |
mentalfaß bed Variatiens⸗Calkuls.

: 17) Die Differentialien dex, dey, dez, d2sx, etc., ie ſich unter

dem —* S befinden, koͤnnen aber durch das bekannte Verfahren: der

partiellen Integrationen weggeſchaft werden; denn es iſt allgemein.
(adex ee Dix — ſoxdæ, "

[24 0x — — Ndtx -AdDIx ſoxde Q uff.

wo zu bemerken. ft, daß bie auſſerhalb bes Zeichens I fi befindenden

Groͤßen natuͤrlich zu ben letzten Punkten der Integralich — „aber
dag man um dieſe Integralten vollkommen zu machen, nothwendig die

Werthe eben dieſer Größen auſſerhalb des Zeichens, bie zu ten erſten

Punkten der Integralien gehören, davon abziehen muß, damit alles in

dieſen Punkten — — aus der Teeorie der SEN
klar iR.

Bezeichnet man alſo mit einem Errit bie Seifen Be fi auf ben
Anfang der ganzen durch S bezeichneten Integralien beziehen, und durch

gtvei Striche diejenigen , bie ſich auf das Ende derfelben beziehen; fo hat
man folgende Mebduftionen:

SQdox = Nix — Dix — BETTEN
Sex dar NER. 1dir
> AnN'Ex! + Stxden ee.

u biefe Finnen dazu bienen, alle — ie, bie. pr
F unter

— gu Feaazöſiſchen ſleht Hier wieder d2 2x, ein Seweis, daß das Original
nicht ganz von Drucke oder Schreibfehlern frep I. Mm.

rn un — —

J
—
—— $7
’

unter dem Zehen S befinden. Dieſe Mebultionen machen den aten Funs
bamentaljaß des Wariationd » Ealfuls aus.

18) Auf diefe Art wird alfo die allgemeine Formel für's Gleichge⸗
wicht auf folgende Form gebracht:

S(MIdx ZEOY + Ydz) 0
wo TI, 2, VFunkiionen von x, y, z und Ihren Differentlalien ſi 9— und

wo A die Stlieder enthält, worinn dx’, dy‘; d2’, ex'!, dy!!, etc. and *

Differentialien vorkommen.

Damit alſo dieſe Gleichung ſtatt finde, und war unabhängig von
den Variationen ber verfchiedenen Coorbinaten; fo — erftlih TI, zZ, v
= o nach dem ganzen Umfang bed Integrals S, d. h. in jedem Punkte
der Maſſe feyn. Zweitens aber muß auch jedes Glied von A==o ſeyn.

Die unbeflimmten Gleichungen II = 0, 2 o, V 0, wen
ben überhaupt das Berhältnig geben, das zwifchen ‚ben veraͤnderlichen
Größen x, y, 2; Platz finden muß; aber alsdann müßte man die unbe⸗

ſtimmten veränderlichen Größen A, a, », etc., beren Anzahl eben fo groß .

it, als die der unbeſtimmten VBedingungsgleihungen L = 0, Nm ==0,

: etc, (14), daraus wegfchaffen.

3Ich bemerke aber, daß bie Zahl dieſer Gleichungen nicht uͤber drei
ſleigen darf, denn da es bie unbeſtimmten Gleichungen zwiſchen ben 3 vers
aͤnderlichen Größen x. y, z und ihren Differentialten feyn ſollen; fo ift
Har, daß wenn ihrer mehr wie 3 wären, man mehrere Gleichungen als
veränderliche Größen hätte, und alsdann müßte bie 4te eine nothmenbige
Folge aus den 3 erflern ſeyn, und fo aud mit den andern. Nie werben

alſo mehr wie 3 nnbeftinmte Größen A, w, v, wegzuſchaffen ſeyn; fo da
man allezeit die Werthe diefer unbeftimmten Größen in Funktionen von

x,y, 2 finden kann.

Uebrigens werben bie Gleichungen, bie durch biefe Wegſchaffungen

verſchwinden, durch die Bedingungsgleichungen ſelbſt wieder erſetzt werden,

und durch dies Mittel kann man jederzeit die Werthe von x, y,2 erhalten,
In

die e beym ze des ganzen aa ſtatt finden muͤſſen.

ö un *
— — ie 1 r
. . —
7 —
%
«

In Anfehung der andern Gleichungen, die von ben Verfählebenen tie -
dern der Größe A herfommen, muͤſſen nur einzele Gleichungen bei beſtimm⸗
ten Punkten dee Maffe ſtatt finden, bie vorzüglich dazu dienen, die belie⸗
bigen beſtaͤndigen Größen zu beſtimmen, die bie Ausdruͤckungen von x, y,z
die aus den borhergehenben Gleichungen hergeleltet find, enthalten koͤn⸗
nen. Um Gebrauch von biefen Gleichungen zu machen, fo fubflituire
man darinn bie gefundene Werthe von A, x, etc,, ſchaffe hierauf die mubes _
flimmten Größen =, 3, etc. weg, unb. verbinde damit die Bedingungs⸗
| — A=o,B=0, ete., bie dazu dienen werben, die Stelle bes
zer zu erfeßen, die die eben genannte Wegſchaffung ber unbeſtimuten

Groͤßen, verſchwinden gemacht hat.

19) Endlich ift hier in Anfehung ber rechtwinklichten Coordinaten
bieſelbe Anmerkung zu machen, bie wir ſchon am Ende ded.aten Abſchnitts
gemacht haben, inbem man auf bie Bariationen ex, dy, 32, dad anwendet,
was wir in Anfehung ber Differentiälien dx, dy, dz gefagt haben; was
aber diefe leztern hier anbetrifft, fo iſt es nicht erlaubt, an ihre Stelle
andere Differentialien zu feßen, es fen benn, daß fie von ber ae
tion ber endlichen — von x, y, z herkommen. |

— - u

J = 59

Fünfter Abſchnitt.
Aufloͤſung verſchiedener ſtatiſchen Aufgaben.

DIS wollen um ben Gebrauch unferer Methoden’in verſchledenen Aufs =

gaben uͤber das Gleichgewicht dee Körper zeigen; man wird aus

leicht erkennen, wie fehr fie denen vorzuziehen find, die man bisher in

|
| ‚der Einfachheit und der Schnelligkeit, wodurch fie zur Auflöfung führen,
Ä der Statik gebraucht hat,

Ueber das Gleichgewicht mehrerer auf einem Punkt angebrachten
Kräfte und von der Zufammenfegung und Zerlegung der Kräfte,

| 1) Gefegt man wollte die Gefeße des Gleichgewichts von ſoviel
| Kräften, als man will, P,Q,R, etc. finden, wenn alle auf einem Punkt
angebracht find, und nach gegebenen Punkten ihre Richtungen haben,

| Nennt man p,q,r,etc. bie gerablinigten Entfernungen zwiſchen

| dem gemeinfchaftlihen Punkt, wo diefe Kräfte angebracht find, und den

| ‚Punkten, wornach fie ihre Richtungen haben; fo erhält man die Formel '
Pdp + Qdg + Rdr + etc, |

für die Summe der Momente aller Kräfte, und biefe muß im Zuſtande
des Gleichgewichts = 0 ſeyn. @

j 2) Es feyen x, y, 2, bie 3 rechtwinklichten Coordinaten des Punkte,
woranf alle Kräfte angebracht find; ferner a, b, c, bie rechtwinkfichten
Eoordinaten für den Punkt, wohin die Kraft P ihre Richtung hat;-£, 8.

- h, diejenigen des Punkte, wohin die Kraft Q; 1, m, m, aber biejenfs

en wohin bie Kraft R ihre Richtung hat u. ſ. f. Beziehet man nun biefe
dinaten alle auf diefelben feften Achſen im Raume; fo erhält man

68 j man

Perbmyrg-irrany

q — (x — i)⸗* +(y— 3) (2 —- hy

r — ran |
etc.

und die Größe Pdp + Qdq + Kdr + etc. ———— ſich in Plgete: :
xdx + Xdy + Zdz

worin
x — 4 —f xl,
x ==
g
—b
—— rm
.—c z—h- z—n

"Re. |

1= — —P+ Q+r
"Pp q u:
Es tft nicht unnuͤt zu bemerken, daß in biefen Ausdruͤckungen bie

x-ı y—b z—

Größen — — Zu ben. Cofinuffen der Winkel gleich find,
bie bie Linie pd. b · bie Direktion der Kraft P mit den Adfen der x,y2

—f y—g :—hı
macht; daß ferner - — — den Coſinuſſen ber Winkel gleich

tft, die die Direktion der Kraft Q mit chen dieſen Achſen bildet nf f
a Afän. 6.7

3 ) Dies voransgefeßt wollen wir — annehmen, der — —
Punkt, auf dem bie Kräfte P, Q. R, etc. angebracht find, ſey völlig Frey;
alsdann wird gar Feine Bedingungsgleihung zwiſchen den Cordinaten x,y,z
Rast ſindenz: und die ".. Xdx + Ziz wird = 0 ſeyn muͤſſen

| unabs

fey ⸗4:

— Ar
— von den — von dx, dy, dz (2 Abſchn. 2 bies

. giebt ſogleich

6. — ., Z = 0,

. dieſe Gleichungen fchlieffen alfo die Geſetze des — von ſo vie⸗

len Kräften in fi ein, als man a die alle von einem Punkt, auss
gehen.

4) Seßt man in ben — von X, Y, z. P=p0Q=q
R == r (welches bier gefhehen kann, weil ed gleichgültig tft, auf welde
Punkte man annimmt, daß fie würken, wenn fie nur in den Richtungen .
ber Rräfte liegen) ; fo bekommt man folgende Gleichungen:

x — 24* x — fH- x—lreeo==o
yobry—g+ y—mreu,==o
s—cthz—hrz — a + ec. o

woraus man zieht, wenn man annimmt die Bat ber Kräfte P,Q, R, etc

——
rc BE Tr
btrgtFm+ et.

2 —
——

7 —

und dieſe —— von x, y, z, zeigen, daß der Pruatt worauf die |
Kräfte angebracht find, in den ———— der — worauf dieſe

Kraͤfte wuͤrken + faͤllt.

Hieraus folgt denn PER Lehrſatz, daß, wenn ſoviel Kraͤfte
als mau will in einem Punkte im Gleichgewicht ſind, und man zieht von
dieſem Punkte gerade Linien, die ſowohl die Groͤße als Richtung jeder
Kraft andeuten; ſo iſt dieſer Punkt der ———— aller et wors
fon biefe £inien fi $ enbigen. |

es. eh, Sind

Sind daher nur Hier Kräfte vorhanden und man fiellt ſich eine
Pyramide vor, deren vier Winkel in den Enden ber geraden Linien feyen,

‚

Die die Kräfte vorftellen; fo wird ein Gleichgewicht zwifchen biefen 4 Kraͤf⸗

ten ſtatt finden, wenn ber Punkt, worayf fie wuͤrken, Im Schwerpunkte
ber Pyramide iſt; denn aus der Geometrie weiß man, daß der Schwerr
punkt jeber Pyramide mit bein von 4 Körpern zufammenfällt, Die einans

der gleich und in den 4 Winkeln derſelben gefeßt find. * Man verdankt bies

leßtere Theorem dem Robervall.

3) Betrachtet man bie Gleichung |
Pdp + Qdg -+ Rdr -+ etc, — xXdx — Ydy — Zdz == 0
welche mit (2) einerley ift, uud folglid allgemein flatt finden muß, bie
- Differentiatien dx, dy, dz mögen auch befchaffen fepn, wie fie wollen; fo
tft Har, daß man fie ald die Gleichung für's: Gleichgewicht zwiſchen den

‚Kräften P,Q,R. ete. anfehen kann, bie nach ben Linien p, q, r ihre Rich⸗

tungen haben, und ben Sträften X, Y, Z, deren Richtungen bie Linien —x,
— y. — z find, wenn man annimmt, baß alle dieſe Kräfte auf ein und
dernfelben Punkt angebradit find. Die 3 Kräfte X, Y, Z find alfoim _

Gleichgewicht mit ben Kräften P, Q, R, etc.; allein es ift far, daß bie
Kräfte X, Y, Z, wenn ihre Richtungen bie Linien x, y,z find, mit eben
dieſen Kräften X, J, Z im Gleichgewicht feyn werben, wenn ihre Richs
tungen die Linien — x, — y. — z find; folglich werden werben auch
diefe mit den Kräften P, Q, R, etc. im Gleichgewicht ſeyn. Hieraus
folgt, daß die Groͤßen X, Y, Z nichts anders als die Werthe der Kräfte

P,Q,R, etc. find, die auf die Direktionen der 3 rechtwinklichten Coor⸗

binaten gebracht find, und bie biefe Coorbinaten zn verkleinern trachten.
Die Formeln (2) geben alfo ein fehr einfaches Mittel an die Hand, biefe
Meduktion zu bewerkſtelligen, d. h. bie Mefultate von ſoviel Kräften als

man will, bie in einem Punkt zufammentreffen und bie gewiſſe Direktios
nen haben. - Ä

6) Ueberhaupt wenn gewiffe Kräfte P,Q, R, etc,, deren Richtuns

gen die Linien p, q, r, etc. find, auf ein und eben benfelben Punkte würs

Ten, und man will alle diefe Kräfte auf brei andere bringen, Z, II, 2,
deren Nichtungen bie Unien d, 5, e feyn ſollen; fo hat man nur das Gleich⸗
Mn gewicht

j *
* «
.
\

— 6
gewicht der Kräfte P, Q,R, etc. unb 2 ‚112, bie auf deuſelben Dun anges
bracht find, und nach den Linien p, gr, etc, I, — x, — e ihre
gen haben, zu betrachten; hierdurch wird man dann bie Gleichung erhalten:

Pdp + Qdq + Rdr + etc, — ZI? — Tide — Ede un 0
weiche flatt finden muß, auf welche Art man auch die Lage bes Punkte,

‚ wo alle Kräfte zufammentreffen, veränbere. Died, 7, e mögen nun aber

beſchaffen ſeyn, wie fie wollen; fo tft Bar, daß, indem fie ſich nicht alle

in einer Ebene befinden, fie dazu hinreichen, die Lage dieſes Punkto zu ber

ſtimmen; man Bann folglich allezeit bie Linien p, q, r, etc. durch Funktio⸗
nen von d, 7, ⸗ ausdruͤcken, und bie vorhergehende Gleichung wird in Ans
fehung ber Variationen jeber biefer 3 Größen la flatt finden;
man wird alfo —

2—7 dp »0i ut etc,

5” = dę
dp dr
m og + Roten.
dr
s— rt — 24x eie.

Dieſe — koͤnnen in mehrern Faͤllen von großem Nutzen ſeyn,
beſonders wenn man die Reſultate von einer unendlichen Menge von Kraͤf⸗
ten zu ſuchen hat, die auf einen Punkt wuͤrken, ſowie die Anziehung ei⸗
nes Koͤrpers von einer gewiſſen Figur ete.

7) Verlangt man, daß die Direktionen ber Kräfte durch gegebene

Punkte geben, und man nennt a, A,.7 bie rechtwinklichten Coordinaten
des Punkte, morauf bie Kraft Z wuͤrken fol, ferner s, 2,4 und-A, a,»
bie rechtwinklichten Eoorbinaten der Punkte, worauf bie Kräfte II und E
wuͤrken; fo wird man machen

gderGzwrVv-NFteon
erüzhHo-Pre
ur ar r—ed ra

= = Aus

vr...

64 | | |

Auo Hiefen Gleichungen ziehe man denn die Werthe von x, y, z, in
e. ER ſubſtituire diefe hierauf in den Ausbrüdungen von p, q.
T, etc, (2). E :

Man koͤnnte auch bie Größen p, q, r, etc. . x, a ald Funktionen von
x. y, z gleich anfehen, und indem man jede diefer 3 Größen beſonders
eine Veränderung erleiden läßt; fo erhält man diefe Gleichungen:
dę de ' _ de _ dp dq,.. de
a ee a Fr Er ie Ze Ze
dę dr de dp dq dr |
— 1 — z— pP — — —
nn Tas ae "Ze
d? dr de dp de. .

\- *
dq £
Mn I — ve — u — PER 4
rd 7* ——

wodurch man die 3 Kraͤfte S,11,2, kennen lernt. a —

Sollte die Kraft Z wie vorhin nach einen gewiſſen feſten Punkt ges
vichtet feyn, die beiden andern Kräfte II und Z aber in gegebenen Ebenen
auf biefe fenfrecht ſtehen; fo koͤnnte man flatt = und e, die Bogen eines
Zirkeld nehmen, der mit dem Radius 2 in dem eben genannten Ebenen
befchrieben iſt; man fieht baher die gerade Linie Z als einen Radius Wels
tor an, und ed ift Far, daß, wenn man , @ bie Winkel nennt, bie bies
» fer Radius mit den auf den gegebenen ſenkrechten Ebenen macht, man ers
. hält de == Zdy, de = 2dp. Sonſt koͤnnte man allezeit durch die 3 vers
änderlichen Größen 2, y und © bie fage des Punkts beftimmen, worauf
die Kräfte angebracht find; Dan Tann alfo die Linien p, q. r, etc. durch
Funktionen eben biefer veränderlihen Größen ausbrüden; denn man hat
alsdann nur die rehtwinklichten Coordinaten x, y, z in 2, V, 9 auszudruͤk⸗
Een und hernach diefe Ausdrücke in bie von p, q,. r, etc. zu ſubſtituiren.

Betrachtet man baher bie Größen.g, 17 und 2 als veraͤnderlich⸗
ſo erhaͤlt man folgende z Gleichungen: |

v N

. — * —
— F .
nn — | 67
” Pe Due x N

dr
—— + q 91 LEE EEE
| dę * d?
— — dr
n=P—— RR —— er etc, | on
Ze ae |
ro ER ni
0 2dp 2dp 2dp

Hieraus fieht man, wie man in allen ähnlichen Fällen Serfaheen
muß, und wie fehr die vorhergehende Methode bazu dient, die Reſultate

von foniel Rräften ald man nur wil zu finden, und fie auf gegebene Die

rektionen zu bringen.

3) Wir wöllen nun die Formeln (2) wieber vornehmen uud zweiten
annehmen, der Körper oder Punkt, woranf die Kräfte P,Q,R, etc. wärs
ten, fey nicht ganz frey, fondern er fey gezwungen, fich auf einer gegebes
nen Oberfläche oder Linie zu bewegen; man erhält aldbann zwifchen den
Coordinaten x, y, 2, eine oder zwey Bedinguugsgleihungen, die nichte
anders ale bie Gleichungen der genannten Flaͤche oder Linie ſelbſt

find.
Es fen daher L = 0 die Gleichung für bie Flaͤche, worauf der Koͤr⸗
per nur herabrutſchen kann; man addire zur Summe der Momente der

Kräfte Xdx Vdy »+ Zdz das. Glied AdL (4 Abfihn. $. 4. 5.); fo bes

kommt man zur allgemeinen Gleichung für's Gleichgewicht:
Xdx = Ydy ++ Zdz -+ AdL == 0 |
moi eine unbeftimmte Größe ift.

L aber ift eine bekannte Funktion von x, y, z, man erhält daher

durch die Differentiation:
dL dL . dL |

u man nun bie a Subfitutionen ‚und ſct hernach

immer jede Summe ber Glieder, wovon jedes durch eine ber Differen⸗
A

tialgroͤſ⸗

&
Ba?
a

. 66

— dx, dy,.dz, malttplichet = 0; f em man folgente 3 bes
foudere Gleichungen fuͤr's Gleichgewicht:

: dL |
i X-i— oo, ;
dx J
dE
Y ———
= dy
dL
Hi 60.

Bringt man hieraus die unbeſtimmte Größe A weg; To bat man-
diefe beiden Gleichungen :

dL- _ de
u et Pia
EEE de

| welche folglich die gefuchten Bedingungen fuͤr's Gleichgewicht des Körpers

auf der. vorgegebenen Dberfläche enthalten.

| 9) Wendet man nun hier die im 4tem Abſchn. Art. 7, vorgetragene
Theorje an; ſo wird man hieraus den Schluß ziehen, Daß die Fläche dem

Körper einen ve) ray wird,

rd]

tft und deffen Richtung die auf der Fläche fenkrechte Linie iſt, deren Glei⸗
dung dL = o ift, d. h. die ſenkrecht auf derfelben Fläche iſt, Ren
der Koͤrper gefeßt iſt; man hat aber (8)

1 — X,
A dL CZ — -Y, |

\ dy

Pd | — —— 67

A Ir — Z
folglich ift der Druck des Körpers auf die Fläche (welcher allegeit gleich
und gerade entgegengefeßt dem Widerſtand ber Fläche ſeyn muß)
— (X? -+Y? + 2?) und feine Richtung tft ſenkrecht auf diefe Fläche,
- Mur unter biefer Bedingung Eönnen die zwey vorhin gefundenen Gleichun⸗
gen für’ Gleichgewicht des Körpers flatt finden; wie man ſich durch bie
Methode der Zufammmenfeßung der Kräfte verfihern kann. Ze

10) Uebrigens findet man in dem Falle, daß nur ein Körper durch
gegebene Kräfte gezogen werde, noch einfacher die Bedingungen des Gleich⸗
gewidts. Denn fubftitutrt man fogleid in der Gleichung Xdx -+- Ydy
-- Ldz = 0 an bie Stelle ded Differentiale dz deſſen Werth

x 5 EN welchen man aus ber Differentialgleihung
u.

der gegebenen Fläche, worauf der Körper wegruͤtſchen kann, gezogen hat,
und man ſetzt nun bie Goefficienten der Differentialien dx und dy, die un⸗
beſtimmt find, nad der allgemeinen Methode (2 Abſchn. 10. == o; fo
bat man fogleich die 2 Gleichungen : |

dz ö .
Die mit denen oben gefundenen (8) übereinfommen,
ar 33 Ehen

—2 —

=
\ —
!
- Es
- ARE
x

PP} *

68 |
Eben fo wäre ber Körper gezwungen, ſich auf einer Linie Yon einer

gegebenen Figur, deren Gleichungen dy = pdx, dz — gdx wären, zu .

bewegen; fo hätte man mar dieſe Werthe von dy und dz in die allgemeine
Gleichung Xdx + Ydy »—. Zdz —= 0 zu fubflituiren, und man erhielte,
nachdem man mit dx dividirt hat: SL |

⸗ X hr Yp >» Zqa = oO
für die Bedingung des Gleichgewichts,

Uber in allen Fällen, wo mehrere Körper im Gleichgewicht find,
wird die Methode der unbeftinmiten Eoeffictenten (4 Abſchn.) immer den
Vorzug fowohl wegen der Leichtigkeit als Einfadyheit und Gleichförmigkeit
des Calkuls haben. ——

8 F §. I.

Vom Gleichgewicht mehrerer bey einem Syſtem von Koͤrpern, die
als Punkte betrachtet werden, und durch Faden oder Stangen unter ein⸗
ander verbunden ſind, angebrachten Kräfte, Ä

11) Die auf jeben Körper wuͤrkende Kräfte mögen auch befchaffen .
eyn, wie fie wollen; fo haben wir oben (2, 5) gefehen, wie man fie
mmer auf 3 X, Y, Z bringen Bann, deren Richtungen bie 3 rechtwink⸗
lichten Coordinaten x, y, z, eben dieſes Körpers find, und die dieſe Coors
dinaten zu verfeinern fireben. Wir wollen baher um mehrerer Einfach⸗
beit bier uud in der Folge immer vorausfeßen, daß alle auf einen Punkt
wuͤrkende Auffere Kräfte auf 3, X, Y, Z gebracht feyen. Die Summe’ der
Momente diefer Kräfte wird alfo jederzeit durch bie Formel Xdx + Ydy
-+ Zdz ausgedrädtz folglich wird bie Summe der Momente aller Kräfte
des Syſtems durd) die Summe von fo vielen ähnlichen Formeln ausge⸗
drückt, als bewegliche Körper oder Punkte vorhanden find, Indem man
durch ein, zwei, dreim. m. Striche die Größen bezeichnet, die ſich auf
die verfbiedenen Körper, die wir mit ben Zahlen 1, 2; 3 u. ſ. w. bezeich⸗
nen wollen, beziehen, |

—⸗

— e —— e — ee — — — — —— -

*
* = r D
z .
- RR »
” ⸗
*
x - i “
x
r

Auf Bee Urt erhoͤlt man fuͤr die Summe der Momente der Kraͤfte,
De auf 3 ober auf eine noch größere Anzahl von, Koͤrpern wuͤrken bie
Größe: |
X’dx! + Yidy!-p Z’ FW pr Xldxll 2 Yu aͤyv⸗ 4 zu dat"
X dx’ — + Zu dz’.t + etc. ” |

Man hat baher nur noch die Vedinhungoglelchungen L. L=o, M=o,
N: == 0, etc., bie aus der Natur der Aufgabe folgen, zu ſuchen. |

Da man L, M, N, etc. oder nur ihre Differentialien in Sunftionen
von x’. y’, z/, x” etc. hat, und man nimmt die unbeftimmten Coeffictens
ten A, a, », etc. anz fo fat man zur vorhergehenden Größe bie Glieder
adL «Fr iM »r vdN »r etc. zu abdiren, und hierauf bie Glieder,
worinn jede ber Differentinlien dx‘, dy!, dz’, dx’, etc, vorkoͤumt eino⸗
zeln = o zu ſetzen. (4 Abſchn. 5).

12) Wir wollen zuerſt 3 Koͤrper — , bie feſt an — un⸗
dehnbaren Faden gebunden ſeyen. Die Bedingungen ber Aufgabe find
alsdenn, daß bie Diftanzen zroifchen dem erften und 2ten Körper, und zwi⸗
fhen den ten und Zten unveränderlich feyen, Indem fie Längen der zwi⸗

ſchen dem Körpern enthaltenen Theile bed Fadens find. -Nennt man nun

f die erſtere diefer Diftanzen, g die 2te; fo find die Bedingungsgleichun⸗
gen di — 0, dg — 0; folglich dL — df; dM == dg |

. und bie allgemeine Gleichung für's Gleichgewicht biefer drei Körper iſt:

⸗

folglich, wenn man differentiirt:

xda + Ydy! + Zida! X pp Yıldylı Vνν
+ Xitggis 2 oYıl dy’t 4 ZU Az | =
| + Adf-r „dg == 0,
Man fiehet aber leicht, daß
Berater al a

33 N

70 | B _—_

= Gi — x’) (dell — dat) 4 (y — yl) * — 3
(2“ — 22 (dz!! — — dı‘)

ie zei 2 — 11) (dx dx) + (yır —_ y (Ay — av
(zii = ) (dz!t — da!)

. z 8
Subftituirt man dieſe Werthe; (fo bekoͤmmt man folgende allge⸗
meine Gleichung als Bedingung des Gleichgewichts der 3 Koͤrper:
X/.dx! + Yy dy’ + L'dz! m Kuda edge + ZUld nn Kıu dxiu -
+ Yıargyl u Zitgzit
— (xt er ur 2% I: : qy“ 4 y/) Se — 82
(zU 20) (dal! — det) — (xt — xiH) 2 - delt) |

* A Fern g Ferge EF A Zu Da Tea

(yil_ yi) (dyin — I). se — 2’) — — eu)

8
X_ —— rk x (r- — ————
f |
Ay + > 142] de’ + [x + ‚=
ö F f
— [x =] dx [v“ — „or
s | DI. J
M v Un —
_. g hy + [z“ A en u =
dir [x + —— Pe * 12 + u — — ya) ) |

ayıı

> &

\ — E I. 7:
un 3
ayu⸗— + [2" +» Qt 7 Jazı— 0,

Setzt man nun (nad Abſchn. 2, 5 mıd Kon. 3, — die Glle⸗
der, deren Faktor eine der Diffeventalgrößen dx’, dy’, da!, etc, ift, alles
mal = 0; M.) fo bekoͤmmt man folgende 9 Gleichungen für die Bebins -
gungen des Gleichgewichts ded Fadens: |

xt x
— —A 9 =O0 _

f
U _ wit -
v—i(! Fi .)=o
% = —
— ) *60
— gu — x’ U gi
Xu 4 ı( —— — J —0

— —* u

* — — 77 —

8
= — x

— =0

zur

m_
en AR Bupr er =) _ == 0

= 2

zu
m _— ©

zu He:

- Man hat nun alfo nichts weiter noch nöthig, als bie Beiden unbes
kannken Größen A und a mwegzufchaffen; meldyes auf verfchiedene Art ges
ſchehen kann, vu man auch Bene, ober —— unter ver⸗

| ſchie⸗

72 _ — —

ſchiedener Form fuͤr's Gleichgewicht Zer an einem Faden feſtgemachten
Koͤrper vorgeſtellte Gleichungen erhalten wird; wir wollen diejenige Me⸗
thode waͤhlen, die am eiufachſten ſcheint. 5
Man ſieht ſogleich Leicht ein, daß wenn man bie 3 erſtern Gleihuns - "
gen zu’ den 3 folgenden addirt und eben fo aud) zu den 3 lebten, man biefe
3 von den unbefannten Gröfen ‘A und « befreit erhält; (und man bes
kommt folgende 3 Gleichungen. PM)
XXX Xlimo (L)
Yon Yu. Yıl zo (II)
ZZ +70 (M) n. |
Cindem alle andere Glieder fich gegen einander aufheben. M). Hieraus
erfieht man alfo, daß die Summe aller jeder der 3 Achfen ber Coorbinas

„

ten parallelen Kräfte = 0 feyn muß.
Es ift nun alſo nur noch Abrig 4 andere Gleichungen zu finden; in

> piefer Hinſicht adbire ih, ohne mid um bie 3 erfien Öleigungen zu bes

kümmern, die 3 mitlern zu den 3 leßtern, und ich bekomme dadurch fols
"gende, worinn a ſich nicht mehr findet: | Eh

A
x + Xu 76 — x) — 0
| R
yı 2 Ya + 7 (y“ — y’) ==o
a
ZU ZU 7 (2 — 2!) =o

(Aus ber erſtern Gleichung ziehet man

N ‚Xu Xu
ler)
t

aus der 2ten V
— yo ya :
rn — 2. | |

und aus ber Sten

=; 72. 2 Zi |
a 2 |

j *
- SEE ; : .
| Setzt man nun = foldder Werthe von 7 einander gleich; fo erhaͤlt
man wieder andere Gleichungen worinn ſich — nicht mehr befindet. M

Durch die Wegſchaffung von-A gelangt man alfo su ben 2 folgend >
Gleichungen: * —

(IV) MA Yu Bee ie Xu. xuu E

2 — 2

| (v) ZU 2.zu _

— (KH X) =0o,
!

Betrachtet man endlich bie 3 legten Gleichungen, die a allein ents
halten, und man fhafft died 4 weg; fo bekoͤmmt man (durch ein dem

vorigen völlig ähnliches Verfahren M), dieſe beiden andern Gleis
Hungen: i
MT y.r — u

.(VIy I—- wu u X =o
zu —_ zu
77 —— ri

wir) zu _

—

Dieſe ſieben Gleichungen ſchließen alle fuͤr's Gleichgewicht der —
per noͤthige Bedingungen in ſich ein. chgewicht der 3 Kor⸗

13) Wäre ber Faden, ben wir immer als undehnbar annehmen
don 4 Rörpern befchwert, die von den Kräften X, Yı, Zu, Xu Ya zu
X etc. nach den Direktionen der drei’ Achfen ber rechtwinklichten Coordi,
unten gezogen würden; fo fäube — durch ein dem vorigen aͤhnliches

F Ver⸗

te)

74 —

Verfahren, welches ich für unnoͤthig halte zu wiederholen, folgende
9 Gleichungen fuͤr's Gleichgewicht diefer 4 Körper:
CDXA- KU KU KU ng
— Ya Yu + yıu u Yu u 9
F (III). Z + ZU ZU 4 TUN Zee ö \ a

” 2 U ut re nn

U_y Be
(IV.) VVAM yıı 2 vu⸗ — — MT KM KUN) zu 9

(v.) ZH ZT—

— 2 tı j y
= (X KU KIN = 0

ES ENGEREN | it _yiü ne

(VL)YU „YUt _ mn &" un KUN) —— 0
’ ’ x X

—

iu
(VIL) z1 >L. z/ —
xX—

(VIII. Ya — — 3 ut — 0 —
x. — xt " r 5 *
2 — 2
(IX) zu _ — Kl = —o

5 LLLL — Im

Es iſt leicht, dieſe Aufloͤſung auf eine große Anzahl von Rörperir
zu erſtrecken, als man nur wünfcht, und felbft auf bie Kettenlinie; doch
wir werben biefen Fall noch befonders durch bie am Ende des vorherge⸗
henden Abfchnittd gelehrte Methode betrachten.

14) Wollte man, daß ver erſte Keorper feſt ſey, fo woͤrden bie Difs
ferentialgroͤßen dx’, dy“, da! = 0 ſeyn, und die Glieder, worin Diefe °
Differentialgrößen vorfommen,, würben in der allgemeinen NR fürs _
Gleichgewicht von ſelbſt verſchwinden. —

Alſo wuͤrden die 3 erſtern Gleichungen nimüch:
Kl — alt — 2)=0 |

.yu

*
⸗

halien wir uns nicht weiter dabey auf,

x ar
i
—— — — { 75
—

A | —
vu. _ mov
70 J o

— |
ZU — (Gt n)=0.

nicht mehr ſtatt finden; alsdann aber wuͤrden auch die Gleichungen

X X 2 Xu et. =0
Yır Yiz Ya etc, — 0.
UrZu LA etc. = 0

- nicht mehr ftart fanden. fönnen, alle andere aber würden unverändert blel:

ben. ° Dies ift, wie man fieht, der Fall, wo der Faden mit einem feiner
Ende feft ift. Ä |

Waͤre er aber mit ſeinen 2 Enden feſt; alddann hätte man nicht.
gur dx’ = a, dy’ = o,dz! = 0; findern auch dx“ ete. = 0,
dy!ete. æ o, dz2“ etc. = 05 und die Glieder, worinn dieſe 6 Diffe⸗
rentialgroͤßen in der allgemeinen Gleichung fuͤr's Gleichgewicht votkom⸗

"men, wuͤrden verſchwinden, und folglich auch bie 6 davon abhaͤngenden

befondern Gleihungen verfhwinden machen. | e

I 5) Ueberhaupt wenn die 2 Enden bed Fadens nicht völlig freh,
ſondern nach einem gegebenen Geſeße an bewegliche Punkte feſt gemacht
wären; fo würde dieſes Geſetz analytiſch ausgedruͤckt, eine oder mehrere

- Gleichungen zwiſchen den Differentialien dx’, dy/, dz’, bie ſich auf ben ers

fien Koͤrper bezfehen, und ben Differentialien dx’ eıc., dy etc., dz’’fete,,
die zum lezten zehoͤren, verfihaffen; und man muͤßte diefe Öleihungen,
wenn man jede durch) einen neuen unbeſtimmten Coeffickenten multiplicirt,
zur allgemeinen oben gefundenen Gleichung fuͤr's Gleichgewicht abdiren,

. oder vielmehr man müßte In diefer allgemeinen Gleichung den Werth eines

ober mehrerer diefer Differentialgrößen, weldyen man aus ben genannten
Gleichnngen gezogen hat, in diefer allgemeinen Gleichung fabftituiren,

nid hierauf den Coefficienten von jeder die uͤbrig geblieben if, = O fets

jen, wie-oben (9) gefhehen il, Da bies Feine Schwuͤrigkeit hat; fo
8a Ä = 16)

76. ae |
16) Berlangte ı man bie Kräfte kennen zu lernen, bie von der Re⸗
aktion des Fadens auf die verſchiedenen Körper herkommen; fo hätte man

fs nur der im DOrNergeNeuben Abſchnitt $. 7 ara ARE zu bes |
dienen.

Man erwäge daher, dag man im — Falle hat:
dL = df — (x! — x) (dx‘* — dx‘) + (vi y1) (dylt dy’)
rat — 2‘) — — de‘).

3 IM — dg u. — xl) Car — ix) + (y’# — yı1) (dy in.

\ — dyl) dr (at _ u) zu = 4)
‚ — — —— — — — nme
— 8
etc.

Man hat alſo in Anſehung des erſten Koͤrpers, deſſen —2

in xl —_yl
x", y/, 2 find — 2 7 2,
* ee y —
— —
dL ._ alt z!
DE Zu J

dL va [ SL =
folglich (5 zen * =) ri (=) I
— Clean + (yY—y!?+ Gr ze).
f

=L )

Auf diefe Urt wird der erfte Körper durch die te Wintars der andern
eine Kraft = A erhalten,- deren Direktion auf der durch die Gleichung
‚dL = df = 0 wenn man nur x‘, y’, z’ al il auuimmt, vorge⸗

ſtellten Flaͤche ſenkrecht ſeyn wird.

F Maum

m — m 1 — — —
»
€
+
-
Fi K
x

une . | 77

Naum aber iſt leicht elüzufehen, daß diefe Fläche nichts anders if

— eine Kugel, deren Radius == f ift und deren Mittelpunkt ſich auf die

Eoorbinaten xy! zu beziehet; . folglich wird die Kraft A nach eben biefen .
Radius ihre Richtung haben, d. h. nach der Sänge bes Fadens, der den
erſten und aten Körper verbindet,

2) Eben ſo hat man in Anfehung des zten u Korpers, beffen er
Binaten find x’, y“, 2“, bie Gleichungen

LE oo xt.
Pr RE,
dL —-
au "Eu wu
dL zit — z!
. dit m 7

ſolslich r| — * (=) +) >

Klee tg mr] —
F

— falot „ daß der ate Körper auch eine Kraft A — wird,

die fenfrecht auf ver Fläche fleht, deren Gleichung dL == di= o ifl, wenn

man x’, y“, 2 ald veränderlih annimmt; allein dieſe Fläche iſt von

‚neuen eine_ Kugel, been Radins f ift, deren Mittelpunkt aber fi auf
die Coorbinaten x’. y‘, z’ bed erſtern Körpers bezieht; bie Kraft A, die

‚auf den 2ten Körper wuͤrkt, wirb alfo auch ihre Richtung nach ben Gaben

f haben, ber biefen Körper mit dem 2ten verbinden,

a 3 J 3) Fer⸗
*) Im Original fleht: = , welches vermuthlich An Druckfehler if.
| ur : - | m.
RZ I

3) — hat man in Anfehung des aten Kerpers

u —_yu
D=- —
8
‘AM ya ya:
dM zus — z/!

ER EN SEEREER . fi
: glich

—
—

——

Der ste Körper wird alfo auch durch eine Kraft = a getrieben wer:

den, deren Direktion ſenkrecht auf der durch die Gleichung dg = o, wenn

man x’, y“, 2“ als veränberlich anſieht, vorgeftellten Fläche iſt. Dieſe

Flaͤche aber iſt nichts anders als eine Kugel, deren Radius = g iſt; es

folgt alfo, daß bie Direktion der Kraft m nad) diefem Radius feyn wird,
b. h. nad) den Gaben, ber bein een Körper mit dein 3ten verbimpet.

Eben diefe Schluſſ e wird man bey den andern Koͤrpern — und

| ähnliche Refultate daraus herleiten.

17) Es ift offenbahr, daß die Kraft A, die beim erften Körper |
nach ber Direktion des Fadens hervorgebracht wird, ber biefen Körper
mit dem folgenden verbindet, und die Kraft A die der vorigen gleich aber

| ihr gerade entgegengefeßt ift, uud bie nad) ber Direktion beffelben Fadens

auf ben andern Körper wuͤrkt, dieſelben Kräfte mit denen ſeyn möffen,
die von ber Reaktion eben dieſes Fadens auf d Körpern herkommen, d. h.

von der Spannung, melde der zwifchen bem erften und 2ten Körper ents

haltene Theil des Fadens leidet; fo daß ber Coefficient A die Groͤße dies
fer Spannung ausdrüdt. Ehen fo wird der Eveffictent » die Spannung
des Theils des Fadens ausdruͤcken der zwiſchen dem aten und Zten Koͤr⸗

ver enthalten it, u. ſ. f.

Uebrigens chhat man bey der Auflöfung ber a Aufgabe
rilfäweigend DOBLDgeIen? , daß ne Theil des Fadens nicht nur unaus⸗
dehn⸗

behnbar fondern andy unbiegſam fey, fo daß er immer bie naͤmliche Laͤnge
behält; die Kräfte A u et. drücken alfo die Spannungen nur in fo fern
aus, als fie die Körper näher an einander.zu bringen ſuchen; Strebten '
fie, fie von einander zn entfernen; fo wuͤrden fie vielmehr die Widerflänbe
ausdruͤcken, die ber Faden vermoͤge feiner Unbiegfamfeit ober Unzufams
mendrückbarkeit dem Körper entgegenfegen kaun. |

18) Um das was wir eben bewieſen haben zu beftätigen, und zus
gleich eine neue Anwendung unferer Methoden zu geben; fo wollen wir
annehmen, daß der Faden, woran die Körper feft gemacht find, elaſtiſch und
einer Unsdehnung und Zuſammenziehung fähig ſey; ferner feyen F, G, etc.
die Zufannmenziehungsfräfte ber. Theile f, g, ete. bes Fadens, tie zwis
fhen dem rten und 2ten und dem aten unb Zten Körper enthalten find.
Alsdann iſt Caus 2 Abſchu. 5.) Mar, daß die Kräfte F, G, etc; die Mo⸗
mente Fdf + Gdg etc. geben werben. Diefe Diomente muß man alfo zu
denen addiren, die von der Wuͤrkung ber fremben Kräfte, die, wie wir

. (ro) gefehen haben, durch die Formel X’dx’ «+ Y’dy’ + Zidzt + Kıldxı

+ Yıldy!! 2 ZHdal! + Kid Yıldy't 4 Ziudziü ete. außs

gedruͤckt werden, herkomigen; und dadurch erhält man bie ganze Summe

der Momente des Syſtems. Sonſt ift Feine andere befondere Bediu⸗
gung zu erfüllen, welche auf die Lage ber Körper Beziehung hätte, man
hat daher die allgemeine Glädhung für's Gleichgewicht, indem man die
angeführte Summe —= 0 feßt; aljo erhält manz —

XEdx4 Yıdy! + 2 dz! + Xrdet 2 Yıdyı 2 Zudzl

4 Xu 4 ——— 24 dgl 4 etc, j

++ Fdf + Gdg 4 ete.= O0,

Subflituirt mau nun die (11) gefundene Werthe vom df, dg, ete.

und ſetzt allemat die Summe: ber Glieder, worin jede ber Differentials
größen dx’, dy’, etc. vorkoͤmmt = 0; fo har man folgende Gleichungen

. für8 Gleichgewicht bed Fadens für den gegenwärtigen Fall:

80 en —_

VW y
g=— rl —
“u ‚
you rl . I.

U gt .

X F—

45 (y“ — y!) _6 (yiıl _ y")
Zi el en
8
f . f g —
2. + N,
g

Hut
ya - zu).

— — —— zum 0 : J

a ee x’) G (x. — x)

b Cu = 0

(z’' — a’).

ZU" +6 ———o
| Pau

fie find, wie man-fieht, denen analog, bie wir für den Fall, wo des Fa⸗
den unausbehnbar iſt, (17) gefunden haben, wenn man nur A=F,
2 =G etc. feßt. Man erfi ct alfo hieraus, daß die Groͤßen F, G, etc.
bie hier die.Kräfte der Faden unter br Vorausſetzung, daß fie elaſtiſch
find, ausdrüden , einerley mit denen find, die wir (16), um eben biefe
Kräfte der Faden unter der EN daß fie ER: feyen,
gefunben haben.

19) Wir wollen noch einmal Ben Fall vornehmen, wo ber Faden
unausdehnbar und mit 3 Rörpern befchwert iſt; aber wir wollen zugleich.

vorausfegen, der Körper koͤnne von der Mitte an nach der länge des Fa⸗
- dens

— — — — — — — — — — — ——— — — on
U
“
.

N . j i
Ne: 81

dens ruͤtſchen; in dieſem Falle wird alſo die Bedingung der Aufgabe ſeyn

daß die Summe der Diſtanzen zwiſchen dem ıten und 2ten und zwiſchen
dem 2ten und Zten Körper beftändig ſey. Nennt man alfo wie oben £ und

8 diefe Entfernungen; fo Br +8 = Confl. und folglich,

87%

| Man muß daher die Differentialgroͤße IE -+ dg durch einen unbe⸗
ſtimmten Evefficienten A multiplictren, und zur Summe der Momeute der
verſchiedenen Kräfte, die, wie man angenommen. hat, auf den Körper

- würfen, addiren; dies giebt folgende Gleichung für's Gleichgewicht:

Xdx + Y’dy’ 4 Z’dz' +. Xltdelt Yıdyıı 2 Zidztt 4
X dgl go Yılldyllt np Zi dal! er 1 (dr de) = 0.

Suvubſtituirt man hier wieder bie Werthe von df und dg und fegt die |

Summe ber Gtieder, worin jede der Differentialgrößen dx‘, dy’, etc. vor⸗

kommen, jederzeit = 0; fo erhält man folgende Gleichungen fuͤr's Gleiche
gewicht des Fadens: a |

(EM
— (I F = i

— —
v-r( - yo

—

— ty gg i

R — — a

Ei 38 |

yYuaı (EI —0
nz f 8 DEE 2

zz! zii _ zii

mal N

u en ge / —

a 7

| |

* FE: * *
82 —2 ar
ı
f} '
Pr x

0 an Kl | J
uni — 9—0
8

My
I A —— — 0

MH _ al
zu 44 ZH == 0

wo man nur noch Die unbefannte Größe A wegzufchaffen hat.

Man fichet hieraus, wie man zu verfahren habe, wenn eine größere

"Anzahl von Körpern vorhanden wäre, wovon einige feſt an einem Faden

wären, bie anderen aber frey barauf wegrütfchen koͤnnten.

20) Wir wollen jegt annehmen, die 3. Körper ſeyen durch eine uns
btegfame Muthe mit einander verbunden, fo daß fie immer einerley Dis _
flanzen unter’ einander behalten müßten; in biefem Falle müßte nicht als
Yein = 0, und dg — o feyn, fundern audy das Differential ber Dis -

ſtanz zwiſchen dem erften und zten Körper; meldye wir durch b bezeichnen,
müßte = o ſeyn; nehmen wir daher die 3 unbeflimmten Coefficienten

A, a, », an; ſo erhält man diefe allgemeine Gleichung für’8. Gleichgewicht: -
Xdx + Yidy! «+ Z’dzt m Xlldal! m Yıldyll Z’ldz!! sg Xıtt dx16
„pn Yırdyln g Zitdzett = Adf > udg uih=o

Mas die Werthe von df, dg betrifftz fo haben wir fie fihon oben
sefanden , was dh anlangt fo ift far, daß |
hey (ui $lyU—yıy) + (ai ———

und folalih dh = (x! = xN) (dx — dx) Hy —yr) (dydı —d |
nd folglich | | a — | ——

Macht man dieſe Subſtitutionen und ſetzt man die Summe der Glie⸗
der, wovon jede der Differentialgrößen dx’, dy’, etc. ein Faktor iſt, jes
berzeit — 0; fo hat man biefe 9 befondern Gleichungen: —

⸗

ruhe Te ih tr RE ni nn ae u — —

de.

(x — x)
‚ey.
f

KR
v_
4
s f

xu +ia (2 _ x!) u

vu >
en
xug CZ
a

= zu 4 Pr che = =)

woraus man bie 3 unbefannten und anbeflimmten Größen A, u v wez⸗ |
fchaffen muß, und dadurch wird bie Zahl der Bebingungsgleihungen

U uf
(y II 5

⁊
BE

(al — — —

— ——— m
—

—
FR

(x ae x’)

BB — —— — —⸗60

(y⸗ a y =
8

URTEILS SEE ne €)

„r — xl)

— —öo0

GHE—Yy)_
— —.

il 209

für's Gleichgewicht ſi ch auf 6 bringen laſſen.

21) Man fleht leicht, ſelbſt aus der Form dieſer Gleichungen, daß,

wemn man die 3 erſtern zu den 3 folgenden und hernach zu den 3 letztern
addirt, man ſogleich 3 Gleichungen bekoͤmmt, worin Ay 4, 9, nicht mehr

vorkommen, nämlid:

— — X’r X’ X mg 5

Yıl = o

'+ 2041" =o

VT I-⸗

r ! \ ⸗

84 u - | Sr
Nichts iſt leichter als noch; 3 andere Steihun en er
durch d
— en ! in erhalten; m aber hiezu auf Nie einfade ne.
elangen; fo ziebe i { obigen X R
folgende 9 veränderte: s fo ziebe ich zuerſt aus den obigen Gleichungen

Kıyı _ Yıl En (yx!! — x'y!l) _ „ir _ x/yliı)

= 0

h
\ Fyli
Ki _ Ui (x! — X) : (zixtli _ x'z'l) ER j
£ — — — 0
— U ylalli ’
Yu zyı al y =, .) „ey —y’z) .
| | es h a —
LM " -
xuyu zug ZEN) tr,
Ki — yv went (z’ x — x’z”) (z/1 x — x) x
VE Zu , —— x”) . (Vν
f = A 737 m O0
| " Ugl —
Xiye — (yxıı xy’) — —VV——
h —
Xıd zdf — ZU Od 4 f (zit! x17 — xdtz) 2 (xt — xlzın) Ze
b j

S (2 y/u —— MIN Voll
Vera Zyll ri we . Ye),
f

Diefe Gleihungen find mit ihren urfprü iglichen
pruͤnglichen analog, und
daher auf eben die Weiſe durch die ſimple Addition folgende drei

ur Xiy!

*) Im Original ehe — u TI) m
8 |

o0), Ich halte ed für unnöthig, Hier wieder von neuem zu zeigen, wie Diefe - |

j * Glei⸗

Yy — — 4 X y — Yıyt > Xulyiı En Yrdıı 3 — O0
U Kit Zt Lo Kiga — LM Kt u 6
y a — Z/yl + Yılzl — 7 y 2 Yılzld — 2 ylll —

Dirie g erſtern Gleichungen jeigen , daß die Summe der jeber ber
3 Achſen der Eoorbinaten parallelen Kräfte Zo feyn muß; bie 3 legtern
- aber enthalten ben bekannten Orundfag der Diomente; (Indem man unter
Moment das Produkt der Kraft in den Hebeldarm yerſteht,) vermoͤge
bem die Summe dev Momente aller Kräfte = o feyn muß, wenn das
Syſtem ſich um jede ber 3 Achſen drehen ſoll.

22) Wäre der erſte Körper feſt; fo wuͤrden bie Differentialgrößen
dxt, dy‘, da’ == 0 feyn, und bie 3 erftern der 9 Gleichungen (20) würs _

den nicht mehr flatt finden; alsdann hätte man alfonur noch 6 Gleichungen,
die duch Wegſchaffung der 3 unbelannten Größen A, m, », fich auf drei
bringen lleßen. Um zu biefen 3 Gleichungen zu gelangen, ann man auf
eine mit berjentgen analogen Methode verfahren, deren man ſich bebient
hat, die 3 letztern Gleichungen (21) zu finden, menn man nur bergeftals
zu Werke geht, daß bie veränderten Gleichungen nicht Die unbeſtimmten
Größen A und v, die in den 3 erftern Vorkommen, und bie man jeßt aufs
fer Acht laſſen muß, enthalten. Durch diefe Combinationen befomint

man alfo - °
HU WLAN —
Xu — y)— =, (x’! . et, y (x „ —* > un | = — 0

8
N ® Ham gl (ll u UN un fr
F x’ — =) Lit x‘) PERL z ” = 7— ( =) j=0

—

— u® yy—(yl
Y'(#!-2)— 7" viel ) Se ya” F * —
8
3 .. — x. *
Gleichungen aus den vorigen entſtehen, indem das Verfahren mit dem vor⸗
hin ſchon mehrmals gebrauchten dad pemliche iſt M.
*) Das s im mn biefer aten Gleichung fehlt im —— Driginal
sanf. .

&_.

ylll _y Um gl
x. GU—y' —* (xl x!) — — — 9

J ie HU — xl
X (zit! — — zu ax) > u ra 2) mo
8

und addirt man die 3 erfiern dieſer veränderten Gleichungen zu den 3 letz⸗
tern; fo erhält man fogleich folgende 3:

gu G"-y) _yu Kurt) Xu (Guy —— (xUt-x) — —

yu (ZU: 29 — ZU (HR) KUN (ZN) ZU RK) eo
V a1 7) 1 Hy RT HEN) LUNG) o

welche allezeit flatt finden werbeif, wie aud) ber Zuftand bes erften Koͤ⸗
pers befgyaffen feyn mag, indem fie gar nicht von den auf biefen Körper '

fidy .beziehenden Gleichungen abhängen. Dieſe Gleichungen enthalten,
tote man fieht, den nemfichen Grundfaß der Momente jeboch in ra
hung auf bie Achfen, die durch den erſten Koͤrper gehen.

23) Wir wollen jetzt annehmen, ed wäre noch ein 4ter Körper an
diefelbe unbiegfame Stange feft, deſſen rechtwinklichte Coorbinaten feyen:

wa, ylll, zul. and bie diefen Coorbinaten parallele — re
zu,

Man — daher zur Summe der Momente der Kraͤfte die Größe |

zul gg 2 Ye dyltt ZU da’ adöiven; hierauf erhielte man,
da bie Diftanzen zwifchen allen ben Körpern beftändt 8 bleiben muͤſſen,
nad) den Bedingungen ber Aufgabe nicht nur do, dg=—=o, dh==o;
wie im vorhergehenden Falle; fondern auch)
d= 0, dm == 0, dn = 0,

menn man, mn bie Diftanzen des gten Körpers von den 3 vorherge⸗
henden nennt. Die allgemeine Gleichung fuͤr's Gleichgewicht wird alſo in
dieſem Falle ſeyn

sm Ä 37
Kidzt pr Yldyt Fo Zidal XEα de Yıldylı ho Zldi pr
2 Xrdxtib 2 Yılldyll nz ZU ZU 2 KUN Axllll z Yradyllr
Zu dat + Adf »4 udg + sdh + ade dm + edid—=o
Die Werthe von df, ‚ de. dh, find die nemlichen mit den obigen (16, r
20); maß aber bie von di, dm, da angeht; fo ift offenbar daß
l == vr [ext — x!)? + (yııı — y')? 4 (2’” — 2)?
m == A [cat — x/⸗ — — — y — (z’" — A
nr [(sl— xl u Ayiı — y — wu — zu
und folglich

di = —— x‘) site dx’) + (yıll — 3% + ( ——
(ꝓ — 22 4 (dz UM - dz’)
Ä 4
da == (xl — xl) (Axt dx) Fly Yin) (dyam _ dy!n
+ (z _ * (dt __ dr)
— —— —

— (zu x (dx — dxır 4* —— y’r) (dyrıt —dytN)
+ (24 _ zii) Y (dat — dz’’!)
—
Macht man dieſe Subſlitutionen, und ſetzt man bie Summe der Glie⸗
ber, worin jede der Differentialgrößen dy, dx, etc. vorkoͤmmt, — 0;
ſo findet man 12 befonbere Gleichungen, wovon bie 9 exrften die nemlichen
"mit denen (20) find, wenn man. zu ihnen folgende Größen abbirt:

(æ“u — x) i (you —y) (zu — 29
Sa re
guy ya y (zu _y
un Pe een, — — — p —
— xinı — x’' 0108 — 44 —WM — 24
— — — — F
— N . a . n

. .
* en x (Mau
*
\
.

.88 oo. = —

(Man befommt nemlich anf diefe Art für Stefe 9 Stedangen

(xt — 9 (x — x’) (x — x) _
— am —— — sus

f h
(y” — y’) (y“ — y — — 22
De
Y_ı 7 y — — —0
‚ae — 2") (zii! — 2° ) (@ — 29
zZ’ | —— — Y — {m (£ — —
2 + — — — — (x — x!) — (x — aa —
En g m
Hy H—yl | Hy)
a )_ —— — ie AR
f om
Gl 2) an _ EU (at — —
u ——
zu 2a B e a 0
HU gi ——— UN u gl
u eh „u —aı |
n
“4 Mm _ yuü u _ UN —_ yU |
ya ,® I,,8 »_,G m) _,
g h a n / Ä
— (di — UN — zii |
ZU (z/ DR («! 2) _ — Io
g h.
| Mm. )-
Die 3 leten aber find —
UN — fi xt U gilt
l m on N
HU | U —
vun, IN, SO, „G an ARE
zen — gar - 29 — — 29 — —— — zill) u
m on |

‘

24)

—

| —J — — 89
24) Da man 12 Gleſchungen und 6 unbeflimmte Größen L m,v, w,p.«
wegzuſchaffen hat, fo bleiben für bie Bedingungen bed Gleichgewichts uur 6
Hauptgleichungen für den Fall von 3 Körpern übrig, umd man findet auf
eben bie Art wie (21) folgende 6, benen (20) analoge Gleichungen :
XCA- XA KUN GL KUN — 0 =
Ya. ya az. Yılt z2 Yıllt og
Z' + ZU 4 zit + ZU — 0

XCA Yan Klyal E Kyil Yuan ge Kulıyanı

— Yıllı gl —_ 0
Kizt — Zixt z Kl — ZU KU ZU — Ziigin . Kan zum
Ylzt m Z’/y! Yılzld! — zuyti + Yu zeug 7 Ys zu

— 7 ya =0

Anftatt der 3 lebten Tann man auch bie 3 folgenden Gleichungen ſub⸗
flituiren, die man durch bie (22) vorgetragene Methode findet,‘ und bie,
indem fie. gar nicht von ben. Gleichungen, bie ſich auf den erften Körper

bezichen, "abhängen, nody ben Vorzug haben, daß fie immer ftatt finden,

wie auch ber Infland biefed Körpers befchaffen feyn mag:
X. (y” — ) — Y’lxt — x’) u x’ (y’ — y9) — Yu

GU—X)+ Kr (y“⸗ ER ) _— Y — x’ x) —

x (23 — 29 — 77 (x — x’) . X (2 — 1) — 7"

(x X) + , (zu ve 2) ER zua (x — x!) = 0

yu (@ -— 29 ZU u__ y) + Yu (20 —_ 2’) — zu
(y“ —y’)+ yYım (2 m 7/ ) — 707 (y— ) =o

..: 25) Man fiebt hieraus, wie man verfahren maͤßte, wenn. man die
Bedingungen des Gleichgewichts einer gewiſſen an einer unbiegſamen
Stange oder Hebel angebrachten Zahl von Körpern finden wollte, Ueber—

.. leuchtet es ein, daß, damit bie zefpeltive Lage der Körper unvers . Ki

ndert bleibe, die Diftanzen ber 3 erfien Körper unter einander beftändig feım
müffen, und daß eben dies dev Fall auch mit jedem ber andern Körpern von
sn ne mM | biefen

10T
{»-

.88 u —

(Man bekommt nemlich auf dieſe Art für bieſe 9 Gleichungen

———— aux)

Die 3 legten aber find
(U m x’)

— —
yıus N, p GO),
n
ji — q UN — zil
zen — and ‚ (zit — 2) —

‘

U — )
X x
——— nn

(x)

f h zu en
“__ u vl u
vatlnD_,Yor_ToDo
21; ‚a — 2") (zI! — z') (" — 29
u 0 Ta
I OR 2
2 v —W HU y UN:
u MSN _ Wi _
f 8. m
zU + un — RER anne! — Pi hen a) —0
f m
8 Mu —W — m gl
—— — — ee). u 2)...
— h n
- in _ gu ut _ HU — yU
— dene 10 run, BR, udn m
g h | n
U — yN u — U zii
zu % PD Fi „@ er) —
g nn -
m)

(xt = xiit)
A — ⸗

—* —ñ y“) —
n

: (zii — zit)

24)

—

|
B
Fun \

24) Da man 12 Glelchungen und 6 unbeſtimmte Größen I m, », 7, p.«-

megzufchaffen has, fo bleiben für bie Bedingungen des Gleichgewichts nur 6
Danptgleihungen für ben Fall von 3 Körpern übrig, und man findet anf

eben bie Art wie (21) folgende 6, benen (20) analoge Gleichungen :

XSA KU KU KUN u 9
Yız Yu. Yıll z. Yıll zug
| Z' + ZU. zit + Zi —— o

— Yun gilt —g

— zungun — 9

Yız! a Z'/y! HH Yılzı _ zu y“ + YO a ZU yU = Yrıdı zum
- = — 7 yo =o
Anflatt der 3 letzten kann man auch bie 3 folgenden Gleichungen ſub⸗

ſtituiren, die man durch die (22) vorgetragene Methode findet, und die,
indem ſie gar nicht von den Gleichungen, die ſich auf den erſten Koͤrper

beziehen, abhängen, noch ben Vorzug haben, daß fie immer ftatt finden,

wie auch der Inftand dieſes Körpers befchaffen ſeyn mag:
Xu (y“ — y‘) — V(x“ — x) ho x (y’ — y’) —_ Ya
— xt — x’) + Kr (y“ — y’) — Y Ze ._ x‘) —
x” (2 — 29 — 1” x’ x) + 2. (Zt rd) __ 70
(x’u —x') + Ren (2 — 2) — za (x — x’): 0
Ye (Gl) ZN. y7— yIy) + Ya — 2) zu
— (yıl—y') + Yu (.’'’— 2) — 2 (y“ — y)=o

25) Man fieht hieraus „wie man verfahren muͤßte, wenn man die

Bedingungen des Gleichgewichts einer gewiſſen an einer unbiegſamen

Stange oder Hebel angebrachten Zahl von Körpern. Enden wollte, llebers

ers leuchtet es ein, daß, damit die zefpeftive Lage der Körper unvers .

ndert bleibe, die Diftanzen ber 3 erfien Körper nuter einander beftändig ſeyn
muͤſſen, und daß eben dies der Fall auch mit jedem ber andern Körpern von

—— dieſen

—

Xy⸗ — Yırlızı Xıryıl — Yızllaz xruryin — VAlxiu4 Kuuyuu

ü X!iz! — Zx X — Z''x af xXılzii — —— 4 U zii .

⸗

—

90 J | { j

- biefen dreien ſey, indem die — eined Prabts alezeit durch die Diſtau⸗
zen von 3 andern gegebenen Punkten beſtimmt iſt. Fuͤr jeden neuen Köw -
ger, den man nod auf dem Hebel anbringt, hat man alfe biefelben

Schlaͤſſe und daſſelbe Verfahren anzuwenden, als (23) in Anfehung des
ten Koͤrpers gefchehen iſt; jeder derſelben veranlaßt 3 nene Gleichungen,
fo daß die Hauptgleihungen an Zahl immer denen bey 3 Körpern gleich
find; and) haben fie bie nämlidye Form, wie die (24) gefundenen.

Ueberdies laſſen fich biefe Gleichungen oſſenbar auf diejenigen brins

gen, welche wir (3. Abſchn. 3, 6.) überhaupt für’s Gleichgewicht eines -

gewiſſen freyen Syſtems gefunden haben. Denn da wegen ber Unbtegs
ſamkeit der Stange bie Entferunngen ber Körper von einander unveraͤn⸗
berlich find; fo folgt daraus, daß bas Gleichgewicht flatt finden muß,
wenn alle fortrüctenbe und brebende Bewegungen aufgehoben worden find,

Man hätte alfo durch diefe einzige Wetrachtung das vorhergehende Pros -

blem nad) den Formeln der angeführten Artikel auflöfen Fönnen; wir hiel⸗
ten ed aber nicht für unnuͤtz, eine direkte und aus ben befonbern —*
gen ber Aufgabe gezogene Auflöfung davon. zu geben.

46) Wir wollen nun von neuem den Fall der 3 durch eine Stange
verbundenen Körper betrachten und annehmen, fie fey in dem Punkt,
woriu ſich der 2te Körper befindet, elaftifch, fu daß die Entfernungen
dieſes Rörperd vom erften und leßten befländig feyen, der Winkel aber,
der durch die Linie diefer Entfernungen gebildet wird, ſey veraͤnderlich,

und die Wuͤrkung der Elaſticitaͤt beſtehe darin, biefen Winkel größer zu
machen, und folglich den aͤuſſern durch eine der Selten und bie verlängerte

andere gemachten Winkel zu verkleinern,
Wir wollen die Kraft der Elaſticitaͤt E nemen, und der auſſere

Winkel, nachdem ſie ſich wuͤrkſam — ſey e; fo iſt leicht zu ſchließen.

was wir im zten Abſchnitt feftgefeßt haben, daß das Moment ber Kraft
E durch Ede außgebrädt werben muͤſſe, fo die Summe der Momente

- aller. Kräfte des Syſtems ſey: |
xXdæ“ VdyY Zida + Ndeits vudy! 4 Zeidsll Kal.

dal 4 Sa + Zr dat er Ede
ee - Die

herdehenden Gleidiung; fo it Hat, Daß fie dieſelbe Form bekommen wirb,, |

dem befannten Theorem hat Col e ——

’
5 x
ba ®

Die Bedingungen ber Aufgabe ſind hier die nemlichen, ale (ur),

d. 6 dio unddg = 0;. folglich hat man folgende allgemeine

Gleichung fuͤr's Gleichgewicht: |
X dx’ VEdy + Z’de! + X det nr Yerdyt cn ZU dat do KU
dx’ 4 vee dyu + Zill dat 4 Ede Adf ud; = 0.

Man hat alfo nur die Werthe von de, df, dg zu ſubſtitniren, bie von ac,

und dg find dieſelben als in (11); und um ben Werth von de zu finden;

fo bemerke man, daß in bern Drebeck, deſſen 3 Seiten f, g, h, find (20) .

ber bee Seite h entgegengefeßte Winkel 180° — e ift, fo daß man nad
£ + g’—b?
—
| B 2fg |
durch bie Differentiation den Werth von de zieht. Man hat aber nad
den Bedingungen ber Aufgabe de —— o und dg ==.0; man braucht
baber dur e und h als veränderlich anzunehmen, weldes giebt
bdhk |

de FOR Subſtituirt man num diefen Werth in ber vors

8 woraus a man

als bie allgemeine Gleichung fuͤr's Gleichgewicht In dem Falle (20), wenn

⸗ Eh
man nur in biefer v — — ſetzt. Die befonbern Gleichungen find,

folglich in beiden Fällen einerlep, nur mit dem Unterſchied, daß in (20)
- bie Größe » unbeftimmt ift, und folglich weggefchaft werden muß; ba im

gegenwärtigen alle dieſe Größe völlig bekaunt iſt, und man nur die 2

unbeffmmten Größen A; » wegzufchaffen hat, fo daß eine Hauptgleichung
mehr. übrig bleiben muß, als im angeführten Falle, d. b. 7 Hauptglei⸗

Hungen anftatt 6. Da aber nichtö hindert, die Größe v mag bekannt

oder nicht ſeyn, fie nebft den beiden andern A, a, wegzuſchaffen, fo iſt Mar,
dag man aud) Im gegenwärtigen Falle diefelben Gleichungen hat, bie -

(21, 22) gefunden worben find, und am die 7te zu finden, hat man nur

A in den Z erflern und „ in ben 3 letztern ber 9 befondern Gleichungen

„M 2 (21)

—⸗

92 | . m

(21) wegzuſchaffen, und für y feinen Werth zu ſubſtituiren. | —

27) Haͤtte man übrigens in dem Werthe von dg nicht df und dg= o

feßen wollen; fo würbe man einen Ausbrud vun der Form
— hdh
fgfin.e

B Funktionen von f, g, h fin e find; - alsbenn würden bie 3 Glieder Ede
+ idt.$ adg der allgemeinen Steigung ſich in

Eh
fgfin. e

A und a find 2 unbeſtimmte Größen, man kann alfo offenbar an ihre

+ Adi Hr Bdg bekommen haben, wo A und

Stelle A — EA,. a. — EB; feßen, woburd die vorgegebene Größe a

fid in
Eh

fg fin.e

Ausdruck von de beftändig gewefen wären,

dh == Adf »r „ig verwandelt, eben fo als wenn fund g in bem

28) Wären mehrere Körper unter einander durch elaſtiſche Ruthen
verbunden ; fo fände man auf gleidhe Art bie fuͤr Öleichgericht biefer

Körper nöthige Gleichungen und überhaupt giebt unfre Methode allezeit
mit eben der Leichtigkeit die Bedingungen des Gleichgewichts eines Sy⸗
ſtems von Koͤrpern, die auf eine gewiſſe Art unter einander verbunden
ſind, und von gewiſſen beliebizen aͤuſſern Kraͤften getrieben werden, an
die Hand. Der Calkul geht, wie man ſiehet, immer einen Weg, und

das hat man in der That unter die erften Vorzüge biefer Methode zu.

rechnen.
$. I.

Vom Gleichgewicht eines Fadens, wovon alle Punkte von gemiffen

Kräften gezogen werden, und ben man entweber volltommen biegſam oder

anbiegfam, oder elaftifch und zugleich ausdehnbar oder nicht annimms.

dh -+ (FA m a) df (EB ++ u) dg verwandelt haben; aber j

29)

en Adx | | | :
folglich Sad —=$ 7 ddr Ss — dy-r 5 Fr

# *

— | 92

293 Es if bier der Det die Methode anzuwenden, bie wir im aten

Abſchn. 9 u. f. Horgettagen haben, | |
2 Mir wollen uin mehrerer Einfachheit willen immer vorausſetzen,
alle Auffere auf jeden Punkt des Fadens würfende Kräfte feyen auf 3

X, Y, Z gebracht, die nach den rechtwinklichten Coordinaten x, y, z dieſes

Punkts ihre Richtungen hätten, Nennen wir baher dın bad Clement des

Fadens; fo haben wir für die Summe der Momente aller diefer Kräfte

in Anſehung det ganzen Laͤnge des Fadens dieſe Jutegralformel

(13. Art) 4.: — |
((Xex V4Y rm Zii)dn © ®

30) Wir wollen den Fall eines vollfommen biegfamen und unauss
dehnbaren Fadens betrachten; nennen wir ds das Element der krummen

Ente diefed Fadens, das durh Y7 [dx? dy?ꝰ + da? ausgedrüdt
wird; fo muß megen ber Bedingung ver Unausdehnbarkeit ds eine unvers
änderfiche Größe ſeyn, und folglid, hätte ınan in Anfehung jedes Elenientd
bed Fadens dieſe unbeflimmte Bedingungsgleichuig dds — 0. -

Multiplichrt man daher dds durdy eine unbelttm... ind
nimmt dad ganze Jutegrale; fo hat man S Adds; und iſt weiter Penn, Ui
dingungsgleichung vorhauden; ſo hat man die allgemeine Gleichung des

Gleichgewibbts, wenn man bie Summe ber ten gefundenen Jute⸗
grale — 0 ſetzt.

Da nun ds ⸗ [dx? + dy? 4 dz?]
fo bekoͤmmt man, mern man nach S bifferentülrt
| dxddx = dyddy + dzödz
” ds — ans Fa
3
Ady Adz

%
[2

oo. " 5 a 1d ; . &
0) Im franzöfifpen ſteht hier S — ddr m.

M 3

+‘

Aendert

L}
0
u ® .. . Wr
*

und ed iſt immer

1) i

x Yenbert man num -dd in de um und integrirt theilmeife um d vor 4
wegzubringen, nad) denen (4. Abfchn. 17.) gegebenen Regeln; fo erhält.
man, (wenn man wie im angeführten Drte mit einem Strich die Größen
bezeichnet, die fich auf den Anfang ber ganzen durch S angebeubeten In⸗
tegrale beziehen, und durch 2 Striche bie ſich auf das Ente berfelben

| bezlehen. M.):

Adx dx” Al dx’ adx
en F 0 — * RE —
| gi a dy” 1’d r
—— — —— |
g88 — Aldz!
S-7 ddz ze — Ar —— —E "+
(Im gegenwärtigen Falle iſt vämlidh
Adx Ad
Q(4 Abſchn. 17.) = — oder = oder 2 3 3
una A — Al dz! |
ee"; oder —Z- ober 7

a, 4x! MA aldyU dan
dx’! MAr vxr er ee

sn2dex — Dis — gip — —R m).

Die allgemeine Gleichung für’s —— wird alſo:
(S (CXxV Yöy + Zie)dm . -

All dx! Adx’ R
a — | |

aldy ad
*. AA it ur —

I 95...
% vr —

ade - Adz’ ade i Ä
a" a — SIT Au =;
mM):

of — . ix Gan -a —9

% zen]

Adxu d

— — dy 4 * — * |

ade, ardyl a Dr
can" Boca —— |

zı) Man fege nun nad) (4. Abſchn. 18.) die Eoefficienten von dx,
, dr unter ben Zeichen $ = 0; ſo bekommt man folgende 3 net
unbeftimnte Gleichnngen:

adx
J ady
Ydın — 4. 0

—

Ude

| ”) Hier iſt wieder als ein Brust * or ſtatt 7 82! im franzd»

fiſchen. M.

95 - . |

Schafft man hieraus bie unbeftimmtz Größe Amegs; fo Bleiben en
E- ze übrig, die dazu dienen, die krumme Linie des Fadens zu
effinmen.

Diefe Wegſchaffung kann aber auf eine leichte Art —
denn man braucht nur die ehegeden Gleichungen zu integrircuz ſo
erhaͤlt man folgende: |

d PR
— ++ {[Xdm
ds

I =B + [Ydm oo “ R
er adz
ds
wo A, B, C, beliebige beſtaͤndige Groͤßen ſind.
.Wirft man nun hieraus A (nad ber ſchon oft gebrauchten Me
mhodc· M) weg; fo hat man
dy _ B ++ [Ydm
dr Ar iXdm
a _C+f 2.dın
A-+rf + (Xda
welche Gleichungen mit den bekannten Formeln ber. Rente übereins
kommen.

— C +-[Zdm

32) Will man direkte zu reinen Differentialgleichungen, worin dad
Zeichen Fnidt vorkomme, gelangen; ſe bringe man die gefundenen Glei⸗
chungen auf folgende Forme: |

dx dx -
xam — ad. — — eeg

d =
Yun uTn | {

ds ds J
— Zdm

*
x *
—
». 97
-

‚wine nur no tn dieſer teten Heichung bie: aue * erben
ber gezogene Werthe von Aw: fubftitkixen.

33) Mir wollen nun die lieber ber — Gleichum —
an, die auſſer dem Zeichen S find, und wir wollen zuerft annehmen, ber
Faden fey völlig freyz; in diefem Falle werden die Varlationen dx’, Sy,
dæ“ gnd-dxl!®), dyt, 32, bie fih auf die beiden Auffern Punkte des Gar \ .
dens beziehen, unbeftimmt und willkuͤhrlich ſeyn, folgfih muß dee Glied,
worin eine dieſer Variationen vorkoͤmmt, an und fuͤr ſich — o feyn.
Man hat folalich A’ — 0, A 20; b. h. der Werth von A muß Im Ans

fang and am Ende des Fadens = ofeyn. Man erfuͤllet dieſe Bedingung durch

beſtaͤn⸗

— —

— * Original ſtehi hier Ratt dxll, dal, m,
N

⸗

[3 i
98 En —

beſtaͤndige Größen. Die 3 erſten Jategrolaleichmegen (32) aber.geben
‚für den erften Punkt bes Fadens, wo bie die ein [vor ”- —
| ben =0 on

PX 5

dx aldye. in Mil. | —
Dr "er er ae
und für den leßten Punkt bed Fadens, wo f — tn 8 verwandelt u
z0 dx’ J J J
— sꝛam. — —
—R
datt TER:
u — C ++ SZdmn.
Tue \ |
. , Man has alfo im gegenwärtigen Fale a de

:A=0,B=0,C=0,
SXdm = 0, SYdm = o, Zn ii

- Diefe 3 letztern Gleichungen kommen, wie man fieht, mit ben 3 er⸗
ſten (12) uͤberein.

33) Wik wollen num atens annehmen, * — ſey mit —

feiner Enden oder mit allen beiden ſeſt. Iſt der Faden mit dem erſten ſei⸗
ner Eũuden, fe; fo find die Variationen dx/,dy/,dz’= 0, und man hat nur
die Coeffienten von dx’, dy!!, dad, auch = 0 zu feßen, b, b. man muß

Mm o machen. Aus gleicher Urſach⸗ bat man, wenn dad zie Ende feſt

iſt =o. Waͤren aber beide Enden zugleich feſt; fo hätte man Feine
befondere. Bedingung ou erfuͤllen, indem in dieſem Falle die Variationen
dat, ey, dal, du“l, dy“, d insgefammt = o wären.

3) Geſetzt nun ztend die Euben bes Fadens wären on krumme
tinlen oder — feſt gemacht, und fie koͤnnten der Laͤnge derſelben nach
frey wegruͤtſchen; da! — ——— bdy, dꝛu = altdal! + bUdyd
ſeyen z. B. die — —— der Flaͤchen, woran der — *

letzte

J —

8* Punkt des Fabens feſt gemacht ſey; fo erhält man, wenn man ſtatt
sießt... ' — ——
Erz al dx! + bdy, sa — — —XWRt |

Man fubftituiee daher dieſe Werthe in den vorgegebenen Glichere

wie vorhin und feße darauf die Coefficienten von dx’, dy', dXx“, dy, zo,

WUeberhaupt aber behandle man ben Theil, ber auſſerhalb bes Sets \
chens in der allgemeinen Gleihung für's Gleichgewicht fich befindet, eben
fo, als wenn er allein fände, und die Gleichung fürs Gleichgewicht zweier
Körper vorftellte, bie Yon einander getrennet und an ben Enden des Fa⸗
dens feft wären. ae | |

36) Wir wollen fegen, ber Faden fey z. B. mit feinen 2 Enden
on ben Äufferfien Enden eines um einen feften Punkt beweglichen Hebels
feſt gemacht. Es feyen a, b,c die 3 rechtwinklidten Coordiuaten, bie
im Raume die Lage dieſes feften Punkts, d. b. des Muhepunfts des Hes
bels beftimmen, und es fey ferner £ bie Diſtanz zwifchen dieſem Nuhepunfe
und bern Ende bed Hebels, woran das erſte Ende des Fadens feſtgemacht
iſt, g die Diſtanz zwiſchen hen dieſem Mübepunft und dem andern Eube
des Hebels, woran das 2te Ende bed Fadens feſt gemacht iſt, h bie Dis
ſtanz zwiſchen den beiden Enden bed Hebeld, und folglich auch zwiſchen den
beiden Enden des Fadens; fe iſt Mar, ba dieſe 6 Größen, b,.c,f,g.h,
durch die Nase des Problems gegeben find. Zugleich ſieht man, daß,
wenn x’, y!, z', bie Coordinaten für den Anfang ber Kruͤmmung des Fa⸗
deno und x’, y’, z’' die Coordinaten für das Ende eben biefer Kruͤm⸗
H=r[la-sy+r6-VI ECT].
gr la—xty + yo] |
hz=rfi— x? (My rar)

2... Diefe Größen fg; h, aber find unveraͤnderlich, bifferentlirt ınan

— alſo nach 3; ſo erhaͤlt man dieſe 3 beſtimmde: Bebingengogleichungen:
| | | N: | ſa —

*
—'

100 - | gen. j an
Bee.
r (a— x!) 8x! (b— y’l) dylt — zit) dal m 0
MR) (Ar EN Cyt—yl) Ay 2) (der
1 27 — — - 2) =.
© Men. maltipficre jebe durch einen unbeſtimmten 'Eoefficienten und
abbire fie zur allgemeinen Gleichung für’d Gleichgewicht. Nimmt man
alsdann =, 8, 7 für Diefe 3 Coeffictenten an, und feßt bie Evefficienten
‚ ber 6 Varlationen Ix/, Sy, dzl, dx, dyH, dat == 0; fo erhält man eben⸗
ſpviele beſondere beftimmte Sleichungen, ld: ne
— — — xdx Fr —
(2- - rat Ir) —=o Er

ds“
a dyH
ds"
PUT IL | A
—— won .
welche durch Wegfchaffung der «, 8, y ſich auf 3 bringen Kaffe. on
Verbindet man hierauf biefe 3 Gleichungen mit den obigen 3 Be⸗
bdingungsgleichungen; fo iſt man im Stande bie Lage des Hebels zu be⸗
fftiinimen. Man wird hleraus leicht abnehmen koͤnnen, wie man ſich in
aͤhnlichen Faͤllen zu verhalten habe.
237) Gaͤbe es überticd nech auffer den Kräften, dfe jeben Punkt See
Fadens ziehen, befondere an den beiden Enden bed Fadens angebrachte,
: . nud

I N. * ee we
Eli halter) — mo : - are —

= ©

Bey try) +

. BC— HF ron)

— U 101

— and durch x, % Zt! für das erſte Ende des Fadens, und — xu, Yu,

zZ für das (eßte Ende beffelben vorgefiellte Kräfte; fo gäben diefe Kräfte
die Momente:
X! ext V⸗ dy! Z/0z! — Xu ax po Yıllyy!! u zu dz!!
and man ya biefe Größe noch zum erften Glied der allgemeinen Glei⸗
fürd Gleichgewicht hinzuadbirenſ, nehmlich er bem Zeh ber auſſer
Zeichen iſt, und der dadurch wird:

(ze >> I) 62! = (X — —— dx?

Era)

- Mit biefem Ausdruck würde men in ben verſchlebenen Faͤllen, reif
wir eben gefehen haben, fo verlabren, wie in den vorhergehenden —
ülkeln.

— 38) Man nehme jeßt an, ber in allen — Punften burch bieſel
ben Kräfte X, J. Z getriebene und noch uͤberdies durch die Kräfte X’, Y%,

pin Midntn aud A
s Sa m) * + (ter FIN ya

zZ’, X, Ye, 2 an feinen beiden Enden gezogene Faden, folle auf einer

gegehenen krummen Fläche liegen, deren Gleihung dz == pdx ++ qdy
fey, und man verlange bie Figur und Lage dieſes Faden gu wiſſen, wenn
er im Gleichgewicht feyn fo. - _

Diefe Aufgabe, die vielletcht nad} den gewoͤhnlichen Snap ber |
Mechanik fehr ſchwer zu behandlen feyn würbe, wird durch unfre Methobe

‚and Formeln leicht aufgelöft. Denn verändert man d’in d; fo wird aus

der Gleichung der gegebenen Fläche: dz = pex qéy; man hat alfo

nur diefen Werth von dz fir ben Gliedern, bie fi) unter dem Zeichen ber

allgemeinen Gleichung für’d Gleichgewicht des Fadens befimden, (30) zu
ſubſtituiren, und hernach die Größen, worin dx und dy vorkommen = 0
zu ſehen. Hiedurah gelangt man zu folgenden beiden nabeflinunten Glei⸗
M 3 = .. Xdm

" u ®

e . u V
1022 en

0. Adx - -Adz Zn
— d. 1 rn mn 2 R
Zi = "grad z)=e j
Ady 1dzn - —
[> 2] d. — — —— ?
Ya 1 7 ı (Zdm -.d. —) = 0
welche dazu dienen, bie Krümmung des Fadens zu beſtimmen, inbews

man fie mit ber Gleichung der Fläche da = pdx -+. qdy verbindet, unbe.

die unbeſtimmte Größe A wegſchaft. | |
39) Da man ferner vorausfegt, der Faden ſey mit feiner ganzen

Sänge an biefe Fläche feſtz fo kat man gu) für feine beiden aͤuſſerſten

Punkte:
2) — pldx! + glöyl, dl = p/läxl! sh gilaylı,

Dan’ fubftituire daher auch dieſe Werthe in die Gueder, die ſich

⸗

aufferhalb des Zeichens ber allgemeinen Gleichung befinden, ober vielmehr

in der (37) gegebenen Formel, worin man auch auf die Kräfte X’ Y’ etc.
Ruͤckſicht genommen hat, bierauf aber fege man die Größen , wovon jebe

der übrigen 4 Variationen dx‘, Ey, dx’, dy!! vorkommen —o, wodurch

man biefe 4 neuen beſtimmten Öleichungen erhält:
| | dx à dæ⸗

X u re
nella A)
— Ip gi (ZI 4 IT —

wozu man noch gewiſſe befländige Groͤßen abbiren muß.

40) Aber anflatt, wie wir eben gethhan haben, den Werth von dz
in dx unb dy,, den man ans der Gleichung dz — px — gey = 0 geꝓ⸗
| Zu Fa Ä | gen

—

m | 103.

| j | en

| gen bat, zu fabftitniren; Könnte man chen biefe Gleichung als eine neue

| | unbeſtimmte Bediugungsgleichung anfehen, alsdann müßte man biefe

| - . Gleichung durch einen aubern unbeſtimmten Coefficienten multipliciren,

| das ganze Integrale davon nehmen, und zur allgemeinen Gleichung bes
Gleichgewichts abbiren (30), u —

F Hiedurch wird der Theil unter dem Zeichen |
La. "id EN

5 [CXdm — du) 20 + (Ha a adiy
| u + (Lima 4a |

| und man erhält alſo ſogleich biefe 3 unbeftimmte Gleichungen:

Adx ——

| Ay
a "nei al

BI d
7 ds

welche u einge, ber Größe u die (38) gefundene Gleichangen |
geben. Dieſe letztern aber haben noch ven Wortheil zugleich ben Druck
. zu erkennen zu geben, ben jedes Element bed Fadens auf die Flaͤche nad
der (4 Abfchn. 7.) gegebenen Theorie ausübt, . —

41) In der That iſt es leicht aus dieſer Theorie herzuleiten, daß

die Glieder a (dz — pex — qey, bie aus der Bedingungogleichung dz —

p?x — gdy = 0 entfpringen, die Würkung einer Rraft= a y (1 + p2

+ q?) andenten koͤnnen, bie an jedem Element dm des Fadens in einer

auf der Oberfläche, beren Gleichung iſt dz — pox — quy = 0 ober viels

mehr de — pdx — qdy = od, h. anf derſelben Oberfläche, worauf wir

ben Faden liegend angenommen haben, ſenkrechten Richtung. Diefe Fläs
z che thut daher die Wuͤrkung ber erwähnten Kraft, bie folglich dem durch ben
— 1 SE ———— | Faden

—

104 — —

Faden auf eben dieſer Fläche ausgeuͤbten Drucke gleich und en auge |

iſt (4 Abſchn. 8.). Der Druck jedes Punkts des Fadens jr *
V (I * pꝛ * * — | EEE
fen == —— — ober wenn man bie Werthe von =, _-

m
AP» #4, bie aus ben obigen Gleichungen gezogen werben, fubflituirt

dx ? —*
RE UT

da ds J°
1 IdEN®T |
+a-5+ ı) }

Eben dieſe Schlüffe wird man bei dem Theile der allgemeinen Gleis.
hung anwertden, bie auffer dem Zeichen S ift, und man wird auch den
vorhergehenden analoge Folgerungen daraus ziehen. 2

| 42) Bisher haben wir angenommen, ber Faden ſey ınausdehnbar;

jezt wollen wir ihn, als claftifh und der Ausdehnung und Zufanmens
giehung fähig betrahten. Es fey daher F die Kraft, womit jedes Eles
ment ds der Kruͤmmung bed Fadens fid) zufammenzuziehen firebt ; als⸗
dann erhält man wie (18) (indem man de an die Stelle von f feßt, und
d in & umändert) Föds für dad Moment biefer Kraft und SFöds für
die Summe der Momente aller Zufammenziehungsträfte, die auf bie ganze
Laͤnge des Fadens wuͤrken. Man addire daher biefed Integrale S Fade
zu dem Integrale S(Xdx Voy + Zez), welches bie Summe ber: Mo⸗
“mente aller äuffern Kräfte auodruͤckt, die auf ben Faden wuͤrken (29).
Segt man nun dad Ganze == 0; fo erhält man. bie allgemeine Gleichung
für's Gleichgewicht des elaſtiſchen Fadens.

Man ſiehet aber leicht, daß dieſe Gleichung von derſelben Form
ſeyn wird, als bie (30) für ben Fall eines uiausdehnbaren Fadens, und
daß, wenn man F in % verwandelt, ‚Die beiden Gleichungen fogar einerley
werden werden. Man Int daher im gegenwärtigen Falle diefelben befons
dern Gleichungen fuͤr's Gleichgewicht bed Fadens, ald man in dem Falle
- (31) gefunden hat, mweyn man nur in biefer F an bie Stelle bes A feßt..
Da aber die Größe F als bekannt vorausgefeßt wird; fo hat man nidyt

nöthig

—— | i 19

Noͤthig fie wegzufhaffen; man hat alfo hier eine Gleichung mehr fürs

. . Gleichgewicht des Fadens als im angeführten Falle; weil aber fonft bie

Wegſchaffung einer Größe allezeit erlaubt iſt; fo folgt hleraus, daß bie
aus biefer Wegſchaffung entfpringenden Gleichungen gleichfald bey einem
unausdehnbaren Faden ſowie bey einem ausbehnbaren und elaftifchen ftatt

PRO

. finden werben.

- Man Bann hieraus den Schluß ziehen, daß die unbeftimmte Größe
2 ber Auflöfung (31), eigentlich nur die Kraft auodruͤckt, womit jedes
Element des Fadens ber Wärkung ber Auffern Kräfte solderficht, die ibn.
zu verlängern fireben, b. I, was man gewoͤhnlich Spannung des Fabens -
niennet, Eben dies hätte man auch direkte durch bie Theorie (4 Abfchn. 7.)
finden Tonnen, fo wie wir dies in Anfehung des durch ben Faden anf eine
Flaͤche ausgeübten Drucks getan haben (41),

43) Man feße jeßt von neuem, der Faden fey unansbehnbar, aber
anftatt ihn zugleich als volllommen biegfam, wie bisſher gefcheheri ift, ans
zuſehen, feße man, er fen elaſtiſch, fo daß er in jedem Punkte eine-Kraft
babe, die ich E nennen will, bie fid) der Biegung bes Fadens entgegens
fege, und bie folglid) firebt den Beruͤhrungswinkel zu vermindern, Renz
nen wir diefen Winkel e; fo haben wir wie (26) (menn wir nur d tu &
umändern) Ede für bad Moment jeter Kraft E; folglich ifi SEde bie
Summe ber Diomente aller Kräfte der Elafticität, die in ber gangen fänge

des Fadens würken, welche folglich zum erften Gliede ber allgemeinen

Gleichung fü’rs Gleichgewicht, In dem Falle; daß ber Faden unausbehn⸗
bar und vollkommen biegfam fey (30) hinzuabdirt werben muß. Die -
ganze Schwierigkeit beſteht alfo darin, bad Integrale SEde auf eine ſchick⸗

Kche Form zu bringen; in biefer Abſicht ſuche man zuerſt den Werth
von e3 u — vr j » ,

Ws.
i

Wir haben aber (26) gefunden, daß
— * f?2 + g® —h? ö

— u Fr woraus

106 ai a —

woraus man zieht

3 2 2 __. h2\2

4? — (f + g? — h?)z2
—

Sine =

Um dieſe Formel-auf ben gegenwärtigen Fall anzınvenden, hat man

nur aöthig zu bemerken, daß bie Coordinaten x4, y/, 24, x4, yil, zi, xill,

VI. zil wodurch wir bie Größen f, g, h (12, 20) ausgebrädt haben,

fh in, yı2; x de, y-+ dy, 2 Hd; x-+ adx + d?x, y-H
2dy ++ d?y, z »4 2dz. + d?2; bier verwandeln fo daß man kat
? — dk? + dy? + dz? - ds? | 0
g? —— (dx »+ dy?)? + (dy+ d?yJ? + (dz + d? 2)?
—— da? 4 dy? »4- da? 2 (dad? x + dydꝰ y ++ dad? 2) 4 d? an
= | + d?y? + d?z? |
su ds? «+ 2dsd?s dꝰ xꝰ »+ d?y? pn d222;
bh? (2dx ++ d’x)? (2 dy . qyY)) + (adz ++ d’z)?
= 4ds? 4 gdsd?s »+ d2x? + d?y2 da 22
folglich £? + g? — h? — — 2ds? — 2 dsd?s
mb sg — (f?r g? — h2) = gt + gdsidts Hr de? (d’x?
7 d?y? + dt22) — 4 (ds? + dsd?s)2
== 4d5? (d?x? 4 d?y2 + d?dz? — d?s2).

d2x2 + d?y2 „u d222 _ d22
folglich inte = I 5 —

Da dieſer Werth von fin?e ein unendlich kleines von der 2ten Ord⸗

nung iſt; fo folgt daraus, daß. ſin e und Daher auch der Winkel e ein uns
endlich eines 1ter Ordnung ſey; fo daß |

”

Fa ar BEE dl pc __ ee ee u DE a N Vin:

— 1607
& En |
v d?x? -r d?y? »+ d?z? — d’s’

— — iſt der Ausdruck fir dem Beruͤhrungswinkel e in einer krummen

Linie von doppelter Kruͤmmung.

44) Man differentüre jetzt nah &, um ben Werth von de zu erhals
ten, und da man vermoͤge der Vedingung der Una usdehnbarkeit des Fa⸗
dens ſchon hat dds = o (21) und folglich auch ddds = dd?s = 0; fo kann⸗
anan bey ber eben genannten Differentiation ds -. a als beſtaͤndig an⸗
nehmen; auf dieſe Art erhält man —

dꝰ xodꝰx + deyad?y - + d?’291°z
—dY (x + dy?+ 972 d2s2)

Subftituirt man dieſen Werth von de in SE und man fegt ir
balb er |

fo hat man

SEde = SId2z8d?’x + Sid’yad’y * SIid!zyd?z
Behandelt man biefe Ausbrücke nad} den gegebenen Regeln u Abs

ſchn. 17.), indem man zuerft dd in dd verwandelt, und theilmeife hers

nach integrirt um d vor & wegzuſchaffen; fo erhält man ie veraͤn⸗
derte Gleichungen:

SJd’xgd?’x= IEETERET, — d. (J/ d?x!!) dx
2 YVad?xtdexi + dl d?xt) 8x Sd?(Jd’x) dx s
SJd’yad’y = j d?yldaylı — d. (Jd?yı) aylı
— Wdryldayl + dlWd?yl)ay + Sd?(Jd2y) dy
Sjd?z4d?z = u?zlddz!! — d. (Ja? 2) Sul
— [/d?z/ddz! >»r d. (j/d?z/) 37° + Sd? (Jd?z) 82.

\ j —
In: 982. Man
E 2 1

106 J —I—

woraus man zieht — —— ur +

: | f2 2 _ }h2\7
| (de fin?e — — Se — 77 -— E29)

are (tg Br
4,f2g°

Sinne —

Unm dieſe Formel-auf ben gegenwärtigen Fall anzuwenben, hat men
nur söthig zu bemerken, daß die Coordinaten x’, y/, zi, xU, vll, zi, ill,

Sy, zil yoburd) wir die Größen f, g, h au 20) auögebrächt haben,

ſich in x, y 25; x-+ dx, y dy, 2 + dz; x+ adx +. d?x, y*+r
. 2dy ++ d?y, z »n 2dz. + d?z; hier verwandeln fo daß man * |

2 = dı? + dy? + da? — di?
9? — (dx ++ dy?)? + (dy-+ d!y) +(d + a
—— dx? 4 dy? -£ da? =» 2 (dxd?x -+ dyd?y + dad? z) h d?»?
| > d?y? + d?z° |
— ds? 2 dSdꝰs dꝰ xꝰ >» d? y? d2 22;
hꝰ(2dx dꝰ x) (2 dy .d- — * —
— 4d2 4dſSdꝰS dꝰ xꝰ + d?y? + d?22
| fotgtich + g? — h2 = — 2ds? — 2 dıd?s
es — (5f 82 — hi? ddr + gds’dts.+ 4d® a
7 d?y? 4 d222) — 4 (ds? + dsd?s)°
== 4ds? (d?x? m d?y2 4 d?d2? —d25?)
d? x? Say + d?722 — d%?
ds? - %
Da diefer Wertly von fin? e ein unendlich kleines von der.aten Ord⸗

nung iſt; ſo folgt daraus, daß-fin e und daher auch der Winkel e ein un⸗
endlich kleines ster Drbnung fey; fo daß

folglich fine =

or: — 7.
= .
vdix? nn d2y? ++ d?z? — 4 |

e =

⸗

Linie von doppelter Kruͤmmung.
44) Man differentüre jetzt nadı d, um ben Werth von te zu erhals

segtnen; ; auf biefe Art erhält man m
| __d’xdd?x + deyad?y - y+r d?zei®z
by (d’x 2 + d2y2 + 8222 422)

balber
1 J E N
ar@ x? 4 d?y? * De 5
fo hat man

SEde = SId’zöd’x + SId?yad?y + SIdtzad’z

Behandelt man diefe Ausdruͤcke nach ben gegebenen Regeln (4 Abs -

ſchn. 17.), indem man zuerft 4 in dd vertwandelt, und theilweife her⸗

nach integrirt um d vor d wegzufchaffen;: fo erhält man An veräns

derte Gleichungen:
SId’xdd’x= Jude xtdaxc — d. (J/d?x!!) dxl
— Vdtxtdex! + dl] dExt) qu. Sd2(Jd*x) dx
SJd?yad’y en j/ d?ylldayll — d.(J4d?y4) eydl |
— — vudeyday rd (J’d?y!) ey’ + Sd?(Jd?y) ay
Sjarz4d’z = Jru?zldszt! — d. (Ja? 20) du
— Vadztdazt >> d. (Jd?z4) dz! u Sd? (14°) —

—
Ar 22. Man

und dies iſt der Ausdruck für den Beruͤhrungswinkel e 2 PR krummen en

ten, und da man vermoͤge ber Bedingung der Una usdehnbarkeit des Fa⸗
dens ſchon hat dds = o (21) und folglich auch deds = dd?s = 0; fo kann
man bey der eben genannten Differentiation ds und d*s als beftänbig ans.

Sablitutrt man dieſen Werth von de in und man fest ir

108 I _

Man addire daher biefe verfihtebenen Glieder zu benen ‚ die das erfi®
Glied der allgemeinen Gleichung des Gleichgewichts (30) ausmachen; und
man echätt bie, Gleichung fuͤr's ae sined unaustehnbaren und

elaſtiſchen Fadens. —
45) Setzt man bie Coefficienten der Variationen &x, dy, dz, bie fid
unter dem Zeichen 8 ———— 0; fo erhält man dieſe 3 unbeſtimmten
Gleichungen:
Adx

Kin - + d? (Jd’x)— o

‚Ydın — d — = > as (Jd’?y)=o

zum a + d? (Jd’z)=o

woraus man bie unbeſtimmte Größe wegſchaffen muß, welches fie auf
2 bringt, die dazu hinreichen, die Krämmung bed Fadens zu beſtimmen.
Die erfte Integration giebt
d
* d (Jd*x s)=A+r (Kim

ad
| .— à (jaey) — BK fYdm.

—A + [Zdm

mo A,B, C gewiſſe beliebige beſtaͤndige Größen finb; bringt man A weg;
fo hat man . _.
‚dd. (J0°y) — Ayd. (J4°x) = [A + 1Xdım] dy
— [B -+ fYdm] dx
dyd, (Jd?z) — dad. (Jd’x) = [Ar IXdm]de
— [C + fZdn] ds |
| | dy d.

0 En Ze 109
.. Be (1d?y) —= [B «+ [Ydm]) dz

— [C ++ [Zdm]) dy;
wovon die lebte Steigung in den beiben erſtern ſchon enthalten iſt.

Dieſe Gleichungen ſind von neuem integrabel und man erhält dadurch
I ldxd?y — dyd?x) = Fr ([A + Xdm] dy

— [[B-+ [Ydm] dx

I (dxdtz — ded’x) = g--I[A + [Xdm]dz
— [[C+ fd] dx

(dyd?z — —— =H+ f[B -+ [Ydm ] dz
-— [[C + [Zdm) dy

wo F,G, H, neue beftändige Größen fin,

Mir haben aber: 4) angenommen |
E *
1 us? 75 — d?’y? d?z? ”_—_ 9%?)
Das Quadrat bed Nenners dieſer Größe iſt
— dı2 [d2 x2 4 d2 y2 + d2 22 > — dir dae2
— [dx + dya + da] [de x2 + da y2 da 227 — (did? x
nr dyde y + dzd? 2]:
== = (dxd: 5 — 278 x) + (dxde z — dzdx)2 + (dydız
" —dıdy).
Albdbirt man alfo die Quadrate der 5 5 borhergehenden Gleichungen;
fo bekommt man
.E=[FH+T(A + [Xdm) d y—f(B -+-[Ydm) dx]
+[G+fla + fXdm)dae— (C++ fZdm)dzp
+ [Hr f(B-r SYdm) da — f(C + [Zdm) dyje

253 und

—

3 ( —

und dividirt man zwei dieſer Gleichungen mit einander; fo erhält man "
“ folgende, worin bie Elafticität E nicht mehr vorkoͤmmt:
dxd?z — dzd’x _ Sr (A + [Xdın) dz — f{C + [(Zdm) dz -

ddy—dyaz FI (A +1 Xda) dy — IB +1 Ydın) dx
Diefe beiden Gleichungen dienen auf die einfachſte Art die elaſtiſche
| Krümmung zu beftimmen, indem man anf die Doppelte Krümmung Ruͤck⸗
ſicht nimmt.

46) Wir wollen jest die Glieder der — olciduns —
ten die auſſerhalb des Zeichens 8 llegen; fie ſind

(Tr — d. (Mid: ex + 2 — |
— — —— d(cJude zu) α ua: erddat
= Rn — d. (id x')] dx! — J/d: —
— 4. ¶d⸗ y)] ay‘ — J/da yrdayı

4 —
-[ — d. (j’d: "] de! — J/da ziddzi;]

und man muß fie unabhängig von ben Werten von ext, dyl, etc, ders
ſchwinden madjen.;

2) alfo, wenn dee Faden völlig Frey iſt, muͤſſen bie Soefficienten
ber 12 Größen Ix!’, ey, dz!, dext, deyl, ddz’', ext, öyt, dzl, dext,

ai dez’ jeder ing en 0 ſeyn.
Ten = Aus

ST — a © 1Ix1

Aus den erſten Integralgleichungen (45) aber ſieht man, daß wenn
man die Integrationen beim erſten Punkt des Fadens anfangen läßt, die
Coefficienten dx’, dy’, dz! ben Größen A, B, C, gleich find, und bie Eoefs

ficien von dx’t, dy’l, dal! werden; A+-SXdn, B-F.SYdm, C +SZdm, . .

Im gegenwärtigen Falle muß man alfohaben A=o,B=0,C=o und
SXdm =o, SYdn = o, SZdın = o. Es muß aber auch ſeyn
y“ds x. — 0, Jd⸗ y“ — 0, J/4 d2 2— o und Jdꝛ x o,
yYd y!== 0, )'d 2! o damit die Glieder, worin dox“, dev’, etc.

. vorkommen, verſchwinden; auch IfE Eins, dag bie zten Integralgleichun⸗

gen (45) geben werden:

F=o, G— 0, H== 0; S(fXdm. dy — f Ydıı.'dx) = 0,
S (1. Xdm, de — f Zdm. dx) = o, S (( Ydım. dz — fZdm. dy)=o.

2) Wenn bad erfte Ende des Fadens feſt iſt; fo iſt
dx! — 0, dy!’ =o, de! —o;

folglich werden A, B, C, nit = o ſeyn; aber die Bedingung, daß die

Eoefficienten von ex’, dy!, 42! — 0 feyen, gieb

B=—SYdn _
C — SZdm;

und wäre bie lage ber Tangente gegen biefed Ende auch gegeben; fu hätte
man ferner dx’ = 0, dey’ == o, dez! == 0 folgli F, G, B nicht
— 0, aber die Bedingung, dag die Coefficienten von dIx’, dey’,

: ddz'! = 0 feyen, giebt

F==S[(B + (Ydm) de — (A + [Xdm) dy]
.6=8[{C + fZdın) dx — (A + [Xdm) dz}
H==S[(C + [Zdm) dy — (B + (Ydm) dz].

Eben diefe Schlüffe wird man in Anfehung bes Zuftandes des aten
Endes des Fadens machen Tönnen, | u

3) Gaͤbe

—
*

112 Ä —

a © 3) Gaͤbe es endlich anſſer den Kräften; die auf alle Punkte des Tas
dend würkten, befondere X’, Y', Z/, XV, X, ZA, die an beiden Enden an⸗
gebracht waͤren; ſo haͤtte man nur noch zu den obigen Gliedern folgende
hinzuzuaddiren | I

Kai + Ydyı Hr Wort Klaxllzı Yıldyl ze Zidzll,
und wären noch andere Bedingungen bie fi; auf den Zuſtand dieſer Enden
bezögen, vorhanden; fo würde man immer auf diefelbe Art und nach ds
‚nerley Grundfäßen zu Werke gehen. |

47) Wollte man, daß ber Haben auf eine beboppelte Art elaſtiſch
ſey, nemlich ſowohl in Anſehung der Ausdehnbarkelt als in Anſehung
der Biegſamkeit; fo hätte man ih der allgemeinen Gleichung ˖des Gleich⸗

gewichts anſtatt des Glieds SaAdos das Glied S Fdds d. h. nur F ſtatt A, —

, wenn man E die Kraft der Elafticität nennt, die der Ausdehnung bed Fa⸗
dens wiberfteht (42). Allein in Diefem Falle müßte man aufferbem noch
ds ald veränderlich In der Ausdruͤckang von de annehmen; folglich mäßte
man zum Werth von de (44) biefe 2 Glieder hinzuaddiren, worin ich
Kurze halber ſetze Ver 4 da ym da 2. - ds)
oöds d? sd? s*y

; zum Werth von S Ede eben dieſes Ars

— An ds.
ikels würde man alſo die Glieder | | —
Es, „Ees Ä SHE SS:
— — eds, — — „.gd?s hinzuabbiven muͤſſen, wovon das
letzte nach (4 Abſchn. 17.) ſo ausgedruͤckt werben kann: |
LAda Edæ 55, Eds
un dir dd! —.
ol! dsl! nr = ‚s'ds! er . ‘cds Li

Zum Werthe von SE de miüiffen alfo noch die ˖ Glieder
J—
* welches offenbar falſch iſt. m.

v) Im franz. Driginal ſteht —

u En 113

TU U
EYdis — E s (a Ed’ s Er id;

rer 85! + eyes

“ Hinzuabdirt werden. Das letzte Glied Diefes — = — Stiede
8Fods analog, und it folglich ähnlicher Meduktionen fähig; in Anfehung
ber beiden andern hat man nur für dds deſſen Werth,

dxde .dey dzd Ä |
REN HEN zu fubftituiren, indem man alle Buchſta⸗

ds-

ben mit einem oder zweien Strichen begeichyet.

Hieraus iſt leicht abzunehmen ‚ daß man für die Aufldfung des ges
genwärtigen Falles eben bie Formeln erhalten wird als (31, 32), wenn
man nur

Ed⸗ E-
F+d — — = an die Stelle des A fegt, und zu den Coefficiens

zen dex’!, Gy“ doꝛ, dax⸗ a, ddz’, bie Größen wtt dx, wlldyl, all dal,

| Eds
widxt, wi ayı j w' dz! abdirt, wo o = — ——

48) Wir kommen endlich zu dem Fall , wo der Faden unausdehn⸗

Bar und unbiegſam iſt; man erhält da fir die Summe ber Momente ber
Kraͤfte diefelbe Integrals Formel als in dem Fall (30) nemlich

S(Xx + Yöy + 702) dm; endlich giebt die Bedingung, daß ber

Faden unausbehnbar fey, wie a. a,D., dds == o und bie ber Unbiegs

ſamkeit de — 0, weil ber Berührungswinfel unveränderli feyn muß; -

von doppelter Krümmung ift, wie wir bald fehen werben, gt zu⸗
reichend.

49) Um die IRRE U.) SON er die einfachſte und birekteſte Art
zu behandlen; fo merke ich an, daß alles darauf hinausgeht, daß bie
| — Punkte der Kruͤmmung des Fadens unter einander immer

9 einer⸗

Rn", *
— — dihe.

aber dieſe beiden Bedingungen ſind in dem Falle, wo die krumme Linie

[2 —
114 TEN

einerley Diftanzen behalten, Betrachtet man nun mehrere auf einander
folgende Punkte, deren Coordinaten ſeyen ge
i Sy2,xtd,y - dy, 2 ds —
x 2dı + d? x, ytady de Yı ZH 2dz ++ d?z; etc.
fo iſt Mar, daß die Quadrate ber Diflanzen zwifchen dem erften biefer
Punkte und den folgenden durch bie Größen dx: + dy? +4 dz?, (29x
+ dx)? + (ady dy)% + (adz +dz), (a3dx + 3 42 x
+ dx) 4 (3 4y + gdyH+ By) (342 3422
d3 z)? eic. ausgedruͤckt werben muͤſſen. | |

Wir wollen Kürze halber fegen
qx⸗ . dyr rd2—e | |
d? x? d⸗e y⸗ + d 22 4 —
42 3 yↄ di 2ꝛ 5.
EEE „7
Alsdann wird aus ben vorhergehenden Größen werben
0, 40-4 2da +, ga + 9da + 9A 3 (de — 28)
344 5 eto. | Ä |
Die Variationen diefer Groͤßen müffen daher im ganzen Umfange
der Krümmung — 0 fe; wodurch man zu folgenden Gleichungen ges
langt: RR j J
oO, 4b m adda-r 6930, | |
98a + geda 4.388 4 30da m gdß Fiy=o

eto. |
Aber wenn da = 0; fo if auch dda =dda = 0; J
folglich auch 48 = 0 und daher auch | 2

Bde td 0, diß— dd = 0;
folglich =; m fm - |

‘

m | | 15

Die Bedingungsgleichungen fuͤr die Unausdehnbarkeit und Unbieg⸗

ſamkeit des Fadens find alſo:

&a=0,#=0,y=o, et, d.h. wenn man bifferentlirt und dd
in de verwandelt: |

dxdax + dydsy + dzddz = o |
d?xd?2dx + d?yd?ey + d?zd?9z =o . N
dxdiox d’yd’ey. + d’zd’dz — o

ec, '

Gs if Bar, daß man nur 3 biefer Gleichungen nöthig hat, um bie
3 Variationen dx, dy, dz zu beftimmen; woraus man fogleich fchlieffen
Kann, daß wenn man den 3 erſten genug gethan hat, alle andere, bie

- man bis Ins unendliche finden Bönnte, vor fich ſtatt finden werden; hievon
kann man ſich andy durch den Kalkul ſelbſt uͤberzeugen, wie man unten

(55) ſehen wird.

⸗

—8

50) Man erhält alſo durch unſre Methode dieſe allgemeine Glei— Ä i

hung bes Gleichgewichts :

0—8s8 (XXx — —— Ziz) dm -+ Sildxdex x dydey

| + dzdez) 4 Su (d’xd2ex r deyd2sy-rd2zd dz) Sy

(d3 xd3 dx .r. d3 ydiöysn di zd3 dz)

welche durch bie angezeigten Transformationen auf folgende Forın fich brins

gen läßt: |
. o—=S[Xdm —d(rds) + b(adex) —ds(vdix)] ax

+ S[Ydm— d(ady)r de (u y) — (vd y)] ay

+ S[Zdm — d(adz) + de (ade) — di d 2)] dz
ch [AH ax — d (ud: x) + di (vlid3 x')] dx | —

116
4 faltda st —dlvlrds x) }daxd + sit geda gxle
4 [atdyl —d(allde yit) + de (seid ydı)) ayıl |
2 [alldz ylt — d (star yt)] dayı Fon yirda ayle
2 [ardzu — Alulde alt) Hd Cuiidd z)] 820
+ [etda zu = d vlidizu)] deal + such zuda duh,
— [adar — 4 (aid at) + da (vida xy] O8
— [„!d? x’ — d (vida x’)] dax — vids .x/d2 4xt
— way aut VXY
_ [Hay dw y)dey—viiyidayt
—_ [ardzt — 4 Calde a) ande Cuidi zi)] a
— [uldizt — d (tdi zt)] - vida zidt dat.
51) Seßt man dfe Eoeffictentn von dx; dy, dz anter dem Zeichen
8 03 fo befommt man folgende unbeftimmte 3 Gleichungen: -
Xdm — d (idı) Fr d’(»d?x) —d’(vd’x)=o
Ylm—d lady) + d’lad’y)— dGdy)=o
dm Od) a HR) — Erle) —o

welche 3 unbeſtimmte Größen A, m, » enthalten, und daher nur dazu Dies
nen biefe 3 Größen zu beftimmen, fo daß Feine unbeflimmte Gleichung
zroffchen ben verſchiedenen Kräften X, Y, Z, bie man an alle Punkte ber -
Muthe fi) angebracht denkt, flatt findet,

Um die genannten Größen zu beſtimmen, {ft es Flar, daß man bie
vorhergehenden Gleichungen integriven muß. Dies iſt ſehr leicht, und
man erhält folgende 33 Ä |

; wo F, G, H nene beliebige .. Groͤßen ſi nd ·

an \ 17
. Xdm — adx. rd („dx) — d”’ Gin) R
4Ydm - — ady d (Aday) — d’(vd’y)=B
(Lim — ıdı rd (ud?z) — d? (vd’z) — €
wo A,B, C getsiffe willkuͤhrliche beftänbige Größen find.

M Ich bemerke ferner, daß, wenn man die erſtere durch dy ober dz
multiplicirt, und davon die ate ober zte abzieht, nachdem man fie vorher
mit dx mültipkcirt Rat um A008 diefen 3 Öleichungen wegzufihaffen ;

mian erhaͤlt:

Ayſſxdim — dxfYdm + dyd. (ud’x) — dxd udiy)

— dyd2. (vd’x) + dxd?, (vd’y) — Ady — Bdx, 3

dzfXdm’ — dxfZdm + dzd. (ud’x) — dxd. (ud’z)
— dzd® (vdix)+ dx de (vd?z) — Adz — Cdx |

dıl[Ydm — dyfZdm + dzd (ad?y) — dyd RE
— dzd? (sd’y) + dyd? — — Bdz — Cdy;
welche Gleichungen auch Integrabel ſi nd, und deren Integralien finds :
yfXdm — xfYdm — f(Xy — YıJ)dm
je a (dydex.— dıdyJy—dyd (vdix) + dx d(wd'y) |
y Kerr d?xd? y)=Ay — Bx + F
— — x{Zdm — [(Xz — Zx)dm
- > (dzd?x — dıd z) — dzd (vd’x) 4 dx d (vd’z)
+ v (d’zd’x — d’xd’z) = Az—Cı+-G
afYdm — yfZdm — f(Yr — Zy)dm
+-.R (dzd2y — dyd’z)— dz d(vd’y) + dyd
+ v (d2zd’y— d’yd’z 2) = Bz — cy +-H

A
——

IIg U I

Diefe 3 letztern Gleichungen dienen bie 3 Größen a» und dr zu bes
ſtimmen, und die 3 erfien Sntegrals Gleichungen geben die Werthe von
1, du, d2»v. Dan hat alfo alle unbelannte Größen, die in den Gliedern
ber ‚allgemeinen Gleichung (50), die auflerhalb des Zeichens S Tiegen,
vorkommen. Man hat zu biefer Abficht nichts weiter nöthig, als in ben
6 erfien Sleihungen, die man eben gefunden hat, alle Buchftaben mit
einem oder mit 2 Strichen, zu bezeichnen, auffer gewiſſen willtührlichen
beftändigen Größen, indem man im erſten Falle die Größen, die das
Zeichen F vor fi haben — 0 feßt, welche am .erfien Punkt des Fadens
anfangen folen, und indem man im'zten Falle ſ in S bey eben biefen
Größen verwandelt, um fie auf den legten Punkt des Fadens zu beziehen.

52) Died vorausgeſetzt, wollen wir jegt die Bedingungen fehen, bie

aus dem Verſchwinden ber in der allgemeinen Gleichung bes Gleichge⸗

wichts (50) auſſerhalb des Zeichens S befindlichen Glieder entſpringen.
Setzt man zuerſi die Stange völlig frey; fo werben bie Variationen dx’,
ey/, dl, dex’, day, dez‘, d» dx’, de &y/, da 827, und dx, dyld, dzl,
dex!4, ete. alle unbeftimmt feyn, folglich muß man -jeden ihrer Coefficiens
ten — 0 feßen, und es ift offenbar, daß alddann die Größen A/, u’,
v', dat, dy/, dt ſowie auch A’, „u, v4, dual, dv, da vi, auch alle = 0
ſeyn müffen. \ Ä 0
Die 3 erften Integralgleichungen (51) geben alfo dieſe Bebingungen:
j o==A, O — B, oO = C, SXdmi == A, Ss Ydm — *) B,
| 8 Zdm == GC "
und die 3 letzten geben biefe
o=— Ay — Bx’ F
O — Az!— cC« #G
o — Bꝛ — Cy + H
yısXdm — xSYdm — S(Xy — Yı) dm —
Ay’! —e Bx‘ -L, F,

2 z4
e) Im franz. ſteht SYdm, Szdm = C. M.

A ; JIg

\ x

‚HSXdm — ISLdm — S(Xz — 1x) dm —
Az — Ccxı! +G.

a" SYdm — yus L4m —— Zy) dm =
ö Be! — Cy! + H |

Solid A — 0, B=—=0,C=— 0,
F==0,6==0,H==o
daher auch | |
SXdm = 0, SYdm=o, SZdm =.,
S(Xy— Yı)dm= o,
S(Xz — 1x) din=o,
S(Yz — Zy)dn=o
Diefe 6 Bedingungen find folglich allein zum Gleichgewicht einer uns

Blegfamen Stange nöthig, wenn Fein feſter Punkt vorhanden iſt; und bies

ſtimmt mit dem fehr gut überein, was mir oben (25) gefagt haben, man
hätte es auch gleich aus ber im Zten Abfchn. gegebenen Tbeorie, ſo wie
wir auch a. a. O. bemerkt haben, herleiten koͤnnen.

53) Wir wollen jetzt annehmen, es gaͤbe in der Stange ein
feſter Punkt, und es ſey dieſer Punkt das erſte Ende derſelben; in die⸗
ſem Falle hat man dx’ Oo, dy’ —o, d2’! oʒ ſo daß die Glieder,
worin dieſe Variationen vorkommen, vor ſich verſchwinden. Dan bat
Daher nur die Coefficienten von dex/, dey’, dez’, d2 dx’, dd ey d? 321

ſo wie bie en von dx, dyd, dzl, dex!!, dey!, etc. = 0 au

fegen,

Es ift aber leicht einzufehen,, daß man in diefer Hinficht nur a!=o,
= 0, W=o und ierauf au AU = 0; ul =o, vlmo,
er = 0, dl! =0, dis! o wie im vorhergehenden Falle zu fegen

hat;

120 — F —
hat; und man wird die naͤmlichen Bedingungen als im vorhergehenden
Artikel finden, auffer daß bier A, B, C nicht =: o find.
Man hat daher A=SXdm,B=SYdm, C=SZdm . |
| und F= Bx/’ —Ayl, G- CX—A7, H=Cy—Bi
und bie 3 leßtern Öleichungen verwandlen fi ſich in folgende: e·
— 8. (Xy —Yx) dm = Bx’ — Ay!’ |
— S(Xz—Zı)dm = Cx/ — Aut, .
— S(Yz—Zy)dm = Cy — Bat; |
6.4. SCXy—:Yx) dm + xisYdm — y1SXdm—o
‚SsAXz—1x)dm +x SZdm — 2'$Xdm == 0
s(Tı—Zy) Am. + y’Szdm — 2'SYdm = =o
oder
BSC(XC( — 0 — Ia—))imme
8Rlz—z). — L(x—x)) dm ='o
S(Y(z zZ) Z (y—,)) dm =

Dies fiud bie einzigen zum Gleichgewicht nöthigen — und
es ift Mar, daß ſie mit denen übereinkommen;, bie man (24) aefmaben

bat,

54) Wäre bie le Ruthe mit ihrem erſten Ende feft, f daß mid ner
der erfte Punkt des krummen Linie, fondern auch die Tangente .an dieſem
erſten Punkte feft ſey fo erhielte man dx’ = a, ο, d2! = 0,.mb:
dx! = dey! = 0, ddy’ = dey! = 0, ddz! = dez!= 0; folglich werden:
alle Glieder, worin dieſe Größen vorkommen, von ſich felbft verſchwin⸗
den, und es iſt nichts weiter übrig als daß auch die Glieber, worin de ext,
di dy!, da dz' und dx, dyt, 82, doxu, day, ete. vorkommen, —

ſchwinden.
In

[ > Wr
aM HR

” \
| 121
—

In biefem Falle hat man alfo dieſe Bedingungen
„0,4 =0, „U z=o,,v/=o,dul=o, Wi=o; d?,/=o.
" Folski, wird Am SXdm, Bu SYdm, C—SZdm
Reducirt mıan endlich die 3 leßteru Gleichungen (51) auf ben letzten
Punkt der Stange; fo hat man
. /!F==$(Yx—Xy)dm
G-== S(Zx—Xz) dm
H S(Zy—Yz) dm
— J eben 2 Gleichungen auf ben erften Punkt aimendet:
v
⸗ (dy⸗ —** — —R& —“ (dy di x — axas —
Ay! — Bil «u F
Ei dar — dx’ ddz) — dıt (det dixt — dexidi 29 ==
Az Cx’-+-G

g! (u⸗ ddy’ — dy/ddr) — ds (dedyl — dy/de)= |

Bei — Cy + H.

Schafft man hieralis af and de weg; fo erhält man — Bedin⸗
gung fuͤr's Gleichgewicht:
A — d2⸗ — ardy') + Blidı — xldz) + C (x! dy!
— y'dx') + Fdz’ — Gdy/ + Hdx’ = 0,

Einen ahnlichen Fall ſehe man (59).

Auf den e Art koͤnnte man alle bie anbern Fälle auflöfen und beſon⸗
ders ben, eines Korpers von Liner beliebiges Figur. Dech tiefe lehtere

Aufgabe berbien ſorgfaͤlliger und auf eine noch einfachere Art als die vor⸗

hergehende iſt, betrachtet zu merden.
Be ep Q S. IV.

⸗

x
3
. >
-
— —

22 I

4. w.

Vom Gleichgewicht eines feſten Koͤrpers von einer mertlichen Groͤße
und — gewiſſen Figur, wovon alle Punkte burd geroift Kräfte gezo⸗
gen werben.

55) Weil bie beygekügte Bedingung der Sollbität bes Körpers .

darin befteht, daß alle feine Punkte beftändig unter elnander einerley Sage
und Diftanz behalten; fo hat man zwiſchen den Variationen dx, dy, dz,
. biefelben Bebingungsgleihungen ald (49); vermittelſt verfelben kann man
alſo die Werthe dieſer Variationen fogleich beſtimmen. Ach bemerke das ,
ber, daß, ‚Indem man zu ben. Differentialgrößen ber sten Ordnung übers
seht, man allezeit eine der Differentialgrößen der ıten Ordnung als ber
ſtaͤndig annehmen kann; man nehme daher dx = Conft. und folglich

dex — 0. dix — o0 eic.

Diedurch wird bie 2te und te Sleichung an
dyd2sy-+ dazd2z =o
d’yd’dy + d’zd’ez =o

Die erftere giebt ſogleich

d? z
ep nd? 32 und wenn man frei.
d’z. „Ar
"= men — 0 ez;
Diefer Wert in der aten — — —
(giebt
di2d'4z — J — d’dz 2 Werd
— — day“ u
. re au ie
vor z - — Er —

zur ben 3 erften ge (49) genug than, fonbern auch

RN = 233

. d’yd?z — d’sd'y d’y
3 — $ —
"mp JA 9a -.(d: d*y )* d’y desz
oe 5 u MI)

'iy
dis —— Pa . 132
dy

woraus man durch die Integration zieht
d!dz — sLd?y, wo ⸗— eine gewiſe beſtaͤndige Größe Fi
. Hat man d*öz; fo findet man day — — dLdiz; folglich, wenn

maan von neuen integrirt und bie —— — — XR
ANdx hinzuabdirt: |

diz = ıLdy — #Mdx
dey = — dLdz ANdx;

and dieſe Werthe in die erfte Bedingungegleihung fubftituirt ea in

däxdex ++ dydey » daddz = 0
giebt da x — = — 4Ndy + #Mdz.

Endlich — man durch eine te Tutgain r unb dur die Abbi.

tion neuer beſtaͤndiger Groͤßen

ei, du, dr: |

ıx = di — yiN 2M
y — xeN — zil
zz — tv xöM + ydl.

Es ift leicht, ſich Davon zu überzeugen, daß bie Ausdruͤcke nicht
allen

[22

a‘

124 Ä > 7 — -

⸗

allen andern, die man bis ind Uneuͤdliche finden Bunte ‚ and bie ‚alle in

biefer allgemeinew Gleichung enthalten find : ; 3
dxdax a ydoy-+ Bd a o.

Dies find folglich die Werthe Yon dx, dy, dz für ein gerofffes Syſtem j

von Punkten ‚ bie unter einander fo verbunden find, daß fie immer einers
key Diflanzen von einander behalten; biefe Werthe dienen baher nicht nur

. für den Fall.einer geriffen beweglichen, und in ihrer Figur unveränberlis
chen krummen inte, fonbern auch für den Gall eines ae — von

irgend einer Figur.

56) Da alfo ſchon bie — Wenthe von dx, dy, dz den
Bedingungsgleichungen der Aufgabe gerüg thun; fo ift aa , bag man

fie nur in der Formel

S(X#x + Yöy + Zsz). dm.

zu fubkitwiren und zu. machen hat, baf ſie — 0 —* von den
Größen dA, du, dv, dL.EM, EN werde, welches die — unbeſtimmten
Groͤßen ſind, die noch uͤbrig ſind.

Da nun aber dieſe Groͤßen fuͤr alle Pantte des Körpers eincrley
find; fo muß man fie bey ber Subſtitution aufferhalb des Zeichens S brin⸗
gen; hiedurch erhält man biefe allgemeine Gleichung des Gleichgewichts
eines Körperd von einer gewiffen Figur: r

2; en + duSYdm + 8,SZdm
3NS(Yx — Xy)dai »r EMS (X — 1x) dm

+ — (Zy—Yz)dm =o
woraus man bie befonbern Gleichungen fuͤr's Gleichgewicht erBält, indem
mon auf bie Bedingungen der Aufgabe Rüdficht nimmt.

57) Setzen wir nun zuerſt, der Koͤrper ſey voliig frey, fo find dir
6 Variationen 42, du, dv, EL, dM, EN. alle unbeftimmt, und man muf

die Groͤßen = o feßen, womit fie multiplicirt find, —— gelange ma:

iu —— ſchon bekannten Gleichungen:

SXdm-

| | m ras
1 SXdm — 0,.$Ydm —— 0, SZdm — 0, —
S(Yr—XyJdim=o ,_
S(X- —1Ix)dn zo
S(y—Yı,nda za.

58) Gäbe ed zweitens bey dem Körper einen feften Punkt, um ben
er nur bie Freyheit hätte fih nad allen Richtungen drehen zu Können,

and man mennte =, b, c bie Werthe der Coorbinaten x, y, 2 für dieſen

Punkt; fo müßte man haben |
ds=o,tb=oe, c — 0;
folglich di — baN ++ cdM — o.
N — aL=—o, ..

ev— adM — biL — o; | un

woraus man zieht .

ei — bEN — cdM

6a == cdL — adN Ä

ey — sdM — bil. — —
Mau ſubſtituire dieſe Werthe in ber allgemeinen Gleichung (57) und

bringe unter. das Zeichen S die Größen a, b, c, bie in Anſehung ber vers

fhiebenen Punkte bes Körpers befländig find, man erhält dadurch fols
genbe veränderte Gleihung _ Dr |

‚INS (Ylx—ı) — X (y—b)) dm ++ &
Aus (X(z - e) — z (x — 2)) dm +
LS (Z(y—b) — Ylez—c))da =o
woraus nur folgende 3 Öleihungen entftehen
Ss(Y(x—a) — X (y—b) „dm — 6
BS(X(— c) — Z(x—a)) dm 0
SAYy—b)--Ye—eo))iazmo

a3. 7,

| 59) Gicht es gteus baydem — 2 — und find £g, 5
die Werthe von x, y, 2, für den 2ten biefer EIERN, ſe Bot mau noch
AZzgIN—hIM u
H=mbb—fN >. Fa
dv — fIM — gel
vergleicht man baber dieſe Werthe von 32, ‚4m, dv, mit Denen (58); f bat
man

G—-bMEIN —(h—e)EM=0 —
EE— ) aN — (h—c)iL=o

(I— ) àM — gg — ALS o.

Die beiden erſten dieſer Gleichungen geben

sL — — =aN, m=E—— om

)

F und da dieſe — auch der. zten Gleichuns genug dan; er folgt, daß

bie Variation IN unbeftimmt bleibt.
| Verrichtet man diefe Subſtitutlonen in der beränberten. Gleihung
(58); fo erhält man
NL —c) s(YG— a) —X(y —b) ) dm +
g—b)S(XeE—) — (x 1)) du +
Abs) ST. G—b)— Ya—c))dap—o
ng ln 6x6 Olgeißte werden af in Me len
(6 -c) s CX (X—) — X (y-b))dan +
(Sb) S &X (2z-) — 2 (X— —
(-4) S(Z gb — 1 (a=e)) dm = 0 _
60)

—

m - " - 127

60) Uebeyhaupt wiren bie beiden Punkte des Körpers, bie wir. eben
als fer angenommen haben, es nicht , fonbern auf. gegebenen Linien uber
Flaͤchen beweglich, ober felbfl auf eine gewiſſe Ars. mit einander: verbun⸗
den; ſo haͤtte man alsdaun eine oder mehrere Differentialgleichungen zwi⸗
ſchen den Variationen ber Coorbinaten a, b, c. f, g. h. die zu dieſen Punks
ten gehören, und feßt man an bie Stelle diefer Variationen ihre Werthe
‚in 64, du, dv, dL, dM, EN, nad ben allgemeinen Formeln 55); fo bat
man eben fo viele Gleichungen zwiſchen diefen leßtern Variationen, durch
deren Hülfe man einige diefer Variationen — die andern beſtimmt.
Subſtituirt man hernach dieſe Werthe in der allgemeinen Gleihung, und
ſetzt jeben der Evefficienten ber äbrigen Variationen — ©; fo erhält man
alle zum Gleichgewicht nöthige Gleichungen. |

Man geht bier, wie man fieht, mit dem Calkul Immer einerley
Weg, und dies muß man für einen ber Hauptvorzüge ber gegenwärtigen
Methode erkennen, |

61) Uebrigens zeigen bie (35) gefundenen Ausdruͤcke der Variatio⸗
nen dx, dy, dr, dag biefeiben nichts als die Mefultate der fortruͤckenden
and brebenden Bewegungen find, bie wir im allgemefnen im Zten Abſchu.
betrachtet haben.

In der That ficht man, daß die Glieder 4, du, dr, die allen Punk⸗
ten des Koͤrpers gemein find, die kleinen Räume bie ber Körper nach den
Richtungen der Coordinaten x, y, z, durch eine gewiſſe fortrückende Be⸗
— durchlaufen hat, vorſtellen; auch erkennt man aus den Formeln

(3 Abſchn. 3.), daß die Glieder
ToM —- y⸗N, xàN — 20L, yel — —9—

die kleinen Raͤume ausdruͤcken, die durch jeden Punkt des Koͤrpers nach
eben dieſen Richtungen durch 3 drehende Bewegungen dL, dM, dN um die
3 Achſen der x, y. 2 durchlaufen worben find, wo biefe Größen dL, 4M.
IN den Größen dp dar do, a. a. O. entſprechen. Man hätte alſo bie
gegenwärtigen Ausbrüde fogleich aus ber bloßen Betrachtung dieſer Bes
mequngen herleiten koͤnnen, welches zwar einfacher jedoch weniger direkt ges
en ſeyn VOR Die ehe Analyfe führt ganz uatürlich auf ar

us⸗

Pr
R +
12 =
* + ; ”

| Ausdruͤckungen, amd heweigt dadurch auf eine allgemeine und virekte A,
‚daß, wenn bie verſchiedenen Punkte eines Syſtems ihre reſpektive Sage -
immer beibehalten, das Syſtem nur in jebem Augenblicke forträdende Bes

wegungen im Raume and drehende Bewegungen ı um bie 3 auf einander

fentrechten Achfen —. kann.

“u

Sehster Abſchnitt.
Von den Grundlehren der bodwoſtat.

onerechtet wir die innere Beſchaffenheit der fluͤſſigen Koͤrper nicht ken⸗
nen; ſo koͤnnen wir dennoch nicht darau zweifeln, daß bie >
woraus fie beftehen, materiel Hub, und daß aus dieſer Urſache bie all«
gemeinen Gefeße des Gleichgewichts ihnen eben fo zukommen, wie den,
feften Körpern. In der That befieht auch bie vornehmſte Eigenſchaft der

fluͤſſigen Körper, die allein fie von den feſten unterſcheidet, darin, daß

alle ihre Theile dem geringften Drucke weichen, und mit ber größten Leiche,
tigkeit f ch unter einander bewegen koͤnnen, die Verbindung und gegenjets-
tige Wuͤrkung diefer Theile mag übrigens beſchaffen feyn, wie fie will.:
Da nun diefe Eigenfchaft leicht fi durd ben Kalkul ausdruͤcken laͤßt; ſo
folgt, daß bie Geſetze bes Gleichgewichts. ber fluͤſſigen Coͤrper Peine Sefons. |
dere Theorie erfobern, fonbern daß fie nur ein befonderer Fall ber 'aflges
meinen Theorie der Statik feyn müffen. Unter biefem Gefichtöpunkt wol⸗
len auch wir fie betrachten; aber wir glauben damit den Anfang ma en”
zu müffen, daß wir kurz die verſchiedenen Grundſaͤtze hererjählen ,. bie di
jegt in dieſem Theile ber Statik, den man ——— Heguty,

angewandt worden fi nd. BT

Arrchimedes ift der alteſte Sqrif ke, ber und efütge run
ſaͤtze über das⸗Gleichgewicht ber flüffigen Maſſen — bat, Sein

+ Traktat

ö— — —— —— — — — —*
1
*
[1

nn Er - 129
Traktat de infdmtibus kumido iſt nie griechifch gefunden worden, man
-- hatte auch nur eine fehr fehlerhafte lateiniſche Ueberſetzung davon His _
Eommendin es unternahm, ihn wieder berzuftellen und durch Noten zu
erläntern 5 er erſchien durch die Sorgfalt dieſes geſchickten Commentators
im Jahr 1565. unter dem Titel de Fis quae vehantur in aqua. Died
Werk, bas man als ein der koſtbarſten Reſte des Alterthums anſehen
kann, iſt in 2 Buͤcher abgetheilt. Im erſten ſetzt Archimedes folgende
2 Grundſaͤtze feſt, die er als Erfahrungsſaͤtze annimmt, und worauf er
ſeine ganze Theorie baut: 1) daß die Natur der fluͤſſigen Koͤrper ſo be⸗
ſchaffen iſt, daß die weniger gedruͤckten Theile durch die mehr gedruͤckten
weggetrieben werden, und daß jeder Theil jederzeit durch das Gewicht der
Saͤule gedruͤckt wird, die ihm vertikal entſpricht. 2) daß alles, was
durch eine fluͤſſige Maſſe in die Hoͤhe getrieben wird, nach einer ſenkrech⸗
sen Linie in die Höhe getrieben wird, die durch deſſen Schwerpunkt gebt.

“Ans dem erften Sage ſchließt Archimedes Togleih, daß die Dbers
fläche einer —— Daft ‚, deren Theile alle gegen ben Mittelpunkt der
Erde ſchwer angenommen werben, eine fphärifche Geftalt haben muͤſſe,
‘wenn bie flüffige Maſſe im Gleichgewicht ſeyn fol. Hierauf zeigt er,
daß ein Körper, Her eben fo ſchwer als ein gleiches Volumen der flüffigen
Maſſe ift, darin völlig unterfinten muß, ‚denn mern man 2 gleiche Yu.
zamiden der fluͤſſigen Maſſe betrachtet, ‚die um das Centrum der Erbe
im Gleichgewicht ſeyen; fo würde diejenige, worin ber Rörper nur zum
Theil eingeſunken wäre, ‚einen geringern Druck auf das Centrum der Erde
oder überhaupt auf eine gewiſſe fphärifche Dberfläche, die man fi um Dies
Eentrum denkt, ausüben, ald bie andere. Auf gleiche Art beweißt er,

. ba Körper die leichter als ein gleiches Volumen ber flüffigen Maſſe find,
nur foweit niederſinken koͤnnen, bis daß der niedergeſunkene Theil die
-Stelle eines Volumens der flüffigen Maffe einnimmt, das eben fo [wer
tft, als ber. ganze Koͤrper; hieraus leitet er denn biefe:beiden hydroſtati⸗
ſchen Theoreme her, daß Körper ,. bie leichten find ald gleiche Volumina
ber. flüffigen Maſſe, wenn fie darin eingetaucht werden, ‚mit einer Kraft
von unten in die Höhe getrieben werben, die dem Ueberſchuß des Gewichts
ber fläffigen Maffe, die aus der Stelle getrieben iſt, über das Gewicht
des eingetauchten Körpers gleich iſt . daß die ſchwerern Körper green

u, IM... * N einen

go — zu | &
einen Thell — Gewichts verlieren, der dem Gewichte der aus der
EGtelle getriebenen ſtuͤſſi igen Maſſe gleich iſt.

Archimedes bebdient ſich hierauf ſeines aten Grundſatzes, um die
Geſetze des Gleichgewichts ber Korper, die auf einer flüffigen Maſſe
ſchwimmen, feſtzuſetzen; er erweißt, daß jeber Kugelſchnitt, ber leichter
iſt als ein gleiches Volumen der flüffigen Maſſe, wenn er darinn einges
taucht wird, nothwendig eine ſolche Sage annehmen muß, daß die Baſis
horizontal fey; fein Beweis befteht darin, daß er zeigt, daß wenn die.
Bufis geneigt wäre, bad ganze Gewicht bes Koͤrpers, das man fr
Schwerpunkt ſich vereinigt vorſtellen lann, und bie Kraft, vermoͤge ber
die flüffige Maſſe alles vertikal In Die Hoͤhe zu treiben ſtrebt, und die mau
Fe auch im Schwerpunkt gleichſam concentrirt denken kann, allegeit fo

nge dem Körper eine drehende Bewegung. mittheilen — bis er
feine Baſis horizontal geworben waͤre.

Dies tft der Inhalt des erſten Buchs. Im ꝛꝛten giebt Archlmedes
nach eben dieſen Grundſaͤtzen bie Geſetze des Steihgewihte verfchiedbener
durch die Umwälzung der Kegelſchnitte gebildeter Körper an, wenn fie m -
flüffige Maſſen eingetaucht merben, bie ſchwerer als dieſe Körper felbft
find;. er betrachtet den Yall, mo. biefe Conoiden darin geneigt ſeyn koͤnnen;
Diejenigen, mo fie ſich aufrecht erhalten müflen, und biejenigen, wo ſie ſich
umkehren oder ſich wirder aufrichten muͤſſen. Dies Buch ift eins der ſchoͤn⸗
Ken Monumente bed Genies bed Archimedes, und enthält eine Theorle

der ſchwimmenden Koͤrper, wozu die Neuern nur weniges hinzugefügt haben.

So leicht es auch nach dem was Archimedes gezeigt hatte; war, den
Druc einer flüffigen Maſſe auf den Boden oder die Seitenwände des Ges
faͤſſes, worin fie verſchloſſen iſt, zu beſtimmen; fo iſt doch Stevin ber

erſte, der dieſe Unterſuchung unternahm, und der das hydroſtatifche Pa⸗
zabor erfand, daß eine flüffige Maſſe einen weit groͤßeren Druck ausuͤben
Yan, als thr eigen Gewicht iſt. Diefe hydroſtatiſche Theorie Stevie
finder füh im sten Tom. der Hypommemata Mathematica, die Snellius
aus dem hollaͤndiſchen überfeßt und 3608 zu Leyden herausgegeben hat
— er — bat, daß ein feier Körper von einer r gewiſſen Siam

⸗
m m .
* 4 — ⸗*

—

—— 3x

und von derſelben Schwere als das Waſſer, darin in jeber Inge biefben
kann, weil er immer einerley Pla einnimmt, und fo viel wiegt old wenn
ed Waſſer wäre; _ fo flellt er fich ein rechtwinklichtes mit Waſſer dngefülls
tes Gefäß vor, .und zeigt leicht, Daß fein Boben das ganze Gewicht des
Waſſers tragen muß, welches das Gefaͤß erfüllt. Er nimmt hierauf
an, dag man In dies Gefäß einen feſten Körper von irgend einer Figur
und von einerley Schwere mit dem Wafler tauche; alsdann tft Elar, Daß
der Druck derfelbe bleiben wird; fo daß, wenn man dem eingetauchten
feften Körper eine ſolche Figur gäbe, daß er nur eine Röhre ber flüffigen
Maſſe von irgend einer Figur bleibe, des Druck diefer Roͤhre auf bie
Grunsflaͤche noch immer derfelbe, und folglich dem Gewichte einer vertis

. Balen Säule von Waſſer von eben ber Grundfläche gleich feyn wird.

Nun bemerkt Stevin, dag wenn man biefen feften Körper feft an einer
Stelle fi vorftellt,, Feine Veränderung in der Würkung des Waſſers auf
den Boden des Gefäßes erfolgen kaun; der Druck auf diefen Boden wird
alfo immer dem Geroichte eben dieſer Waſſerſaͤule gleich ſeyn, die Figur
des Gefäßed mag auch auf irgend ‚eine Urt beſchaffen ſeyn. Stevin gebt
hierauf weiter and beſtimmt ben Druck des Waflers auf ſenkrechte aber ges

neigte Wände, er theilt ihre Oberfläche durch horizontale Linien in meh⸗

vere kleine Theile, und zeigt, daß jeder Theil mehr gedruͤckt wird, ale
wenn er horizontal. und in der Höhe des obern Randes wäre, und daß

er zugleich weniger gebrücdt wird, als wenn er horizontal in ber Höhedes -
untern Randes wäre. Er verringert: nun bie Breite ber Theile immer

mehr ‚vermehrt aber zugleich ihre Zahl bis ind Uuendliche, und beweißt
durch bie Methode der Örengen, daß der Drud anf eine geneigte ebene

Seitenwand dem Gewicht einer Säule gleich ift, davon dieſe Seitenwand
die Grundflaͤche und deren Höhe der halben Höhe des Gefaͤßes gleich iſt.
Erndlich beftimmt er den Druck auf einen gewiffen Theil einer ebenen ges

neigten Seitenwand, und findet, daß er bem Gewichte einer Wafferfäule
gleich ift, bie entſteht, wenn man an jebem Punkte diefed Theiles gerade
Linien ſenkrecht anbringt , ‘die der Tiefe dieſes Punkts unter dem Waſſer

gleich find. Nachdem biefes Theorem für gewiſſe Ebenen, wie auch ihre |

Sage befchaffen ſeyn mag, erwiefen iſt; fo iſt es leicht, es auf gewifle

krumme Flächen zu erfirecken und daraus den Schluß zu ziehen, baß der - -
durch ein ſchweres Fluidum gegen — eine Flaͤche ausgeuͤbte Druck das
ee © I R2— |

—

Geſgicht

320 | —

Gewicht einer Sanle von eben dieſem Fluibdo jun Maaße hat, welche

dieſelbe Fläche zur Baſis hat, die, vom es noͤthig iſt, in eine ebene
Fläche verwandelt werden koͤnne, umb deren Höhen, die den verſchiede⸗
nen Punkten ber Grundflaͤche entſprechen, den Diſtanzen der correſpondi⸗

Lenden Punkte der Oberfläche von der horizontalen Linie des Funums

gleich find, oder, welches auf eins hinauskommt, biefer Druck wird von
ben Gewichte einer Säule gemeflen werben, bie zur Grundfläche die ges
druͤckte Fläche und zur Höhe bie vertikale Diftanz des —
eben dieſer Flaͤche von der oberen Flaͤche des Fluidum s hat.

Die vorhergehenden Theorien des Gleichgewichts und des Deucke

Ber fluͤſſigen Maſſe hingen, wie man ſieht, nicht ine geringſten von den.

allgemeinen Principien der Statik ab; ſie gruͤnden ſich vielmehr voͤllig auf
Erfahrungsſaͤtze, die ben flüffigen Meaffer alleim eigen find. Diefe Mies
thode die Gefeße ber Hodroſtatik zu erweiſen, indem man aus einer auf

die Erfahrung ſich gruͤndenden Erkenntniß einiger dieſer Geſetze die aller

andern herleitet, iſt von den meiſten neuern Schriftſtellern angenommen
. worden, und hat aus ber Hodroſtatik eine von ber Su ganz verfchles
bene und unabhaͤngige Wiſſenſchaft gemacht.

Es war jedoch von Wichtigkeit dieſe beiden Wiſſenſchaften zu verbin⸗
den, und beide von einem und eben demſelben Princip abhängen zu laſſen
Unter den verſchiedenen Principien, bie ber Statik zur Bafıs dienen koͤn⸗
nen, und wovon wir eine Furze Erzählung im erſten Abfchnitt gegeben has
ben, ſleht man, iſt keins als das Princip des Beſtrebens nad; Geſchwin⸗

digkeit, das ſich eben fo natuͤrlich beim Gleichgewicht fläffiger Körper an⸗

wenden laͤßt. Auch hat ſich Balitäus, ber Urheber diefes Principe,

deffelben. auf gleiche Weife bedient die vornehmften Lehrſaͤtze ſowohl ber -

Statik als Hodroſtatik zur erweifen. In feiner Unterredung intorne alle
eofe che flanno in ſu aqua o che in quelte f wonvono leitet er ſogleich aus
biefem: Princip das Gleichgewicht bes Waſſers in einen Heber her, indem
er zeigt, daß wenn man die flüffige Maſſe vom einerlen Höhe in ben bei⸗
‚den Armen amimmt , fie weder in den einen fallen, nody im dem andern
eigen kann, wenn nicht die Momente in bean > des Fluidums ber
Fit, unb in demjenigen, ber ſteigt, gleich And. Auf eine ähnliche Art

F ” ?

” = 5 x Pr B A z ® —
-_ .
Er fi “.
J

FE ug Fate,

* ⸗—

= \ 2 n
+ n ‘
>

| erweißt Balilkus das Gleichgewicht der fläffiger Draffen mit Ben fehler
Körpern, bie darin eingetaucht werben; nnd ohnerachtet ſeine Beweiſe

| He gehörige Strenge, die man bier erwarten konnte, nicht gu haben

| ſcheinen; fo iſt es doch leicht fie hier anzubringen, wenn man nur das

— 133

genannte Princip in feiner ganzem Allgemeinheib betrachtet, wie die mache
ber auch der Abe Grandi in feinen Noten: zu: eben biefem Traktat des
Balitkus gethan hat. Des Cartes und Paſcal wendeten eben dies
Princip des Beſtrebens nach Geſchwindigkeit ebenfalls in der Hydroſtatik
an, beſonders bediente ſich letzterer deſſelben ſehr in ſeinem Traktat de
Fequilibre des liqueurt, und bewles dadurch die vornehmſte Eigenſchaft der
flüffigen Körper; nehmlich daß irgend ein: an einem Punkte ihrer Ober⸗
* angebrachter Druck ſich gleichfoͤrmig nach allen andern Punkten ver⸗
eitet *).

Soſehr dieſes Princip aber vor andern den Vorzug hat, daß es ein⸗
fach und doch allgemein iſt ſowohl für das Gleichgewicht der flüffigen Koͤr⸗
per als fuͤr das der feſten Koͤrper, ſo iſt es dem ohngeachtet doch von den
meiſten neuern Schriftſtellern, die über die Hydroſtatik geſchrieben haben
beſonders aber von denjenigen hindangeſetzt worbden, welche es unternah⸗

men die Grenzen dieſer Wiſſenſchaft zu erweitern, und die Geſetze des
Gleichgewichts heterogener Fluͤſſigkeiten zu ſuchen, deren Theile insge⸗
fammt durch gewiſſe Kräfte getrieben werben; dieſe Unterſuchung tft ber
ſonders deswegen ſehr wichtig, weil ſie mit dem beruͤhmten Problem der
Figur der Erde in Verbindung ſteht.
— R3 Huy
“, Es iſt dies die naͤmliche Eigenſchaft die nachher unter andern beſonders
Hr. Euler zur Grundlage für die Theorie fluͤſſiger Körper angenommen
dar. Quaelibet prrfio, fagt er im 13. Bande der neuen Pereröburgifchen
Eontmentarien, fuidis applicata per totam corum majlam ita diffunditur,, uf
onmes eorum parles eamdem Jenliant A ‚ quatınus ſcilicet fluidum in.
asqulibris perſiſtit. Eben diefe Eigenfhaft nahm er auch in vielen andern
Hrten fo wie auch in mehrern Abhandlungen in dem Schriften der Peterds

Buraer und Berliner Akademie zur Grundlage an. Eben dies that auch

d Alembert im f. traitd d’ dquilibre et du mouvement des fluides. Uebrigens =

find dergleichen Eigenſchaften an fih nicht gefchickt genug, unmittelbar ..

anf eine Gleichung zu führen, allen fie find vorzüglich gefchicht dem Calkul
zur Grundlage zu diene, indem fie die damit verfebenen Körper vorzügs

Sch bezeichnen. IL,

| t

*
—
—

NN —

Fangh ane nahm bey dieſer Unterſuchung zum Grundſatz des Gleich⸗
a, daß bie Schwere auf die Oberflaͤche ——— NMew⸗
na gieng von dem Grnndfaß der Gleichheit der Gewichte centraler Saͤn⸗
Ka and. Druguer merkte hierauf an, daß oft diefe beiden Grundſaͤ
wid einerlei Reſultat gäben, und ſchloß daraus, daß, wenn das Gleiche
ht einer flüffigen Maſſe flatt finden follte, beide Grundfäge zugleich
baben, und fi) vereinigen müßten der Oberfläche des Flutdum’s eis
nerley Geftalt zu geben. Aber der verfiorbene Hr. Clairaut bewied,
daß es Faͤlle geben koͤune, wu auch diefe Uebereinſtimmung flatt finde,
und wo bennoch Fein Gleichgewicht vorhauden wär. Maclaurin machte
VNewtons Princip noch allgemeiner, indem er feitfeßte, daß bey einer
flüffigen im Gleichgewicht fich befinbendeu Maſſe jeder heil durch alle
erablintate Säulen des Fluidums gleich gedrückt werde, welche auf dieſen
Keil fi fügen und an der Oberfläche fi) endigen. Herr Clairaut
machte biefen Grundfag noch allgemeiner, indem er zeigte, daß das Gleiche
gewicht einer fläffigen Maſſe es erfodere, daß die Kräfte aller Theile des
Fluidum's, bie in einer gewiſſen Röhre eingeſchloſſen find, bey ter Dbers
flaͤche ſich endigen oder in fi felbft zurückkehren und ſich fo gegenfeitig
aufheben. Endlich leitete ex auch zuerſt aus dieſem Grundfage die wahr
zen Fundamentalgefeße des Gleichgewichts einer flüffigen Maffe her, des
zen Theile durch gewiffe Kraͤfte getrieben werden, und fand die Glelchun⸗
gen in partiellen Differentialien, woburh man diefe Gefebe ausdrüden
Kann, Diefe Entdeckung gab ber Hydroſtatik ein ganz anbered Anfehen,
und ſchuf fie gleihfam zu einer neuen Wiffenfhaft um .. en

Dee Grundfaß des Hrn. Clairaut ift nur eine nothmendige Folge
von dem Grundſatz ber Gleichheit des Drucks nad) allen Seiten. Auch
hat Hr. D' Alembert fogleich aus dieſem Grundfaße bie nämlichen Diffes
zentialgleichunigen hergeleitet, die Hr. Clairaut durch den feinigen gefuns .
ben hatte. In der That muß man auch geftehen, baß diefer Grundfaß
bie einfachfte und allgemeinfte Eigenſchaft enthält, die die Erfahrung
beim Gleichgewicht der flüffigen Körper hat wahrnehmen Können. Aber
ift die Erkenntniß dieſer Eigenſchaft bey der Unterfuchung ber Geſetze
bes Gleichgewichts flüffiger Körper wohl nothwendig? Kann man diefe

_Befege wohl nicht aus der Natur ber flüffigen Körper felbft herleten, .
= = Indem

—

- guft, ber Dampf des kochenden Waſſers u. ſ. w. aber zur sten Are). -

| 135

knbem man ſte als eine Menge von Theilchen betrachtet, bie fehr wenig

anter einander verbunden ſind, gar nicht von einander abhaͤngen, und
nach allen Richtungen volllommen beweglich find? Dies will ich in den fol⸗

genden Abfchnitten zu thun ſuchen, und nur das allgemeine Örundgefeg des
Gleichgewichts dabeg anıpenden, deffen fd} mich ſchon bey den feften Köxpern
bedient babe. Diefer Theil meiner Arbeit wird nicht nur eine der fehönften

- Anwendungen diefed Princips geben, fondern aud Dazu bienen , in einigen
Stücken vie Theorie ber Hydroſtatik zu vereinfachen. «

Bekanntlich werben bie flüffigen Körper in 2 Arten eingetheflt: in
ampreßhare (Hurdes incompreflibles), deren Theile zwar Ihre. Figur veräns
tern koͤnnen, ohne jedoch ihr Volumen gu verändern, und in prefibare
(Auides. compıeflibles) oder efaftifhe, deren Theile zugleich an Figur
and Volumen eine Venderung leiden können, und allzeit mit einer bekann⸗
ten Kraft fich auszubreiten ftreben, die man gewöhnlich einer Funktion
der Dichtigkeit proportional annimmt. | | -

Das Waffen, dad Quedfilber u. f. w. gehören zur erflern Art; die

Mir

*).Die- Natur Fennt freifich den Unterſchied zwiſchen preßbaren und mpreß
baren flüffigen Maſſen wahrfcheinlich eben fo wenig als fie völlig harte und
völlig weiche Körper kennt; ein Ding behgt eine Eigenſchaft immer in cha
nem höhern Grade ald ein anderes, und fo giebt es eine unendliche Vers
ſchiedenheit. Aber der Menſch, dem ed um Eigenfchaften zu thun ift, die
Mm die Einne fallen, und wodurch er im Stande iſt eind vom andern zu
unterſcheiden, (pricht einem Dinge eine Eigenfchaft ab, die ed in einem
zu geringen Grade befist, ald daß er fie mit feinen ſchwachen Sinneswerk⸗
zeumen bemerfe, und auf gleiche Weiſe fchreibt er einem Dinge eine Eigen⸗
ſchaft ohne Einfchräntung zu, wo er nur niche im Stande iſt, diefe Eins
fehränfung wahrzunehmen. Go iſt die Luft meder unbearenzt elaftifch,
noch dad Waſſer völlig unpreßbar oder der Zufammendrädung unfähig.
Vom erftern haben und zwar noch zur Zeit Feine Verſuche überzeugt,

allein wir können and andern Gründen mit der größten Wahrfcheinlichfeit

ſchlieſſen, daß es fowohl eine Grenze für die Verdichtung gehe, bey der die

Luft keiner fernen Verminderung ihred Volumens mehr fähig iſt, =
—— — au

* % nn _y =

*
„3

135 —

| — Wir wollen zuerſt vom BGlechgewicht der unpreßbaren Fluͤſſigkeiten
handlen, und hierauf von dem ber preßbaren oder elaſtiſhen.

and ein gewiſſer "Brad der Ausbreitung ober Verdünnung ſtatt finder,
bey ber Ihr die Elaſticitaͤt entgeht. Dom andern aber find wir au
a pofleriori Abergeugt, denn geſchweige daß die Berminderung und Zu⸗
nahme des Wolumens beim Wafler ſehr Au die Augen fallend bey ber
Menderung der Wärme und Kälte erfolgt, wovon und ein mit Waffer
angefüllted Thermometer hinlänglich überzeugen kann, fo iſt e8 auch eis
nigen Phpſikern gegluͤckt, durch eine ſehr große Gewalt daͤs Waffer um
eine geringe- Größe, die aber darum doch eine Größe bleibe, zuſammen⸗
udrͤcken. Wir Haben dad Waller und die. Luft bier befonders ange

hrt, weil fie am befannteften find, ‚allein was wir von ihnen gefagt
baden, gilt eden fo gut von andern, und wir glauben dreifte behaup⸗

- sen zu Eönnen, es gäbe Fein Fluidum, das nicht in einem gewiffen Grade
‚: slaftiih ſey, und wo diefe Elaſticitaͤt nicht eine gewille Grenze Habe, NT.

Sieben⸗ |

SERIE 5 137

Siebenter Abſchnitt. | B
Vom Gewicht der unpreßbaren flüffigen Maſſen.

2) [8 fey m eine fläffige Maſſe, wovon alle Punkte durch Die Schwere

oder burch gewiffe Kräfte P, Q,R, etc., deren Richtungen die Linien

, P4 5 etc, find, getrieben werben, alsdenn erhält man nach (4 Abſchn.

125), wenn man bie daſelbſt gebrauchten Benennungen beibebält, für die
Summe der Momente aller Kräfte die Iutegralformel

S(P3p + Qdq + Redr F etc.) dm |

welche — 0 überhaupt feyn muß, wenn das Fluidum im Gleichgewicht

ſeyn fol.

2) Wir wollen zuerft das Fluidum In eine Röhre, bie ıniendlich eng
und von einer gegebenen Figur ift, und eingefchloffen denken, und ed uns

in unendlich Heine Schichten oder Theile eingetheilt vorſtellen⸗ bereu Höhe —

ds und die Breite =: » iſt; man koͤnnte alsddaun dm — aës ſetzen, weil
bie Breite der Röhre » als unendlich Tlein angenommen worden iſt, und
ds dad Element der Krümmung der Röhre iſt. Stellen wir und num vor,
die flüffige Maſſe erhalte eine kleine Bewegung und verändere unenblidy

“wenig ihre Stelle in ber Röhre, und es fey ds ber Feine Raum ben die

Schichte ober das Theilchen dm in der Röhre durchlauft; fo ift klar, daß

.. ds die Größe der flüffigen Maſſe feyn wird, bie zu gleicher Zeit durch

jede der Schnitte w der Möhre gehen wird. Wegen der Unpreßbarkeit

der flüffigen Maſſe aber muß diefe Größe überall einerley feyn, feßt man

alfo vos a; fo wird die Größe a in Unfehung der Krümmung der Röhre
beſtaͤndig feyn. Ä Be
| eds

Man bat aber » — — und folglich dm = or. Setzt m an alſe
E00 die .

738 — —

die beſtͤndlge Größe à aufferhalb des Sntegralgeidjens 8 fo wird ans der
Formel, die. bie Summe der Momente der — außdrädt:

«S(P3p * Qdq * Rer — a u

Dan ficht aber leicht, baß weil en aq. dr bie Warlatloneir der — =
‚P,qgr,etc. find, die von der Variation ds herfommen , fie diefelben Vers
hältniffe haben muͤſſen, als die Differentialien dp, Jg dr, etc» de |

der gegebenen Figur der Röhre,

dp dg dg
Dan hat alfı Fr ge

Er dr —
— — — ete.
ds ° ds -

Es wird daher aus ber vorhergehenden Formel:
«S (Pdp + Qdg Rdr »p etc.)

wo bie Differentialten dp, dq. dr, etc.. ſich auf bie — ber. Rehre J

beziehen, und wo das Zeichen S ein Integral andeutet; das nad) ben gan⸗

. gen Umfang der Röhre genommen iſt. Setzt man. daher biefe Groͤße =0:

fo hat: man. .
S(Pdp + Qdq + Rdr > etc) — ©...
melde Gleichung das — Geſetz des Gleichgewichts einer fliſſeen

Maſſe enthält, die. in. einer: Roͤhre von. einen gewiſſen Figur. eingeſchloſ⸗

fen iſt.

3) Gäbe es auffer den. Kräften P, Q, R, etc.., bie auf jeden Punkt

der flüffigen Maffe wuͤrken, noch eine äuffere Kraft: TI’ an einem der Eu⸗

hen der Röhre bie mit Hülfe eines Stempels auf die Flaͤche des Fluidumg =

und ſenkrecht auf die Seitenwände ber Röhre wuͤrkte; und bezeichnen wir.

alsdenn durd) d den Heinen Raum, ben die Schichte bes: Fluidums, das
nach der Vorausfeßung von der Kraft. TI’ gedrückt. worden iſt, durdläuft, .
während daß die andern — die verſchiedenen Raͤume ds durchlaufen;

ſo

— ⸗ 139

ſo müßte man zur Summe ber Momente ber Kräfte P, Q. R, etc. das

Moment der Kraft II! welches durch Il/Es/ vorgeftellt wird, abbiren.
Nennt man daher »’ den Schnitt der Röhre an dem Ort, wo bie Kraft
TI’ würlt; fo hat man #/ ds! für bie Größe ber flüffigen Maſſe, die dur
ben Schnitt » geht, während bag durch einen andern Schnitt » bie
Größe der flüffigen Maſſe » ds geht. | Ä

-Die Unpreßbarkeit des Fluidum's aber erfordert, daß biefe Größen

àü—berall einerlei ſeyen; hat man daher =da = geſetztz fo hat man auch
wi äslun a; folglich 20 = Ze Folglich wird die gauze Summe der Mies

mente ber. Rräfte bie auf tie, fluffige Maſſe wirken, durch die Formel
«(7 +5 (Pdp * odq + Rdr +- etc.) ausgedruͤckt werben
Loͤnnen, fo daß bie Gleichung fürs Gleichgewicht ſeyn wird
| = +S(Pdp + Qdgq + Rdr + ec) — 0.

4) Es ift offenbar, daß im Zuftande des Gleichgewichts die Kraft
TI? durch den Druck der fläffigen Maſſe auf den Stempel aufgehalten wird,
deffen Breite — a iſtz dieſer Druck wird folglich = — II feyn, und
folglich = w/S(Pdp + Qdq ++ Rdr + ete.).
Daher wird überhaupt: der Drud ber flüfjigen Maffe auf jeden
Punkt des Stempels durch, die Integralformel
S(Pdp »r Qdg Radr ++ etc.)

" gusgebrüdt, wenn man biefes Sutegrale für die ganze.Sänge ber Rohre

annimmt. Dieſer Druck wird auch der naͤmliche ſeyn, wenn man anftatt

eined beweglichen Stempels einen unbeweglidgen Boden annimmt, der die

Möhre auf einer Seite verſchlleßt. | FR

5) Wäre am andern Ende ber Roͤhre eine andere Kraft II anges

bracht, die ebenfald vermittelft 3 Stempels würkte; fo. fände mn .
ER = auf

—

140 ' A

auf gleiche Weife, wenn man w ben Schnitt ber Roͤhre au dieſem Orte

nennto, bie Gleichnng: |

m 114 —— | F
— — + S(Pdp F Qdg #-Rdr + ein); —

für das Gleichgewicht der fluͤſſſgen Maſſe. |
6) Wird alfo dns Fluidum nur durch / die beiden aͤuſſern Kraͤfte II!

TI gebruͤckt, vie an den Flächen «+ und wo angebracht: find; ſo muͤßte

. 1

Il? |
man für's Gleichgewicht haben — * — — o03 woraus man ſieht,

daß die beiden Kräfte II’ TI! entgegengeſetzte Richtungen haben muͤſſen,

and zu gleicher Zeit umgekehrt den Flächen w’, a,‘ worauf fie wuͤrken,
proportional’ ſeyn muͤſſen. Diefen Gag fieht man gemeiniglich blos als’
einen Erfahrungsfaß an, oder wenigſtens als eine Folge der Gleichheit:

bed Drucks nad, allen Seiten, worin- der größte Theil der Schriftſteller
ber. Hydroſtatik die Natur der. flüffigen Körper ſetzen. :

7) Sind die Gefeße des Gleichgewichts: einer in einer fehr engen:
Roͤhre von einer gewiffen Figur eingefchloffenen fluͤſſigen Maſſe bekaunt;
fo iſt es nicht ſchwer die Geſetze des Gleichgewichts: einer flüffigen Maſſe
herzulelten, fie. mag. nun entweder in einem Gefäße eingefchloffen ſeyn

oder nicht.

Denn. ed: ift offenbar, daß, wenn eine fläffige Maſſe im Gleichge⸗
wricht iſt, und man fich eine gewiſſe Röhre vorftellt, die mitten burd) die⸗
ſelbe geht, die in diefer Röhre enthaltene flüffige Maſſe auch im Gleiche.

gereicht von felbft d. h. unabhaͤngig von allen übrigen Theilen bes Flui⸗

dums ſeyn wird. Milan hat alfo für. das Gleichgewicht diefer Roͤhre,

wenn man auf bie änffern Rräfte Peine Näcficht nimmt ( 10) —
S(Pdp » Qdgq # Rdr 4ete.) = 0

. md da.die Figur der Röhre unbeftimmt feyn muß; fo muß bie vorherges:

hende Gleichung immer ftatt finden,, indem. man: biefer Figur eine. ges
wife Veraͤnderung giebt...

ir:

—

a u: | om
Wir wollen vurch P Überhaupt ben Werth des Integrals
" S(Pdp -» Qdq -F Rdr ete.).

weldhes fe bie ganze Lange der Möhre genommen iſt, auedroͤcken, fo daß
bie Gleichung für’d Gleichgewicht ber Röhre feyn wird: & = o und wenn

" ‚man die Variationen durch dad Zeichen &: auodruͤckt; fo wirb man allges

mein haben: dd = 0. -
Aarsd—ds(Pdp + Qigq # Rdr P etc.)
a == Se (Pdp rt Qdg = Rdr Fr etc.)
= 8 (Pedp + Qedg + Rödr ei.
+ 3Pdp-+ 3Qdg +F dRdr ++ etc);

Berwandelt man nun dd in d& nnd lazt hernach das doppelte Zei⸗

en ds durch Antegratfonen,: die man theilweiſe verrichtet, nach ben bes

kannten Grunbfägen des Variatlons⸗Calkals verſchwinden; fo hat man

38 = PoQeq en Recr etc — a

4 S(3Pdp — dPep „u sQdg-— dQdg
+dRde — dRdr * etc.)

wo die. Glieder , die fih außerhalb des Zeichens S befinden, ſich auf‘ bie
Enden des durch died Zeichen angebeuteten Integrals beziehen, und folgs

—
or

lich der Oberfläche der flüffigen Maſſe entſprechen.

Da nun die. Größen P, Q, R, etc., die bie Kräfte andenten, im⸗
mer als Zunktionen von p. g, 1, etc. angeſehen werben koͤnnen; fo iſt
Har, daß der Theil von d®. der das Zeichen S vor fih hat, Feiner Res
duktion mehr fähig iſt, damit man alſo im allgemeinen habe 0 —— 0,

muß 1) dieſer Theil an fh — o ſeyn, und man muß alſo für jeden

Punki der flüffigen Maße die identiſche Gleichung haben:-
aPdp — dPöp + gQdq — dQdg = ß
Rd — dRödr »£ etc, =. 0, |

—
” ’ “
T ee EI e
2 - ER m EN...” - =

S 3: 2) Muß |

⸗
x

142 ——

J 2) Muß man in für die außere Oberflaͤche des —— bie
-Pep+ Qig+ Rer + eu. =o,.,
wo man annimt,. baß bie ——— dps ui &c ei. ſich auf diefe
Die erftere Eigenſchaft wied * biewen, be — der Kräfte P,
Q. R etc. zu beftimmen, woburd dag Fluidum ˖ im Gleichgemicht foyn
Tann, unbe die 2te wird bie Figur felbft angeben, bie das Fluidum wegen
dieſer Kraͤfte annehmen muß. |

Hs) Wir wollen feßen, die Größen ?,0; R. etc, feyen fo befchaf:
fen, daß die erftere Bedingung hat it, in diefem Fall bat man ſehr
einfach

0*74p es 024 + Rör. > ee:

* if 20 offenbar ein volkommenes Differential in Anſehung ded Zei⸗

folglich ih au Pip Qq. Ber ++ etc. ein volkom-
| nn iferential; verwandelt man alfo 8 in d; fo hat man das vol⸗
kommene Differential: Ep Qdq Rar — ecc. wovon ® das
Integrale iſt ·

Wiederum iſt Pdp + — + Rär 2 etc. di Ir RR,
Differential; fo m bie — Bedingung nothwendig ſtatt finden. Denn
alsdann wird das ntegrale ® dieſer Groͤße eine — don p. % r ete.
ſeyn, ſo Buß, werin'man differentiirt, man hat:

dd — Päq + Qdq * Rdr + etc. und |
30 — Pip + Qig + Rör 4 ete. folglich
dd. Pdp .r 8Qdgq + Rdr > etc,
Ä | + Pedp =: Qddg + Redr + etc, und
ds® — - dPöp — dQsg + dRödr »u etc,
+ Pdöp * a X Rdor 4ete.

Aber * den Brentfäten des Bari au it ed. = de;
folglich ift auch
ddd — die == Pdp + 2Qdg, + apa + en. F
— dPsp — dasg — — 0

waches bie gefuchte Bedingung iſt. Dieſe Batingung er t alfe bariıy

daß die Kraͤfte P, Q, R etc. fo beſchaffen find, daß P Pi + adq -
+ Rd + ec eine integrabele Größe if. an

Nennen wir alfo 5 das Jitegrale dieſer Srhge, fo iR bie at Be⸗
Bingung bed Gleichgewichts dd = o- oder vielmehr dd =. 0 für bie aufs

- fere Fläche des flüffigen Körpers; fo daß, wenn man ——

% = Conft für die Gleichung dieſer Flaͤche.
9 Betrachtet man nun die (7) gefundene Gleichuug?
erde dP3p £ 2Qdqg — 2. + I dRer
4 ete. = Oy

ſe u man daraus bie analytifchen: ER herleiten „ bie fe zolſchen

den Ausdruͤckungen ber Kräfte P, Q, R etc. ſtatt finden; denn fieht
man dieſe AUnsbrüffungen al gene Genbionen hon p, q x ae —* po
erhält man. befanntermanßen |

= de ‚gr TE
= ee: = |
IP= — dp — — er
mb: — dp. + a, 2q 4* I, den etc =

— md eben fo geht es mit den andern Differentlalien ; ſubſtitutet man dieſe

Werthe in der vorhergehenden re und. orünet ne BERNER ſe be⸗
kommt fie: dieſe —

de
NKde F

;

' ) Gar um dr |

dP . .dRN ner ia —
— er) (drdp — rap) =

—
Bm E-5) (iidg = Ang) wien mei

und fie muß unabhängig von den Bienen dp, 9. dr ete. 75
dg, dr etc. ‚Hast finden. _ |

10) Iſt alſo Feine gewiſſe Verhaltniß zwiſchen den Variabeln 6
x etce. angegeben; ſo muß man einzeln fegen:

a_R_,

da dp .
dp dR

— m — u () „

de _ dp

dr dq —

ete.

Dies ſind die bekannten Vedingangsleichungen für bie Iutegrobtink der
Formel: > 0

Pdp -x Odg + Rdr „+ etc.

Hinge aber z. B. Die variabele See r, bon den seben oariaben
Größen p und q ab; fo dag

dr — a 5 Bdg,
fo on man.ebenfalß . .. . F | —

= Adp u Bags: —
— — — dper = 3 — — — en
ardg — dreg==A (dpdg — dpsg);

\ Sub⸗
”

ek | J 45

Subſtitnirt man alfo biefe Werthe in der allgemeinen Gleichung, und fegt
“ben Coefficienten von dgdp — dgdp = 0; fo erhielte man die Gleis
Gun > ut ee an
1 IRN dQ RX.
= U, _ in dei
| dq dp p | dr - dq
‚welche flatt ber 3 erſten Bedingungdgleichungen dienen kann u, ſ. w.

dr: 4

= 1) Hat.die fläffige Maffe nur 2 Dimenfionen; fo haͤngt die age |

jedes Punkts derfelben nur von 2 varlabeln Größen ab; die verſchledenen
variabeln Größen p, q, r, koͤnnen alfo immer nur auf 2 gebracht wer;

den, und alsdann findet nur eine Bedingungsgleihung flat. Hat aber ;

fluͤſſige Maſſe 3 Dimenfionen; fo hängt die Sage ihrer Punkte überhaupt

von 3 veränderlihen Größen ab; alle verfehledene variabeln Größen p,
95 retce. laſſen ſich alfo auf 3 bringen, und man erhält auch 3 Bedins

‘gungdögleichungen. . |

ı- 12) Bisher haben wir bie Dichtigkeit der fluͤſſigen Maſſe auſſer
Acht gelaſſen, oder wir haben fie vielmehr als beſtaͤndig und —7 anges

fehen; ‚wollte man fie aber ebenfals veränderlich fegen; fo erhielte man, -

‚ wenn man A bie Dichtigkeit "eines gewiffen Theilhens dm nemtte (2)

dm — Awds; bieburd; fände man alfo die Größen P, Q, Rietc.

insgefammt durch A multiplicirt.

Dan erhält alsdaun fiir Das Gleichgewicht der fluffigen Maſſen von
veraͤnderlicher Dichtigkeit, biefelben Geſetze als für das Gleichgewicht der

ER — — — 6

Fluͤſſigkeiten von einerley Dichtigkeit, wenn man nur bie verſchiedenen

Kraͤfte durch die Dichtigkeit des Punkts multiplicirt, worauf fie wuͤrken

bh. indem man nur AP, AQ, AR etc. aiı bie Stelle von pP, Q, R,°

je er

13) Wir haben angefangen bie Öefeße bes Öleicigewichts einer in

‚ einer unendlich engen Röhre eingefchloffenen? flüffigen Muffe zu fuchen, und
daraus die allgemeinen Gefege bes Gleichgewichts einer gewiſſen flüffigen

Maſſe hergeleitet. Indeſſen kann man auch unmittelbar zu Diefen leztern - -
=> - J T. | Gefetzen

146° e —

Geſetzen gelangen, wenn man bie Aufgabe ſoglech in FEN ganzen Allges

meinheit betrachtet, und die im — Abſchnitt vorgetragene Methode da⸗
bei anwendet. |

ir wollen um niehrerer Einſahheit annehmen, alle auf die Theil |

chen des flüffigen Koͤrpers wuͤrkende Kräfte ſeyen auf 3 gebracht, die uns:
"ter X, Y, Z Oorgeitellt werben, und die ihre Richtungen nach den rechts

toinflichten ‚Soprdinaten x, y, z haben, d. h. die diefe zu verringern ſtre⸗

ben. Wir haben (5, Abſchn. 5) die allgemeinen Formeln für dieſe Res

duktion gegeben. Nennt man dm die Muffe eines gewiffen Theilchens;

fo erhält man fiir die Summe der Momente der Kräfte X, Y, Z bie Ir⸗

tegralformel 3 ax * Yey «+ Liz) dm. |

Das Volumen des Theilchens dm aber kann durch ix, — dz
ausgedruͤckt werden; bedeutet alfo A die Dichtigkeit, fo ift Mar, bag man

hat dm = A dx, dy, dz; und das Integrationszeichen S wird zus
gleich zugleich zu den 3 veränderlihen Größen x, y, z gehören.

Man muß aber ferner auf die aus ber Unpreßbarkeit bes Flni⸗

dums entſpringende Bedingungsgleichungen Ruͤckſicht nehmen, welche unter

L == o vorgeſtellt wird. Differentiirt man daher nach d, multiplicirt
durch einen unbeſtimmten Coefficienten A und iutegrirt; fo erhält man die

Formel SAdL, die man zur Vorhergehenden hinzu addiren muß. Sind

‚gar keine beſchleunigente auf die Oberflaͤche der fluͤſſi igen Maſſe wuͤrkende
Kraͤfte, und auch feine beſondere Bedingungen in Anſehnng dieſer Ober⸗

flaͤche vorhanden; fo hat man fuͤr's Gleichgewicht folgenbe einfache Glel—
chung:
S(Xöx -- Yoy en Ziz) dm + SAsL =0,

wo man das — mit Ruͤckſicht auf die ganze Maße des Fluldum 8
nehmen muß.

14) Wir wollen jetzt die Werthe von Läund deſſen Bariation sL
ſuchen. Es tft offenbar, daß die Bedingung der Unpreßbarkeit darin befteht,
daß das Volumen jedes Theilchens eine beftändige Größe fey; hat man
aljo diefed Volumen durch dx, dy, dz ausgedruͤckt; .fo hut man dx;
dy,dz = Coull für die Bedingungsgleichung; folglich wid |

- " y

-—

L dx, dy, dz — Conſt und
&L = 48 (dx, dy, dz — Conft ſeyn. u

Unm die Wariatlon &, (dx, dy, dz) zu erhalten; fo ſollte man
benfen hätte man weiter nichtö nöthig als dx, dy, dz nach d zu differen:

tiven; allein man hat hier noch eine befondere Betrachtung anzaftellen,
ohne die ber Calkul unmöglid, die gehörige Strenge erlangen würbe. Die
Größe dx, dy, dz druͤckt nehmlich das Volumen eined Theilchens nur
tn fo weit aus, ald man animmt, die Figur diefes Theilchens fey ein vedhts
winklichtes Parallelepipedium, deſſen Selten den Achfen der x, y, 2
parallel feyen. Diefe Vorausfeßung kann immer gar.mohl geftattet wers
den, weil man fi, das Fluidum in unendlich Beine Theile von jeder Figur

- getheilet vorftellen kann, ;

Es druͤckt 8 (dx, dy, dz) die Variation aus, die dies Volumen
Yeidet, wenn das Theilchen eine unendlicdy geringe Veränderung in feiner

Lage bekommt, in den feine Coordinaten x, y, 2 werben x »- dx,

yp'dy, z = dz, und ed ift Mar, daß wenn bei. Diefer Veränderung

bes Orts das Theilhen and) in Unfehung feiner Figur und feiner Lage in

Beziehung auf die Uchfen der x, y, z eine Veränderung erlitt, man fein
Volumen nicht mehr durch das Produkt ter Differentialien d(x -- dx),
d(y -+ dy), d(z »+.dz) feiner Coordinaten wirb ausdraden koͤnnen.
Um alfo die genaue Veränderung ded Volumens zu erhalten, muß man

x —
— 147

zugleich auf die Veraͤnderungen, die das Theilchen in Anſehung ſeiner Lage

und Figur leidet, ſehen.

Man muß daher die Coordinaten, die zu den Winkeln des Paralle⸗

pipeduin s dx, dy, dz in feinem erſten und in ſeinem veränderten Zu⸗
ftande gehören , betrachten, Im erften Zuflande find diefe Coordinaten
offenbar x, y, 2; . |

x. de, y,z; x — dx, y, z + dz,
x,.y + dy, 2; x,Yy+ dy, z + da,
. X,y, z ++ dz; xp da, y dy, 2 4 dz,

x. dx, y»r dy; 2; ’ |
” 2. .- Nimmt

5 j} R ⸗
\“ 2 N ; ir

— —
Nimmt man nun die Wurzeln der Summe der Quadrate der Diffe⸗

rentialien ber Coordinaten für 2 gewiffe Winkel; fo erhält mai die gerade,

Linie die diefe Winkel verbindet, und bie entiweder eine Seite ober eine
Diagonallinie des Parallelipipedum's ſeyn wird; man findet fo alfo dx,
dy, dz für die Seiten, und Y” (dx? «+. dy?), V (dx? + d2?),

- V- (dy? u d2?), V (dx? » dy? > dz?) für die Diagonallinien.

‚Wir wollen jeßt feßen, bie: Coordinaten x, Y. z verwandelten fid) in

X EX, yo dy, 2.4 dz, und dx, dy, dz, als gewiſſe Funktio⸗

nen von x, y, 2 anſehen; läßt man nad) und nad; die x, y, 2, und dx,

dy, dz fidy verändern, fo findet man, welche Veränderung bie andern

Coprbinaten x P dx, y, 25 X, y-+ dy, 23 etc. erleiden.

= Laͤßt man baher x fich nur um dx verändern ; fo bekommt man A

F dd - döy: |
X + dx. IX > dx, Y+rey+r > dxs.'

’ diz | — | Ä |
z -d2 + * dx für, die. Veraͤnderungen, die die Coordinaten

x Ax, y, 2 leiden. Laͤßt man y um dy ſich verbndern; fo hat man
— 8 .

| dex . dey
er a ae a

| ET RE —
Zn dZ.+h — dy für die Veränderungen von x, y + dy,z;

dy
und laͤßt man endlich z eine Veränderung — dz leiden; fo hat man.

| dx’ dd
xX rd y Hy de,

7 de x
2 + dz 4 dz + di für dad was aus x, y, z dx wirb.

—

’
E e er
2 R
! j > R
r s F
’ *
-
A L

| —
-

ä er | 149

Eben fo. lAgt- man zugli x um dx und. y in 'dy fi verändern; air
dex de Ä
fo — dx + ex + dr S = eu “
| e j | d |
ytrdy+dy —. dx — * — dy,-
u nn id, für, dae vas aus

net

mt” man alfo die Wurzel von der Summe ber Quadrate ber
Differentialien biefer neuen Coorbinaten für 2 gewiſſe Winkel des —
boid's, worin ſich das Parallelepipedum dx, * dz verwandelt hat;
findet man bis auf unendlich kleine von sten Ordnung ne
—— fuͤr die Seiten:

de
7 dx 4 dr,

rn de dey En j
| dy + 7, dy, oo |
: ddz |
—* dz + Fe dz, |
und wieſe fü r die Dingonallinien

er dx). + We „)
r[(@+% 2) + (ar 2) ]
‚res; ar) + + (4 | “) J.

v3.

t 0
> =
⸗

| 6 ee) —

(+) ]

woraus leicht zu ſchließen iſt, daß dies Rhomboid wiederum ein rechtwink⸗

lichtes Parallepipedum iſt, und daß folglich ſein Inhalt durch das Pros
dukt der Seiten,

(132) dy ( +) "(+ =

ausgedruͤckt werden kann.

Die Variation des Volumens bes 8 erflen Parallelpipebum’s db. h.
der MWerth von d (dx, dy, dz) wird alfo durch

| ” |
dx, ay, du ( 14 6 RA — Gel!) ai

folglich hat man, wenn, man bie angezeigten Multiplicationen wuͤrklich

verrichtet, und die unendlich Aigen Größen der hoͤhern BR vers
nachlaͤſſigt:

— —— u. any, = —

dy dz

und bied iſt der Werth von EL, ben man in ber Steihung (15) fuhftitnts
ren muß. |

fo hat man
S(AXdx + AYdy +,Aldz + — +
| ddy —
— E irdyda mo j .

L
— Pi 7 * n
” 9 —— *
— .
.
De -
⸗

15) Setzt man in fe Steigung für dm beſen Werth — dy J 9

rn — a : 3
Man hat jeßt nur noch bie boppelten Zeichen ds nad (4 Abſchu.
17.) wegzubringen. | j
Man betrachte in dieſer Abſicht, zuerſt die Groͤße
‚de | \ | ® =
Sı * dxdydz, wo das Zeichen 8* ein dreifaches Integral in Anſe⸗
hung der Groͤßen x, y, z bedeutet; es ift Klar, daß, da dies Differens
tiale von Ex nur fich auf die Variation von x bezieht, man, um ed zum
verfhwinden zu bringen, nur auf die Äntegration in Beziehung
- auf x zu fehen hat; man braucht biefer Größe baher nur
dex — — |
He Form Sdydz, SA — zu geben, und das einfache Integral

| — dx in at Mα- * dxdx

dx dx
zu verwandlen, wo die mit einem Strich bezeichneten Groͤßen ſich auf den
Anfang der Integration beziehen, und die mit 2 bezeichneten zu den Punk
ten gehören, wo fie ſich endigt nad) beiea (4 Abfch. 17.) angenommenen
Bebentungen. Die vorige Größe verwandelt fid) alfo in folgende:

-
.

Sdydz (Mast — Mir) — SäydzSS7 exdz, | Fu
ober, welches einerley iſt
* 729 i

.S (allaxlı — ax!) dydz — 5 — dx dxdydz.

Durch ein gleiches Verfahren und durch ähnliche Schlüffe verwandelt .
man auch bie Größen | — —

ze ds | er
Sn dr dydz SA dx dy.dz in biefe

S (all ayl — Ay) dıds— sn dydxdydz mb

8 (a⸗

ar | j u —
| - |
.$ an oa — ⸗ a dx u Ss; trde dy dz.

Verrichtet man nun dieſe Subſtitutionen, fo erhaͤlt man fuͤr das
——— der = igen Maſſe . — Be

| dan |
_ R (42-5) 2 |axay dz +

S (aMgxll = alex) dydz * | 2
8 W — A! dy') dx dz jr Eu

8 (—- Mer’) dx u =o

Man hat nun nur noch die Goefficienten- ber — Varia⸗
tionen dx, dy, dz (4 Abſchn. 8.) == 0 zu ſetzen. |

Ze 16) Man erhält alfo fogleich biefe 3 unbeftimmte Gleichungen -
Zn da

ö AX — O,

welche fuͤr alle Punkte der flüffi ge Maſen ſtatt finden muͤſſen. |
Iſt endlich die Harfe ige Maffe bon allen Seiten frey; fo würden bie

Variationen ex’, dy/, dz', dx’, dyll, dzd), bie ſich auf bie Punkte ber Ober⸗
fläche der de gen Maſſe beziehen, auch unbeſtimmi feonr und folglich müßte -

man

’

— 482
won aldbann. 06 ” Soeffitienten beſouders on Teen; dies gäbe
1 —0,1l ==ob,. h. überhaupt A —= 0 für alle Punkte der Obe;

fläche des Fluidum’ 8; und diefe Gleichung wird is — die Figur
‚ biefer Fläche zu beflimmen. 5

Eben died wird, wenn der fläffige Körper im einem Gefäße einge⸗
ſchlogen iſt, in Anſehung des. Theils der Oberfläche, wo das. Sefaͤß offen
iſt, ſtatt finden; in Anſehung des Theils aber, der an die Seitenwaäͤnde
ſtoͤßt, iſt klar, daß die Variationen 4x, dy’, dꝛ“, d, dy'l,dzH, unter⸗
einander Verhaͤltniſſe haben muͤſſen, die durch die Figur dieſer Seiten⸗
waͤnde gegeben werden, weil der fluͤſſige Koͤrper nur nach ihrer Direktion
fließen kann. Wir werden aber unten erweiſen, (20, 21.), daß, wie
auch ihre Figur beſchaffen ſeyn mag, die Glieder, die die erwaͤhnten Va⸗
riationen enthalten, jederzeit von ſelbſt = o ſeyn werden, fo daß es keine
Bedingung in Anfehung il Theils der — des fluͤſſigen Körpers
‚geben wird.

= 17) Die er BR gefuudenen Sleichungen fuͤr die Veriniugin be bes
Gleichgewichts des flüffigen Rörpers geben -

di da da | ra
— ee zuAL }

NN a aa
er — N ax + dy de; 4

= folglich Hat man da = A(Xdx Vdy + Zdz); woraus man fehl, —
daß die Größe

A (Xdx + Ydy + 2d:) |
ein vollkommenes Differential in x, y, z feyn muß, —* dieſe — Be⸗
dingung ſchließt allein die Gefege des Gleichgewichts ber flüͤſſi Koͤrper
in ſich.
Man ſieht auch, daß ſie mit dem uͤbereinkommt, was —* —

(8, 11.) gefunden haben; denn wir haben (5 Abſchn. 5.) 'gezeigt,
daß allgemein iſt:

Xdx ++ Ydy + Zdz =rin + Qdgq + Rdr + etc.

Bringt _

oe - Ya x
152 Ä | EEE .

Bringt man De Bee ion Mn Bingen wo; Pe
kin man folgende:

d.a x a 4r
dy de” i -
dAX . daz ——
Grinsen
dz dz . 2
d.8Y _ d.äz - — F
dz “dy ZZ .

Diefe Gleichungen find den einander verſchleben, nnd die eiüe rannie
wicht als eine Foige der beiben andern angeſehen werben. |

Diefe Bedingungen find alfo in Anfehung der Kräfte X, Y, Z noth⸗
wendig, wenn bie flüffige Maſſe im Gleichgewicht feyn fol. Finden fie

Yermöge der Natur biefew Kräfte ſtatt; fo iſt man davon Berfichert, daß ba | u

Gleichgewicht möglich iſt, und man hat jeßt nur bie Figur, die die flüffige
Mafle annehmen muß, um im Gleichgewicht zu feyn, d. h. bie Sleihung
für die Aufere Fläche bes fläffigen Körpers zu finden. Mir haben aber
(76) gefeben, ee man in_jedem Punkte diefer Oberfläche haben muß

i=0 Da um da =A(Xdx + Ydy * Zdz);‘ fo rbät wa

durch die Integration —
AS ſa (Xdx Vdy 242) rn Pe

folglich wird die Gleichung für bie Auffere Flaͤche ſeyn:
falXdx VdYyY ZizJ = KR

wo K eine gewiſſe beftändige Größe ift, und- biefe Steigung wird olleytt

anus endlichen Gliedern beflehen, weil bie Größe A(Xdx + Yd
+ Zdz) als ein vollkommenes Differential angenommen worden iſt.

28) Sk bie Größe Xdx u Ydy + 2dz ſelbſt ein vollkomme⸗
= Differential, welches allezeit ftatt findet, wenn die Kräfte X, Y.Z
dad Reſultat einer ober mehrern Anziehuhgen fi find, bie gewoiffen ——

— = 00155

” zen ber Diftanzen von ben Mittelpunkten glei find, weil man überhaupt

(5 Abſchn. 5.) hat I a
Xdx + Ydy + Zdz = Pdp + Qdg + Rdr F etw,
unb man nennt biefe Größe dp ; fo bat man
dA =—-Adg; | |
A muß alſo eine Funktion von © feyn, damit dA ein volflommenes Diffes
rential ſey. Es wird alfo au A — [AdY eine Funktion von ® ſeyn.

Dian bat alfo in bieſem Falle für bie Figur der Oberflaͤche bie

Gleichung:

fund. d —Kb, h. Conſt.3

Ehen dies fände ſtatt, wenn bie Dichtigkeit der flöffigen Maffe uͤber⸗
al gleihförmig wäre... Weil ferner ® auf der Oberfläche beſtaͤndig iſt,

und A = fund. O; fo muß and) die Dichtigkeit A in allen Punkten der

aͤuſſern Oberfläche einer tm Gleichgewicht ſich befindenben flüffigen Maſſe
einerley ſeyn. — =

Im Sunern der flüffigen Maſſe kann bie Dichtigkeit auf eine ges
wife Art zwar verſchieden feyn, aber fie muß allezeit eine Funktion von
® bleiben; fie muß folglich beftänbig äberall da feyn, mo @ befländig iſt,
fo dag ® == h überhaupt die Gleichung für Schichten von einerley Dichtig⸗

keit feyn wird, wenn b eine gewiſſe beflänbige Größe .bebeutet. Diffes

tentiirt man alſo; fo erhält man dd == 0 oder
Xdx + Ydy + Zdz == 0

für die allgemeine Gleichung diefer Schichten, und man fieht leicht, dag biefe

Gleichung zu Dberflähen gehört, worauf bie Richtung ber vereinigten

Wuͤrkung ber Kräfte X, Y, Z ſenkrecht iſt, und die Herr Clairaut Waſſer⸗

paß⸗Ebenen nennt. Hieraus folgt, daß die Dichtigkeit in jeder Schichte
des Waſſerpaſſes, die durch 2 foldyer unendlich nahe an einander liegenden
Mafferpaß Ebenen gebildet wird gleichförmig fenn muß. Dieſes Geſetz muß

ſowohl bey der Erbe als bey den Planeten flatt finden, wenn man annlınmt,

baß diefe Körper Anfang’s flüffig gewefen ſeyen, und indem fie ſich vers
Zu us Ua Ber | haͤrte⸗

‘

- " J —

ter. bie Form belbehalten hatten, bie fie vermoͤge der Attraktiom

u heile t in Verbindung, ınit.der Gentrifügals Kraft, annahmen.

19) Die Gleichung [A (Xdx + Ydy m Zdz) =K fuͤr die
Fläche der: im. Gleichgewicht fi, befindenden flüffigen Körper finder gleiche i

fals bey ſolchen fluͤſſigen Körpern flatt, die von. aller Seitem frey, und für
folche vie in Gefaͤfen eingeſchloſſen ſind, wenigſtens in Auſehung dets
Theils jihrer Oberflaͤche, bee ben Defnungen des Gefaͤßes entſpricht (17).

Wos die zuſammenhaͤngende Flaͤche an den Seitenwänden bed Ge⸗

faͤßes betrifft; fo iſt klar, daß fie dieſelbe Flgur haben muß als dieſe

Seitenwaͤnde, ſo daß, wenn das Gefaͤß unbiegſam iſt, dieſe Figur gege⸗
Ben iſt, und gar nicht: von ben. Bedingungen ˖des Gleichgewichts abhängt.
In Aırfehung dieſes Theiles der. Öberfläche des flüffigen Körpers muͤſſen alfo
die Glieder der allgemeinen Gleichung für’s Gleichgewicht, bie die Varia⸗
tiouen 8x’. dyd, dat. 8x’, dy, dz'' enthalten,. von: felbft verſchwinden,
weil man fie durch Feine befondere Bedingung. jun Verſchwinden bringer
koͤnnte; es iſt dies gut zu unterſüchen, damit nichts uͤbrig bleibe, was

einen Zweifel wegen der Richtigkeit und ‚Allgemeinheit unferer Methoden.

. erregen Fönnte:.

20) Wir wollen jeßt irgend einen Punkt der Oberflche an den Sei⸗

tenwaͤnden des unblegfam und von eier gegebenen Figur angensmmenen: '

Gefaͤßes zuſammenhaͤngenden flüffigen: Maſſe betrachten; dieſer Punkt

entſpricht nothwendig dem Anfang oder dem Ende jeder der Integrationen

in Beziehung auf x, y, Z,. oder dem Anfang der einen und dem Ende ber:

Beiden audern, und fo umgelehrt (15). Wir wollen zuerft feßen, erges

höre zum Eude jeder der 3 Integrationen; alsdenn werden die Variatio⸗
nen von x, y, 2, tn Anſehung dieſes Punkts feyns 2x", dy’, 82 und bie
Glieder, worinn diefe Variationen vorkommen: A x", dy dz, Aldy
dxiz, Ar dztldxiy, Auf dieſe Art erhält man. für alle ähnliche Punkte
ber Dberflä.he der, fluͤſſigen Mörpers die Integralien S AU ax dydz,.S al
ay dxdiz,,S Al da’tdx dy *),. wovon: das erſtere fo. genommen: werden:

muß),

Im Original ſteht hier 8 Al dadxdy: HT.

. en —— — J 7
ff; daß vz jedes beſonders veraͤnberlich iſt, nachdent man für x deſſen
"Wirth iny und z, ber durch die Natur der Fläche oder ter Wand des
Gefaͤßes gegeben iſt, fubftituirt hatz das 2te aber. muß ſo genommen
werde, daſt man: jedes befonders x und 2 veraͤnderlich annimmt, uud
für y deffen Werth, der in x und z durch die nänıliche Fläche gegeben ift,

fubſtituirt; das Zte endlih muß ebenfald fo genommen werden, daß man.

nad; und nad) fomohl x als y variabel annimınt, und flatt z deſſen Werth,
ver in x und y durch: die nämliche Flaͤche gegeben iſt, ſubſtituirt.

Man ſi eht aber leicht, daß man dieſe 3 Integralien auf einerlei Form
Bringen: kann, wenn man nur. in ben: beiden erſtern au die Stelle be z
deſſen Werth in x und y fubftituirt‘,, und hierauf: in: der erfiern x und in
Ber aten y anſtatt des 2 variabel annimmt.

Stellt man alſo unter dz —\pdı.r qdy' bie Gleichung der ges
"gebenen Dberflähe vor; fo hat man nur in dem Rntegral Sal dxll dy
dz. pdx an bie Etelle von dz und im: Integral Sa sy dx dy,
gdy an die Stelle der. d.z: zu. ſetzen, un hernach beide in. Beziehung auf
2 und. auf y: zu. integriren.

Man bemerke aber j ja, daß bie Differentialien dx, dy, dz immer

poſitiv angenonmen werden müffen, weil fie in tem redhtwinklihten Pas

rallelepipedum dx, dy, dz, welches das Volumen des Theilchens dm

ausdruͤckt, und das alſo der Beſchaffenheit ver Sache nad) nicht negativ
werden kann, vorkommen. Folglich muß man auch bei den Subſtitutio⸗
nen von pdx und qdy an bie Stelle bed dz allezeit p und 1 pofitiv ans .

nehmen»

Seßen wir baher —— die Gleichung fuͤr die Seitenwaͤnde |

des Gefaͤßes durh dz = E pdx I gdy ausgedrückt werde, worin
ꝑ und q jederzeit poſitive Groͤßen find; ſo werden wir ſtatt der 3 Integrale:

8 Ady dz, Sa * dx. dz„S au dzlı dx dyz;
Öof einzige bekoömmen: |
— + ey, * re in, dy..

re Wir

u‘

14. 1 Bu i —

Wir haben aber vorausgeſetzt, daß bie Punkte, die wir von bee

Oberflaͤche der flüffigen Maſſe betrachtet haben, zum Ende von jeber der - e

3 Integrationen in Beziehung auf x, Y, z gehören, jeßt iſt es Leicht ſich
davon zu Äberzeugen, daß diefe Voransfeßung nur alddann flatt“finden, .
ann, wenn bie Coorbinaten x, y, z biefer Punkte alle auf eine Seite
ber erwähnten Dberfläche d. h. auf die nämlidde Seite der Ebenen fallen,
die diefe Fläche in eben diefen Punkten berühren. nu

Soll dies aber flatt finden; fo muß bie Differentialgleihuug der |
Oberfläche notwendig in diefen Punkten feyn: de — — pdx — qgdy
damit wenn x und y wachſen, z abnimnit. -Aber dx’, dy!, 82 ſinb

hyp.) die Variationen yon x, y, 2 in eben biefen Punkten, folgs
Tich möüffen fie auch dieſelben Verhältniffe unter einander haben als bie

"Differentialien dx, dy, dz, wenigſtens in fo fern man bie Figur der Obers

flaͤche ald unveränderlich anfichet. Man hat daker 62 — — pex

— qey'l Dieſer Werth in das obige Integral fubftituirt, macht es 2%

offenbar = 0 a

21) Gehoͤrten die erwähnten Punkte anſtatt zum Eude der 3 Inte⸗
grotionen in Beziehung auf x, y, z zum Anfang derſelben; fo hätte man

" in ber allgemeinen Gleichung des Gleichgewicht (15) In Beziehung auf
dieſe Punkte die 3 Integrale — SA dx’ dy ? en

z —: SA’ öy! dz
dz — Sal dz/ dx dy bie fi in diefe einzige verwanblen wuͤrden
— Ba lpird giyl go de)ddys

und auch in dieſem Falle hätte man :

und folglich auch
Br 1 — peur — 2 us ’
weiches gleichfald dies‘ Integral — 0 machen würde. Gehörten aber
diefe Punkte z. B. zum Anfang ber Integration in Beziehung auf x und
zum Ende bee beiden Integrationen in Beziehung auf yunb z; alsdaun
wöärden die Variationen der Coorbinaten x, y, z für diefe Punkte ſeyn, '
ax. dyt, dal und bie corsefpondbrenden Integrale —
SE ; - — S>}

N 77°
— Ba aut dyde Sal Ay dnde SAU duidu dy
worin A! einerlen ſeyn wuͤrde wit A. Siebunch verwandeln biefe Jute⸗
grale ſich alfo in folgende: _ a MR
Sal (— pexl 2 gay! a 8: dx dy.
Es iſt aber leicht zu begreiffen, bag, wenn biefer Fall eintreten. fol, -
Die. beiden Coordinaten y und 2 fidy auf einer Seite und hie Coordinate x
fih auf der andern Seite von jeder Ebene, die die Oberfläche in ben
erwähnten Punkten berührt, befinden mäffen. Die Gleichung ber Ober
fläche muß alfo für diefe Punkte von der Form
dz = pdx — gdyageyn, {0 dag man auch hat
4 perl — dt. ur \
Eubſtituirt man nun dies tu das vorhergehende Integral, fo wird ed bafs
ſelbe au == o machen.

Chen dies Reſultat findet man für die andern Fuͤlle, worin man
Punkte betrachtet in Beriehung auf ben Anfang der Integrale nach x und
y, und auf das Ende der Integration nad; z, oder auf ben Anfang ber Inter
grationen nach x und z, und auf bas Ende ber Integration nad) y ober ete.
23) Aus dem was wir eben in. Beziehung auf verfihiebene
Fälle erwieſen haben, kann man ben Schluß ziehen, daß, wenn man
mit einem: Strich die Größen andenter, die fi) auf ben Anfang

- der integration in Rüdfiht auf z beziehen, d. h. die Größen,
be zum vorbern Theile ber Fläche des flüffigen Körpers in Anfes
bung der Ebene der x und y gehören, und mit 2 Strichen die Größen,
die dem Ende ber nämlichen Integration nadyz entfprechen, bezeichnet, d.
. die Groͤßin in Anfehung ber nämlichen Ebene ber x und y; und hier
auf überhaupk burch dz + pdx »+ gqdy o bie Differentialgleihung
der Oberfläche des fläffigen Körpers vorftellt, (wo p. q pofitiv oderno
gativ feyn Finnen) man allegeit die 3 Integralausdruͤcke —

Blaue — ME x) dy de 8 Cν -I dx da
m S (AM — ) dx dy der allgemeinen Gleichung des
Sleichgewichts (15) auf folgende 3 bringen Kann: -
ur Ä Sır

160 Fr — —
Ss qui a + ua dx’! . g’! 3y') dx azy —
8 — pda gay), dx dy.

Es m aberdz x pdx u gdy= o bie Gleichung einer krum⸗
men Oberflaͤche, folglich wird ed nad) der bekannten Theorie ein Multipli⸗
tator r geben , ber diefe-Öleichung integrabel macht, ſo daß p— man ——
haben wird

r (dz pdx- —

wo du das volkommene Differential ” — u iſt, die eine Funktion
von x, y, zit.

Verwandelt man ” din 3 bei ber Diferentiation von u; fo
bat mau aud) | |
r (de + + pix + gey *
d
folglich F pex + Qy= *.

Beyechnet man alſo alle Groͤßen mit einem oder 2 Sirichen in Begehung
auf die vordere oder hintere Fläche des flüffigen Körpers, und ſubſtituirt
diefelben in den obigen nt fo werben diefe |

—

dx .;

23) Es ſey jest ds das Element der ‚Släde bed flaͤſſi igen Körpers;
deſſen allgemeine Gleichung ift:

dz »p pdx-- gdy =
fo hat man bekanntlich. | “ =
ds = dx dy vCard).
| Sich man alfo u als eine Funktion yon x, y» 2 ang fo hat man
per bekannten Wezeichnung gemäß j

“ r a

=
’
P
—
——0 16r
—
* * *

r
.

Er — !? —
ae dx ’ 2 dy’
F — ds

runs —_T un — -

——— 5

— Ic x) + Fr +]
Setzt man alſo Kuͤrze halber

mb bezeichnet man alle Größen mit einem. ober zweien Strichen, um fe
auf die vordere oder hintere Dberfläche des flüffigen Körpers zu beziehen;
fo kann man ben vorigen Jutegralausdruͤcken folgende Form geben; |

zu zul! Aus Aa Sul de | h
Vu v⸗

Nach Pr — was (2 Abſchn. 8) geſagt iſt, F cht man, daß bie

Größe, Ads +2 zZ — dad Moment einer Kraft vorſtellen Bann, bie = Ads.

and an dem. — ds der Oberfläche bes flüffigen Koͤrpers ſenkrecht
auf dieſer Oberfläche angebracht iſt, deren ae wir su ober du eo
angenommen baben (22). |

Der Jntegralausdruck 8 — wird alſo die Summe der.

. Momente ber Kräfte zu seriellen, . auf jeben Punkt ber bintern Ober⸗ "
— der Pr gen Maffe in ſenkrechten Richtungen er - Oberflaͤche

4
*8

— p * Integralausdruck 8* au bie PN der

Momente ber Kräfte: a’, die auf Bu Yunkt ber — ri
na

2 *

—

162 _ en

F — — ad
mac) ſenkrechten Richtungen wären, vorftellenz alſo wirb — —* ds’
- die Summe ber Momente diefer letztern Kräfte im entgegengefegten Sinn
ſehyn, d.h. wenn man ihre Richtungen den Richtungen ber Rräfte A'"in es
ziehung auf bie Ebene ber x und y entgegengefeßt annimt; welches mit
dem einerlei ift, daß alle auf die Oberfläche der flüffigen Mlaffe anges
brachte Kräfte ſenkrecht auf dieſer Oberflaͤche ihre Richtungen haben, und
entweber von Innern ins -Auffere ober: vor Auffern ind innewe wuͤrken.
24) Well alfo die Integralausdruͤcke die in ber allgemeinen Gleis
chung des Gleichgewichts einer unpreßbaren flüffigen Maße würfen, - und
bie zu den Punkten der Oberfläche diefer Maſſe gehören, der Summe ber
Momente einer unendlichen Menge von Kräften A gleich find, bie fenkreht
auf alle Punkte diefer Oberfläche angebracht find; fo folgt, daß diefe
Kräfte bey der Oberfläche des’ flüffigen Körpers wuͤrklich flatt finden muͤſ⸗
fen, und man fieht leicht ein, daß fie nichts anders find als der Druck,
den ber flüffige Körper in allen Punkten der Dberfläche, vermöge ber auf

‚feine ganze Maſſe wuͤrkenden Kräfte ausübt. |

25) Diefer Drud wird daher überhaupt durch die Größe A ober
durch die Formel [A (Xdx + Ydy -+ Zdz), bie zur Oberfläde
des flüffigen Körperd gehört, ausgedrückt werben koͤnnen. Es ift aber
Mar, dag überall, wo der fläffige Körper freh ift, fie Im Zuflande des
Gleichgewichts — o feyn muß, und daß wo bie Oberfläche bes flhffigen
Körpers auf die Dberfläche irgend eines feſten Körpers ſtoͤßt, dieſer Koͤr⸗
ger die Wuͤrkung der auf der Oberfläche angebrachten Kräfte A aufhalten
muß. Hieraus iſt's nun leicht, die Gefeße des Glelchgewichts der ſtuͤſſe⸗
gen Körper mit den feften, bie fie einfhlteffen, oder die darin eingetaucht
find, herzuleiten. Sie find aber nur allzu bekannt, als daß wir nöthig
hätten und bamit aufzuhalten, fie weiter auseinander zu fegen. Mir ente

alten: uns auch befondere Anwendungen der allgemeinen Theorie des

eichgewichts der unprefbaren fluͤſſigen Körper zu geben, in dem wit
nichts zu dein hinzuzufegen wiſſen, was andere Schriftfteller ſchon davon
gefgt haben. ee Ä

—rrRRœRwm5Tr — Bwm —— ——— —

Acht es

Tu
| Yäter Asfgnitt, | J
Vom ı Oleichgewicht der unprefibaren und llaſtiſchen staff en

1) ‚€ — wie Abſchn. 13) X, Y, Z bie Kräfte die auf —
Punkt der fluͤſſigen Maſſe wörken; die auf die Direktionen ber
Coordinaten x, y, z gebracht find, und a8 — au ie
fireben: fo hat man ſogleich:
S(Kdx +’ Yöy + Zi) den
für die Summe ihrer Momente. ,

Beh den elaſtiſchen Fluͤſſigkeiten giebt es aber noch — eine in⸗
tiere Kraft, bie man Elafticität nennt, und fie außzubreften oder ihr Wos -
Inimen zu vermehren ſtrebt. Es ſey daher e bie Elaſticitaͤt eines gewiſſen
Theilchens dm. Dieſe Kraft wirb.alfo, Yafle das Volumen dx, dy, dz
eben diefes Theilchens zu vermehren firebt, die Größe — dx, dy, da
zu vermindern trachten. ie wird alfo zum Moment die Größe

‘— sd (dx, dy, dz) haben, ober man. kann -fie wenigftens fo anfehen.
Alsdann iſt alfo die Summe der Momente, die von der Elafhkeität der
‚ganzen flüffigen Maſſe herkommen = — $S sd (dx, 2 dz) folglich
iſt die, ‚gene, N ‚der. Diomente ber Kräfte, bie auf den flſſien Koͤr⸗
per wurtenz

5 (Xöx 4 Yöy + Zu) dm — $ o (dx dy d)
and da hier weiter Feine befondere Bedingung zu erfüllen iſt; fo wich

man Die allgemeine Gleichung bed Gleichgewichts EN weun man
biefe Summe — 0 feßt.

2) Man erhält alfo auf dieſe Art für das Gieichgewicht der elaſti⸗
ſchen flüffigen Koͤrper eine Gleichung von der naͤmlichen Form, als wir
7 Abſchn. 13.) fuͤr's Gleichgewicht ——— Fluͤſſigkeiten —
— aben

264 : —n \ Bm:

haben; eit 1 ndmit in dieſer ¶ 4 Cdxdyde) 1; fo wird dadurd

Das Glied SAdL, weiches von ber WBebingung der Unprefbarkeit her⸗

kommt, den Gliede Sad Cdxdy dz),: welches zu ben TERN bes
elaſtiſchen Kräfte gehört, völlig aͤhnlich.

3) Es fetgt alfo hieraus, daß die für”s Gleichgewicht der —
zen Fluͤſſigkeiten gefundene Formeln ſich ſogleich und ohne weitere Eins
ſchraͤnkung auf das Gleichgewicht elaſtiſcher Fluͤſſigkeiten anwenden laſſen,
wen man wur ben Coefficient A in — s verwandelt, d. h. wenn man gn⸗
ahmmi, daß bie Groͤße A negativ genommen, die Kraft der Slafticität
jedes Elements des. flüffigen Körpers ausdruͤckt. Wlan hat hier alfo nur
alles dad zu wiederholen, was wir im vorhergehenden Ahfchnise vom
24 Artikel an bis and Enbe gezeigt haben.

4) Man feßt gewoͤhnlich bie Slaftkität der — "oder üben :
baupt einer gewiffen Funktion ber .. proportional. _ Dan hat
hr ⸗ — — A — 04 (wenn man A die Dichtigkeit nennt); die Be⸗
ftimmung von A hängt folglich von folgender Gleichung ab (7. — 17.):
| d. 4 = &(Xdx +.Ydy ot |

— giebt

= Xdı * ray + Ldz

- Kan. iſt —* ehr vollkommenes Differential einer Kunftton

odn A; folgtich — auch Xdx + Yıyr zZdz ein wolllommenes Dife
| fetential jeynz anders kann Fein Gleichgewicht flats finden Mar kat
9 ben Fal (7 18.), woraus man auch die —.. BR

gen zu ziehen hat, J

— des nen Theils der anaryrifgen —*

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| | weiter Theil |

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analhtiſchen Mechanik oder die Dynami,

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Zweiter Theil
En

analytiſchen Mechanik oder die Dynamik.

— Erſter Abſchnitt.
Von den verſchiedenen Grundlehren der Dynamik.

ie Dynamit iſt die Wiſſenſchaft der befchleunigenden und verzoͤge⸗
renden Kräfte und der verſchiedenen barand 'entfpringenden peräns
derlichen Bewegungen. Man hat fie ganz den Meuern zu verdanken,
Galilaͤus legte Dazu ben erften Grund. Mor ihm hatte man bie auf die
Körper würkende Kräfte nur im Zuftande des Gleichgewichts betrachtet,
und ohneradjtet man ben beſchleunigten Fall der fdyimeren Körper, und
die krummlinichte Bewegung der geworfenen Korper Peiner andern Urſache ;
als der beſtaͤndigen Würkung ber Schwere zuſchteiben Forttrte; ſo hatte es
doch niemanden gealuckt, bie Geſetze dieſer altäglichen Erſcheinungen bey
einer fo ſimpeln Urſache zu beſtimmen. Galilaͤus that zuerft dieſen wich⸗
tigen Schritt, und eroͤfnete dadurch einen neuen und unermeßlichen Weg:
zur Vervollkommung der Mierhanit. - Man findet dieſe Entdeckungen vor⸗
getragen und entwickelt: In fehlen Berk, dav den Nitelifghet: Dialpghi.
delle fcienze miove etc. , und-daßizuerft zu Leyden An Bahr 1637 heraus⸗
"Bam. Sle verſchaften dem Gaiflaͤus aber nei feinen Zeitgenoſſen nicht
ſoviel Ruhm als diejenigen, bie er über dad Weitſyftem machte, ‚aber.
| | jetzt

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hal = „a. ."i or ee ua

jegt — ſie den fefteften und — —* des Ruhms dieſes großen
Diannes and,

Die Entdeckungen der $upiterdfatelliten, ber Geftalten der Venus,
dee Sonnenfleden zc. erfoderten nichts meiter ald Teleſkope und Fleis;
aber ed wurde ein nicht gemeines Genie erfobert, die Gefeße der Natur

bey Phänomenen zu entbeden, die man allezeit unter Augen ges
habt hatte, deren Erklärung aber FIR den Haurndangen der Philos
fophen entgangen war.

Huyghens, ber — —— zu en ſchien den größten Theil
der Galilaͤiſchen Erfindungen zu vervollkomnen und zu ergänzen, fügte
zur Theorie: der. befchleumigten Bervegung der, (hweren Körper; bie ber
Pendel und Eentrifugal: Kräfte hinzu, und bahnte auf diefe Art den Weg
zu ber großen Erfindung der allgemeinien Schwere.

Die Mechanik ward zu einer neuen Wiſſenſchaft unter den Haͤnden
- Ylewrons;., fehle Prindpien, ; bie zuerfi 2097 a waren bie
Epoche biefer Revolution.

Endlich feßte die Erficdung des Infiniteſimalcalkuls die Geometer in
ben Stand die Geſetze ber Bewegung ber Körper auf analytifche Gleichun⸗
gen zu bringen, und die Unterſuchung der Kräfte und der daraus entfprins
genden Bewegungen wurde nachher ber vornehmſte Gegenſtand ihrer Ar⸗
beiten.

Ich habe mir vorgefegt ihnen hier ein neues Mittel an die Hand zu
geben, dieſe Unterſuchung zu, exleichtern; aber vorher wird es nicht un⸗
nuͤtz ſeyn die Grundſaͤtze vorzutraͤgen, bie ber Dynamik zu Grundfeſten die⸗
nen, und zu zeigen, wie die Ideen, bie das meiſte zur Eriveiterung und
Vervolkomnung diefer Wiffenfchaft beygetragen haben, auf einem der ſtu⸗
fenweiſe folgten. |

Dirie Theorie.ber veränberligen Bewegungen und ber beſchleunigenden
Kraͤfte, die dieſelbe: hervorbringen, gruͤndet ſich auf dieſe allgemeine Ges
ſetze, daß jede einem Koͤrper eingebräcdse Bewegung ihrer Natur nach
Reichfoͤrmig und geradlinicht iſt, und daß verſchiedene einem Körper auf
einmal oder nach uud nad) —— Bewegungen ſo wuͤrken, der

| ale

—

— — 4869.

Koͤrper in jedem Augenblick ſich in demfelben Punkt des Raumes befindes,
worin er fi) durch bie Verbindung diefer Bewegungen, wenn jebe einzeln
bey dem Rörper wuͤrklich ftatt finde, befinden müßte. In dieſen beiden
Gefegen beftehen. Die belannten Grundſaͤtze der Kraft der Trägheit, und
der zufemnmengefeßten Bewegung. Baltldus nahm zuerft diefe beiden
Grundfäge an, und leitete daraus die Gefege der Bewegung der gewor⸗

fenen Körper her, indem er bie fehiefe Bewegung, d. 1. die Wirkung des

bem Körper mitgetheilten Stoßes mit feinem perpenbiculairen Fall, weis
er von der Würkung der Schwere herruͤhrt, zuſammenſetzte.

Was die Geſehze der beſchleunigten Bewegung der ſchweren Körper
betrifft; fo laſſen fie fidy natürlich aus der Betrachtung ber beftändig und
gleichfoͤrmig wuͤrkenden Kraft der Schwere herleiten, vermöge ber bie
Körper in gleichen Augenblicken gleiche Grabe der Geſchwindigkeit nach eis
nerlet Richtung annehmen, daher denn die ganze erlangte Geſchwindigkeit
am Ende einer gewiffen Zeit biefer Zeit proportional iſt; und es iſt Elar,
daß dieſes beftändige Verhältnis der Geſchwindigkeiten zur Zeit der Stärke
der Kraft felbft proportional feyn muß, bie bie Schwere anwendet um
den NRörper zu bewegen. Bey der Bewegung auf ſchiefen Ebenen kaun
dieſes Verhältnis alfo ber abfoluten Kraft der Schwere fu wie beider ver⸗
tifaten Bewegung nicht proportional ſeyn, fondern der relativen Kraft,
welche von der Neigung ber Ebene abhängt, und durch die Regeln
ber Statik beſtimmt wird. Dies giebt ein leichtes Mittel an, die Bes

wegungen der Körper zu vergleichen, bie auf verſchieden geneigten Ebe⸗

nen herabfallen. .

Indeſſen ſcheint doch Galilaͤus auf diefe Art die Gefetze des Falles
der ſchweren Koͤrper nicht entdeckt zu haben. Er ſetzte vielmehr zuerſt
ben Begriff einer gleichfoͤrmig beſchleunigten Bewegung feſt, wobey die
Geſchwindigkeiten wie die Zeiten wachſen; hieraus leitete er geometriſch
bie vorzuͤglichſten Eigenſchaften dieſer Art von Bewegung, und beſonders

das Geſetz her, daß die Raͤume wie die Quadrate der Zeiten zuneh⸗

men, endlich uͤberzeugte er ſich durch die Erfahrung, daß dieſes Ge⸗

ſeetz wuͤrklich bey der Bewegung der Koͤrper ſtatt hat, bie auf gewiſſen
‚geneigten Ebenen fallen. Um aber y Bewegungen auf verfihiebenen

geneigs

170. Ä E 5
geneigten Ebenen untereinander vergleichen zu koͤnnen; fo fah er fid)
ſogleich genöthigt biefen Grundſatz mit anzunehmen, daß die durd den
Fall von gleichen vertikalen Höhen erlangten Gefchwindigfeiten auch als
lezeit gleich find, und erft Furze Zeit vor feinem Todt, und. nad ber
Herausgabe feiner Gefprädhe fand er den Beweis dieſes Grundfaßes
durch die Betrachtung ber relativen Würkung der Scwere auf die ges
‚gieigte Ebenen, welcher in der Folge in dem andern Ausgaben dieſes
Werks eingeruͤckt worden ift. sa —

» Das befländige Verhältnis, welches bey den gleichfoͤrmig beſchleu⸗
nigten Bewegungen zwifchen den Gefchwindigkeiten und Zeiten, ober
zn den Räumen und.den Quadraten ber Zeiten flatt finden, muß,

ann daher fur das Maas der befchleunigenden Kraft angefehen wer⸗
den, bie.beftändig auf bie Körper wuͤrkt; denn in der That Fanır biefe
Kraft nur nad der Würkung beurtheilt werden, die fie anf den Körs
per hervorbringt, ‚und bie in ben erzeugten Geſchwindigkeiten ober fu
ben iu gleichen Zeiten durdlaufenen Räumen befteht.

Es iſt alfo für diefe Schäßung der Kräfte genug, bie in einer
gewiſſen endlichen oder unendlich kleinen Zeit erzeugte Vewegung zu bes
traten, wenn man bie Kraft nur während diefer Zeit als beftändig
anfieht. Man kann daher, wie auch die Bewegung. bed Körpers und
dad Geſetz ber Befchleunigung befchaffen feyn mag, jederzeit den Werth
der Kraft beftiinnien , die jeden Augenblick auf ihn würft, wenn man.
bie in dieſem Augenblicke erzeugte Geſchwindigkeit mit der Dauer bies
ſes Augeublids oder ‚mit dem Raınn vergleicht, den fie den Körper
währe:d dieſem .Augenblid mit dem Quadrat der Dauer beffelben
durchlaufen läßt; und es ift darnm nicht nöthig, daß diefer Raum
wuͤrklich turd) den’ Körper befchricben werde, man braucht es nur fi
vorzuſtellen, daß er durch eine zufammengejcgte Bewegung befchrieben
worden fey, indem die Würfnug ber Kraft nad) den oben Horgetrages
nen Grundſaͤtzen ber Bewegung in beiden Fällen die naͤmliche iſt.

Auf biefe Art entdeckte Huyghens bie Geſetze ber Centrifugalkraͤfte
der in Zirfeln mit beftänbiger Geſchwindigkeiten bewegten Körper, und
verglich dieſe Kraͤfe ſowohl untereinander ads nlit, ber Kraft der Schwere

— auf

’ ” >, ; \
| -. 171
Au

anf der Oberflaͤche der Erde, wie mas aus ben Beweiſen ſieht, die er
von feinen Lehrſaͤtzen uͤber bie Centrifugalkraft am Ende des Traktrats de
horologio olcillatorio, der 1673 erſchien, hinterlaſſen hat.

Jedoch gieng Huyghens hierin nicht weiter, es war vielmehr dem
Llevworon vorbehalten, biefe Theorie bis auf gewiſſe krumme Linien zu ers
mweitern , und die Wiflenfchaft der veränderlihen Bewegungen, und bev
. fie. ergeugenden befchleunigenden Kräfte zu ergänzen, Es befteht diefe
Wiſſenſchaft jeßt nur aus eigen ſehr fimpeln Differentialformeln; indefs
fen bediente ſich doh Newton flets der geometrifchen Methode, bie er
nur durch bie Betrachtung der erften und letzten Verhältniffe einfacher
machte, und gebrauchte er bisweilen den analytifhen Calkul, fo war es

einzig und allein die Methode der Meihen, die er anmwendete, bie wohl von
des Methode der Differentialrehnung unterſhieden werden muß, fo leicht
es auch iſt eine auf die andere zu bringen, und auf einerlei Grundſatz zu⸗

ruͤckzufuͤhren. |

. Die Geometer, die nach Newton die Theorie der befchlennigenden
Keäfte abhandelten, begnuͤgten fi meiftend nur damit, feine Lehrſaͤtze all⸗
gemeiner zu machen, und auf ˖ Differentialausdruͤckungen zu bringen. .

Daher find die verſchiedenen Formeln ber Centralkraͤfte entflans
den, die man in ben wmeiften mechanifchen Werfen findet, deren man
fih aber jet nice mehr bei den Unterfuchungen über bie Bewegung ber
durch gewiſſe Rräfte getriebenen Körper bedient, weil man eine, viel ein⸗
fahere Methode hat, diefe Aufgaben auf Gleichungen zu bringen.

EStellt man fih vor, die Bewegung eined Körpers und ber auf Ihn würs
kenden Kräfte feyeu nach 3 geraden auf einander fenfrechten Linien zerlegt;
fo kann inan die auf jede der 3 Direktionen ſich beziehende Bewegungen -
und Kräfte einzeln betrahten. Denn wegen der Perpenbikularität der
Direktionen iſt's offenbar, daß jede diefer befondern Bewegungen als
unabhängig von “den beiden andern betrachtet werden Tann, und daß
nur bie Kraft, die nach der Direktion diefer Bewegung wirft, im
- Stande ift eine Aenderung dabei. hervorzubringen. Hieraus läßt fi
aljo fchlieffen, daß’ jede dieſer 3 ra insbefondere den Geſetzen
—

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172 re

Ber geradlinichten befchleunigten ober verzögerten Bewegungen durch ger
gebene Kraͤfe folgen muß. Bey der gerablinichten Bewegung aber "bes
ficht die Wuͤrkung der befchleunfgenden Kraft darin, bafi fir die Ger
ſchwindigkeit des Körpers ändert, dieſe Kraft muß alfo durch das Verhälts
nis zwiſchen dem Zuwachs oder ber Abnahme der Gefchwindigkeit waͤh⸗
rend eined gewiſſen Augenblicks, und der Dauer biefes Augenblicks, d.
h. durch das Differential der Geſchwindigkeit dividirt, durch das Differens
tal der Zeit genreffen werden; bie Geſchwindigkeit bey den veränderlichen
Bewegungen aber wird durch das Differential des Raumes divdidirt, durdy
das Differential der Zeit ausgedruͤckt, hieraus folgt alfo, dag bie erwähnte
Kraft durdy bad zte Differentfal des Raumes dividirt durch bad Quadrat
des erften Differentials der Zeit, wenn man dies al& beftändig annimt, ges .
meffen wirt, Es wird daher audy das zte Differential des Raums, ben
ber Körper nach jeder ber 3 jenkrechten Direktionen durchlauft, oder ben
man ſich wenigſtens von ihm durchlaufen denken kann, dividirt durch das
Quadrat des beſtaͤndigen Differentials der Zeit die beſchleunigende Kraft
ausdruͤcken, wodurch ber Körper nach chen dieſer Direktion getrieben wer⸗
den muß; und wird folglich der wuͤrklichen Kraft gleich ſeyn, die man nach
dieſer Direktion wuͤrkend angenommen hat, | 2

Es iſt nicht nothwendig, daß bie 3 Direktionen, worauf man bie
Bewegungen bes Körpers während eines gewiſſen Augenblicks bezieht,
volkommen feft ſeyen, e& ift genug, wenn fie ed während dieſes Augen⸗
Kids find, Man kann alfo bey Bewegungen in krummen Linien In jedem
Augenblick dieſe Direktionen annelmen, und zwar die eine in ber Tan⸗
‚gente und bie beiden andern in ben auf biefe Erumme Linie ſenkrechten Li⸗
nien. Die beſchleunigende Rraft alfo, die nach der Tangente würft, und
die man Tangentialkraft nennt, wird ganz dazu verwendet die abfolute
Geſchwindigkeit des Körpers zu ändern, und wird durch das Element dies
fer Geſchwindigkeit dividirt, durch das. Element der Zeit ausgedruͤckt
werden, Diefes ſetzt den fo bekannten Grundſatz des befchleunigenden
Kräfte feſt. E | | |

Die Kräfte im Gegenthefl, bie fenfrecht würken, Verändern nur dfe
Direktion des Körpers, uub hängen von ber Kruͤmmung ber Linie, bie
| _

| Er | 173

er befchreibt, ab» Bringt man biefe beiben Ießterw Kräfte auf eine; fo
:muß die Direltion dieſer letztern in der Ebene der Kruͤmnung ſeyn, und
he Werth kann durch bad Quadrat der Geſchwindigkeit divibirt, durch
den Radius ber Krümmung b. b. durch den Radius des Zirkels, der die
Krümmung des krummen Linie in jedem Punkte mißt, und der auch Kruͤm⸗
maungshalbmeſſer (circulus ofculi) genaunt wird, ausgedruͤckt werben.

Eben dieſen Ausbruck hatte au Huyghens für bie Centrifugalkraft
ber Koͤrper gefunden, bie mit. gleichfoͤrmigen Geſchwindigkeiten Zirkel bes
ſchreiben, und er gilt allgemein für alle krumme Linien und Geſchwindig⸗
Zeiten, wenn man ben Körper fo betrachtet, als wen er ſich jeden Aus
genblick in dieſem Kruͤmmungshalbmeſſer bewegte.

Viel einfacher iſt es Inbeffen die Bewegung bes Körpers auf feſte Dis
rektionen Im Raume zu beziehen. Nimmt man alfo, um ben Ort des
Körpers im Raume zu beflimmen, drei rechtwinklichte Soorbiuaten an,
Bie einerlei Direktionen haben ; fo werben bie Variationen biefer Coorbis

naten offenbar die Bon dem Körper nach ben Direktionen diefer Coordtna⸗ |

gen durchlaufenen Räume vorftellen; folglich werden die zweiten Differens
tialien eben diefer Coorbinaten durch bad Quabrat des beftändigen Diffes
rentials der Zeit dividirt die befchleunigenben Kräfte ausdruͤcken, die nad -
dieſen naͤmlichen Coordinaten wuͤrken. Setzt man daher dieſe Ausdruͤcke
denen der durch die Natur der Aufgabe gegebenen Kraͤfte gleich; ſo hat

man g aͤhnliche Gleichungen, die alle Umſtuͤnde der Bewegung zu beſtim⸗

men dienen. Dieſe Methode, die Bewegung eines durch gewiſſe beſchleu⸗
nigende Kraͤfte getriebenen Koͤrpers zu beſtimmen, iſt wegen ihrer Ein⸗
fachheit allen andern vorzuziehen; und es ſcheint Maclaurin der erſte
zu ſeyn, der ſie in ſeinem treatiſe on fluxions, der 1742 heraus kam, an⸗

wendete; ſie iſt jetzt allgemein angenommen worden. ‚=

Durch die eben vorgetragenen Grundfäße iſt mair iht im Stande
die Geſetze der Bewegung eines freyen Koͤrpers zu beſtimmen, der durch
gewiſſe Kraͤfte getrieben wird, wenn man den Koͤrper nur als einen Punkt
anſieht. | eo, Br :

Y3 Ä Eben

= ⸗

Pr ve - nn

I74

Eben dieſe Grundfäge aber laſſen ſich bey der Unterſuchung der Be⸗

wegung mehrerer Körper anwenden, wovon einer den aubern nach einem
gewiſſen Gefeße anzieht, welches eine befannte Funktion der Difkanzen
fen; endlich tft es nicht ſchwer, fie bis auf die Bewegungen in widerſte⸗

henden Mitteln, fo wie auch auf biejenigen, bie auf.gegebenen Brummen Flds

chen gefehehen, zu erſtrecken. Denn die Mefiftenz des Mittels iſt nichts

anders ald eine Kraft, bie ber gerade entgegenwürkt, bie den Körper zu °

‚bewegen ſtrebt, und iſt der Körper gezwimgen ſich auf einer gegebenen
Oberflaͤche zu bewegen, ſo iſt nothwendig eine auf die Oberfläche ſenkrechte

Kraft vorhanden, die ihn darauf feſt haͤlt, und deren unbekannter Werth

nach den aus der Natur dieſer Obecflaͤche herflieſenden Bebingungen- bes
ſtimmt werden kann. nn | |

’

Sudt man aber bie Bewegung mehrerer Körper, wovon bie einen
auf den andern durch einen Stoß oder Druck würfen, es fey nun uumittels
bar oder wie beim gewöhnlichen Stos ober bardy Faden oder unbiegſamen
Hebeln, woran fie feft find, oder auf irgend eine audere Art, alddann ges
bört die Aufgabe zu einer höhern Ordnung und Fann durch die vorherge⸗
henden Grundfäße nicht aufgelöst werben. Denn hier find die auf die
‚Körper wuͤrkende Kräfte unbekannt, und. man muß fie and der Wirkung,
pie die Körper unter einander nach ihrer gegenfeitigen Stelling ausüben,
herleiten. Man muß daher uothmendig noch einen andern Grundfag zu
Huͤlfe nehmen, der dazu dient, die Kraft. der in Bewegung ſich befinden⸗
ben Körper aus ihrer Maſſe und Geſchwindigkeit zu beſtimmen.

Diefer Grundſatz befteht darin, daß um einer gegebenen Waffe eine
gewiſſe Geſchwindigkeit nach einer gewiſſen Direktion zu ertheilen, man
eine Kraft nöthig hat, deren Werth dem Produkt der Maffe in die Ges
ſchwindigkeit proportional iſt, und die eine Richtung hat, die der diefer
Geſchwindigkeit gleich iſt, dieſe Maffe mag Übrigens in Ruhe oder in Bes
wegung feyn. , Dies —— der Maſſe eines Koͤrpers in ſeine Geſchwin⸗
digkeit wird geneinigfih die Groͤße der Bewegung *) dieſes Körpers ge

[2
ri *
.

6) Quantit© de mouvement iſt mit quantit& du mouvement bey den fränzöffe
(hen Mathematikern einerley, eben ſo kann mar auch im Deusfchen fagen
VBewegungsgroͤße ober Größe der Bewegung. M.

nannt,

——— | .. 18
vannt, weil fie in dir That die Summe ber Bewkgungen aller materiels

ler Theile des Körpers ifl Die. Kräfte werben; alfo durch die Größen

ber Bewegungen, bie fie herborzubringen im Stande find, gemeffen und
gegenthells iſt Die Größe der: Bewegung’ eined Körpers das Maaß der
Kwaft, Die ber Koͤrper gegen ein Hinderniß anszuuͤben im Stande iſt, und
bie Stos genannk wird. Hieraus folgt, daß wenn zwey nicht elaſtiſche

Koͤrper völlig nach entgegengeſetzten Richtungen mit gleichen Bewequngs—
groͤßen gegen einander ſtoßen, ihre Kraͤfte einander das Gegengewicht

halten und einander aufheben muͤſſen; folglich muͤſſen in dieſem Falle die
Koͤrper ciyauder. aufhalten und ſo in Ruhe bleiben. Geſchaͤhe der Stos
aber vermittelſt eines Hebels; fo müßten, wenn die Bewegung ber Koͤr—
per aufgehoben werben follte, ihre Kräfte. dem befannten Geſetz bes
Gleichgewichts des Hebels folgen, | —

— LE nn 2 ea 7 Bet ; ’
Desgartes ſcheint biefen Grundfaß zuerft mahrgenommen zu haben,
aber..er. fürte, da er ihn auf dem Stos der Körper anwendete, indem ex
glaubte, die namliche Größe der abfoluten Bewegung müffe ſich immer ers

erhalten. on | J— |

Wuoallis iſt eigentlich der erfte, der eine beutliche Idee von dieſem Grund⸗
faße hatte, und der ſich deffelben mit Vortheil dazu bediente, die Geſetze
ber Mittheilung der Bewegung beim Stos harter oder efaflifiher Körper
zu beſtimmen, wie man aus ben philofophifchen Transaktionen von 1669

und aus dem gten Theile feines Traktats de mom, den er 1671 heraus»
gab, fieht. | | | —

Es druͤcke ferner das Produkt der Maſſe in die Geſchwindigkeit
die endliche Kraft eines in Bewegung ſich befindenden Körpers aus;
ſo wird das Produkt der Maſſe in die beſchleunigende Kraft, die, wie
wir geſehen haben, durch das Element der Geſchwindigkeit dividirt
durchs Element der Zeit vorgeſtellt wird, die Elementar⸗Kraft im Ans
fang ausdrücken; und betrachtet man nun dieſe Größe als das Maaß
Ger Wuͤrkung die der Körper vermoͤge feiner elementairen Geſchwindigkeit
die ex angenommen hat, oder anzunehmen fircht, ausüben kann, fo hat
man das was man Drucd nennt; fieht man fie aber als das Maag

| were: u Ä der

\ .

176 z . eo}

ber Kraft an, -bie erfedert wird dieſe Geſchwindigkeit Kerborgubeiigens
fo ift fie eben das, was man bewegende Kraft nennet.

Drude oder bewegende Kuäfte heben ſich daher auf ober find ein⸗
ander im Gleichgewicht, wenn fie. einanber gleich und gerade entgegens
gefeßt find, oder, wenn fie an irgend. eine Mafchleng angebracht find,
und dem Gefeßen bed Gleichgewichts derfelben folgen. |

Sind die Körper dergeſtalt unter einander verbunden, daß fie ben
empfangenen Stößen und befchleunigenden Kräften, wovon fie getrieben
werden, nicht frey folgen Fönnenz fo üben. diefe Körper nothwendig auf
einander beftänbig Druͤckungen aus, die Aenderung in ihren Bewegungen
bervorbringen und dadurch die Beflimmung erfhweren.

. Die erfte und einfachfle Aufgabe von biefer Art, womit ſich bie Geos
meter befchäftiget haben, iſt Die von den Mittelpunften des Schwungs,
Sehr berühmt warb diefelbe im letzt verfloffenen Jahrhundert; und int
- Anfang des gegenwärtigen durch die Bemuͤhungen und Verſuche, die die
größten Geometer anwenbeten, um dabey zum Zweck zu gelangen. Da
“man biefen Unterfuchuugen die unermeßlichen Fortfchritte verbanft,. die man
feitdem in der Dynamik gemacht hat, fo glaube ich hier eine Furze Geſchichte
derfelben geben zu müffen, um zu zeigen, nach welchen Stuffen ſich diefe
Wiſſenſchaft zu der Vollkommenheit erhub, melde fie in dieſen letzten Zei⸗
ten erlangt zu haben fcheint,

. Die erfien Spahren von Unterfuchungen über die Mittelpunkte bes
Schwungs finden fih in Descartes Briefen. Man fieht hieraus,
dag der Pater YWierfemius ihm aufgegeben hatte, die Größe zu .
beftimmen , bie ein Körper von irgend einer Figur Baben muß,
damit, wenn er an einem Punkt aufgehangen ſey, feine Os—⸗
ſcillationen inerlei Zeit mit einem Faden von einer gegebenen Länge, ber
mit einem einzigen Gewicht an feinem Ende befchwert ift, made. Des⸗
cartes bemerkte, daß dieſe Aufgabe einige Hehnlichkeit mit der des Schwer⸗
punkts hat, und daß eben fo wie bey.einem ſchweren Körper, der frey
faͤllt, ein Schwerpunkt ftatt findet, nm den die Würkungen der Schwere
aller Theile des Körpers im Gleichgewicht find, fo daß diefer Mittelpunkt

| auf

2 FT — — 277
|
anf bftfelbe. Art herabfaͤllt, als woun ber Ueberreß bes Koͤrpers vernichtet,
oder!in ebes dieſem Mittelpunkt vereinigt wäre. Bey ſchweren Koͤrpern alfa,
die fü une eise feſte Achſe bewegen, muß ein Micttelpunkt ſtatt finden, ben
ver Mittelpunkt der Wewegunge; neunt, uns den bie Vewegungskraͤfte aller
Theile des. Koͤrpers ſich bergeflalt. im Gegengewicht halten, daß wenn dieſer
Mittelpunkt von der Wuͤrkung dleſer Kraͤfte frey waͤre, er fo bewegzt wer⸗
den koͤnne, wie es geſchehen wuͤrde, wenn die andern Theile des Koͤrpers
vernihtet ober in eben dieſem Mittelpunkte ‚vereinigt waͤren. Alle Koͤr
per, worinn dieſer Mittelpunkt gleichweit von der Umdrehungsachſe ab⸗

fteht, muͤſſen folglich ihre Vibratlon in gleicher Zeit machen,

Mach diefem Begriff vom Mittelpunkt der Bewegung giebt Descar⸗
tes eine allgemeine Methode ihn bey Körpern von: beliebigen Figuren zu
beſtchumen. Dieſe Methode befteht‘darin, den Mittelpunkt ber Schwere
Dee Bewegungokraͤfte aller Theile des Koͤrpers zu fuchen, indem man -
biefe Kräfte nach den Produkten der Maſſen In die Geſchwindigkeiten, die

Bier den Diſtanzen von ber Umbrehungdachfe proportional find, ſchaͤtzt
ind annimmt; bie Theile des Körpers feyen anf ber Ebene, die durch
ſeinen Mittelpunft der Schwere und burc feine Umdrehungsachſe gehen,
betgeſtalt projicirt, daß fie Immer einerlei Diſtanz von biefer Achfe bes

Halten. |
Diefe Vorausfeßung geht jedoch hier nidyt an, Indem ber Effekt

ber. Kräfte nicht nur von der Größe ber Bewegung, fondern auch Yon der
Direktion abhängt. Auch findet Descarıes Regel nur alsdann flatt,

‘ wenn alle Theile des Körpers fich entmeber wuͤrklich in einer durch bie Uns
drehungsachſe gehenden Ebene befinden, ober man fie ſich wenigſtens fo vor⸗
ſtellen kann. In allen andern Fällen hat man nur die ayf- die durch die
Umdrehungsachſe und den Mittelpunkt ber Schwere gehende Ebene ſenk⸗
rechte Bewegungen zu erwägen, und man muß jebed Theilchen auf den

unkt beziehen, wo biefe Ebene nit der Direktion der Betvegung biefes

| ——— zuſammentrifft. Dieſe Direktion tft allezeit auf der Ebene die⸗
ſeces Theilchens und der Umdrehungsachſe ſenkrecht. Dieſer Mangel der
Carteſianiſchen Regel wurde von Roberval wahrgenommen, und vers
anlaßte einen Streit zwifchen biefen beiten Geometern, worin das Recht
ganz auf des letztern Seite zu feyn fehlen. — he we
er 2 Aobers

128 Ä |

BRoberval giebt? genaue Beftinunaugen- ber Beregimgöndhirkfünee
der Zirkelausſchnitte und Vogen, bie ſich ſenkrecht auf ihre: Ehene bewe⸗
gen, undzeigt die Unzulähglichkeit der Regel ſelnes Gegaero in tiefem
Falle; aber nach feiner. Gewohnheit feine Methoben zu iderbergen,. bes
guägt er. fi; diefe befondern MRefultate abzuzeigen; Anh es iſt unmöglich
daran zu beurshellen, ob er fi im Beſitz eiuer allgemeinen Dieshobe bes
3": Weberbles benerft Roberval mit Recht, baß der erwaͤhnte Mittel⸗
punkt kein anderer als der Mittelpunkt des Stoßes ift, um der bie Stoͤſt
oder ihre Momente 'gleich find, und daß um ven wahren Mittelpunkt des
Schwungs eines fchweren Pendels zu finden, man aud auf bie Wuͤrkung
ber Schwere Rüdfiht haben muß, vermöge der dad ‘Pendel ſich bewegt,
Diefe Unterſuchung aber war für die Mechanik ber. damaligen Zeit zu, I
bie Geometer fuhren daher ſtillſchweigend fort anzunehmen, daß her Diü
‚telpunft des Stoßes mit dem des Schwungs einerlei fey, und Huyghent
war ber erſte ber biefen letztern Mittelpuukt unter feinem wahren Geſichts⸗
paunkt betrachtete. Auch glaubte er dieſe Aufgabe ald ganz nen. anfehen
zu muͤſſen, und ba er fie durch bie bekannte Sefeße ber Bewegung nicht
im Stande war. anfzulöfer, fo erfand. ex einen neuen jedoch indireklen
Grundſatz, ber nachher unter den Nahmen der Erhaltung ber lebendigen
Kräfte berühmt geworben ift. Er | “

Betrachtet man einen Faden ald eine hr Linie ohne Schwere
und Maſſe, deren eines Ende an einem. feften Puakt gebeftet,: das aus
dere aber mit’ einem Heinen Gewicht, das man als in einen Punkt verei⸗
nigt ſich vorftellen kann, beſchwert iſt; ſo hat man dad, was man eid
einfaches Pendel nennet, und dad Geſetz der Schwingungen dieſes Pen
dels hängt ganz allein von feiner Länge d. h. von ber Diflanz' zwiſchen
dem Gewicht und. dem Aufhaͤngepunkt ab, Befeſtigt man aber an diefem
Faden noch eln’oder mehrere Gewichte in verfchtebenen Abſtaͤnden vom
Aufhaͤugepunkt, To erhält man ein zufammengefeßtes Pendel, deſſen Bes
wegung fo zu ſagen ein Mittel zwiſchen den verſchiedenen einfachen Wen)
bein hält, die man erhalten wärbe, wenn jebed biefer Gewichte alleik
an einem Faden aufgehätigt wäre. Dein bie Schwerkraft beftrebt ſich
auf ber einen Seite. alle Gewichte: fir gleichen: Zelten glei fallen zu *
=. Ex . wähs

n —

—

|
⸗ F
| — -179
=

mührenbudaß:;:akf ber andern Seite bie Unbiegſamkeit des Fadens fie
. jwoingt, in eben dieſer Zeit ungleiche und ihren Entfernungen vom Aufr
ngepunfte proportionale Bogen zu befhreiben, es muß alfo zwifchen dies
: R* ——— Anke Art von Eonipenfatlun nnd Verthelkung Ihrer Bew
tigen ſteitt Yälfberr,‘ fo: daß die dem Aufhaͤngepunkt am naͤchſten Tiegen
ichte ble Schwingungen !ber entferntern beſchleünigen und dieſe mich
berum die Schwingungen ber erſtern aufhalten werden. Es wird alſo fh
dem Faden in Punkt anzutreffen ſeyn, wo ein Körper hinbefeſtigt, weber
eine durch ‚die andere Gewichte. befchleunigte. noch eine verzögerte Bemer
gung haben würde, und wo es eben.fo.feyn wuͤrde, als wäre er alleiy an
Dem Faden aufgehängt. Diefer Punkt würde der wahre Mittelpunkt bes
Schwungs bes zuſainmenge feßten- Pendels feyn, und ein foldyer Mittels _
punft muß fid) audy in jedem feften Körper, feine Figur mag auch beſchaf⸗
fen feyn, wie fie will, finden, wenn ex um eine horizontale Acyfe.ofeillirt,

SEs ſah Huyghens wohl ein, bag man biefen Mittelpunkt nicht ma⸗
thematifch fireng beflimmen könne, ohne das Geſetz zu kennen, nach berg
bie verſchiedenen Gewichte des zufammengefeßten Pendels gegenfeitig die
Bewegungen aͤndern, . bie die Schwere hnen jeden Augnbid einzudruͤcken
fü, beſtrebt; aber anſtatt dieſes Geſetz aus den Fundamentalſoͤtzen der
Mechauik herzuleiten begnuͤgte er ſich einen indirekten Grundſatz bier anzu⸗
wenden, bes darin beſteht, daß man aunimmt, daß wenn mehrert auf
irgend eine Weife an einem Pendel befeftigte Gewichte durch ‘die bloße
Wirkung der Schwere herabfallen, und man fie fih nun in einen Au⸗
genblick abgebunden und von einander getrennt vorſtellt, jeder derſelben
vermoͤge feiner durch den Fall erlangten Gefchwindigfeit zu einer ſolchen
Höhe fteigen wird, daß der gemeinfchaftlihe Mittelpunkt der Schwere zu
berfelben Höhe gelangt, wovon er heruntergefallen if. Zwar feßte
‚ HYupgbens biefen Srunbfaß in ber That nicht unmittelbar feft, fondern
leitete ihn von 2 Hypotheſen her, die er als mechaniſche Forderungen
annehmen zu müflen ‘glaubte, bie eine ift, daß ber Mittelpunkt der
Schwere eined Syſtems von. ſchweren Körpern nie zu einer größern Höhe
fleigen Tann, als wovon er gefallen iſt, wie man auch bie gegenfeitige
Stellung der Körper verändern mag, weil fonft eine Immerwährende Bes
wegung fintt finden koͤnnte; bie zmeite iſt, daß ein zufammengefeßtes
— | | Ba „® Pens

/
v-

480 III—

Pendel ven gt jeber Zeit berſelben Hohe a zn) wit es
frey gefallen iſt.

Uebrigens merkt er noch an, daß der ndnlie — * *

der Bewegung ber auf irgend eine Art untereinander verbundenen
Farbe Körper, 2 auch der Bewegung der fluͤſſigen —

Js —

— — man es zu errathen derſuchen, was eigen ep
diefem Schriftfteller bie Idee eines felhen Grundſatzes verantäßt "habe,
aber vermuthen kann maıı wohl, daß et dazu durch den Lehrſatz verleitet
worden iſt, den Galilaͤus in Anſehung des Falles der ſchwexen Koͤrper
erwiefen hatte, bie, es ſey nun daß fie vertikal ober auf ſchiefen Ebenen
berunterfalten, allezeit Geſchwindigkeiten erlangen, bie im Stande find
fie- wieder zu benfelben Höhen zu erheben, wovon fie gefallen find, Dies
ſes Theorem allgemeiner gemadt, und auf deu Mittelpunkt ber Schwere
eines "Syflems von ſchweren — angewendet, giebt: ben Sf

Es wag Dieß nam fepn tote es wi; ſo it doch ſovlel ſchhar, daß

dieſer Satz eine Gleichung zwiſchen der bertitalen Hoͤhe, wovon der Mit⸗

telpunkt der Schwere des Syſtens in. einer gewiſſen Zeit gefallen iſt, und

Yen verſchiedenen vertikalen Hoͤhen, wozu die das Syſtem ausmachende

Koͤrner mit ihren erlangten Geſchwindigkeiten geſtiegen find, und die ſich

nach den Lehrſaͤtzen des Galilaͤus wie die Qnadrate biefer ——

verhalten, verſchaffen wird.

Bey einem um eine horfzontale — of Mirenden Pendel. aber ver
halten ſich die Geſchwindigkeiten der verſchiedenen Punkte, wie ihre Ent⸗
fernungen von dieſer Achfe;. man Bann alfo die Gleichung nur auf zwei
unbefannte Größen bringen, wovon bie eine der Fall des Mittelpunkts
ber Schwere des Pendeld in einer gewiſſen Zeit, und die andere bie Höhe
ift, wozu ein gegebener Punkt dieſes Pendels vermoͤge feiner erlangten.
Sefhwindigfeit fieigen Könnte. Der Fall des. Mittelyunkis der Schwere
aber beftimmt ben jeded andern Punkts des Penvdels; may hat alfo eine.
Sleichuns zwiſchen der Hoͤhe, wovon ein aewiſer Punli des Pendels ge⸗

—E

⁊

*
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1 .
; ; — ⸗ t81
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ſullen iſt, nnb dee, wozu er dermöge.der durh Fall erlangten Ge⸗
ſchwindigkeit ſteigen koͤnnte. Im Mittelpunkte bes Schwungs muͤſſen dieſe
beiden Hoͤhen gleich ſeyn, indem freie Koͤrper jederzeit zu der naͤmlichen
Höhe wieder ſteigen koͤnnern, wovon fie gefallen find, und die Gleichung
Jagt, daß dieſe Gleichheit nur bey einem Punkt ber auf der Umdre⸗
hungdachſe fenkrechten und durch den Mittelpunkt der Schwere des Pens
dels gehenden Linie, welcher von diefer Achſe um eine Größe entfernt iſt,
die darch die Multiplication aller Gewichte, die das Pendel ausmachen,
durch die Quadrate ihrer Diftanzen von ber Achfe und durch die Divtfion
der Summe biefer Probufte, durch die mit der Diftanz feines Mittels

unkts der Schwere von derfelben Achſe multiplicirten Maſſe des Pendel’
erhalten wird, ſtatt finden kann. Diefe Eiröße wird alfo bie Länge eine

einfachen Pendels ausdruͤcken, defien Bewegung ber bed zuſammengeſetß⸗

ten n gleich ſeyn wird,

Huyghens hat dieſe Theorie in ſeinem Traktat de —— ofeil-
— vorgetragen, ber 1673 erfhten, und eine Menge ſchoͤner Anwen⸗

„ dungen davon hinzugefügt. Es würde dabey nichts mehr noch zu wüns

ſchen übrig geblieben feyn, hätte fie nicht auf einer dngenornmenen Forde⸗
zung beruhet, und es blieb immer nod) dieſe zu — um ſ e

gegen jeden Angriff zu ſichern.

Gegen dieſe Theorie erſchlenen im ehe 1681 fm Journal der Im
vans de Paris einige ſchlechte Einwuͤrfe, denen daher auch Huyghens
mir oberflächlid und wenig befriedigend antwortete. Juzwiſchen zug die⸗
fer Streit doch die Aufmerkfamfeit des "Jacob Bernoulli auf fi.
und deranlaßte ihn Huyghens Theorie weiter zu upterfüchen, und auf,
“bie erften Grunbfäge ber Dynamik zurückzuführen, Er betrachtete zuerſt J
sur zwei einander gleiche an einer geraden unbiegſamen Linie augeheſte⸗
te Gewichte, und bemerkte, daß die Geſchwindigkeit, die das erfie Ge
wicht nämlich dasjenige, welches bein Aufhängepunft am nächften iſt,
erlangt, indem ed einen gewiffen Bogen. beſchreibt, geringer ſeyn muß,
als diejenige, welche es erlangt haben wuͤrde, indem es frey denſelben
Bogen beſchrieben haͤtte; uud daß zu gleicher Zeit bie durch das andere
Gewicht erlangte REN > feyn maß als diejenige, m

| 3

«
» .

183 —

es ng haben wuͤrbe wenn es frey den aim Wogen ie
ben. hätte.

Die durch's erfte Gewicht verlorne Geſchwindigkeit iſt alfe dem fr
bern mitgetheilt worden, und da dieſe Mittheilung vermistelft eined um einen
feſten Punkt beweglichen Hebels geſchieht; fo nimmt er an, daß fie dem

Geſetz dos Gleichgewichts der an diefem Hebel angebrachten Kräfte folgen -

muß, fo daß das zte Gewichm in der umgekehrten Verhältniß ber Hebel⸗
armen, d, h. der Diftanzen vom Aufhängepuntt das an Geſchwindigkeit

gewinnt, was daß erfte verliert. Hledurch beſtimmt man leicht, indem

die würklichen Geſchwindigkeiten zweier Gerichte ſich wie biefe Diflanzen
verhalten, biefe ——— und folglich auch die Blasien *
Pendels.

Dies iſt der ef Säritt, der zur direkten Auflöfung- biefer berhm⸗
ten Aufgabe gethan wurde. Die Idee bie aus den durch Die Gewichte ges
wonnenen oder verlohrnen Gefchwindigkeiten entfpringende Kräfte auf ben
Hebel zu beziehen, ift fehr fein, und giebt den Schläffel zur wahren Theo⸗
vie an die Hand; aber ed betrog ſich Jacob Bernoulli, indem er; die
während einer gewiſſen endlichen Zeit erlangten Geſchwindigkelten betrach⸗

tete; anſtatt daß er die elementaren während einem Augenblick erlangten.

Gefchwindigkeiten hätte betrachten und mit denen, die die Schwere wähs

rend demſelben Augenblick einzudrücken ſich beftrebt, hätte vergleichen fols .

len. Died that nachher der Marquis de 2’ Hopital in einer in das.
Rotterdamer Journal 1690 eingerückten Schrift. Er nilımt zwey
an dem unblegfamen Faden, der daß zufammengefeßte Pendel vorftellt,.
befeftigte Gewichte an und fegt die durch diefe Gewichte gewonnene Größen.
mit den verlornen, d. h. die Differenzen der Bewegungsgrößen, die die.
Gewichte in diefem Augenblick erlangen, nnd die die Schwere ihnen eins
zudruͤcken fi) beſtrebt unter einander ind Gleichgewicht. Hiedurch beſtimmt
er das Verhaͤltniß der Beſchleunigung jedes Gewichts waͤhrend eines Au⸗
genblicks zu dem, welche die Schwere allein ihm zu geben ſich beſtrebt,
und findet den Mittelpunkt des Schwungs, indem er den Punkt des Peu⸗
dels ſucht, für den dieſe beſden Beſchleunigungen einander gleich ſind.
Alsdann aha ex feine Tone auf eine groͤßere Zahl von er. .

“

u | .183

.. betrachtet‘ jedoch in diefer Abſicht auf eine wentger birefte Art, bie unmoͤg⸗
lich ohne Beweis angenommen werden kann, die erftern ala nad) und nad)
in ihrem Mittelpunkt des Schwungs vereinigt. . Ä
Dieſe Aufloͤſung des Marquis de L'Hopital rief dem “Jacob
Bernoulli die ſeinige wieder ind Gedaͤchtniß zurück und veranlaßte her⸗
nach die erſte direkte und der geometriſchen Strenge angemeſſene Aufloͤſung
dieſes Problema's von ben Mittelpunkten des Schwungs, welche um fo
viel mehr die Aufmerkſamkeit der Geometer verdient; da fie ben Keim
desjeuigen Princips der Dynamik enthält, davon nachher Ar. D’Alems
bert fo häufige Anwendungen machte. Ä u
Dernoulli betrachtet die Bewegungen, die bie Schwere jeden Aus
genblick den Körpern, woraus das Pendel befteht, eindrücdt, und ba
dieſen diefe Körper wegen ihrer Verbindung unter einander nicht völlig “
folgen Eöımen; fo ftellt er ſich dieſe eingedrüdkten Bewegungen als auß des
nen zufammengefeßt vor, dfe bie Körper erhalten Fönnen, und aus andern,
bie aufgehoben werden müffen, und durch die das Pendel im Gleichgewicht
bleiben muß, Auf dieſe Arc bringt man die Aufgabe auf die Grundfäße
‚ber Statif, und kann mit Hülfe der Analyfis aufgelößt werden. Hiedurch
fand auch Jacob Bernoufli allgemeine Formeln für die Mittelpunkte
des Schwungs bon Körperh von jeder beliebigen Figur, zeigte ihre Ueber ⸗⸗
einſtimmung mit Huyghens Grundfaß und Beweis, die Identitaͤt bers
Mittelpuncte des‘ Schwung und des Stoffes. Diefe Auflöfung wurde
in den Leipziger adtıs. ecuditorum Yon 1091 an faſt erſchoͤpft, jedoch ge⸗
Jangte man erft Im Sabre 1703 In den Memoiren der: Marifer Akade⸗
mie der Wiſſenſchaften auf eine vollſtaͤndige Art dazuc ©
Um nichts mehr über das was die Geſchichte ber Aufgabe des
Mittelpuntis des Schwungs betrifft, übrig zu laſſen; fo muß ich noch
einer Auflöfung erwähnen, die nachher Johann Bernoulli ia eben
biefen Memoiren gegeben hat, und worauf faft zu gleicher Zelt Laplor
kam, und fie in feinem Werkk, das den Titel: methodns 'intreinerito.
rum führt, bekannt machte. Dies veranlaßte einen: ſehr lebhaͤften
Streit zwiſchen dieſen beiden Geometern. Go ſinnreich indeß bie Idee
war, worauf dieſe neue Aufloͤſung gebauet war, und die darinn beſteht,
das zuſammengeſetzte Peudel ſogleich in ein einfaches zu verwanbien;, : Ins
dem

—

⸗

1
a
— —
. 184 ggg:
ra £ z
Ä

tem man anbie Stelle ber perfilebenenen Gewichte anbere in Akad Punkt
‚vereinigt feßt, deren Maſſen und- Schmweren ſo beſchaffen find, -baß dhre

winklichte Befchleunigungdachfen einerley find ; fo muß man dennoch geſtehen,

daß dieſe Idee weder fo notärlih noch fo einleuchtend iſt, als die. vom
, ‚Gleihgewicht zwifden den aufgehobenen Bewegungen, worauf Jacob
Bernonli mit vieler Geſchicklichkeit dieſe Unterſuchum gebracht > e

i "Dan. findet aufferdbem noch in Hermanns Phoronomie die 1716 |

herauskam, eine nene Methode bie-nämliche Aufgabe aufzuldfen, und bie
auf diefem andern Grundfaß beruht, baß-die bewegenden Kräfte, wovon
bie dad Pendel ausmachende Gewichte getrieben werben, mit benen, bie
"von der Einwürfung der Schwere herkommen, gleihförmig wuͤrken müfs
fen‘, wenn fie ihrer Verbiubung unter einander ungeachtet fich beimegen
follen.. Die erftern müffen alfo, wenn man die aubern im ii
ten Sinne annimt ‚ dieſen das Gleichgewicht halten.

Inzwiſchen iſt dieſer auf die eben angefuͤhrte Art vorgetragener |
lange nicht einleuchtend genug, um ihn für einen Grundfaß der Mechant
gelten zu ‚laffen, indeß tft er nicht ſchwer durch ben bes Jacob Bernoulli,

wovon er in ber That nur eine nothwendige Folge ift, a. zu wers

den.

.: Herr Euler — ihn hernach noch viel allgemeiner, und wendete
ihn auf verſchiedene die Oscillationen der biegſamen und unbiegſamen

KRKoͤrper betreffende Aufgaben im Jahr 1740 in einer Schrift, die ſich

im PAR "Tom. den alten Petersburg. ————— befiudet, an.

Es wuͤrde zu wettlaͤuftig ſeyn von den andern Aufgaben ber Dy
namik zu veben, bie nad der vom Mittelpunkt des Schwungs den
- Scharffinn, der Geometer befhäfligten, ehe noch die Kunſt fie a
fen, auf beftimmte und feftgefeßte Regelnagebracht war. Man findet
dieſe Aufgaben, die die Herrn Bermoufli, Clairaut, Euler fih aufs
gaben, zerſtreut in den erſten Baͤnden der Detereburger Eommentarien,
in den Memoiren von Berlin und Paris (in den Jahren 1736 und
ar und, in Hrn, Zulers apolali, Sie gehen — binaus bie

Bewe⸗

geſchict machte. |

— 0.386

Bewegungen mehrerer ſchwerer ober nicht ſchwerer Koͤeper zu beſllmmen,
die ſich durch Faden ober unbiegſamen Hebel treiben oder zichen, woraa
fie befeſtigt find ober laͤngſt denen fie frey heranterrütfchen kͤunen, ‚and
die nachdem man ihnen eine geroiffe Bewegung eingebrädkt hat, ſich fetbft
kberlaffen oder genoͤthigt werben , ſich auf gegebenen krummen Linien oder

Flaͤchen zu bewegen. ey Auflöfung diefer Aufaaben gebrauchte hal

faft immer Huyghens Grundſatz, da indeffen biefer Grundſatz nur el
Steihung giebt; fo fuchte man die andern durch Betrachtung der unbes
Fannten Kräfte, womit man annahm, daß die Körper ſich ftoffen oder zier -
hen follten, und die man als elaſtiſche Kräfte anfaly, bie gleihförmig na |
entgegengefeßten Richtungen wuͤrkten. Die Anwendung diefer Reäfe
machte, daß man Feine Rüdfiht auf die Verbindung der Körper unter
einander zu nehmen brauchte, wind dag man Gebrauch von ben Gefegen
der Bewegung der freyen Körper machen koͤnnte. Endlich dienten die Ber
dingungen, die nach ber Natur ber Aufgabe zwiſchen dem Bewegungen Ser
verſchiedenen Körper ſtatt finden mußten, die unbefxunten Kräfte zu bes
ſtimmen, die man im Ealkul eingeführt hatte. Jedoch erforderte es jes
derzeit einen befondern Krunftgriff bey jeder Aufgabe alle die Kräften her⸗
auszubeingen, worauf man body Ruͤckſicht nehmen mußte. Dies wer. es
eben, was biefe Aufgaben fo aulockend und zur Erweckung ber Eiferſucht

D’Alembert's Dynamik, pie 1743 erſchien, machte allen biefen-
Sireitigfeiten ‚ein Ende, tfie enthält ‚eine direkte und ſallgemeine Me⸗
thobe alle dynamiſche Aufgaben, wie man fie fih auch ausdenken niag, aufs
zulbſen, ober doch wenigftens auf. Gleichungen zu bringen. . Diefe Mes

" titobe bringt alle Geſetze der Bewegung ber Aörper auf die ihres Gleaich

gewichts, and fo alſo die Dynamik auf die Statik zur; Mir babarı
bereits oben angemerkt, daß der Grundſatz, defien ſich Jacob Ber⸗
noulli ben ber Unterſuchuug ‚des: Mittelpunkts bed Schwungs Bebiente,i
Vorzugsweife diefelbe von ben Bedingungen des Gleichgewiqus des He⸗
bels abhängig machte; ee, war ed dem, Hrn. D'Alembert sorbes
halten, biefen Grunbfaß anf eine allgemeine Art zu betrachten, und ibm
alle die Einfachheit und Anwendung zu geben, beven. er fähig var.

Ua Beſtre⸗

736. | | zn Ä

.Beſtreben ſich mehrere Körper mit gewiſſen Geſchwindigkeitern, mik
nach gewiſſen Direktionen zu bewegen , und es bleiben dieſe wegen der ges
ee — ber Körper auf einander, ‚eine Beraͤnderung; fe

un man biefe Bewegungen aus denen, bie bie Koͤrper wuͤrklich erhals
den, und aus denen, bie ſich aufheben, zufsmmengefegt anfehen; hieraus
folgs alfo, daß diefe leßtern fo beſchaffen ſeyn müffen, dag bie von bies
fen Bewegungen allein getrichene Körper einander bad Gleichgewicht halten»

Dies ift ber von Hrn. D’Alemberr aufgebrachte Grundfaß, wo⸗
Don er fo viele glückliche und nüßliche Unmendunger machte. Man ges
Yangt zwar vermittelft beffelben nicht fogleich zu den zur Auflöfung der vers
fchiedenen Aufgaben der Dynamik nöthigen Gleichungen, aber er zeigt bo,
wie mau fie aus den Veblggungen bes Gleichgewichts herzuleiten habe.
Verbindet man baher diefen Grundſatz mit den gewöhnlichen Grunbfäßen
des Gleichgewichts des Hebelä oder der eg ber Kräfte; fa -
Zaun man allezeit vermittelſt gewiſſer mehr aber weniger verwickelten Con⸗
ſtruktionen die Gleichungen für jede Aufgabe finden. -

: Diefer Methode hat man fich bisher bey der Anwendung des er⸗
wähnten Srundſatzes bedienet, allein durch die Schwierigkeit die Kräfte,
die aufgehoben werben muͤſſen, ſowie audy' die Gefeße des Gleichgewichtt
zwifchen diefen Kräften zu beſtimmen, wird diefe Anwendung oft ſehr
verwirrt und mühfam. Die hieraus fliefenden Auflöfungen find daher jes |
derzeit weitlänftiger, als wenn fie aus weniger einfachen, und direkten
Grundfaͤthen hergeleitet” worden wären, ° 7 er

.Im erſten. Theile dieſes Werks bat uns, der Grundfatz des Beſtre⸗
Send nad, Geſchwindigkeit auf eine ſehneinuſacht analytiſche Methade aeſuͤhrrte,
wodurch wir im Stande waren alle Aufgaben der Statik aufzuloͤfen.
Ehen dieſer Grundſatz nun mit dem eben vorgetragenen verbunden, wink
daher eine aͤhnliche eben ſo vortheilhjaftetr Methade fuͤr bie Aufgaben ber
Dynamit verfhaffen. :-° : ee a Er
Um ſich von diefer Methode ſoglelch chie Idee machen zu Pönuenz

fo erinnere man füh, daß ber allgemeine. Gruntfaß des Beſtrebens nach

Geſchwindigkelt darin befieht, dag wen ein Syſtem poır Körpern,

ſes Traktats ſehen.

*
= [4
ar £
‘.

ch auf gewiſe Punkte beziehen, und Me durch gewiſſt Kräfte getrieben

werden, im Gleichgewicht iſt, und men dieſem Syftem eine gewiſſe kleine
Bewegung giebt, vermoͤge ber jeder Koͤrper einen /unendlich Heinen Raum
durchlauft, die Summe der Kräfte, jede multiplicirt durch den’ Raum,
den der Punkt, worauf fie angebracht iſt, nach der Direltion dieſer Kraft
durlauft, allezeit = 0 iſt. — — —

Nimmt man nun das Syſtem in Vewegung an, und betrachtet
man die Bewegang die ſeder Koͤrder in einem Augenblid hat, als aus
zweyen zuſammengeſetzt, wovon die eine die iſt, die ber Körper Im Fels.
genden Augenblick haben wird; fe muß bie andere Huth die gegenſck⸗
tige Würkung der Körper auf einander, und durch die Wuͤrkung der
ibendegenden Kräfte, wovon fie in dieſem Augenblicke - getrieben werben,
aufgehoben werden. Es muß alfo ein Gleichgewicht zwiſchen dieſen
Kräften und den Drüdungen oder MWiderftänben ftatt finden, bie von

ng 7 '

Bervegungen herkommen, welche man: in der Beit von einem Augen—

HE zum andern als aufgehoben anfehen Tann. Hieraus folgt, daß
am. die Formel des Gleichgewichts -auf die Bewegung des Ehfiente
anzuwenden, man nur die zu diefen letztern Kräften gehörige Glieder bins
u zu adbiren hat. Betrachten wir nun, wie wir ſchon oben gethan has
den, die Sefchwindigleiten, die jeder Körper nad) ben 3 feften auf dinatis
der ſenkrechten Direktionen hat; fo werden bie Abnahimen diefer Gefchtofns

| digkeiten Die nad eben dieſen Richtungen verlohren gegangenen Bewegun⸗

gen vorftellen, und folglich werden die Zunahmen bie nach den entgegenge⸗
ſetzten Richtungen verlohren gegangenen Bewegungen ſeyn. Man wird als

- fo die von diefen verloren gegangenen Bewegungen herfommende Druͤckun⸗

gen überhaupt durch die Mafle multiplicirt durch das Element der Ge⸗
ſchwindigkeit, und dividirt durchs Element ber Zeit ausdruͤcken? koͤnnen,
und ſie werden ihre Richtungen denen ber Geſchwindigkeiten gerade entgegeu⸗
geſetzt haben. Auf dieſe Art kann man analytiſch die genannten Glieder

ausdruͤcken, und man wird eine allgemeine Formel fuͤr die ——

der Körper haben, welche die Aufloͤſung aller Aufgaben: der Dyna

enthalten wird, unb beren Entwickelung allein die für jebe Aufgabe
nöthige Gleichungen geben wird, doch dies werben wir im Werfolg bier
Ya Einer

an 3

aß. | DB ___ 7

m berg gi un den dieſe Foimel ⸗varn⸗
cr daß ſie ſogleich auf allgemeine Gleichungen führt, die bie un⸗
Aar Dem: Nahmen. ber Erhaltung der lebendigenden Kruͤfte, ber. —*
daltang der Bewegung des Mittelpunkts der Schwere, der Erhal⸗
neng des Mowents der Umdrehungsbewegung ober ded Satzes ber
lachen, und des Satzes der kleinſten Wärkeng-.befaunten Gruud⸗
‚oder ehe enthalten. Man kann alle diefe Säge vielmehr als alls
xgemeine . te. der Geſetze der Dynamik, als urſpruͤngliche Grund⸗
efüße. dieſer Wiſſenſchaft aufehen.. Da fir iodeß als ſolche bey Anflöfung
der Aufgaben oft angewaudt werden; ſo glaube’ ich. auch von ihnen
Wort ſagen zu muͤſſen. Ich werde mich aber blos darauf einſchraͤn⸗
ken, zu zeigen, worin ſie beſtehen, und auf dieſe Art auch bey dieſer
‚Einleitung in. hie. — der ag nigee mehr zu —

# an

"Dir erſten Leler bier een, — Säge, nowlich deu der Ch
Byltung her: lebendigen Kräfte, erfand. Huyghens jedoch unter einer
son derjenigen etwas verſchiebenen Form, die man ihm jeßt zu.geben
pftegt, und wir habru feiner ſchon bey Gelegenheit ber Aufgabe ber
Mittelnunte. des Sgwungs gedacht... Gs befteht dieſer Setz in ſoweit
‚ex bey Aufloͤſeng dieſer Aufgebe iſt angewandt werden, In der Gleich⸗
Alt pwiſchen dem Fall uud dew Steigen bed Mittelpunkts ber Schwere
mehrerer ſchweren Koͤrper, die in Verbindung unter einander fallen,

und hernach einzeln wieder ſteigen, indem jeder mit ber erlangten Ge⸗

ſchmindigkeit wieder iu bie, = geht. Nach den befannsen Eigen
fgaften den Mutelyunkts der Schwere aber wird ber durch biefen Mit⸗
telpunft nach einer gewiſſen Direktion durchlaufene Weg durch bie

me; ber Produkte der Maſſe jedes ber Körper in dem nad de
nönlihen ‚Direktion. buschlaufenen Weg, bivibirt bard; die Summe der
Maſſen ausgedruͤckt, Auf einer anders Seite if nach den Lehrſoͤtzen
SA Dakiläys der durch einen ſchweren Körper burablaufene vertikale
Mes dem Duntergpnber Gefhminbigkeis, bie er durch feinen: feryen Fall‘
A er

ı»
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222 — 5
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54
⸗ *
———— Der

— en 239
ens beſſeht alſo darin, daß bey der (Be

Der Meunbfag Huygb
wegung ſchwerer Körper.die Summe ber Produkte der Maſſen bar

die Quadrate der Geſchwindigkeiten in jedem Augenblick einerley iſt,

bie Körper mögen fich nun auf irgend eine Art unter einander verbun⸗

den bewegen ober frey einerley vertikale Höhen durchlaufen. Eben bieß

bat auch ſchon felbft Huyghens Kurz in einer-Heäinen Schrift, die fi
auf die Methoden des Jacob Bernoulli und des Marquis de Lcho⸗
pital bezieht, für die Mittelpunkte des Schwungs angemerkt.

Wisher mar dieſer Satz nur als ein einfaches Throrem ber Die
chanik angefehen worden; allein da Johann Bernoulli den von Keibs

| nis aufgebrachten Unterſchied zwischen tobten Kräften oder olme wärks

Uche Bewegung hervorzubringen wuͤrkende Drüdungen, und den lebens

-”

digen Kräften, wo würkfich eine Bewegung flatt findet, fo wie au das

Maas dieſer letztern durih die Probufte ber Maffen, und der Quadrate

der Gefſchwindigkelren, annahm ; fo fah er In dem erwaͤhnten Sage nichts
weiter als eine Folge Ber Theorie ber lebendigen Kräfte und ein allgemels
ned Gefeß ber Natur, nach bem die Sunme ber lebendigen Kräfte meh⸗
serer Körper dieſelbe Bleibt, während dem daß dieſe Körper durch fimple

Druͤckungen auf einander würfen, und beftändig ber fimplen lebendigen

Kraft gleich ift, die aus der Wuͤrkung ber in Thaͤtigkeit begriffenen Körs

per, die bie Körper bewegen, entfpringt. Er gab ihm daher ben Mahrmen |

der Erhaltung ber lebendigen Kräfte, und bediente ſich deſſelben mit gtädke
lichen Erfolgebey der Auflöfang einiger Aufgaben, wozu man noch nicht

gelangen fomt.

; Ba 277 . —— Fe 5’
In der Folge leitete fein beruͤhmter Vruder Daniel Bernaulli aus
dieſem Satze bie Geſetze ber Bewegung flüffger in Geſaͤßen eingeſchloffe⸗
nen Koͤrper her, welche Materie vortum yur auf eine oberflaͤchliche nnd
willkuͤhrlicht Art war behandeit werdee. F
Endlich aber machte er dieſen Satz in den Memoiren von Ber⸗

lin für das Jahr 7748 ſehr algemein, in dem er zeigte, wie won ihn
auf bie Pewegung der Körper anwenden koͤnne, bie durch gewiſſe gegeu⸗
ſeitige Attraktionen auf einauber BE ober die nach feflen Miiyach
Eu J— n

delangt war, und wozu man auch nur ſchwer durch direkte Merhoden

S N

599 RE j

wen durch getbiffe Könnten det Difkanzen proportionale Reife gezogen
werden.

Diefer Grundſatz gewährt ben greßen Vortheil, daß er ſogleich auf

eine endliche Gleichung zwifchen ben Geſchwindigkeiten der Koͤrper und den

veraͤnderlichen Groͤßen, die ihre Lage im Raume beſtimmen, fuͤhrt; ſo
daß wenn nach ber Natur ber Aufgabe alle veraͤnderliche Groͤßen nur auf

eine gebracht werben , biefe Gleichung hinlaͤnglich ift, fie vollftändig aufzus-

loͤſen, und dies iſt der Fall bey der Aufgabe von den Mittelpunkten des

Schwungs. Weberhaupt giebt die Erhaltung der lebendigen Kräfte jebers

geit ein erſtes Integral der verſchiedenen Di erentialgleichungen — Au
Babe, weiches in mehrern Fällen von großem Nutzen if,

: , Deu'zweiten Sag haben wir Newtonen zu verdanken, rn Yofang
feiner mathematifchen Principien erweißt, . daß ber Zuſtand der. Ruhe
oder der Bewegung des Mittelpunkts der Schwere mehrerer Körper: durch

‚die gegenfeitige Wuͤrkung diefer Körper, wie fie and) befchaffen feyn mag;

nicht geftöhrt werde , fo daß der Mittelpunkt der Schwere ber Körper,
bie anf irgend eine Art auf einander wuͤrken, es ſey nun burch Faden oder
durch Hebel, ober durch Anziehungsgefege, u. ſ. w., ohne daß irgenk. eine

Auſſere Würkung oder Hinderniß vorhanden iſt, allezeit in Ruhe fich bes

findet, oder ſich gleichförmig nach einer geraden Linie bewegt. In der
Kolge gab ihm Herr D’ Alembert in feiner Dynamik einen größern Um⸗

fang, indem er zeigte, daß wenn jeder Körper durch eine beſtaͤndige be⸗

ſchleunigende Kraft, die nach parallelen Linien wuͤrkt, oder die ihre Rich⸗
tung nach einen feſten Punkt hat, und der Diſtanz proportional wuͤrkt,

getrieben wird; der Mittelpunkt der Schwere die nämliche krumme Linie

deſchreiben maß, als wenn die Körper :fven wären. Man kanuen “

binzufegen, daß bie Bewegung biefes Mittelpunkts überhaupts

naͤmliche bleibt, als wenn alle Kräfte der Körper, wie fie auch be

ſchaffen ſeyn mögen, jeve va aa Blog A — ———
aren.

& erhellt, daß bleſer Grundſat dazu ‚bien, „ die Bewegung des
Mittelpunkts der Schwere unabhängig von ben reſpektiven Bewegungen
ver Körper zu beſtimmen, und bapı fi ſ e alſo allezeit 3 endliche Gleichungen

zwi⸗

— . 291

gerfchen den Coordinaten ber Rörper und der Zeit verſchaffen wird, wel⸗
che die Integrale der Differentialgleichungen der Aufgabe fen werben.

© Der dritte Eng iſt viel weniger alt’ als bie Befben vorhergehenden,
es ſcheinen ihn die Hrn. Euler, Daniel Bernoulli und ber Chevalier
D’ Arcy jedoch unter verfchiebenen Geftalten, erfunden zu haben,

Nach den beiden erflern beftcht er barlır, daß bey ber Bewegung

mehrerer Körper um .einen feften Mittelpunkt die Summe ber. Produfte

Ä ber Maſſe jedes Körpers in feine Umdrehungsgeſchwindigkeit, um den

| . Mittelpunkt und in die Diflanz deffelben ‘von bemfelben Mittelpunfte alles

zeit von der gegenfeitigen Würlung unabhängig iſt, die die Körper auf
> einander ausüben koͤnnen und immer biefelbe bleibenn, folange Leine Auffere

Wuͤrkung oder Hinderniß vorkanten iſt.

| Daniel Bernoulli trug biefen Grumbfaß Im ıten Bande der Ber⸗
Imer Memoiren, ber 1746 herauskam, vor. Herr Euler machte ihn
_ In bemfelben Jahre im erfien Bande feiner Opuſculen befannt. Auch iſt
. «8 biefelbe Aufgabe, bie beide daranf geführt hat, nämlich die Unterſu⸗
dung der Bewegung mehrerer beiweglichen Körper in einer Röhre von eis,
wer gewiſſen gegebenen. Figur, bie nur um einen Punkt oder feften Cen⸗
trum fich drehen kann. Der Satz des Hrn. von Arcy, fo nie er ihn
1746. der Akademie ber Wiffenfchaften in einer Abhandlung vorgelegt bat,
bie jedoch erſt 1752 in der Sammlung für ba8 Jahr 1747 erfhien, ber
fieht darin, daß bie Summe der Produkte der Maſſe jedes Körpers
durch die Fläche, die fein Radius Vektor um einen feften Punkt befchreibt,
allezeit der Zeit proportional ift, Man fiehet, dag diefer Satz das fhöne
Theorem Newtons von ben durd, gemiffe Centripitalkraͤfte befchriebenen
Flaͤchen nur auf eine allgemeine Art-ausgebrüdt ifl. Um aber die Ana⸗
logie oder vielmehr Identitaͤt deffelben mit dem ber Herrn Euler und Das
niet. Dernonlli einzufehen; fo har man nur zu erwägen, baf die Ges
ſchwindigkeit der Umdrehung durch dad. Element ded Zirkelbogens dividirt
durch dad Zeitelement ausgebrüdt wird, „und daß das erflere Diefer Ele⸗
mente maltiplicirt durch die Diftanz vom Mittelpunkte, dad Element ber
am biefen Mitselpundt befchriebenen Flaͤche giebt; man ſieht alfa —
— — eſer

—

Befer letztere Sag vo auders ala ber Oiferstuianabiud don dem *
He. D' Arcy iſt. | e

Nachher trug bieſer ſeinen — unter einer dem vorf
ben mehr er —X nden Geſtalt vor, welche barin beſteht, daß die
Summe der Produkte ber Maffen it bie Geſchwindigkeiten, umb in die
Som Mittelpunkt auf die Direktionen des Körperd geꝛegene ſer
Unien, eine beſtaͤndige Größe if... .

Unter dieſem Geſichtspunkt machte er daraus ER eine Art von ed
‚tem metaphyſiſchen Grundfatze, ben er bie Erhaltung ber Wuͤrkung
naunte, um ihn dem Grundfage ber kleinſten Wuͤrkung — oder
an deffen Stelle zu feßen, gleihfam als wenn unbeſtimute und willfliher‘
Mdre: Benennungen das Welen der Geſetze ber Natur ausmachten, und’ 2

einfache Refultate dev befannten Gefetze ber Mechanik durch irgend eine‘
verborgene Cigeufhaft zu Endurſachen erheben koͤnnten.

Weie dies auch ſeyn magz fo hat ber Grundfatz, wovon iegt diei
Rede ift, überhaupt bey jedem Syſteme von Koͤrpern fkatt, bie * ein ⸗·
auder auf Argend eine Weiſe wuͤrken, es ſey nun durch Faden, durch uw,
biegſame Linien, durch Anzlehungsgeſetze u. ſ. w., und bie durch gewiſſe
na einem feſten Mittelpunkte gerichtete Kräfte getrieben werben, es magı
‚ ann bas Spfleine ntweber völlig frey, ober genöthigt ſeyn, fid) um eben ı
dieſen Mittelpunkt zu bewegen. Die Summe der Produkte der Maſſen,

in die um dieſen Mittelpunkt beſchriebene und auf irgend einer a· pros
jicirte Flaͤchen, iſt allezeit ber Zeit proportional, fo daß wenn man dieſe
Flaͤchen auf drey auf einander ſenkrechte Ebenen beziehet, man brey Dif⸗
ferentialgleichungen von der erften Drbnung zwiſchen ber Zeit und ben Eoor⸗
binaten der durch bie Körper befchriebenen krummen Linien erhält, In
dieſen Gleichungen nun beſteht die Natur des eben —— ——————

Ich komme endlich auf den aten Satz, ben. ih Sag ber. kieinſten
MWürkang nach der Analogie desjenigen nenne, ben ber verftorbene Sr. -
von Maupertnis unter diefer Benennung auf bie Bahn gebracht hatte, -
und ben bie Schriften mehrerer beruͤhmten Schriftfteller nachher fo berühmt
machten. Diefer Grundſatz ig betrachtet deficht darin, daß Er

—

BR zn 193

ber Bewegung der Koͤrper, die auf einander — die Summe der

Produkte ber Maſſen in die Geſchwindigkeiten, und in bie durchlaufene

Mäume ein minimum iſt. Maupertufs leitet hieraus die Gefeße der Re⸗

flexion und Refraktion des Lichte, ‚fowte auch die des Stoßes der Koͤrper

in 2 Memoiren her, wovon das eine’ in bem Abhandlungen der Paitſet
Akademie der Wiffenfchaften auf's Jahr 1744. und das andere a Jahr

darnach in denen der Berliner Akademie erſchien.

Inzwiſchen muß man doch geſtehen, daß dieſe Anwendungen ſich zu

ſeehr auf einzelne Gegenſtaͤnde beziehen, um die Wahrheit eines allgemeis

nen Grundſatzes feſt zu feßen; auſſerdem find ſie etwas unbeſtimmt und
willkuͤhrlich, wodurch die daraus gezogenen Folgerungen nur ungewiß fuͤr
die Genauigkeit des Grundſatzes ſelbſt gemacht werden. Melner Mei⸗

nung nach wuͤrde es auch unrecht ſeyn, dieſen Satz mit den eben angefuͤhr⸗

ten zu einer Claſſe zu zaͤhlen. Es giebt aber eine Art, ihn auf eine all⸗
gemeinere und der geomeiriſchen Strenge mehr angemeſſenere Art zu be⸗
trachten, und dieſe verdienet allein die Aufmerkfamkeit der Geometer,
Die erſte Idee davon gab Hr. Euler in feiner Abhandlung de lſoperime-
tricis, die zu Lanfanne im Jahr 1744 herauskam, indem er zeigte, dag

bey den Trajektorten, bie durch Senteals Kräfte befcyrieben werben, das

Sntegral der Geſchwindigkeit multiplichrt durch dad Clement ber krum⸗

en inte allezeit ein maximum oder ein minimum macht.

Herr Zuler erfannte dieſe Eigenſchaft nur bey der Bewegung eine
zeiner Körper, ich fand aber nachher, daß fie auch bey der Bewegung ber -
Körper ſtatt finde,’ die auf irgend eine Art anf einander wuͤrken; hieraus

erwaͤchſt denn dieſer neue allgenieine Gag, daß bie Summe ber Probufte
ver Maffen.in die Integrale der Geſchwindigkeiten multiplichet mit den

Elementen der durchlaufenen Raͤume beſtaͤndig ein maximum oder mint-

num iſt.

Dies m der Grundſatz, dem ich hier wiersch uneigentlich den Nah⸗
men ber kleinſten Würkung gebe, und den ich nicht als einen metaplnfis

ſchen Grundſatz, ſondern als ein einfaches und allgemeines Reſultat der
Geſetze der Mechanik betrachte. on Nutzen, * er mir bey Aufloͤſung

meh⸗

194 — GER

mehrerer ſchwerer dynamiſcher Aufgaben.gewährt hat, Kann man int zten
Bunde ber Memoiren von Turin nachſeben. Dieſer Grundfatz ver
bunden mit dem der Erhaltung der lebendigen Kräfte, und nad den Re
gehn des Variations⸗ECEalkuls entwidelt, giebt ſogleich alle zur Aufloͤſung
jeder Aufgabe nöthigen Gleichungen, und hieraus entfteht denn eine eben
ſo ſimple ald allgemeine Methode ,. die die Bewegung ber Körper betrefs.
fende Aufgaben aufzuloͤſen, allein dieſe Methode ift nur eine Folge von
ber, die den Gegenſtand bes zweiten Theiles dieſes Werks ausmacht,

und die noch den Vorzug bat, daß fie aus den ſten Grundlehren ber
Mechanik gezogen iſt. ee

| Ameiter Abſchnitt.

Allgemeine Formel fuͤr die Bewegung eines Syſtems von
Koͤrpern, die von gewiſſen Kraͤften getrieben werden.

1) Ss bie anf ein Syftem von Körpern wuͤrkenden Kräfte den im
| erfien Theile dieſes Werks vorgetragenen Gefegen gemäß
eftellt; fo heben ſich diefe. Kräfte gegenfeitig auf, und das Syſtem
leibt im Gleichgewicht. Findet aber das Gleichgewicht nicht mehr ftattz
fo muͤſſen ſich die Körper nothiiendig bewegen, und den Würkungen der
fig treibenden Kräfte folgen. „Die Beftimmung der Bewegungen, bie durch
‚gegebene Kräfte hervorgebracht werben, if ber : egenftand biefes aten
—8*— Wir betrachten darin beſonders die beſchleunigenden oder ver⸗
zoͤgernden Kraͤfte, deren Wuͤrkung ſowie die der Schwere beſtaͤndig iſt,
umnd die jeden Augenblick eine unendlich fleine und gleiche Gefchwindigkeit
allen Theilen der Materie einzudruͤcken ſtreben. B

Wuͤrken dieſe Kräfte frey und gleichfoͤrmig; fo Bringen fie nothmens
dig Geſchwindigkeiten hervor, bie wie bie Zeiten wachfen; und man kann

⸗

—

2
cz | Ar 195
bie auf biefe Art in einer gegebenen Zeit erzeugten Geſchwindigkeiten als die
einfachſten Wuͤrkungen dieſer Arten von Kräften, und folglid- als ſolche
anfehelt, die am geſchickteſten find ihnen zum Maaſſe zu dienen. Man
maß In bei. Mechanik die fimplen Effekte der Kräfte als bekannt anneh⸗

- men, bie Kunft diefer Wiffenfchaft befteht einzig und allein darin, die zu⸗

fammengefeßten Effekte, dig von der zufammengefeßten und modificirten
Wuͤrkung eben biefer Kräfte entfichen, daraus herzuleiten.

2) Wir wollen daher antiehnen, man keune bie Geſchwindigkeit,
bie jede beſchleunigende Kraft einem beweglichen Körper einzudruͤcken im

“ Stande iſt, indem fie immer auf einerley Weiſe während einer geroiffen
eit wuͤrkt, bie wir für die Zeits Einheit annehmen wollen, und nnter bes

lesnigenden Kräften wollen wir nur eben biefe Gefchwindigleit verfichen,
Sie wird nach dem Raum gefchäßt, den ber bewegliche Körper In ber naͤm⸗
lichen Zeit durchlaufen würde, wenn fie gleihförmig fortdauerte, und man
weiß aus den Lchrfägen bes Galilaͤus, daß dieſer Raum allezeit doppelt
fo groß als der ift, den der Körper durch bie beftändige Wuͤrkung der bes
ſchleunigenden Kraft wuͤrklich durchlaufen ‚hat, ee

Sonft kann man auch eine bekannte befchleunigende Kraft zur Eins
heit annehmen, und auf fie alle andere beziehen. Man nehme alsdann
zur Einheit der Räume das geboppelte bes Raumes an, den biefelbe gleichfoͤr⸗
mig wirkende Kraft in der Zeit durchläuft, bie mau zur Zeiteinheit annimtz .
und biein dieſer Zeit durch bie befiändige Wuͤrkung derfelben Kraft erlangte

Geſchwindigkeit ift die Einheit ber Geſchwindigkeiten. Auf diefe Art find

die Kräfte, die Räume, die Zeiten und die Geſchwindigkeiten nichts als

ſimple Verhaͤltniſſe gewöhnlicher mathematifcher Groͤßen.

Nimmt man z. B. (auf eine ſehr natuͤrliche Art) die Schwere in der

| Breite von Paris für die Einheit der beſchleunigenden Kräfte an und zählt

die Zeit nach Sekunden; fo muß man 30, 196 parifer Fuß zur Einheit
der durchlaufenen Räume annehmen, weil 15,098 Fuß die Höhe if,
wovon ein ſich felbft überlaffener Körper in einer Sekunde iu eben der Breite
des Orts fällt; nnd die Einheit der Geſchwindigkeiten iſt diejenige, welche
ein ſchwerer Körper erhält, indem er von dieſer Hoͤhe fällt. |

— | BB: 3) Diefe -

v⸗

r )
396 Ä —

K’ de’ oe

—

3) Dieſe vorläufigen Begriffe vorabsgeſett wollen wir jegt ein Sy⸗

ı lem von Körpern betrachten, die irgend eine Lage in Beziehung auf einang

er haben, und durch gewifſe beſchleunigende Kräfte getrieben werben.

umb es ſeyen x, y, z bie 3 rechtwinklichten Goorbinaten, bie die abfolute

Lage deſſelben Körpers nach einer gewiffen Zeit t beſtimmen. Dieſe Coor⸗

dinaten aber nehme man mit dreyen feſten Achſen tm Raume, die ſich ſenk⸗
recht in‘ einem Punkte fhneiden, den man den Aufang der Coordinaten
nennt, parallelan. Sie drücken alddenn bie rechtwinkllchten Diſtanzen
des Koͤrpers von 3 durch eben dieſe Achſen gehenden Ebenen aus.

Weil wir dieſe Ebenen als fenfrecht auf einander angenommen haben} |

fo drircken die Coorbinaten x, y. z- bie burch den Körper durchlaufene
Raͤume aus, Indem er fih von dieſen Ebenen entfernt; folglich ſtellen

d d d
2 z — die Geſchwindigkeiten vor, die biefer Körper in einem
gewiſſen Augenblick hat, um ſich von jeder dieſer Ebenen zu entfernen.

Ueberlieſſe man nun ben Körper ſich ſelbſt; fo wuͤrden dieſe Geſchwindig⸗

keiten in den folgenden Augenblicken nach den Findamentalſatzen der Theo⸗
sie der Bewegung beſtaͤndig bleiben. |

M Es feyen jegt P, Q, R etc. die beſchleunigenden Kräfte, bie In
einerley Augenblick auf jeden. Punkt der Maſſe m nach gegebenen Direltios
nen würken d. h. die Geſchwindigkeiten, die jede diefer Kräfte der Waffe
m eindräcken würde, menn jebe insbeſondere und gleichfoͤrmig in einer

Zeit, die man zur Einheit angenommen hat, würften. Go veränberlid:

aber die Wuͤrkung biefer Kräfte fenn mag; fo kann man fie body während
eined Augenblicks als beftändig anfehen. Aber die durch die beftändigen
befchleanigenden Kräfte erzengten Geſchwindigkeiten find ber Zeit propor⸗
tional, folglich koͤnnen aud die Geſchwindigkeiten, bie bie Kräfte P,Q,
R etc. dem Körper m während des Augenblicks dt entweber wuͤrklich sins
drücken ober. doch einzudruͤcken fireben, durch Pdt, Qdt. Rde ete. auds
gebrüdt werben, und fie haben mit — Kraͤften auch denkt, ie =

> v

Es fey mbie Maſſe eines dieſer Körper, die man als einen Punkt anſteht,

kn — 197.
An fehgenben- Wageribet wird ſich alfo der Korper zagleich mit den Ge⸗

id
ſtchwindigkeiten — — =, Pdt, Odt, Rde etc. zu bewegen

ſtreben; s und wuͤrklich eine aus dieſen zuſamnengeſetzte Bewegunug anneh⸗
men, wenn er frey wuͤrde; dieſe Bewegung aber.wirb durch bie gegenſei⸗
tige Verbindung worin bie — unter einander ſtehen, veraͤnder.

d
Well nun * — Tr Aberhaupt die wirtügen —R

des Büren nach ber Zeit t ausbrüden; f6 werden: -

I dx- sdx dy ‘dy dz dz
ar, Ir ar ET Ta

de Seſchwindigkeiten nad der Zeit t + de ausbräden, | "Der Sr.
bat alfo alsdann bie Geſchwindigkeiten Pdt, Qdt, Adi etc. verlohren,
und an ihrer Stelle die — Be

An}

dx ,dy ET I
a Te Ze me

welch⸗ die Coordinaten x; y. z zu vergroͤßern ſtreben, gewonnen; oder,
welches auf eins hinauskommt, er hat bie Geſchwindigkeiten pdt, Qdt,
Räne etc. und die Seſchwindigkeſten ——

dx ':dy ‚dz
Bu ° de’

* entgegengeſetzter Richtung, b. h * Sinien x, y, 2 pi, vers _
lohren.

Die beſchlennigenden Kräfte, bie {m Stande fitd, biefe verſchiede⸗
men Seſchwinbigkeiten hervorzubringen, werben alſb andy etuander aufhe⸗
ben, ud folglich gegenſeilig fich im Gleichgewicht halten. E& wird alſo
A er wenn man annimmt, daß —

108° —
der Korper m, worans es vaſteht, er de genen"

Kraͤſte P, wen durch bie, en Kroſte de |
J — —
—— Br az a er NE Er — N,
*. * de en J— | — —
oder vielmehr ( wenn man dt = _— = Conf, ee
EEE 2 VER Pen ——
der” de’. Ba ee Se a

bie nach den Linien x, y; 2 ihre Richtungen haben, — werde. Man
ſieht aiſo daß die Gefetze det Bewegung bed Syſtems einerley m̃it denen
feines a ſi ub, wenn man nur bie neuen befiplenugenten
Kräfte | De
Er: ar 42 — — a ei
dee’ dr’ de’ | i |

deren Richtungen bie Linien x, y, 2 find, hinzuaddirt. —

‚ 5) Man kann alſo auch eine — Formel eben ſowehl fär,
- bie Vervegung finden, ald wir für's Gleichgewicht. gefunden haben,
und biefe Formel für die Bewegung, wird nichts anders als dle des
Gleichgewichts ſeyn, wenn man annimmt, daß jeder Körper m des
Syſtems zugleich durch die Kräfte mP, mQ, mK, etc. nad ben Dis
rektionen der befchleunigenden Kräfte P. v2 R, etc.;‘ wovon er eben⸗
fals getrieben wird, und durch die Kraͤfte

„Ex " day — |

Berg . de’ de |
— den. Direktionen ber Gogebinaten. xyz getrieben — Wie
wollen uns daher vorſtellen, bie. Lage der verſchiedenen Koͤrper des

Syſtems leide eine nal geringe. —— »; fo daß die Coor⸗
in 2 dinaten

MR " " . !
N = t

mn i 198
dinaten x. 0 ih vorm tan a — 2— 42, 100
Ex. dy; 4; waanälih Flein; ſudz alddaun-ficht man leſcht, dag diefe
Größen die Heinen Räume ausbrücden werben, bie der Körper m nach
den —5— x, Yy %., bdurchlaufen haben. wird; benn ſind dieſe Linien
auf Linander fenteeht? fo haͤng der eine parallel durchlanfene Raum
nur von der Barlation diefer und. keinesweges von ber andern ab. |

2 Rn a

dit Ey I de u
m — + dx, m — L dv, m — Kdz ee

d2 . ae + y dı* *F

für die Momente der Kräfte P

ine Brledig dir. i
‚Mm — a ’ Keramag a

al en dt?” de TE

ig) Man betrachte nun die beſchleunlgenden Kräfte P, Q, K, ete,
ala firebten fie nach gegebenen Mittelpunkten, und es feyen p, q, r, etc.
die "Diftanzen jedes‘ Korpers m von jedem der Mittelpunfte; ferner
feyen dp, dq. dr,'etd. die Vatiationen der Einen oder Größen p, gr
2, ert., die aus ben Varlationen dx, dy, dz ber Linien x, y. 2
entſpringen. Alsdann iſt Har, daß die Groͤßen 4p, dq, dr, ete.
zugleich die durch den Körper m nady ben Linien p, q, r, etc. durch⸗
lanfene Räume ausdräden. Tolglih werden mP+ep, mQ + dg,
mr + dr, etc. Sie Momente der Kräfte mP, mQ, mR, etc. ands--

n +

drücken; die nach eben. diefen Linlen p, q, r, etc. wirken,
Die allgemeine Formel für’d Gleichgewicht beficht aber darin,
daß die Summe der Momente aller Kräfte des Syſtens — o ſeyn
muß (1 Theil. 3 Abfon- 2 Art.); ſetzt man alfo die Summe aller
Größen — 0; fo erhät man die geſuchte Fornme

d?x d? d2z )
(y + |
"ne m (Pop rQsg + Bess etc) |
x u i - " 7)

“

7 Demet män <iß biefe Summe dukch das — ie;
u. ſich auf alle Körper des Syſtemns bezietht; N al — J—
ae

d’y ® zZ ‚4
8 Br Er de. zıy: ar: ‚2. =“ REES FREE:

— ip K3r > etc.y m — or De er, — re ae

“

für bie allgemeine Formel ber Bewegung eines gewiſſtn Softtris von

Körpern, die man als a betrachtet, Ära Die . gewiſſe beſchleu⸗
nigende Kräfte P, O5; R etc, getrieben werben." - m

-Um einen Gebrauch von dieſer Formel zu — ſo wird man die⸗
ſelben Regeln befolgen muͤſſen, als bey der Formel des Gleichgewichto;
man muß alſo bier alles anwenden, was (1 Ihr 2 Abſchu. 3 u. f.)
geſagt iſt, wenn man anmerkt, daß bie Differentialten; bie durch das Zei⸗
chen ober die Characteriſtik & in der vorhergehenden Formel mit den mit
d bezeichnezen Differentlalten in ber Formel bed Gleichgewichts uͤbereinkom⸗
men, und durch diefelben Regeln, und Sur daſſelbe Verfahren Bejikmmt

erden. . Wir wollen inskuͤnftige dieſe m it ⸗ bezeichneten, Differentlalie: |

Variationen ne nennen, um, fie van deu aubefu, beren Zeichen d u 7 un
hie’in ber nämlichen —* vorkommen/ zu unterſchaiden. letzter
druͤcken die auf einander folgenden Zu⸗ oder. Abnahmen ber —*2

Groͤßen im Verhaͤltniß mit der Zeit oder der Bewegung der Körper“ a;
während, daß die Barlatlonen ſich auf bie willführliche Veraͤnderun bejkes
hen, die mag in ber Lage der Körper während eines er 1

bringt, und bie von Ihrer wuͤrklichen Bewegung ganz unabhäng ig iſte

8) Ueberhaupt muß man den Anfang. bemit — ‚die Werthe
von dp, dq ote. indx, 4y, dæ gu ſuchen. Dies iſt fehr Jeicht, bene
nennet man ,6, e bie rechtwirklichten Coordinaten, bie. -bfe ‚Sage =
Mittelpunkts der Kräfte P beſtimmen; fo erhält men. . =. : . 3
= ra) 6 —
woraus man ziehet, wenn man My y,.2 ale veranderlich af,

R vn
» ’

- r [
— * 2
* “s
-
.

ervor⸗

rn an a —

4 - . ".
r — 801
bi ü 5 * v ’ *

ẽ
2

P p

welcher Ausdruck, wie wir fin em angeführten Orte bemerkt haben,
fich auf folgende allgemeine und von der Lage bes — der —
unabhängige Form bringen läßt (1 Th. 2 Abfchn. .

dp — Cof, ax + Cof. Bey Hr Col. v8z
(Senn man a, 8, y bie Winkel nennt, bie die Direction der Kraft P

mit ben Soorbinaten x, y, z macht) oder auch auf dieſe:

ep — finy (Cof s dx + fin s ey) + Cofy dz
wo e ber Winkel iſt, den > projicirte Direktion auf der Ebemeter x x, u

mit ber Achfe x macht *).

Eben ſo verfaͤhrt man auch mit den andern Variationen öq, dt. etc.
Auf

9 Es r hier der nämlide Fall ald (1%. a Abſchn. * bem da Col’a zn
Col? 8 + Col? vi; 6 iſt

x — 4
5

m Fils — a” + (y — 5)°]
Mer x — ⸗ — p Cola,. y-b—p0fp

u Cl

— ins

—— bolslich I(x — hie —

een =pfny
an Hoi

-
= MUCH Er Su 3
00 - ’ v
n
,
D

203 | —
Auf diefe Art venwandeln ſich die Glide + e 84: + Rır *
eto. in folgende:

Xöx + Yoy + 2223 = die Suiber X., Y, Z werben. bie

Werthe der 3 den Ahlen ber Coordiuaten x, y, 2 parallelen und allen

den Kräften P, Q, R etc. gleichwuͤrkenden Kraͤfte, wie wir (1 Theil.
5 Abſchn. 5) gezeigt haben, ſeyn. —

Siehet man nun auf die Bedingungsgleichungen, die durch die Natur

des vorgegebenen Syſtems zwiſchen den Coordinaten der verſchiedenen Koͤr⸗

‚per gegeben ſind; fo muß man die Variationen dieſer Coordinaten auf bie
Heinfte mögliche "Zahl bringen, fu daß die übrigbleibenden Variationen
voͤllig von einander unabhängig, und willkuͤhrlich find. Hierauf aber muß
man die Dumme aller Slieder, worin jede diefer letztern Variationen vor⸗
koͤmmt, = 0. feßen,, wodurd man die zur Beſtimmung ber Bewegung
des Syſtems noͤthige Gleichungen erhaͤlt.

9) Iſt das Soſtem, deſſen Vewegung man ſucht, ein ſtetiger Koͤr⸗
per und von einer unveraͤnderlichen Figur, wie die feſten Koͤrper oder von

einer veraͤnderlichen wie die biegſamen und fluͤſſigen Koͤrperz und man

bezeichnet durch m bie ganze Maſſe des Körpers, durch dm aber ein ges
wiſſes Element defjelben, d. h. ein Theilchen des Koͤrpers; ſo ſehe man
dieſen Körper als eine Menge oder als ein Spſtem von unendlich vielen
Koͤrperchen dm an, wovon jeder durch bie befchleunigenden Kräfte P,
Q, R etc. getrieben wird; man hat alsdann nur in der allgemeinen Fors
mel (7) dm anſtatt m zu feßen, und zugleich das Zeichen S, ale ein
Sntegrationgzeichen zu betrachten, das fid) auf deh ganzen Umfang des
Körpers bezieht, d. h. auf die Stellung aller feiner Theilchen während
eines Augenblicd, aber unabhängig. von ber fucceffiven Stellung jedes
Theilchens insbeſondere iſt.

10) Ueberhaupt muß man In — der Variationen PER iR

-bdaßfie fih nur auf den Raum und nicht auf die Dauer beziehen, fo daß

bey den. durch 4 bezeichneten Differentiationen, die veräuderlihe Größe t,
die die Zeit vorſtellet, — als —— angeſehen werden Tan: 6
ae kann

—

: hen —

- Zaun aber nach ben Umfländen. der Aufgabe der Fall eintreten, daß die

Bedingungsgleichungen felbft Die Zeit enthalten, in diefem Fall werden
fte fo zu fagen von einem Augenbli zum andern veränderlidy fen. Man
wiub daher einige der Coordinaten in Funktionen der andern Coordinaten,
und ber veränberlichen Größe t ausdruͤcken Eönnenz und man muß auf
bie Veränderlichkeit von t bey den mit dbezeichneten Differentiationen fes
ben, aber in den mit 2 Differentiationen t als unveraͤnderlich annehmen.

Ehen dieſe Vorausſetzung muß in Anſehung bes Integralzeichens 8
ſtatt finden, welches ſich auf den vom PER jebem Augenblick ſelbſt ein⸗
genommenen Raum beziehet.

Dritter Abfqhritt.

— aus der (haft der © Sormel hergeleitet Eigene |

chaften der Bewegung.

7) | ie wollen nun efn Syſtem von Koͤrpern betrachten, die in

irgend einem Verhaͤltniß oder Verbindung mit einander ſte⸗

hen, doch ſo daß kein feſter Punkt oder Hinderniß ihrer Bewegung eine

Veranderung geben kann; alsdenn iſt klar, daß bie Bedingungen des S⸗
ſtems ſich nur auf die reſpektive Stellung der Körper unter cinander bes

‚ziehen koͤnnen; die Bedingungsgleichungen koͤnnen folglich Feine andere
Funktionen der Coordinaten enthalten, als bie Ausbrüde bie gegenfels

tigen Diftanzen ber Körper.

Es ſeyen x% y’, 2 die kan ange gewiſſen beſtimmten Koͤr⸗
pers des Syſtems während‘ dem daß x, Y, 2 überhaupt bie Coordina⸗
ten eines andern Koͤrpers andeuten. Man ſehe⸗ welches immer geſche⸗

1 ’
-

Ba Sc2 „=

204 3
— — £, |
= yY+Nn |
2 F
fo iſt offenbar, daß. die Größen x‘, y’, z’ in ben Ausdrucken der gegen⸗
ſeitigen Diſtanzen der Koͤrper nicht vorkominen werden, ſondern daß dieſe
Diſtanzen nur von ben verſchiedenen Größen &, 7, 9, abhängen, bie eis

gentlich die Eoorbinaten ber verfchiebenen Körper | in Anfehung derjenigen,
bie zu. x’, y', 2 gehört, ausbrücen,

Setzt man alfo in der allgemeinen dema der Bewegung ſtatt dx; _
dy, dz ihre Werthe

ex dee, 9—

fo ſind dieſe Variationen dx’, 4Y, &z' von allen: andern unabhängig,
- and an und. für ſich willkuͤhrlich; man muß alfo die ganze Summe der
Gltever, worin.jebe diefer Variationen vorkümmt, insbefondere — 0
-feßen, woraus 3 allgemeine und von der Befondern Stellung des Syſtems
unagbhaͤngige Gleichungen erwachſen.

—*

2) Setzt man nun in der allgemeinen Formel (2 Abſchu. 3 an die
Stelle der Groͤße

poap Qeq + Rör Le.
wi nach ( 2-Abfchn. 8) veränderte:
xx 5 Töy + Ziz
fo wird aus biefer sand

‚dx

„ed ine

"in
-

= | — 0000000.
Werand man fogleih diefe‘ 3 allgemeinen Gletdiumgen jeht
2 s
s(z +7) m = 06
(77 +Y)2=o

s(a+ zZ) m == 0

welche allezeit Bey der Bewegung eines gewiſſen Syſtems Yon
pern ſtatt finden; wenn daſſelbe Höllig frey iſt.

3) Wir wollen jeßt den Körper, zu dem bie Coordinaten x’, yl,
a! gehören, im Mittelpunkt der Schwere bes ganzen Syſtems geſetzt
annehmen; aldbenn erhält man nach den. bekannten Gigenfchaften bier
ſes Dittelpunfıs (1 Th. 3 Abſchn. 12) die Gleichungen:

. 8ęm ao, aa 0, Sęm a 6
und bifferentiirt: man dieſe in Ruͤckſicht auf rt, fo wird daraus⸗

23 d d?
Es nm, s imma
Folglich
dꝰe x dex —

wndem * J ed einerley — J alle Körper bat, meh

don. S

€ 3 | Hof

- J — —
De |
. Auf —F Art ” mn ”
sn n(=55; Fu) Sm’ | 2
d’z d?z/ d On |
⁊

Folglich wird aus den 3 Gleichuugen (2) (wenn man bie bier
gefundenen Werthe von.

„0x. d’y. . d?z
———

Be fiat biefer Größen ſelbſt ſubſtituirt m:
day
TF = 7 $m + SXm — 0

PL |
ER a S{n—o .
z⸗ Re: | =
wersta—e F

Diefe Gleichungen nun Bienen dazu, bie Bervegung de Mittewuntts

der Schwere aller Körper unabhängig von ber befondern Bewegung jedes '

derfelben zu beſtimmen, und es tft offenbar, daß die Bewegung diefes Mits
telpurffts, nicht von der gegenfeitigen Würkung abhängt, die die Körper
auf einander ausüben koͤnnen, ſondern allein von ben beſchleunigenden
Kraͤſten die jeden Körper treiben,

Hierin befteht der allgemeine ‚Grundfaß der Erhaltung ber — |

sun des Mittelpunkts der. Schwere,
4) u⸗

‚

— * 207

95 Uebrigens fieht man, baß die. Gtleichungen für bie Bewegung
bed Mtittelpunfts der Schwere, einerley mit denen eines einzigen Körpers

. „find, der zugleich durch alle befchleunigenden Kräfte getrieben wird, wel⸗
che auf die verſchiedenen Körper des Syſtems würken.

In der That nimmt man an, daß alle biefe Körper in einem Punkte

“vereinigt find, der zu den Se x’, y’, 2’ gehoͤrt; ſo bat man fu

der allgemeinen Formel
x — x, ya y⸗ „2 = z;

| and ſetzt man die ganze Summe re Glieder, worin jede der 3 Varia⸗

tionen x“, dy’, dz! vorkoͤmmt —= 0; fo erhält man dieſelben obigen
Gleichungen.

Hieraus entſpringt dann dieſes allgemeine Theorem: bie Bewegung
des Mittelpunkts der Schwere eines freyen Syſtems von Körpern, bie
in Beziehung auf einander irgend eine Stellung haben, tft allegett einerlen,
bie Körper mögen nun entweber beftändig in einen Punkte vereinigt feyn,
ober jeder derfelben von benfelben befchleunigenden Kräften als in ae
natürlichen Zuftande getrieben werben.

5) Betrachten wir nun bie Bewegung eines gewiſſen Syſtems um

einen feſten Punkt, es mag derſelbe nun ſelbſt zum Syſtem gehören oder
nice, und nehmen wir ſogleich, wie wir (1 Theil 3 Abſchn. 5.) gethan

haben, einen Radius Vektor p mit dem Winkel 2, den diefer auf der
Ebene der Coordinaten x und y befchreibt, anftatt biefer Coordinaten
ſelbſt an, indem wir bie 3te-Coorbinate z ſenkrecht auf biefe beiden beibes
halten; fo erhält man auf dieſe Art:
— pCof 9%, y==p fin ®
und, wenn man bifferentifrt
IX Colt, — - yd9
ey — fin. 9 dp + xdQ..
Es fey P! der Werth des Winfeld Q für-einen gewiſſen beRtmmnten
Körper des: Suftens, und es fey ferner für jeden der andern Körper

Es = « + y;fo kann man wie am a6: D, erweiſen / daß wein das Syh⸗
fteın

308 i ——

ſtem die Freyheit hat, füch um Me Achſe der x zu. drehen, bie Variationen
— Winkels 9/ muabhängig von allen andern veränberlichen Größen ſeyn
i m ei.

In diefem Falle muß die ganze Summe ber lieber, "worin 10.

vorkommt, in der allgemeinen Formel des Gleichgewichts insbeſondere o _

ſeyn. Dies giebt eine allgemeine uud von der befondern Stellung des Sys
ſtems unabhängige Gleichung. Um nun diefe Gleichung zu erhalten; fg
iſt klar, daß man nur bie Größen — y dp’ und xd 9’ an bie Stelle -von
&x und 4y in ber obigen allgemeinen Formel (2) zu feßen, und eine bes ,
fondere Gleichung zu machen hat, worin bie Glieder, barin u ein Fak⸗
tor ift, nidyt mehr vorkommen.

6) Diefe Gleichung tft alfo

(I — + tum

und fie findet Kberhanpt bey jedem Syſteme ſtatt, wenn baſſelbe d die Frey⸗
bat, ſich um eine feſte Linie zu drehen, die ben Coordinaten z. zur

fe dient. Da aber, was bey einer der 3 Achfen der Coordinaten flatt
Aindet, ebenfald bey jeder der. beiden andern flatt finden Tann; fo

- finder man auf eine ähnliche Art in Unfehung der Achſe der Coordinaten

J — = Syſtem die Freyheit hat, ſich um biefe zu drehen,
e Gle ja
27 - 3
s(x G-:1n+ 12: m=o

Endlich erhält man in Anfehung ber a der Coordinaten x, wenn

man annimmt, daß das Syſtem bie Freyhel habe fi um dieſe Achſe zu
dreben, die Gleichung: -

d?z d’y UT Y
Ya—ızaty — 2 —

Dieſe 3 Gleichungen werden alſo zugleich ftatt finden, wenn das
Syſtem bie Freyheit bet, ſich um jede ber. 3 Achſen zu bewegen, —
i

—

⸗

—

1
| |
—
| 209

jederzeit, wenn das Syſtem «ine ſolche Stellung hat, ba es frey nach
allen Richtungen um den feſten Punkt ſich drehen kann, der der Anfang

der Coordinaten iſt; denn! wir haben (1 Theil 3 Abſchn. 7.) geſehen,

daß jede Umdrehungsbewegung um einen feſten Punkt jederzeit ſich in 3

— um 3 Achſen, die durch Bien Punkt sche, fi zerlegen laffe.

Um fich eine klarere Idee von dieſen SGleichangen mäden zu koͤnnen;

7 merke man erſtlich an; daß bie Größen

k xdy — yd'x, xd?z — zd’x, yü, — zd?y

nichts anders als die Differentialien von
xdy — ydx, xde — zdx, ydı — zdy :

find, welche das geboppelte ber Elementar⸗ Zirkel⸗Ausſchnitte ausdruͤt⸗

Ten, welche durch ben Körper m auf den Ebenen der x, y, ber x, z,
und der y, zb. h. auf den auf den Achfen ben z, y und x fenkrechten
Ebenen befchrieben werden; denn fubftitutrt man in xdy — ydı flatt
x und y bie Werthe pColp, pfinY; fo bekommt man p?d 9, meldyes
- Daß zweifa he der zwiſchen dem Radius Vektor p und dem darauf folgenden
Radius, der mit jenem den Elementar» Winkel do macht, Aa

Flaͤchen iſt.

Zweytens bemerke man, daß bie Größen X,. Y, Z die Rrfte,vors
ftellen, die jeden Körper m nach den Richtungen der Coordinaten x, y, Z
treiben, und die von allen Kräften P,Q, R etc, Alan 8), bie nach ges
wi ſen Direftionen auf biefen Körper würfen (2
dieſe Art alyo bie en

xY — yX, U : a } *
€ er

xL — ıX, E Be:

yZ — — zY_ x ...- — —— *

die Momente der Kraͤfte vorſtellen P bie ben Körper u um jede ber. 3. Ads |

fen 6 — X, yı 2 zu — Be wenn man ind ee
08

bſchu. 8), und daß e

—

-
.

210%
len den gewähnlidsen Bedentung annimmt, wind für rs

ult Der Kraft in die auf ihre Richtung gezogenen ſenkrechten Linie.
7) Würkten feige befchleunigenbe Kräfte auf das Syſtem ober wär

ten nur gewiffe Kräfte darauf, bie alle nad) dem Punkt ihre Richtung:

hätten, den wir für den Anfang der Coordinaten angenommen haben ;
alödenn wuͤrden bie Größen xY — yX, xZı — zX, yE— xıY=o
fehn. Deun im erftern Falle wären bie Größen an ſich ſchon — 0, und

im zweiten wären biefe Größen won ber Form n 7, =.
(2 Abſchn. 8); wenn man P bie Kraft nennt, die ihre Richtung nad)
. tem Mittelpunkt bat, und die Coordinaten a, b, ce —= o feßt, weil

wir angenommen haben, daß ber Mittelpunkt ber Kräfte in den Anfang.

der Eovrdinaten fällt. | .
Die 3 Gleichungen (6) werben hieburch

ö R d?y - d2 x
36% p)a=me nr
s ( d? z BR. | mr i
X LT Ta)ame —
d* z —
6 re Se

Integrirt man biefe In Ruͤckſicht auf die veränderliche Grdfe rt; fo. erhält
man, wenn man A, B, CT ald 3 beftändige Größen annimmt:

— vd
| xdz — di
s( dt

s (. ar 7, and n

⸗

—

— — Far

| Diefelegteren Gleichungen aufhalten augenſcheinlich den Grundfaß von
| ben Flaͤchen, wovon wir im erſten Ulfchnitt geredet bahen. |
\ 8) Iſt das Syſtem frey, d. b. tft kein Punkt faſt; fo kann man
bdeſn Anfang ber Coorbinaten x; y, z überall annehmen, wo man will,
bie Eigenſchaften ber Flächen und Momente, die wir eben erwieſen has
| -ben, werben alſo in dieſem Falle in Unfebung eines ‚geroiffen in Raume
Ä nach Willlühr angenommenen feſten Punkts flatt finden. Ich will aber
Ä ieegtt erweifen, baß fie ebenfald in Ruͤckſicht auf den Mittelpunkt ver
i — des ganzen Syſtems ſtatt finden, es mag :diefer nun feſt ſeyn
| -.. oder nicht. ' ns 2

| | Mau hat zu diefem Zwecke ‚nur die Groͤßen
Di: (1)
in den 3 Gleichungen für — zZ. (6) zu ſubſtituiren, Indem man, wie
f

(3), die Soordinaten x‘, y’,.z/ ſich auf den Miitelpunkt der Schwere
. bes Syſtems beziehen laͤßt. e

Durtch dieſe Subflitntionen wird bie erſte der erwähnten Gleichun⸗ |

‚gen ſogleich: |
dꝛ ER 2 ENG Bu |
| (x — — 5 =) $m »L — yo
d?: tE d? y⸗ da x⸗ |

ale) de Ä

\ d’ 2 da x! |
coder ee Sm re Sm A.
p
J dae. y⸗ da £! —
MESSER u ! — 4
x — Sm , ie ur |

212. en

"x/SYm — y’SXm 4 SEYm — SyXm = =o
BR ka Sm 4 ln 0
BE - Sm+ stm] — o
Auſſerdem ders x — X, — y = m).
Die m. a. wird alfo in folgende znfaimmiengejogen:
di £-
s(Z or * 4 er — X)Y

und auf gleiche Art verwandlen ſich die beipen ‚andern ——— * in
dieſe:

de '£
eg Gem — — JY
s (
d?, Ä i
nn: sfr — a 77 nn). m=m .

- Dan J daß dieſe 3 Gleichungen (ſowobl unter einander als auch
M.) denen (6) ähnlich find, und daß der Unterſchled von diefen nur.

darid befieht, dag anftatt ber Coorbinaten x, y,2z z bie von einem feften

Punkte ausgehen, man bie Coordinaten &, 7, L- hat, deren Anfaug im
Mittelpunkt dee Schwere bes Syſtems iſt. Hieraus folgt, daß in Anfe⸗
hung dieſes Mittelpunfts diefelben — Kant finden, a in Anſe⸗

— des feſten Punkts ſtatt fanden.

—

⸗ en — ne 9)

———— — —— —
F = m
’

— A ne I —

Ba * ee. | » 213

9) Ueberhaupt ift klar, was. auch bie verfchiedenen Körper bes Sy⸗

ſtems für eine Sage haben, und in welcher Verbindung fie unter einander

fiehen mögen, daß man, wenn diefe Lage nur-nicht von bes Zeit- abhuͤu⸗

- gig ift, d. h. wenn die Bedingungsgleihungen zwiſchen den Coordinaten

nicht bie veränberlidhe Größe t enthalten, allegeit bie Variationen dx, dy,
dz den Differentialien dx, dy, dz, welde bie würflichen durch bie Koͤr⸗
per im Augenblick de Durchlaufenen Räume ausbrüden, indeſſen jene ges
wiſſe Raͤume bezeichnen, die die Körper In demſelben Augenblick mit Ruͤckſicht
auf ihre gegenſeitige Sage durchlaufen koͤnnten, gleich ſeßen Faun. Dies

iſt aber nur eine befonbere Vorausfeßung, bie baher auch nur eine einzige
Gleichung geben kann; indeß bringt fie ben Vortheil, daß, da fie Yon ber

Form bes Syftems abhängt, man ſogleich eine allgemeine Gleichung für
die Bewegung eined jeden Syſtems erhält, |

- Gubflituiren wir daher In-ber allgemeinen Formel (2 Abſchn. 7.)
an die Stelle von dx, dy, dz bie gewöhnlichen Differentialien dx, dy,
dz und folglih auch an bie Stelle ver dp, dq, dr, etc. die correfpons
direnden Differentiglien dp, dq, dr, etc.; fo erhält man: en

dxd?x + dyd?y + dzd?z

Kae
= .
er zn + Pdp ..Qdg Rdr + etc, Im=o

dı?
welches bie allgemeine Gleichung für jebes Syſtem Yon Körpern iſt.
F 10 Iſt die Größe Pdp * Qdg + Rdr >} etc, integrabel, wel⸗

ches allezeit flatt findet, wenn bie befchleunigenden. Kräfte nach feſten
fra m oder auf bie Körper des Syſtems felbft würfen, und ges

wiffen Funktionen der Ötflanzen proportional: Aub, welches In Sr Natur
eigentlich, der all, iflz und neunt man_baher. TI das Integrale diefer
Größe; fo daß dII == Pdp -+-Qdg + Rdr; fo.serwandelt fid) die vor

hergehende Gleichung in folgende: —
dxdaↄx - dydeꝰy 4 daꝛda--2
(ET £an]o—o
— ee °
= ‚B3 * velche

zes
welche Miegriet get F
xe + dzꝛ⸗
8 —— — ») m — —

wo F eine gewiſſe willkuͤhrliche baftänbige Größe bedeutet, welche in nem
gewiſſen gegebenen Augenblicke dem Werth des erſten Glieds gleich iſt.

Dieſe Ietere Gleichung, fließt den unter dem Nahmen ber Erhal⸗
tung der lebendigen Kräfte bekannten Grundſatz in ſich. Denn wenn
de? + dy? -+ dı° das Quadrat des vom eh in ber Zei dt bare

& „dx? rd dz®
Tnfenen Raumes tt; fo iſt * — bas Quadrat ſelner Ge

2 dx? ++ d. d *
eu 7 en —) m bie lebendige Kfz

dx? u d d
gina S Dr = =] m de Summe ber

aller Körper , vder bie lebendige Kraft des ganzen n Syftems; und — J
fieht aus der vorigen Gleichung, daß dieſe lebendige Kraft — af —
2871m iſt, welche Groͤtze allein von den beſchleunigenden Kraͤften ab
die auf die Körper wuͤrken, und bie naͤmliche bleibt, bie Körper mögen
nun frey ‚cher auf irgend eine Art uüt- einander vetburden ſeyn, wenn
nur dieſe Verbindung feine Weränderung mit ber. Zeit erleidet,

17) Nennen wir u bie Geſchwindigkeit des Koͤrpers un; fo it

er + dy? + dat
dı?

woburd) bie vorhergehende Gleichung Bigfe Schalt. anskmurt:

Diffe⸗

SEE - nn 278

Drffeventlirt man diefe mir Ruͤckficht auf das Zeihen 9 fo bat man.

[a + er m = 0

Aber II A eine‘ enbliche Senftiom der gerfinberfihen Größen p, q,
r, etc., fo da

un = Pdp FR. .Qdg * Rdr + etk. (ro),

| woraus folgt, daß man durch die RER De Butt di: kauf.

bat: .
onMPTèp -r Qdg + Röc + ete;

j folgtic) hat man auch —

8Sludu + Pop + QgrRrteio-o
und daher (wenn man usu hinäber bringt M.): E
S[Psp +Qig. + Ri + et]Jm = — Sudu pm

und biefe Gleichung wird immer ſtatt finden, wem ur Pdp: + Qdg
* Rdr ++ etc. eine integrable Größe tft, und die Berbindung ber Körper

unter einander nicht von ber Zeit abhaͤngt. Aber aufhören wuͤrde fe wahr
zu ſeyn, wenn eine biefer Bebingungen nicht flatt fände,

19) Man ſabſtituixe jeßg den vorhergehenden Werth in die allge⸗

meine Formel (2 Abſchn. = wodurch dieſe wird:

a⸗ X |
a:[7 — ——

Aber — +-dyey-r-dzie> Ildxsy + Ayaz
dad) — dxddx — dydey.— dzddz.

r
}

.. u

\ ; 2 . \

[4 wi . E : A ; :
316 . y— :
= D .. vw. -

Weil nun bie Zeichen d und d Differentialin und Variationen ans.

deuten ‚die ganz und gar nicht von einander abhängig find; fo iſt leicht zu
Gegreifen , bag dex, dey, ddz einerley mit ddx, ddy, ddz fen muß,
wie wir ſchon (1 Theil 4 Abſchn. 16.) angemerkt haben. e

Webrigens ſieht man leicht, daß j

Axddx + dysdy + dzdde = 4 (dx® > dy? +- d22)

Man hat alſo auch ee En

daxex + d’ysy +d’z0z = d.(dxdx --dyey + dz8z)
-- d. (dee + dy®-r- dz)
Es ſey nun s der Raum ober der durch den Körper m in ber Zeit t

schene Erummlinichte Bogen; alsdenn hat man -
u a r [dx° 4 dy? + * | i |

d
u = Flle

ae xe m d’yay or d’rde nid, (dxdx 4 dyay + dei) —

| ‚ dsdds; .

und (menn man mit de? überall dividirt und nur beim Teßten‘ (liebe
\ % J ds? . — zu ; —
Aabdus ſtatt de? feinen Werth fe, MI) |...

5 dx de y
— tr a IF —
ie u nn zer wsds

Sub⸗

de . 1. (dxdx 4 dysy + dzdz) |

S[dxex +4 d

un j — | 217
Subſtituirt man nun biefen Werth in ber allgemeinen Gleichung (A) ;
fo erhält mans | —
d. (d Ay⸗ J
s| (dxedx za d2ıdz) u ade _ oa ]n—e
.dı? ds

ober wenn man alle Glieber mit de -— multiplicirt und anmerkt, bag

| udds + dsdu = &, (uds):

'Pd.(dxex # dyey + dze
[ge — ® (uds) ] m = o.

Aber das Integrationszeichen 8 hat weiter keine Beziehung auf bie
Differentialzeihen d und &, man kann biefe alſo auch vor jenes feßen,
hiedurch erhält denn die vorhergehende Gleichung folgende Geftalt:

d.S(dxdx + dysy + dzsz) m
dt
Integriren wir nun in Beziehung auf das Zeichen d, und bes

— 4. 5muds — 0.

zeichnen wir biefe Integration durch das gewöhnliche Zeichen F; fo ers

balten wir: - | |
ydy -+- dzedz]m
de |
Das Zeichen I in dem Ausdruck fd, Smuds aber kann ſich nur auf

die veränderlichen Größen u und s bezichen, ohne Rüdficht auf die Zei⸗
hen S und 8, diefer Ausdruck muß alfo — 4. Smfuds feyn. .

— ſo. Smuds — Conft.

Nimmt man nun an, daß in ben Punkten, wo die Integrallen ſud⸗
hren Anfang nehmen; man dx == 0, dy—=o, dz == olatz fo muß
Die willführliche beftänbige Größe er o feyn, indem das erfle -_

BT ag — e | er

*
F N; : »
21 s —
8
v

2 Steigung In biefen Punkten — =—o wird. Dan bat at in diefenm
alles .

8. Smfude —

8 (dxex En äyey + datzym
de |

Nimmt man alfo an, bie Variationen dx, dy, dz feyen in-den Punks
ten, wo bie Sntegralien (uds ihr Ende haben, = 0; fo erhält man
"6. Smfuds= 0; d. h, bie Variation der Größe Smfuds wird =o
ſeyn, diefe Größe muß alfo entweder ein maximnn oder ein minimum
feyn. Ä | | |

13) Hieraus entfteht denn diefes allgemeine XTiheorem: Bey der
‚Bewegung eined gemiffen Syſtems von Körpern, bie durch -gegenfeitige
Anziehungsträfte oder durdy Kräfte, bie nach gewiſſen feften Punkten
wuͤrken, und gewiflen Funktionen der Diftanzen propertivnal find, getries -
ben werben, find bie Durch bie verfchlebenem Körper befchriebenen Frunmmen
Linien und ihre Gefchwindigkeiten fo befchaffen, daß bie Summe der Pros
dukte jeder Mafle in das Sntegrale ber Geſchwindigkeit multiplicirt mit
dem Element der krummen Linie ein maxin.um oder minimum iſt, je nach⸗
dem man bie erften ober leßten Punkte jeder krummen Linie ald gegeben
anfieht, fo daß die Variationen der zu diefen Punkten gehörigen Coordi⸗
naten = ofeyen, Dies iſt das Theorem, wovon wir .am Ende des
erſten Abſchnitts rebeten, und bem wir den — des un ber klein⸗
ſten Wuͤrkung beylegten, |

Dies Xheorem aber enthält nicht. allein. eine fehr merfmürbige
Eigenfchaft der Bewegung ber Körper, fondern ed Tann auch dazu
dienen, biefe Bewegung zu beſtimmen. Denn ba bie SormelSmfuds
ein maximum oder ein miuimum ſeyn maß; fo hat man nur nad
der Barlationsmethode die Bedingungen aufzuſuchen, die fie dazu mas
hen Finnen. Wendet man alfo die allgemeine Gleihung ber Erhals
tung ber lebendigen Kräfte an; fo findet man allezeit alle zur Er⸗
kenntniß der Bewegung jebes Körpers nöthigen Gleichungen. Denn:
die aan muß — 0 ſeyn, ober man . &, Smfuds =

j ei,

indem d — Pdp + Qdg + Rdr + ete.;

‚4 verwandelt. Diefe Größe Smldsdu erhaͤlt aljo biefe Form

+ 1

— .. 219

ven, wenn man ein maximum ober ein minimum erhalten will, Ver⸗

fährt man alfo wie oben, jebod) auf eine umgekehrte Art; fo Findet
man wieber.diefelbe allgemeine Formel, wovon man andgrgangen war.

14) Damit man fogleich fehe, woranf ed bey biefer Methode

ankomme; fo wollen wir fie in wenigen Morten vortragen. Die Bes

Dingung des maximum ober minimum giebt allgemein - 7
2. Smfuds = 0

und bringt man das. Zeichen 3 unter bie Zeichen s und [ ( welches nach *

Natur dieſer verſchiedenen Zeichen offenbar erlaubt iſt); fo die man - ⸗

die Gleichung:

Smf3(uds) — o ober vielmehr
- Smf(dsdu ++ udds) — 0.
Ich betrachte nun zuerft den Thal Smfd du; ſetze ich darin
für ds, deſſen Werth udt; fo wirder
Smfudude

und wenn ich nun bie Ordnung ber Zeichen S und S, welche
unabhaͤngig von einander ſind, veraͤndere; ſo bat man

- — SdıeSsmusu
Die allgemeine Steidung bed Grundfages der lebendigen —

—

aber giebt (11)

Sum — 2F— 258. IIm,

bifferentlirt man alfo nach d; fo erhält man .
Sudsum — — Sellm | |
— — S(Pep + Qdg Ror Re) m.

‚indem. TI al8 eine algebraifche Funktion von p, q, r, etc, ankenommen .
worden ift, und daher ITI mit dII einerley ik, wenn man nur d in

—

Ee _ —

220

—— + Qsg + Röı »r etc.) m, - |

Ich betrachte hierauf den andern Theil Smf udds; und ſubſti⸗
tuire darin anſtatt ds deſſen Werth, durch rechtwinklichte Coordinaten
oder durch gewiſſe andere veraͤnderliche Größen ausgedruͤckt. Will
man ſich nun der ae eaochiinten X, »5. z bedienen; fo
bat man fogleih : |

d- v(dx2 + dy? + 422)
bifferentiirt man alfo nad 0; fo bat man
dxedx + dyddy + dzedz

ds |
ober wenn man bie Zeichen d, d verfeßt and de anftatt dd —
(welches wegen ber Unabhängigkeit biefer Zeichen Bon einander nad)

dem erſten LE des Variations⸗ ⸗Calkuls —— geſchehen
N kann):

| dxd dyd dzd
de — x er a. 2 er

eds =

| Subſliturt man alſo dieſen Werth, und ſetzt dt fatt = — fh hat |

dxd# dyd
man fugds — ET. er Da fih hier

unter ben Zeichen T bie Differentiafien der Variationen dx, dy, dz
befinden; fo muß man ‚fie durch das bekannte Verfahren ber partiels
len Jutegrationen zum verfchwinden bringen, und hierin befteht der ate
Be ber Methode ber Variationen, Dian verwan elt daher

die Groͤße ed —— in biefe; — ba ii if;

dx de.
— Fri

Get

Ä eine einfade Art *

% _ ..

z
— - 8331
*

Sept man num, es ſeyen bie beiden Glieber der krummen Eine
gegeben, jo daß bie Coorbinaten, die. zum Anfang und zum Ende bes
Integrals Pur keine Veranderung leiden z fo erhält man *

u zu — un
de‘

Er
Ehen fo. findet man - /
\ PF "dydey — dy Bi
—— J —
- „dzdoz- F J Be
— — d. F
| and f * 2 ey
wodurch die vorige — = in biefe (C) — wird:
dz
dt

Verſetzt man alfo, mie bie Immer geſchehen kann bie Beiden
S und S; fo wird die Größe _

d
. (© fazds — — (12 5 — sh * 4 hd. ⸗

Smfuddı — — — — ya — — )s
Die Gleichung des maximum ober minimum wird daber

s(ars[ Pop * Qdg * Ker * «] m rk

s[”. 4 —* 24 E) 2d. lajue

welche Überhaupt für alle mögliche Warlationen ſtatt findetz; «3 muß:
daher die Größe unter dem Zeichen F in jedem Augenblick — 0 fon
wodurch man folgende unbeſtimmte Gleichung erhaͤlt:
Ee 3 — dıS .

—

222 — —

a ‚deSlBöp Qrg + Ride + et.) m +

erde dy dz
5 (dxd,—- u Yyd, — ep dad. —
5 ( 20. 7, 17 —— mm
welche mit ber allgemeinen Formel ber Bewegung (1 Abfchn. 7.)
eineriey iſt, und folglich auch wie biefe alle zur Auflöfung ber la
nöthigen Gleichungen geben wird.

15) Anſtatt der Coordinaten x, Y, 2 kann man ſich gewiſſer ande⸗
rer unbeſtimmter Groͤßen bedienen und alles kommt darauf an, das Ele⸗
ment des Bogens ds durch eine Function dieſer unbeſtimmten Größen -
auszubrüden. Man nehme daher z. B ben Rabius ober bie geradlintchte
Eatfernung vom Anfang der Coordinaten, bie man p nennen kann, nebft
2 Winkeln, wovon der eine „die Neigung biefed Radius auf der Ebene
der x und y andeute, der anbere.aber 9 der Winkel der Projektion eben
diefed Radius auf biefer Ebene mit der Achſe der x ſey; hiedurch ers
hält manz

z—rlyy=r Cof y fin Q, x = sCofy Coſ ꝙ
woraus man denn findet |

ds? — dx” u. dy* 2. dz2

dt + (Ay? + Coly?.dp?)

welchen Ausdruck man aud direkte durch bie Geometrie finden koͤnnte.

| Differentlirt man baher nach d und ändert dd inde ums; fo erhält
man |

ds d ds en ddp, np [dy? + Coly? dg] %
9 lkiy dev — finy Coly dp? sy
Cofy? dp d8p);

—

— d —
ober, wenn man nit de = — dividirt und Integrirt

— 223

Er — _ — + — Cofꝓ⸗ 9) 72

— 42 (dvdov — ſin — dp? 2y * Cofy? 10 —
dt‘

Nun bringe man die doppelten Zeichen dd unter dem — ſzum

Verſchwinden durch partielle Integrationen, und werfe ſogleich die Glie⸗

der weg, bie bie Variationen auſſerhalb des Zeichens I enthalten, denn
alsdenn müffen diefe Bartationen ſich auf die Enden bes Integrals bezies
hen, und durch bie Vorausſetzung, daß bie erfien und legten Punkte der
durch bie Körper befchriebenen krummen Linien gegeben und unveräubers
Ih feyen, — 5 werben. Hiedurch nn fi a bie vorherge⸗
hende Steihung in diefe:

— f de Fr — |

fe? kay Col dp? Prdyn — do.)
+( Ge + u dt )*8 dt - ie)
folglich iſt die Gleichnng des maximum oder minimum :

— [[dtS (Pop + Qdq 4 Ridr + etc) m

dp dp? 4 Colys dee. —
83 — um ee A "I. 7
dt — F

es Aue rar Clyde: ꝛ HaaeTz: u 2

u;
Re I 39] a ]=«

- Set man nun die Größe, die ter = Zeichen f ift = 05 fo
erhält man eine unbeſtimmte Gleichung ‚-. bie ber des vorhergehenden Ar⸗
tikels — iſt; aber anſtatt der Varlationen dx, J ez bie Varia⸗

tio⸗

—

224

tionen dp, 89, db enthält. Bringt man nun zuerſt alle Variationen
auf die Eleinfte mögliche Zahl und. macht hierauf befondere Gleichungen,
wovon jede eine ber übrigen Variationen enthält; ſo erkält man hieraus
die zur Auflöfung der Aufgabe noͤthigen Gleichungen.

Wendet man andere unbeftimmte Größen an; fo erhält man aud
verſchiedene Formeln; aber man kann Davon verfichert ſeyn, in jebem
Falle die einfschften Gleichungen gefunden zu haben, die aus der Natur -
der unbeftimmten Größen nur fliefen Finnen. Dan febe hierüber ben
sten Band ber Schriften ber Zuriner Akademie *). | J

*) Hr. de la Grange hat bier pag Hi eine neue Methode bekannt gemacht _
- die ınaxima und minima der unbeſtimmten Integralformein zu beflimmen,
nachdem Hr. Euler In feinem befannten Traftate, den er unter dem Zitelt
Methodus inveniendi lineas curvas maximi minmive proprietate gaudentex
five ſolutio problematis ifoperi metrici latıfimo fenfu accepti im Fahr 1744
herausgegeben bat, vergeblich verfücht hatte die Sache fo einfach zu mas
en, ald man zu erwarten berechtiget war. Hr. de la range Abhandlung
führt den Titel: Fſſai d’une nouvelle mechode pour determiner les maxima
et les minima des formules integrales iudefinies, Er legte hierin zuerfl den
Grand zur Bariationdrechnung, bie in der Folge noch von -vielen andern
Analpſten vervollomnet und erweitert wurde. In einer 2ten Abhandlung, -
welche als eine Kolge der vorhergehenden zu betrachten ift, indem fie die
Anwendung der in der vorigen gelehrten Methoden zeigt: App'icat:on de la
methode préêcé ſente à la folution de differens probläines de Dynamique.
Mifcellanee T'aurinenf. Tom. Il. p. 395, bedienet er fich derfelben Methode
als hier im zen Abſchnitt, nur Daß die Bedingungen verfchieden fine. Hr.
de la Grange verweiſt den, dem um mehreres In Anfehung dickes Gegen⸗
ſtandes zu than ift, auf diefe feine (dom vor mehr ald 28 fahren von ihm
befanntgemachte Abhandlung. Liebhaber tieffirmiger analytifcher Berech⸗
ungen werden auch hier Die Entwicklung von mehr als so hefonderen Räls
fen ſehen, und wiewohl bisweilen mie Mühe doch aber zuletzt mit Veranüs,
gen mutbig dem aroßen Analpſten in feinen Schlüffen folaen Ueberbaupt
enthäle dieſer Band der Abhandlungen der Furiner Geſellſchaft eınen reis
— — uns — RR Hg und Hr. de Ba
Grang tärfe n arffinn In Auflöfung marhematifher Aufgaben
blickt uͤderall hervor. 1a .
m,

"N
EEE
“

Pier

u Zu = 225

a ö Bierter Abſchnitt. —— | —
Die einfachſte Methode zu den Gleichungen zu gelangen, die die
Bewegung eines gewiſſen Syſtems von Körpern beftimmen, die
durch gewiſſe beſchleunigende Kräfte getrieben werden,

— —
— — —

1) Nı allgemeine Formel, "worauf wir im aten Wofchnitt die gange .
Theorie ber Dynamik gebradyt haben, braucht jeßt. nur noch entwickelt zu
werden , wenn man bie zur Auflöfang irgend euer Aufgabe diefer Wifs
ſenſchaft nöthigen Gleichungen erhalten will. Diefe Entwidelung, melde
durch puren‘ Calkul geſchieht, kann aufferdem aber noch in mehrerm Be⸗
tracht durch Methoden bewerkſtelligt werden, zu deren Erzaͤhlung wir den
"gegenwärtigen Abſchnitt beſtimmt haben. ern

: Da alles darauf anfommt, bie verſchiedenen veränderlichen Größen,
die in dag vorgegebenen Formel vorkommen, verinittelft der durch Die Na⸗
tur jeder Aufgabe gegebenen Bedingungsgleichungen auf die möglichfl.Bleinfte
Anzahl zu bringen; fo. hat ınan vor allen Dingen an die Stelle biefer vers

aͤndetlichen Größen Funktionen Von andern veränberlicgen Größen zu feßen.
Dies iſt durch die gemöhnlichen Methoden allezeit Leicht zu bewerfftelligen,
wir wollen aber noch eine befondere Urt lehren, hier auch mit Ruͤckſicht auf
die vorgegebene Formel ein Genüge zu leiften, welche noch auſſervem den .
Vorzug hat, daß fie allezeit Direkte fie auf die einfachfte Form bringt,

2) Diefe Formel befteht aus 2 verfchtebenen Theilen, die man ein⸗
zeln betrachten muß. Der erſtere enthält die Gliede
42x de y dz 8 > |

RT I
welche allein von ben aus ber Trägheit der Körper entſtehenden Kräften
herkommt. | F |
Se | Ff Der

Der andere Theit beſteht aus den Stieberm = u |
Ss. (Kap + Qdq 4 Rdr + etc.) m; | =
die zu: den beſchleunigenden Kräften P,Q,R etc. gehöre, bie man als -

‚auf jeben Koͤrper nach ber Linien p, q, E ete. mwürlend ana, uud
"Be biefe Linien zu vermindern ſtreben.

Den erſtern Theit will id mehrerer: Eieet willen mit r, den
aten mit A bezeichnen , fo daß man —
rA—0
dles iſt alfe- die allgemeine Formet ber Bewegung (2 Abſchn. .

‚.. ZH) Betrachter wir: nun zuerft bie Größe
dex dx dry ey + de z. dz:
‚fe tft Mor, daß, wenn man. dazu bie Größe
dxddx +. dydey + dzdea .
abbirt, die Summe integrabel iſt. Sie hat: naͤmlich zum Jutegrale
| dx dx dy ey da dz

Folglich hat man, |
— +-4y ey + dezez =äldxeör ndyey-pdeen)
— dxdex — dy dey —. dz.d£z.

Wir haben aber ſchon oben ( 3 Abſchn. i2)- angemerft,. daß das
— Zeichen: dd. mit &d einerley iſt; auf diefe Art. wird alſo die:

dxdex + dydey 4 dzddz auf. die Form
dxsdx + dysdy + dzedz gebracht, ober.
ER NER | =;

- Fe *

— eG Free

Me u

“

— | 227

Wien hat aihe haeſe Nebnkuene

dıx?x + d’ydy ++ ———— d. Kdxtz 4 —
RN IR + üy: ar diz2 Jy
woraus man wicht, bag um die vorgegebene Groͤße — J
dysy-+ de242 zu berechnen, man nur dieſe beiden Groͤßen zu bes _ -
rechnen hat, die nur Differentialien von ber erfien. Ordnung dxex
dyey-r dzdz, Az - dy? - de2 enthalten, ———— En
nach d, die andere nach⸗ zu differentliren {ch |

D Gefest nun, aan hätte Hatt’der veränberliäen Groͤßen x. y, *
gegebene Funktionen Yon andern veränberlichen Größen £, xy, Pete. zu
fubftituiren. Man differentiire diefe Funktionen, wohurd man Ausdrücke

von folgender Form bekoͤmmt:

dx == Ad£.. BdyY. + CdQ vie ·

Ay; — AardE u BAy + Tdo +

dz =——"AdE + Buddy a ClldQ su ec,
worin A, A’, A, B, B etc, befannte Funktionen eben diefer veränbers
lichen Größen E, Ys 9 etc. find, und die Werthe von dx, sy, dz
werben auf gleiche Art BR werben — wenn man nur. in 8
verwandelt. |

| man dieſe Subflitattonen In der Be Axdx &
oe — 282; ſo erhaͤlt fie folgende Form:
Fadsr 4 G(däiy Ay) Hiyıy

+ I(ld23o m dad) 2 en

wo F, G. H, T'etc, endliche Funktionen von &, Y, 9 etc. 7%

Verwandelt man.alfo in d; fo erhält man ben Werth von dr? 4
Ay 4. 42”, welcher ſeyn wird? —
Fd& »+ 2 Gdfdy ++ Hd er a ir ee,

— Bra Diffe⸗

-
*
—
22 u - - _ ;
+.
⸗

| Differentiirt ı man os a die erftere * beiden — ſo erhaͤlt
man das Differentiale:
(Fade): + IE FdgdsE.. + 3 1648) * Pr
dlGdy) rn dE + Gdidiy + Gdydde
+ d.(Hdy) .. dv + Hdydoy ei
Differentiirt man hierauf nach d; fo erhält man dieſe:
order + a FdEddE 2 2 dGdkdy 2 3 GdyddE
4 „Gdsddy + ’Hdy?. 4 a Hdyddy..r ete.

Ziehet man daher bie Hälfte dieſes Ießtern Differentiald von ber ni

fern ab, und bemerkt, baß dd mit dd einerley find; fo erhält man: - '
d. (FdE) m dE — 2 dd m d.lGdE) m dy |
>+ d.(Gdy) ++ fr —ı oat av * à (Hdy) + "N
2: dHdy ete.
für den Bett der gefuchten Größe: :
d’xex su d2ydy + d?zdz.

Dan fieht aber leicht, daß biefer Werth ans bein — Differen⸗

tiale ſogleich hergeleitet werden kann, wenn man alle Glieder mit 2 divi⸗
dirt, die Zeichen derer veraͤndert, bie das geboppelte dA vor ſich haben,

. atıb d nad) d wegbringt, um es vor. diejenigen Größen zu feßen, bie bie

mit dd bezeichneten doppelten Differentinlien multipliciren. Das Glied

FA giebt alſo — Add,
das Glled aFdERHE s ss d.(FdE) a 08,
das Glied »dGdEdy » 5 5 en |
bas Glied aGdyddE s 5 4. (64v) rn dE u. ſ. ,

[3
er |

5) Bezeichnet man alfo mit «die Guätten vonf;y 9 ‚od. und -

d£, day, d@ ete., worin ſich die Größe 4 (dx? + ir ++ dz?) vers
* — Wwan⸗

stal 3a und buch 57

wandelt, wenn. man- die Werthe von x. y, inẽ, v ⸗ ete. fubfti
tuirtz fo erhält man allgemein z ”.

R F
ER EHE Cart) 27

(7. +55) (5 en #7) *

ete.,
wo, wie ges, * der Eoefficient von — in dein Differen⸗

6) Was man hier eben durch die — Detkode gefunben hats
Iätte eben fo einfach und noch allgenteiner: durch die ai der: Dies
Shoe der Variationen gefunden werben koͤnuen.

Denn es ſey « eine gewiſſe Sunftion von x, y, z, etc. dx, dy, dz,;
d?x, d?y, d?z, etc. erc. und fie werde eine Funktion Yon &, V, Q, etc,
de, dy, do etc., d?E, d?y, d?Setc, etc. durch die Subftitution der
Werthe von x, y, 2, etc. in &, %, 9, etc. ausgebräcdt; bifferentiirt man

nun nah 2; fo erhält man folgende Gleichung, die unt vorhergehen⸗

den einerley iſt: |
dx 7
da — 2dx Kine. J
ds ) + 2 —— dd — a te a
da
+ — du oe 0 dd ————
— „gdz &
£ z ; 5 —— 249
etc, — —8
sis I

"ber — von adE in cben ia Diffes
wentlaf u. ſ. w. aubgedruͤckt wird. |

— | " 229

—

= a — —— — — —

2) nn

er, Fr, |

& 3a du ö
+ ——— rrailäärre

2 T
Se u dde 4 — — + we

*
etc,

Man verwandle bie doppelten Zeichen dd, a, etc, indd, d?2, etc.

- Nie mit jenen einerley find, und integrire mit Raͤcſich auf d —
bringe man durch partielle Integrationen alle doppelten Zeichen dd, d?9,
etc. weg, bie fich unter dem Zeichen [ befinden, und ſich auf das Differens
tialxichen u beziehen, wodurch man eine Gleichung von dieſer Form

By rc ten

iv . S(AdE >r A en + 4

a N ‘a WER ä du PR .
ne — — (m —
wer: dx 5* ddex >
da pi en
—— — — d. 4, Ges BEER “
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GuEEEEEEN [7 2 —
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4 77
= Rn — 7 da
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⸗

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294 =

— | 33%
e: in | a da j j Eee
en J !
— d etc. .
2 (Z@ are) ze 10x dir4 Ä

dd C
(7 5* + re Ydy y+ a
de:

— den etc, ern en
— etc,
Be — d. we = Tr er ö
d | d
ni wi urage —

*65- 5* —— Were.

Differentiirt man nun wieder dom neuem; fo erhält man: x dur, bie
Werfehungen. ber. Glieder : ei
Adx. Bdy =» Cdz »K etc, — NIE Big Clip — ei

| — dZ' — dZ; J

welche Gleichung iſt ibentiſch und ſtatt finden: muß, wie auch Nie mit d bon
. zeichneten: Variationen: ober. Differentialien. beſchaffen ſeyn mög

| Weil nun bie ate Hälfte diefer Gleichung ein vollkommepes Differ
rential: in. Anfehung. des Zeichens d ift, fo muß auch pie erffe Hälfte in:
Anfehung eben: dieſes Zeichens, „und: ——— vom Bien, ein: volls:

konz -

838 — Ä
kommenes Differential feyn; dies ift aber unmoͤglich, — die Glieber
dieſer erſten Haͤlfte nnr die Variationen dx, Y, 7 ete. IE, EU, er.
und gar nicht bie Differentialien dieſer Variatlonen enthalten. Damit alſo
die Gleichung dennoch deftehen koͤnne; fo muͤſſen nothwendig beide Hälfe
ten, jede in&hefonbere = =o fen, dies — ” biefe beiden ie
Gleichungen? Wr
Adx u Bdy -Cdz or etc — VoR + 2* — fi
ca; Cop + etc u F
— =

welhe bey verſchiedenen Gelegenheiten von Nugen feyn Finnen.

Es ſey z⸗ B. & — er + > + d2°?); ß u.
dm dx

= 0 == d zu
Br ST nie 0, etc.

= uud eben fo verhält. es ſich mit den andern ahnlichen — Han bet
daher (wenn man biefe EN ————

A — — dex .
3— — ey
c—=—dı

| und da « nur Differentiatten von der eften Beta enthält; fo bat: —
ae fehr einfachen Öleihungen — |

— du Y%
A REDE Bl — 5
F ddE |
J un, de: 7 F By Aa
B =, —X e ddp’ j
— a

Man

x — | s h ö *
Man hat alſo die identiſche gung :
— dex dx — — — d?23z — —B
& & & | |
Tees + (7: der pen

bie ui ber (5) übereinfiimmt. ü
Hieraus folgt, daß um ben Werth der GrögeT Gi in einen Funk⸗

tion von, V. 9, etc. auszudruͤcken, man nur ben Werth der Größe

3 2 Ay? dz?
8 dx? -+ dy? 42 X
2 dı?

in einer Funktion von &, 9, 9, etc. und Ihrer. Differentialien autzubräh
ten hat. Denn nennt man dieſe Funktion T; fo erhält man ſogleich:

— (a — =): 14 (A m)“ 2

. mo sT
— * .5 ap + et

d9 sp

Diefe Verwandlung finde auch — auf gleiche Art alsdann —
wenn ſich auch bey den neuen — Groͤßen die Zeit t: befände,
- wenn man ſi e nur als beftändig anfieht, d. b wenn man dt — 0 machte

Uebrigens iſt gut zu bemerken, dag, wenn ber Ausdruck von T ehr
Glied dA enthält, das ein volllommenes Differential einer Funktlon iR,
worin eine der veränberlichen Größen wie £ nur unter einer endlichen Form
erfcheint, diefes Glied in dem Werthe von T in Bezug auf ur Be
— Groͤße — giebt. Denn feßt man |

KT | 7

234 —— —

— —
⸗

Hieraus folgt, daß wenn der Ausdruck von T ein lies von der
Form BdA enthieite, wo A eine Funktion von £. I, ete. ohne d£, und _
B eine gewiſſe Funktion von £ iſt, dieſes Glied in bem Werthe von Fin.

Anfehung der Variation von & das Glied dB - gäbe. Denn giebt
man dem Gliede BdA bie Form | —
r & (BA) — AdB

fo fieht man fogleih, daß das Glied d. (BA) nichts in Ruͤckſicht auf Die
veraͤnderliche Größe E geben wird, weil AB £ ohne d& enthält; ——
x . Er * B

= —
“

— F 235

dB weberẽ u d£E und A £ ohne d£ enthaͤlt; fo er man, daß, wenn
man T— — AdB macht; RER | Ä

‘T s
BE ——
IT ch u:

der —— von 2£ in T verwandelt ſich alſo in! 7 An,

8) Was nun die Größe A (2) betrifft; fo ift es leicht , fie in Funk⸗
Honen von E, PF, O, etc. auszubrücen, weil man nur einzeln die Yuss -
druͤckungen der Diftanzen p, q, r.etc. und ber Kräfte P,Q, R,etc. darin
einzuführen braucht. Noch leichter aber wird dies Verfahren, wenn "die
Kräfte fo — ſind, daß die Summe der Momente, d. h. die Groͤße
Pdp »+ Qdgq Rdr ++ etc, integrabel iſt, welches, wie wir ſchon

“oben (3 Abſch. 10,) bemerkt haben, eigentlich be Fall in der Natur iſt.

Dein ſetzen wir, wie am a. O.
dn == Pdp + Qdg -+ Rdr ete.;
fo hat man Edurch eine endliche Funktion von pı g.r, etz. ausgebruͤckt,

man hat folglich auch:

—n— Pdp ++ Qig + Rör -r etc.
und A== S!IIm == 8, STIm
indem das Zeichen 8 unabhängig vom Zeichen 4 ifl.

Dan bat alfo nur den Merth der Größe SIIm In einer Funktion

von &, 9, 9, etc. zu ſuchen, welches ˖ nur die Subftitution ber Werthe

von x,y, z in Z, %, 9 In den Ausbrücen von p, q, etc. (2 Abſchn. 8.)
erfobert. Nennen wir nun biefen Werth von STIım vs fo hat man fos

gleich: | |
| u Gg 4 en A

236 _

J eV |

9) Auf biefe Art —— die algemeine Foemel der Bene ; "

*4 o (2) in folgende:
zot Yiy a Pdip rei = 0

3T _4T av

Ed — ET RE... 2

. IT IT eV. — —
sT 0647 eV
U am d — 1d9 "4%
eEte.
wenn mar T —s (7, — m,
V= Sun, Ä

ud IT Pdp + Qdg + Rdc I et. fie ®-

Nimmt man alfo bey der Wahl der neuen veraͤnderlichen Größen
£,Y, 9 etc. auf die durch die Natur -des vorgefeßten Syſtems gegebene
ee Ruͤckſicht, fo daß biefe veränberlihen Größen völs
lig von einander unabhängig find, und thre Varlationen dE, dp, dp etc.

folglich völlig unbeftimmt bleiben; fo bat man fogleich 'biefe .. ©

Gleichungen:
2=0,VY=0,6=0 ee.

welche dazu dienen werben, bie Bewegung des Softems zu beftimmen, |

indem ihre Anzahl der der veränperlichen Größen £&. F. O. etc., wovon bie
Stellung des Sppens in — RR abhängt, gleich iſt.

F Ohn⸗

⸗

- wxxoxs | 237

Ohnerachtet man aber‘ allezeit bie Aufgabe auf biefen Iuftand-bringen _
- kann, indem man nur vermittelft der Bebingungsgleichängen fobiel vers

änderliche Größen wegzufchaffen,, als es gefchehen kann, und hernach ftatt
k, v. O etc. bleübrtggebliebenen veränderlichen Größen zu nehmen braucht
fo ann es doch Fälle geben, wo diefe Methode nur allzu beſchwerlich iſt;
und wo es vortheilhaft iſt, um nicht in einen zu ſehr verwickelten Calkal
zu gerathen, eine größere Anzahl van veränberlichen Größen beyzubehal⸗
ten. Man muß alsdann bie Bedingungsgleihungen, denen man noch
nicht genug gethan hat, dazu anwenden, in der allgemeinen Formel einige
. der Variationen IE, dy erc. wegzuſchaffen; aber flatt ber wuͤrklichen
Wegſchaffung wird es einfacher feyn, die (x Theil 4 Abſchn.) vorgetras

gene Methode anzuwenden, Wa Ze

10) Es fenen daher wie (1 Theil 4, Abſchn. 3.) L= 0,M=o
N= o, etc bie gefuhten Gleichungen auf Funktionen von &, Y, @ etc.
gebracht, ſo daß L, M, N etc. gegebenen Funktionen biefer verönderlis
hen Größen feyen. Man addire zur erften Hälfte der allgemeinen Gleis
hung (9) die Sröße Ad L . adM + vdN + etc. worin A, a,
etc, unbeſtimmte Coefftcienten find; alsdenn kann man die Variationen
‘eg, dy, dp etc. als unabhängig und willführlich betrachten.

i Auf diefe Art erhält man bie allgemeine Steihung:
BE V. 0IO + et + AdLıp RIM pr vdN
sp etc. = 0

deren Wahrheit unabhängig von den Variationen IE, dp, dd etc. gen
pruͤft werben muß, wodurch man folgende befonbere Gleichungen erhält:

| eL d‘M EN
24 — — se — cetc. = 0,
er
7 a Zu Er 2 I
are tat
‘9 sp OR, ⸗ ER

z | 93 Schafft

⸗
-
’
⸗
24
J * «
* ⸗ — ‘ -
2* —
⸗
mn — ee — —

238 | EEE u | —

Schafft man hieraus die unbekannten Größen Am, # etc. weg; fo bleis,

ben bie zur Aufloͤſung der Aufgaben noͤthigen Gleichungen uͤbrig. |

Uebrigend laſſen ſich über bie verſchledenen Glieder a sL, 'udM etc.

. denen (1 Th. 4 Abſchn. 7) bereits angeftellten ähnliche Bemerkungen mas
hen, und ähnliche Folgerungen daraus herleiten.

Es hindert aufferdem nichts, daß die Bedingungsgleichungen L=o,

M = 0, etc. nicht andy bie veraͤnderliche Größe t, welche bie Zeit ausdruͤckt,

enthalte, nur mußte man fie alsdenn als beftänbig bey ber ————
nach ⸗ anſehen, wie wir ſchon oben angemerkt haben.

11) Ben Anwendung biefer Methode Kann man, wenn man wi,
die urfpränglichen veränderlihen Größen x, y, z bepbebalten, wenn man
nur auf alle durch die Natur des Syſtems zwifchen biefen veränderlichen
Größen gegebenen Bebingungsgleichungen Acht hat. Denn man hatalabenn
que erften Hälfte ber allgemeinen Formel (2 Abſchn. 7) nur die Größe
AdL M ++ vöN + etc, hinzu zn addiren, ufb die Gleichung biers
auf in Anſehung jeber der zu den verſchiedenen Körpern bes Syſtems ges
hörigen Variationen wahr zu machen.

⸗

Hiedurch enthaͤlt man für rn Körper m 3 Gleichungen von dieſer

Form: (2 Abſchn. 8)

— — ———
de dx AxX .
“L iM “N

(+ Y) m+ — dy 44 dy fe 75 4 etc, —

‘M ‘N J
— —— ach: 37 re et m;

f daß die ganze Zahl der Gleichungen 3 mal ſo groß ſeyn wird als die
er Koͤrper.

5 Hier⸗

ſchwinden am Ende des Calkuls von ſelbſt.

m | 239

Hierauf nenn bie undeſflimmten Groͤßen A, 2,.u etc. wegſchaffen,
deren Zahl der Zahl der Bedingungägleichnugen Lo, Mo,
N == 0, etc, gleich iſt, wodurch die Zahl ber gefundenen Gleichungen um.
eben fo viel vermindert wird. Addirt man aber bazu bie Bedingungs⸗
gleichungen felbft; fo erhält ınan von neuem fo viele Gleichungen als. vers
aͤnderliche Größen find, | -

12) Diefe Methode IR alddenn befonders har Mutzen, wenn bas

.. vorgegebene Syſtem aus einer unendlichen Menge von Theilchen oder Ele⸗

menten beſteht, deren Vereinigung mit einander eine endliche Maſſe von
einer veraͤnderlichen Figur bildet, Wlan wendet alsdenn eine ber (1 Theil
4 Abſchn. 9 1. fe) vorgetragenen ähnliche Analyfis an; aber anflatt bes
Zeichens d, deſſen wir und a. a. D. bedienet haben, ums die Differentias
lien den veränderlichen Größen in Ruͤckſicht auf die verſchiedenen Elemente

des Syſtems zu beftimmen, ift e8 hier vortheilhafter, Gebrauch von einem
neuen Beiden D zu machen, um bad andere Zeichen d

zu bem Behuf anzus -
wenden, wozu wir ed ſchon oben beftimmt haben. - un

Man erhält alfo auf diefe Art 3. Sorten von Differentialien, die uns

abhängig ven einander find, die einen ſind durch d bezeichnet, und beziehen.

fich anf das Integralzeichen ſ. und fie gehören nur zu den durch jeben Körper
ober Element bed Syſtemo beſchriebenen krummen Linien; bie andern mit
D bezeichneten aber beziehen fich auf das Integralzeichen S, und gehören.
zu den verſchiedenen Slementen des Syſtems, und zu der Stellung biefer

Elemente unter einander während eines Augenblicks; was endlich die Dife

ferentialien, oder Variationen, deren Zeichen d iſt, aulangt, B* hass"
fie fi einzia_ und allein auf die a Te yänder or wovon
annimmt, daß fie fid) bey der Stellung de tems ereigne, und ver⸗

13) Es ſey daher Dim die Maſſe jedes Elements des Softems;

| -fe mug man in den Werthen von T und A (2) und folgtich auch in benen.

von T und V (9) Dim antie Gtelle der m feßen, und hierauf zur erſten
Hälfte der allgemeinen Formel U -+- A o die Glieder abbiren, Die zu
den verſchiedenen Bedingungsgleichungen gehören. Diefe Gleichungen =

2 7 ne } n⸗

—

210 —

Bönnen von zweyerley Art ſeyn, entweder nehmlich unbeſtimmt, und als⸗
denn gehören fie auf einerley Weiſe zu allen Elementen des Syſtems,

ober beftimmt, two fie denn nur zu einigen dieſer Elemente gehören. Es

ſeyen daher L == 0, M —= 0, cc. die VBebingungsgleihungen von

der erflern Art, alsdenn hat man die Größen L, M, etc. durch Funktios

nen der Coordinaten x, Y, 2, und ihrer. Differentialien nach D ausge⸗

druͤckt, naͤmlich Dx, Dy, Dz, Dx?, Dy2, etc. und ba nur 3 veraͤn⸗

derliche Groͤßen nehmlich x, y, z vorhanden find; fo iſt klar, daß bie
Zahl der Gleichungen zwifchen biefen veränberlihen Größen ſich hoͤchſtens

_ uf drey belaufen kann. Nimmt man daher bie unbeflimmten Eoefficiens

ten A,..n, etc. an; fo erhält man in Unfehung jedes Elements des Sy⸗
ſtems bie Glieder AdL -- aeM + etc, melde zur allgemeinen Formel
binzusbdirt werben müffen. Die ganze Summe ber hinzuzuabbirenden
— wird alſo durch S(AdL .£ „dM 2 ztc.) ausgedrückt werden

14) Bezeichnen wir nun durch A =0,Bß=0,C=6, etc die

beflimmten Bedingungsgleichungen; fo werben die Größen A, B, C, etc.
ebenfald Funktionen der Coordinaten und ihrer Differentialien nach D jes

doch nur fuͤr beſtimmte Punkte des Syſtems ſeyn. Wir wollen dieſe

Coordinaten durch ein oder mehrere Striche bezeichnen, und beſon⸗
ders durch einen Strich alle Größen andeuten, bie ſich auf die Punkte bes
ziehen, two das durch das Zeichen S angedechge Integral anfängt, durch 2

- Striche aber- diejenigen, bie fi auf die Punkte beziehen, wo eben dies

utegral aufhört, und durch 3 oder mehrere diejenigen, die ſich auf andere
ante, Punkte bes Syſtems beziehen, anzeigen. |

Die Werthe vun n, », ©, au weruen aid In Funktionen von x°,

y,z, xyz, xl, yit ec; Dx', Dyt,-Dz‘, Dx“, Dy‘ etc,
gegeben feyn, und folglich wird man wegen ber Bebingungsgleihungen
A=0,B= o,etc. die Glieder «JA u AdB rn yiC ı etc zur
‚allgemeinen formel zu adbiren haben, wenn man für «, 8, y etc. neue
anbeftimmte Goefficienten annimmt,

15) Man

| — ⸗ 241
15) Man bekommt aſ⸗ für die Bewegung des Soyſtems folgenbe
allgemeine me. Ä
ae 2
860 4 a +: 4)Dm
Tr Ss lPip + Qig + Rdr - etc) Din
"Oo S(AdL mr adM ete.)
adA + B4B „u Yic et
melde ftatt finden muß, wie audy-die Differentfalien ober Variationen dx,
dy, 2. dx!, dy', etc. beſchaffen ſeyn moͤgen.

Diefe Gleichung iſt völlig denjenigen analog, bie man bermittelft der.
Methode der Variationen für die Beflimmung der maxiına und minima

F der Integralformeln findet, und man muß fie auch nach einerley Regeln

behandeln. Man fehe was wir hierüber ſchon (ı Theil 4 Abſchn. 160 u, f.)
geſagt gaben.

16) Alles kommt darauf an, die — durch ID, Da etc. ans
gebeuteten Differentialien unter dem Zeichen S zum Verſchwinden zu brins
gen. Es fey 3. B. das Glied SNIDx, man verwandle fogleih ID in
DJ, und integrire theilmeife in Beziehung auf das Zeichen D, weldes
zum Zeichen S gehört. Completirt man nun das Jutegrale; fo hat man
ash (1)

SQIDx = Nidxt — Ads! — Six DN.

Ehen fo findet man, wenn man in Besiehung auf D fo oft ale mögtig
integrirt:
SQoDax = —R — Dany — 2 Dix
4 DO dx! u SdX D’ NL mff
' Durch ähnliche Reduktionen bringt man daher die allgemeine ae |
. dung (15) auf biefe Form:
S(Eex Yıyır dd) 2=o
Pie — Ah wor⸗

—

242 Ir u

werinT, W, © Kauktionen vor x, y; *. —* Dy, Dz, D*x, etc. fo wie
von A, m etc, DA, Da etc. find, und mo T auf verſchiedenen Gliedern
befteht, ‘wovon jedes eine ber Variationen Ix', Ay’, dz’, dx’, ete. ober
ihrer Differentialien Dex’, D’ex! etc, enthält,

. Man feße hierauf jede ber Seöfen,. worin verſchiedene —
vorkommen, eben ſo als wenn alle dieſe Variationen voͤllig unabhängig
von einander und wilkuͤhrlich wären = o, ai. man ſogleich — 3 uns
beflimmten Gleichungen

Z=0,%7=0,%=0

für alle Elemente des Syſtems erhält, Aufferdem aber zieh jedes Glied
der Größe Z eine beitimmte und auf beflimmte Punkte des Syſtems
fi beziehende Gleichung. Wermittelft biefer verſchiedenen Gleichungen
bringt man den bie unbeflimmten Größen A, m, etc. ©, 8, y etc. weg;
“nerbindet man nan bie hieraus entfpringenden Gleihutgen mit den Wer
dingungsgleichungen R

Des Mole

—

A— 0, ==0,C==0, et.

‘fo erhäft man in jedem Falle eine volftänbige — Das —*
veſchiehet alle durch bloſſen Calkul.

| Fünf

. Eänfter Abſchnitt. | u
‚ Auflöfung verfchiedener Aufgaben der Dynamik.

5 Wi haben (1 Theil 5 Abſchü.) die Aufloͤſung mehrerer Aufgaben

über bas Gleichgewicht ber Körper gegeben. Nichts iſt Leichter als bie
fuͤr's Sleichgewicht gefundenen Formeln auf die Bewegung eben biefer Koͤr⸗

per anzuwenden ; beumn nad) dem, was wir (2 Abſchn. 4) erwieſen haben,

d2x d?’y d’z
de’ de’ de’
zen Richtungen die Linien x, y, z find, wenn man t bie verfloffene Zeit

nennet, und dt — Confl. annimmt, zu ben Kräften zu a bie
nach der Vorausſetzung auf jeben Körper wuͤrken.

Man hat alſo bey den Aufgaben, wo X, Y, Z bie abfolnten Kräfte .
bezeichnen, die ben Körper m, ben man als einen Punkt betrachtet, nad
ben Eoordinaten x,“ y, z ziehen, an bie Stelle diefer Kräfte bie Kräfte

bat man nur bie neuen beſchleunigenden Kraͤfte

dı?
bey dem .auf “jeden. der Körper bes Syſtems toärkenden Kraͤften zu
— ven. Aber bey Aufgaben, wo man mit auf die Maſſe der Körper
Räcdfiht ninimt, und wo X, Y, Z nur die Kräfte ausdrüden, bie auf
jeden Punkt der endlichen Maſſe m wuͤrken, welde vo. au ben beſchleu⸗
nigenden Keaſten — hat man ee — X, die Größen -
dꝰ x

er 53 Vor a j 2.4 i su ſabſtituiren 1. f. ſ.

| d?x d? d?z
Ki Yrmsz 2 + m gu feßen, und

Auf dieſe Art gelangt man durch bie fürs nbdenen
En fogleich zu benen ber a: ä und bie — —

-
-

77 ee ur :
Zuftänden forscht in der Ruhe als in der Bewegung werben auf einerley,
Art aufgelößt.. Im Fall der Bewegung erfobern zwar. bie Gleichungen,
indem fie Differentialien Yon der 2ten Ordnung in ſich enthalten, befons
dere Integrationen mit Rücficht auf die verfchiedenen veränberlichen Groͤ⸗
fen t, x, y» z, x‘, y’, ete.; aber bie weitere Entwidelung 'gehört blos .
ber Sntegralvechnung zu; und bie Dynamil hat alles gethan, was man
von ihr zu erwarten beredhtiget war, indem fie die Fundamentalgleichnu⸗
gen verfchafft. | z

Da Inzwifcgen. diefe Gleichungen verſchiedene mehr oder weniger eius
fache Formen haben Tönnen, bie befonders mehr oder weniger zur Inte⸗
gration gefchicht find; fo iſt es nicht gleichgültig unter welcher Form fie zus
exit erfcheinen; ja es ift vielleicht einer der Hauptoorzäge unferer Methobe,
allezeit die Gleichungen jeder Aufgabe unter der einfachften Form in Anſe⸗
hung ber veränderlihen Größen barzuftellen, bie man dabey anwendet,
und dazu in den Stand zu feßen vorher zu beurtheilen, welches bie veräns
berlichen Größen feyen, deren Anwendung die Integration am meiften er⸗
Teichtert. F —

Wir wollen in diefer Hinſicht einige allgemeine Grundſaͤtze aufſtel⸗
Yen, deren Gebrauch man iy ber Folge bey Aufloͤſung verſchiedener Aufe
gaben ſehen wird: ——

2) Aus den im vorhergehenden Abſchnitte gegebenen ormeln erhel⸗
let, daß die Differentialglieder der Gleichungen fuͤr die Bewegung eines
gewiſſen Syſtems don Körpern allein von der Größe T herkommen, die

dx? dv2 ® Da ee
a m in Unfehung ber verſchiede⸗
nen Körper ausdruͤckt. Jede erbliche veraͤnderliche Groͤe wie £, bie im

. . JdT .:
dem Ausdruck von T vorkommt, giebt das Glied — FE und-jebenene

die Summe aller

j | T
änderliche Differentialgröße, wie dE giebt das Glieb d. —— ; man

d
ed
file

- alfor

— | | 245

ſteht alfo hieraus, dag bie genannten Glleber Feine andere Fuukttolien der
veraͤnderlichen Größen enthalten Binnen als diejenigen, die im Ansdruck
T.vorkommen; bebienet man ſich alfo ber Sinus und Coſinus der Wins
kel, welcher Gedanke fi fo natürlich bey Auflöfung mehrerer Aufgaken
barbietet; fo geſchieht es, daß bie Sinus und Eofinus aus ber Funktion
T verſchwinden; alddenn enthält fie nichts weiter als die Differentinlien:
biefer Winkel, und die genannten Glieder enthalten auch nur dieſe Diffe⸗
rentialien, Man bat alfo allezeit für bie Einfachheit: ber Gleichungen ber,
Aufgabe etwas zu gewinnen, wenn man von biefen Arten yon Subſtitu⸗
tionen Gebrauch macht.

Bediente man ſich alfo anftgtt der beiden Coordinaten, x, y bed Ras
dius Weltord 2, den man vom Mittelpunkte ebem. biefer Coordinaten ges,

führt hat, und der. it der Achſe der x ben. Winkel @ macht; alddanın

erhält man x = p Col 9, y— pfinY und wenn man differentürt
dx — Colpdp — p finpdp, dy= fin pda -+ pColpdp;
folgtih dx? + dy? = dp! ⸗ꝛ dooꝰ: welcher fehr einfache Aus⸗
druck weder Sinus nody Coſinus von 9 enthält, fondern allein deſſen Dif⸗
ferential dQ. Die Groͤße dx? -:dy?. “+ d2? verwandelt ſich alſo auf
diefe Urt in.odp? m dp? m death. te te

Statt des p und z Ünnte man auch einen nenen Radius Vektor x’
mit dem Winkel y fubftitutren, den biefer. Radius mit p, welcher feine
— ift, macht; dies gäbe p — 1 Col Y, 2 —=1r fin % folgli

Pe + ddr? # r?dy?; fodaß die Größe dx? + dy* + dz
ſich verwanbelte in ? (Col y? dp? + dy?) + dı?. Hier ift Har, daß

r der Radius, der vom Mittelpunkte der Codrbinaten zu dem Punkte des

Raumes gezogen tft, wo ber Körper m fich befindet, ſeyn wird, aber |
die Neigung dieſes Radius zur Ebene ber x und y und 9 ber Winkel der
Projektion eben dieſes Radius anf berfelben Ebene der x if; man bat

x = rColy Col,
y=1rColyfng,

z =rlny

*
vr ® 2
9 * *

Hh 3 | Man

Maxdðkaun aber. enbiih ſich anderer Subſtitutionen nach Gefallen!
bedienen, und beſteht dad Syſtem aus mehrern Koͤrpern, fo kann man
fie ſegleich auf einander durch relative Coordinaten beziehen; die Umſtaͤnde
jeder Aufgabe /werden allezelt die geſchickteſten dazu anzeigen. Man kann
auch, wenn man nach einer Subſtitution eine oder mehrere Gleichungen
der Aufgabe gefunden hat, die andern durch andere Subſtitutionen erhal⸗
ten, welches von neuem Mittel an die Hand geben wird, dieſe Gleichun⸗
gen unter venfchlebenen Geſtalten darzuſtellen und ſolche zu finden, die am
einfahren und. leichteften koͤnnen integrirt werden. u

3) Die andern Glieder der Gleichungen ber Bewegung hängen von
Sen beſchleunigenden Kräften ab, bie man auf die Körper würkend ſich
Sorftellt, und Yon den-WBedingungsgleihungen, die zwiſchen den auf die
er ber Körper im Raume ſich beziehenden veränberlichen Größen
ſtatt finden, £ Bu |

Wuͤrken die Kräfte P,Q,R, etc. nad) feften Mittelpunkten oder auf
Körper deffelben Spflemp, und find fe gewiffen Funktionen der Diftanzen
proportional, wie das ıärklich in der · Natur flatt findet; fo wird bie
Größe V, bie die Summe der Größen: - ©... —

m [(Pdp +4 Qdg 4Rdr. nee)

Di alle Körper m des Syſtenis ausdrückt, eine algebralſche Funktion der.
iſtanzen ſeyn, und für jede veraͤnderliche Größe, &, woraus ſie zuſam⸗
RA a ee I 2 | Ä
‚mengefeßt iſt, ein endliches Glied von der Zorn Tuben,
Ehenfo geben die Bedingungsgleichungen L = M = 6: —

fuͤr dieſelbe veruͤnderliche Groͤße £ die Glieder ur en

LPT 5. ro Pe
— X Ir we

.
M .

. ee

- e #0 “

4 —
4

—8 eM Be
Tr * 77 u. ſ. f.

Man

ee | 247
"Man bat alfo nur zum Werth von V bie Groͤßene à L, M, eis.

zu abdiren, indem man A, u, etc. * den —— 4. ‚ald ber
fländige Größen annimmt. i Da

- Kommen daher einige der veränberlichen Größen, bieſch i der Fank⸗
tion T befinden, weder in V noch in L, M, etc. vor; fo enthalten. die
zu dieſen veränberlichen Größen gehörigen Gleichungen nur Differentials
glieder in fi, und die Sutegration wirb um fo leichter von Hatten gehen,
befonders wenn biefe veränderlichen Größen ſich in T nur unter ber Diffes
tialform befinden, Die findet alsdenn flatt, wenn bie Körper nad Mits
telpuntten gezogen werben, und man die Diflenzen Yon dieſen Mittels
punkten und die um fie beſchriebene Winkel zu Coordinaten nimmt.

4) Der Grundſatz der Erhaltung der lebendigen Kraͤfte giebt aber
eine Integration, welche allezeit ſtatt findet, wenn bie Kräfte Funktionen
der Diftanzen find, und die Funktionen T, V, L,M, etc, Dig enbliche vers
"änderliche Größe e nicht in fich ſchlieſſen. Ohnerachtet wir ſchon gezeigt
haben, wie biefer Grundſatz aus unferer allgemeinen Formel der Dgna⸗
mil hergeleitet wird (3 Abſchn. 10.); fo wird ed dennoch nicht unnüug
fepn, zu zeigen, daß die befondern aus diefer Formel hergeleiteten Gleis
Hungen eine Integralgteihung geben, welde biejenige der Erhaltung dee
lebendigen Kräfte il.

* Da jede diefer — von der *
7T

are win tr terre

iſt; ſo it klar, daß, wenn man fie durch bie reſpektiven —

d£ etc, multipucirt/ fie addirt und ſich erinnert, daß die Größen T, V.
LM, etc, (per hyp ulgebraifihe Yarsötianen IE PIE On:
. etc, ohnet find, man folgende Mleichung ats :-

(4 —J -7) d2 + etc. æ dV ädL —D— 0

Pd
52

| Aaber. ML=40,M= 0, etc. bie —— find; ſo hat

an ‚auch allgemein dL='o, dM = 0, etc,; bie ——— Glei⸗
chung verwandelt ſich alſo leicht in dieſe:

am) d£ x etc. + — (4)

2 I — .
ee ir cn (Ea)- ni ; u

und T iſt eine algebraifäe Funktion der veraͤnderlichen Größen £ etc. a
ihrer Differentialien d& etc. ohne t;: man hat daher

oT 47
= — d? 3
J — — FT Ad |

acerh bie Steigung Ce) ſich in folgende (4) verwandelt:
Ya (a de + etc.) — 4T + dV=o (0)

welche offenbar integzabel iſt. Antegrirt man alfo; fo erhält manı
seT *
Tag‘: > etc. —1 + Y=.Conf, (Y).
? dx? dy@ 2 _ 5 F
Da nm Tæ8 Ct) m; fo ficht man leicht,

daß, was ran auch für veränderliche Groͤßen für » x,y,2 fubftfihtet, die
daraus entſtehende Funktion allezeit homogen und In Unfebung Ber Diffe⸗
xehtialiem.ätefer veränderlichen. Sroͤßen von 2, Anmenfjore: rm wird,
Man erhält alfo nad) dem. bvᷣekgunten Theoren

— 8 Ah 5 T 4 Re -. = : ” J ER
— ae si ee
72 14 Das

.
.
—ð

- “
ER * * £ R *
a 24
5 ' 9
-

‚Bas gefundene Integral wird Alf (wert inan in ( r öiefen Werth

eT
don — dE + ete. ſubſtuunt, N.) ſeyn: Tor v = Confl., wels

ddE

de Gleihung den Grundfag der Erhatiung der sag Sri |

63 Abſchn. 10.) enthaͤlt.
Wäre die Sröfe v keine chhebenthe Funbton; 4 eo wäre aid nicht

eV
dv.= — d& + ete.; und enthielten bie Groten T, L, M, etc, au

die eränberliche Größe t; fo entlelten auch ihre Differentinlien dT, dL,
dM, etc. bie Glieder.

— — IT: 1. 31 EN :
Ba, , Er dt, Mare 3.

ste Reduktionen, bie bie Steihung integrabel machten, — alſo nicht
mehr Platz finden, und folglich der nn ber Erhaltung der lebendi⸗

| gen Kräfte nicht mehr flatt haben.

5) Man findet zwar den Verweis des Schrfages don den —

nen Funktionen, wovon wir eben Gebrauch gemacht haben, in verſchiede⸗

nen Werken, und mir koͤnnten ihn. daher als bekannt vorausſetzen, allein
der folgende Beweis iſt ſo einfach, daß er wohl eine Bekanntmachung

verdienet. Iſt F eine homegene Funktion verſchiedener ——
Größen x, y, etc. von der Dimenſion nz fo iſt klar, daß went man dariu

.ax, ay, etc. flatt der X, y, eic. feBt, fie nothmwendig an F wird, wie

auch die Größe a.befchaffen feyn mag. Sehtminnna=ır +a und
betrachtet & als eine "endlich kleine Größe; ſo wirb der unendlich geringe
Wachsthum von F, der von den unendlich kleinen Zuwaͤchſen «x, ey, etc,
der x. y, etc. herfommt, — naf ſeyn. Gebt man aber x, y, etc.
veränbere fi d in a x ,æ — ete. 3. fo erhält man a er die FEUER

eF
von, — 0 wer 4 ete. |
Ji rn . Set

N ‘

‚350 | —

¶ Sezt mann dieſe beiben Ausdruͤkungen ber Vermehrung von F

Anander gleich und dividirt durch a; ſo erhaͤlt man:

k r

ee 21 ⸗ N ‘ *
2.24 t “ 0

p. ER —
n — en

| 6) Das auf die Erhaltung der lebendigen Kräfte ſich beziehende Ju⸗
tegral iſt bey Aufloͤſung der mechaniſchen Aufgaben von großem Nutzen,
beſonders wenn die Funktion T nur das Differential einer veraͤnderlichen

Größe enthält, : bie in ber Funktion V nicht vorkoͤmmt; denn dies Intes

glral dient alddenn dazu diefe veränderlihe Größe zu beflimmen und Diffes
rentialgleichungen wegzufgaffen. Ä |

Was die Integralien betrifft, die fih auf die Erhaltung der Bewe⸗
gung des Mittelpunfts ber Schwere und auf ben Grundſatz ber Flächen
beziehen, und die wir fchon im zten Abfchnitt allgemeln gefunden haben;
fo bieten fie fi von felbft bey Auflöfung jeder Aufgabe an, wenn mar
nur bey ber Wahl der neränberlichen Größen die abfolute Bewegung bed
Syſtems von ben relativen Bewegungen ber Körper unter einander, ſowie
wir dies (3 Abſchn. 15:) gethan haben, abzufonbern trachtet. Diefe
verschiedenen Jutegralien reichen aber zur völligen Auftoͤſung ber Aufgabe
nur alddann hin, wenn ihre Zahl der Zahl der veränderlichen Größen
gleich iſt. In jedem andern Falle muß man noch neue Integralien fuchen,

jedoch würbe man Beine allgemeine Regel darüber angeben koͤnnen. Doc
‚giebt es ein Fall, der einen fehr weitläuftigen Umfang hat, und der einer

vollftändigen Auflöfung fähig iſt, nämlich der, wo das Syſtem nur fehr

kleine Dscillationen von feiner Stellung im Gleichgewicht macht. Da

biefe Auflöfung leicht fih aus unfern Formeln herleiten läßt, fo wollen.

wir fie hier mitthetlen und zugleich verſchiedene neue und wichtige Bemers
kungen mit einfliefen laffen, | —

sicht enthalten koͤnnen.

Ihre Wertbe a * a,b + B,

neuerer +

351

nu .. Ad Ku
N u et
“ i 4 ee
“ D*-- * „rm xl

Allgemeine Aufloͤſung der Aufgabe von ſehr kleinen Oscillalionen eines gewiſſen

Syſtems von Koͤrpern.

7) Es fegen a,b c die Wertbe der rechtwinklichten Coordinaten
jedes Koͤrpers m des Syſtems, welches wir uns im Gleichgewicht vor
ſtellen. Da es bey ſeiner Bewegung nach ber. Borausfegung ſich ſehr

wenig: von feiner Stellung im Gleichgeivicht entfernen foll; ſo hat man

allgeminx—=a ta, y=—b + 9%, 2 — c . y wo die veränders
lichen Größen =, 3, y allezeit fehr klein find, Man hat alfo nur auf die .
erſte Dimenfion biefer Größen bey ten Differentialgleitbungen der Bewes
gung zu fehen. Ebendies wird bey dem andern biefen analogen Größen
ſtatt finden, und wir wollen ihre Beziehung auf die verſchiedenen Koͤrper

mi, mil, etc. deſſelben Syſtems durch ein, zwey und mehrere Striche ans

beuten, und fie dadurch von eluander unterſcheiden.

Wir wollen. nun zuerfl bie Bedingungsgleichungen betrachten, die
nach der Natur des Syſtems flatt finden müffen, unb die man unter
L=0,M-=0, etc. ſich vorflellen Tauu, wo L,M, eis. gegebene alges
braifche Funktionen der Goorbinaten x, Ys z, xt, y!, etc, find. - Da das
Syſtem auch die Stellung bes Gleichgewichts haben kann; fo folgt, daß

eben dieſe Sleihungen L— 0, M=—=o, .etc, ftatt finden müffen,

wenn man annimmt, daß aus x, y, zZ, x ete. a, b, c, a etc, wird, wor⸗
Aus man leicht den Schluß ziehen kaun, daß dieſe Gleichungen die Bett

Es werde alſo aus L,: M, ete.. A, B, ‚etc, wenn. and X, y, z,
x’, etc., 3, b,.c, a’ etc. werben; fubftituirt man alſo für x, y, 2, x’ etc.
+ r, at al ec; fo erhält man, da

=, 7,.2' etc. ‚fehn Klein find: Fr
da da

ı ——— = a + 4
—— —— 60 ar
zu ar Saar er ——

j 31a M

CUT
dB 46Bb63B

| dB
M=Br —ach Ber nt

FT ar er

Pen erſtlich N ==0, Be 0, etc. in Verehung a Gleichge⸗
wihht/ and stend erhält man bie Gleichungen

dA — IL. REN
da 5? da’“ —
dB * dB FL —

—— er

etc» ö
welche bie Berfältuig geben, bie sroifiben den peränbeitigen Pr a,
B, y, a! etc. ftatt finden ai

Vernadhläffiget man ſogleich bie ſehr kleinen Größen. von der aten
Ordnung und den höhern Ordnungen; fo erhält man Gleichungen, wo⸗
dur) man die Werthe einiger diefer veränderlihen Größen durch die ans

dern beſtimmt; durch biefe exſtern Werthe findet man hierauf auch ges
nauere, wenn man auch auf die 2ten und höheren Potenzen, fo weit man
es für gut findet, Acht hat. Hiedurch erhält man alfo die Werthe, einis
ger ber perönberlichen Größen a, 8, y, »',ete, in Funktionen, in Reihen der
_ andern veränberlihen Groͤßen, und biefe übrigbleibenden veränberlihen

Größen werden alddenn völlig unabhängig von einauder ſeyn.

Uekbbrigens kann man, "wenn man auf die Bebingungegleidungen der

Aufgabe fieht, die Coordinaten foglekh mit Huͤlfe einiger Su —
in vatlonellen, von andern veraͤnderlichen Größen voͤlſiz unsbh

und fehr Heinen Fundtionen ——— beren Re ——

Sleichgewichts = — fey. I. :
Wir wollen — —— wir hamen — —

. - e
x
De

j ’
: GE 253
er Half + say 339 -r et. er alı$2 . Bic,
y-b+bıf+bay+ b3Q@ ete. + bı + eic. =
z=cH+cı$ Bea c3 pt etc. + ce ı$& + etc,
und eben fo bey den andern Eoorbinaten x’, y’, etc.ʒ die Groͤßen a, b, c,
aı, b I, etc. find beſtaͤndig, und die Größen —, »,- *. ete., —
fehr gering und im Gleichgewichte — = od, |

8) Man bat alfo jeßt nur biefe Subflitutionen in den Werthen
T und V (2, 3.) zu verrichten, und es iſt hinlaͤnglich auf die zten Dimen⸗
fionen zu fehen, um bie Differentialgleichungen zwifchen den Coordina⸗
ten zu erhalten. Man ſieht aber leicht, daß ber Werk) von T don bies
fer Form feyn wird:

\ a) 4? + La)dy h l3)de® ten

a a 2dı? 2
„2 day + (1, 3)d£dp + (2, Davies etc.
dı?

- wenn man Kürze halber ſetzt

G)=S(a? bi? + cı2) m,
(3) = S (a2? 4 ba? + ca!) m, a
(6) AIG IE a re en m,
etc. |
‚(n2) = S(ara2 + bı bi + eı c2) m,
9 (1,55 (ainyaa ba. ba ca ey) m, een
— 23 4 na — de 02 .s m; = Zu

e
— Be. ; „+ unihn, ‚ i *
“
22 DE] + ’ v

100 das Zeichen S — oder FE in Beziehung auf alle
.»% verfigiebenen Körper m des Syſtems, bie zugleich unabhängig von den
Ji 3 veraͤn⸗
/

254 en SS u
veränderlichen Größen £, %; 0 ete. ſowie auch bon der Zeit t find, ans. ⸗
deutet, (und biefe Werthe ſowie bie eben angenommenen Werthe von .x, .

dx? dv? ı dz2
y» 2 in ber (4) gefundenen Werth von T, 8 — =

Bezeichnet man hierauf durch F die algebraifihe Funktions [(Pdp .
Qdq + Rdr + etc.) und feßt a, b, c an bie Gtelle des x, y,

2; foift klar, daß der allgemeine Werth f(Pdp x Qdq ++ Rdr +
etc.) ſich ſo ausdruͤcken läßt; = J

dF | J
E} m F a2Y 2239 + etc) a,

dF
5 bIö bay a b3p etc) ni
dE | " 2 v
er Ceit c39 Mom.) -
dr we
2 dea (a1& + aaV »L 239 +4 etc.) Ze

=. (aı£ aay 239 + etc.) (61* bay >

—
=

ß d&E i — —
b30 etc) A (biſ m bay Hr bp «+ etc)? +

etc,

wo es hinlänglich iſt nur bis auf die: aten Dimenfionen von E, I. 9 eic,

zu gerhe. —6
Multipliciren wir daher dieſe Funktion mit m, und integriven nach

beim Zeichen S; fo erhält man allgemein — ——

2 “

—⸗

* »
4 w
r V

⸗

CH Tees „u ——

——— 235
Veh Hıtd Hoya Haporiec |
Ziulfr birr [3] 9 + en .-

* [1,2] r > (u 9 »r [2,3] 46: etc:

Inden man feßt
fl = SFm,: F
(dr ar dF .
—

dF
w=s(gr=#] br c2)m

nes (dE 34 Berne m,
ete. —
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++ 2707 gpaubı +2 7761 +3 70; bıex)m,

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[»3] — 12234 — ie RE ga e2 e3

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d:F de P
* Ta er —— — es er er)
Fer er
(ba
ete.

9) Hat man auf dieſe Art die Werihe von T und V in Funktionen
ber deraͤnderlichen Größen £, pP, @, ete., die unabhängig von einander
Tind, ausgedruͤckt; fo hat man weiter Peine Bedingungsgleichung anzu⸗
wenden, und da die Größe T nur die -Differetittallen ber veraͤnderlichen
Größen enthält, fo hat man Pati für die EURER des — fol⸗
gende Gleichungen: | > 4

2 sT - 68V —
—
re 7 —

2 u
et: eV. u
d. — — 4 — gebe 0 - : '
edy "dy - ee —— 4
ae Zr ern 3 I:
— u On u
rer ‚gdp u °2 — an ee, PR 24 — 4

etc. a BE ee ner 7
deren Zahl, wie man fiehet ber Zahl ber veraͤnderlichen Groͤßen gleich iſt.

> Eben dieſe Gleichungen muͤſſen auch Am Zuſtande des Gleichgewichts
ftatt finden, weil dad Syſtem, wenn ed einmal im Gleichgewicht iſt, alib
"zeit darin von felbft verbleiben würde. Beym Gleichgewicht ‚aber iſt im⸗
umee (Der ννννν
x — ĩà, y — b, z—c, x ete. alſo — o
Yy=—0, 9 — 0 und ne ae

R. f B

PL — | etc, ae =
= dt E 3 ‘dt, 0, | dt? — © - — A .
Me u a —
d. — d. —— „etc. d
TR Glieder. d. Bere ‚pn — —0 und
. 4V 4 V AV nn ———
die Glieder 7 575 etc, verwandlen ſich in-H, si, Ha,
NH3, etc. Man hat folglich) no
ii Hı=o, Ha — o, H3zeo, dd —

dies find die nöthigen Gleichungen, wenn 35, b, c, .a’ ete. die Werthe
von x, Y, 2, x, etc. für ben Zuſtand des Gleichgewichts nach der. Vor⸗
ausſetzung ſeyn ſollen. a Bi:
Man ſieht auch leicht ein, dag AV — S(Pdp +. Qdg-i Rde +
. etc.) m ‚die Summe ber Momente aller Kräfte Pm, Qm, Rn, etc,
bie an allen Körpern m des Syſtems angebracht find, und die im Gleiche
gewichte ſich aufheben müffen, ausdruͤckt, nad ber (1 Theil 2 Abſchn)
gegebenen allgerheinen Formel muß man alfo haben dV = 0 in Anſe⸗
hung jeder der unabhängigen PIE Größen; folglich werben :
| i Ä ‘

n
—
1 „
$
-

eV. VE _, ee
75 5 70 an

die Bedingungen bed Gleichgewichts ſeyn, und da in dieſem Falle £=0,
: 9=20,9=0, et; ſo iſt auch flai=o, H2 — o, H3 =o,
etc. fo daß die erften Dimenfionen der veränberlihen Größen 5 Y%-.9 .
etc, im Ausdrucke v allezeit verſchwinden.

Subflituirt man "daher in ben’ —— Gleichungen die Werthe
son T und V, und fegt Hı, Hz, Ha etc, — 0; ſo erhaͤlt man
Fir ie Bewegung des Syſlems: ee F

un + Yard er m

EV + Laer — |

*28*

o= (2) Tr + (12) = + (23) Te ee

rn tmalir Belermi
= Er rare
— rnlir lange a >
etc,

welche Gleichungen, da fie mit beſtaͤrdigen Coefficienten eine linear Form
ı haben, durch die befannten Methoden auf eine . firenge mub- den
meine Art aufgelößt werden koͤnnen.

10) Dan kann zuerſt annehmen, die veraͤnderlichen — hütten
in biefen Arten don Glelchnngen unter einander beftänbige Verhaͤltniſſe ;

d. h· es ſey * 1ẽ. 86 ere., durch EIER wird aus
den 3 —— din

J—— En

Bee 2),

ab -

- Zu m | :289

co * Gi) 2. Gig — ——
> f1,3] g — — — 0,

CO) G, 2) + (#3) gr ee.) Er 4 C{a] £

| | + [1, tie g + u),

ICH 1.) 0 Fe) SE CT k

Um [ns] + —* * RT = 9

ec, =. zz ’ RE - P —
ie BE j i I:
——— [31 g ++ —
(1) + (1,2) f hr (1,3) + ee
‘ {2sIf+ [ne] + [»3]8 “+ es
(2) 5 (1 2,7 + (2,3) 3 .—
a. ler nr] Ins] Ehen fit

BE rl) ra to a

as
Die Zahl diefer — iſt, wie man ſiehn des Zahl der unbes
kannten Größen f, g etc. K gleich; fit beflimmen folglich volkommen
unbefaunten Größen; und ba, wenn man baB Glied K-zur erfien
—— und durch den Menner des zweyten mulliplieirt, tan
> eichungen in f, a etc. er lt; ſo iſt es leicht fie durch die bekann⸗

wenn man K-

"ten Methoden’ wögzubringen‘, und man fieht leicht aus den allgemeinen

Formeln, waraus nian fie weggefihafft hat, daß der Werth dan K von

einem Grade ſehn wird, der dem Grade der Gleichungen, und folglich

auch deni ber vorgegebenen ——— gleich if, Man erhält
alfo

h
[2 €
260 . pen _

alfo für. K ine steh I von. ver ichenen Werthen, wyvon jeder,

wenn nman ihn ih den; růcken von &g etc, ſubſtituirt, ste Greene
renden Wenne dieſer —— geben id...

= + Kf = 05 " erhält

—— man nun die Steigung

anf = E, ‚fin,_ ( VEX. . 5). wo s. willkuͤhrliche beftändige Str

De find, wir erhalten alfo hiedurch aud) die Werthe von y, 9 etc. ins
‚Dein Piryt — JE,.9 Far gæ, etc. angenommen haben, ;.

* Dies iſt zwar nur eine befondere Anflöfung; aber man u 30

Er eine doppelte, dreyfache u, f. Auflöfüng erhalten nad) der Zahl ber
‚ Werthe von K; vesbindet man diefe nun mit einander; fo erhält man
eine allgemeine Auflöfung, Indem .auf der einen Geite bie Summe der
befondern Werthe von £, Y, 9. ete. wegen ihrer Iinearen: Geſtalt den
- Differentialgleichungen auf einerley Urt genug thun wird, und auf ber

- andern biefe Gleichung 2mal fo viele willlührliche beftändige Größen ents

balten wird, als Sleichungen vorhanden ſind, und folglich ſo viele als

die volkommenen Integralien zulaſſen koͤnnen. Bezeichnen wir durch
Kl, Kit, . oto.- die verſchiedenen Werthe von K d. h. die Wurzeln der

Gleichung in K,-und, dur I, g/, otc., 8%, get, fill, g/l etc. etc.
die correfpondirenden Werthe von f,g etc. “und nehmen er eine gleiche
Anzahl von willkuͤhrlichen Größen E, E’, E”, etc. ſowie von willtührlichen
Winkeln «', a, ete. an; fo echalten wir sieh volßonmenen Werthe
:bon &, V, 9, etc.

* — Ei Eh ic [a Sc: a) + E” fin —R8 VKU h) + Elf
„Ct Yru + u) + etc.

— fin (t vo a) FU EM fin eK a) fi =

— — — „EM fin Ct VKU * “), * de.
2 8 Erb * 5 4 gl Elfe (t VKU 8) F gu
er er REBEL URT +) +iete,

Im ihr —
te. | —
| Er Ze

—

worin

oo. ——— | a61
wor il hp E Eh, —X exc., — af, , etc. von ben

» A Tr 49 d ; Bi j
Berge Yafang vn a ⸗ * und ner Fer e — BC. —2*

—

gem werten. — a: . Wu

» 4.9): Da die vorhergehende Aufloͤſgug. ſi 4 auf hd Bergung
gründet, baß die neyänderliehen Groͤßen F. Ay, Qr etc. fehr Klein,
muß aud, menn. fie richtig fepg foll, dieſe Vorausſetzung wuͤr 8— =
.. es muͤſſen daher die zeln K4, ete. Aue wuͤrklich,: Ppſitiv
nd ungleich feyn, Damit die Zeit t, bie Ind Unendliche waͤchſt, unter ben
Beiden der Sinus defindlich ſey. Wnben einige diefer Wurzeln negatid
ober ſmaginair, fo würden fie wuͤrkliche Erpomtialgrößeir in die-corf!fpons
dirende Sinus Bringen, und wären * nur gleich unte einander; ‚fo wuͤr⸗
den fie algebraiſche — des VBodeg darin —E Hieven kann
mau ſich uͤberzeugen/ wenn man Im erſtern "Balle an. die Stelle der Sinus
ihre imaginatre Erponentials Austrälfe und im Lten annimmt, daß die
gleichen Wurzeln um unendlich kleine unbeſtimmte Größen von einander
unterfchieden find... Indeſſen da bie Entwickelung bieſer Fälle ir die ges
genwärtige Abſicht unnuͤtz ift, fo wollen wir uns nicht langer dabey aufhalten.

Hat bie Bedingung, daß die Enefficdenten: von t muͤrklich b uns
. glei find, ſtatt; fo erficht man leicht, bag. bie größten Werthe
bon &, %, etc. Meiner find als bie Suminen von Ei E/), Ef, ete, und
g EI, fu EI, fl Ey eter; ·wenn ‚man alle diefe Größen pofitiv anyimnt.
Sind fie alfo fehr klein, fo müffen 46 auch bie Bertbe der veraͤnderlichen
Größen ſeyn. Da aber die Corffläichten E“, Er Erisere, willkuhelich ſind,
and allein von der’ erfteh Stellung. des Shheme ‚abhängen; ſo iſt moͤglich,
daß die veraͤnderlichen Größen £, P. etc. ſehr kleis bleiben, ohnerachtet in
VX.VX, etc. imaginaire und gleiche Groͤßen voͤrkommen; denn als⸗
denn muͤſſen die correſpondirenden Größen E, E’, etc. = o feyn, welches
bdie mit der Zeit t wachſenden Glieder zum Verſchwinden bringt. Die Auf⸗
loͤſung wird daher, ohnerachtet Ke ſonſt weder vollſtaͤndig noch allgemein
iſt, es dennoch in deih’böfönbern Sa Fun no bie —— Be⸗
dingung ftatt findet.

" Ba | — 12).

[4
;
5 “=

> 12) Was — bie: Befimmung it wilkührlichen Geflindigen
Gröffen E/,.EU erg. aa, 0’, eto. betrifft; fo hängt fie, wie, wir
> gefagt - babeny- vom Zuſtande des m. kl: Wüfange: ak.
enn wenn tan in den gefundenen Werthen von £, Y, 2, ete. == 0
feßt, und die Werthe —, Y, 9, etc. ald gegeben betrachtet, fo..ers
hält. man Linear⸗Gleichungen zwiſchen den unbefannten Größen E’ fin «,
Er Ga N, etc., woduich manjebe derſelben beſtimmei kann. Seßtzt man
ferner in ben — eben dieſer Ausdruͤcke rt == 0: und be⸗
:dy KLE
trachtet die Werthe von — = re Ze re "ebenfals al ergehen;
fo erbält mwan ein 2ted Syſtem von Linear⸗Gleichungen zwiſchen E’Cofs’,
El Of all, eto, bie dazu bienen, ſie zu beftimmen. . Hieraus jie man
Iehrht bie Wert e von E/, E/, etc. fowie. auch von tang ef, tang «fl, etc,
und endlich die Werthe ber Winkel s'.. 0 etc, ſelbſt. Dieſe unbekann⸗
sen Größen nun Direkte, und ohne weitlaͤuftige Besfgofigen zu beftims
men, bient folgende, fehr ‚einfache Methode,

2 dh bemerke, vaß mern ich die Differentialgleichungen (0) zu eins
ander — nachdem ich bie 2tẽ dich f, die 3te Due uf f Male
tiplidet babe, und Kärze halber ſetze
α ν Ci, 3) 3 ete.
P=[ı)r[n,2]fel[2,3]g ete.,
ge cyhr na) ns) 1ÆX
—— + Li, 2} + 13. 318 +.et.,
12*63) gt (1, 3) + &s. 3) Er .etc.,.
= R= [5] g+ [Is Ei + [2. 3) f + eis,

- etc, „4 n S N
= Sr IR KV Eu >
ſch erhalte — Se
— ap any 20 -
— 7 r— + ‚etc. F
— ? dr + 4 + dı? J *

?E+ Er 4 etc. eg
* 1 —X ® e *

—— 0 5 z 263
Nadð den Beblngungogleſchungen (10) aber iſt
P = Kp, Q—Kq, R == Kr, etc.

Subſtituirt man daher d Werthe in der v br Oi
dung; ; fo erhäft fie Biefe Be Bo. a a

d?.(p£ + —

————

}

(ps qv + 9 etc) K
wovon daB Sutegrale Il:
Per gE+ Ip rec = Lfin (tr K m y
wo L und A zwey willfüßslide beftänbige Größen Pak

J Dieſe Gleichung muß auf gleiche Weiſe für ale. die Verfhiedenen
Werthe von K, die aus benfelben rer eg herfliefen, und
Die. wir durch K4,K*, etc. ausgedruͤckt haben, ſtatt ſinden. Bezelchnen wie
alfo durch p‘, p“, etc., g’, g”, etc. ete. ebenfals bie corrſpondirenden
Werthe vou p, q, etc. und nehmen wir gewiſſe willführliche beftändige

- Größen L’, L”, Kor a, a, etc. an; fo erhalten wir folgende. Ole
dungen:

ger yyrrio re =lianltyKha), ..-
p’? 4 g’y E- r’o® > etc, — L’” fin. (t vR + 1m), u
p'”£ 2 g’yor rt’ rn et = L fig. (eyKe + na),
etc, 3. F

Dieſe Gleichungen dienen zugleich bie Werthe don N in be⸗
ſtimmen; es iſt aber klar, daß dieſe Werthe die oben (10) zen
aufheben müffeh ,. indem beibe aus einetley Differeutlulgltichungen herge⸗
leitet worden find; Subſtittuirt man daher dieſe Werthe sy —* den vor

bergebenden Gleichagen; fr — fr Fr m... De: az

= r
+
⸗
2 * * —
*
—
2
de .
— -
— =
.

Hieraus tann man alfb — fötiehen, Dr man ” er erftere |
Gleichung hat:

4* ‘, L’=(p' lg a — E,
p‘ + fg gt + emo, 2
Prien.
ec. |

uud für die zweite- Öleihung

et, lt gr g’ı' ete.) E,

pi —7 + gr! pet. —=o,
Pe 09, .
—

Subſtituirt man daher in ben obigen Gleichungen für 37, L, a,
Li, all, L ec, bie eben gefundenen Werthe; fo. erhält man Be —

per et,
‘ E20) Por gi og + etc

u ,
EAſi. VKU; ed) = ET a a El
a e -b g‘! fu * rd g'' + etc, ;
j pugz guy a rg. 4 Pr
m Ho 501 EA =:
== | E Go, (e Vi x — = p““ m 2 fiH or [tg —— etc.”
etc. '

welche denen (to) getade entgegengefegt find,

Lest bat die Beſtimmung · der willfühelichen Grißen E!, Eu, eic. —
su, etc.‘ feine Schwierigkeit mehr; denn fegen wir 2) t = o; f wird —
aus den erſtern Gliedern der vorhergehenden Gleichungen

E' fin «', Eu fine, etc, - | |
| um

— %
... ‘ ”
nn) ; 26
“ * 5

und die zweiten ſind alle bekaunt ‚-wenn man bie Werthe von &,Y, 9 etc.

. im erften Augenblick ald gegeben anfieht, Differentiiren wir 2) eben dieſe
- Gleichungen, und feßen hernach t — 0; fo werben bie erfien Glieder

feyn: _ B —
x”. E Coſ, V Ku. EU Colsl!, etc.

- und bie andern werben alfo auch bekannt feyn, wenn man die Groͤßen
d?ẽ dy do

dt’. de’ dt
Folglich ꝛc. |

15) Die Anflöfung der Aufgabe ift daher einzig und allein auf die
Veftiminung: ber Größen K, f, 8, h, etc.5 gebracht worden. Diefe
Beſtimmung aber hängt wie wir (ro) gefehen haben, von ber Auflöfung
ber Gleichuugen pK — P == 0, qK — Q—o,rK— Ro,
etc. ab, wenn man Die Ausdruͤckungen von p, q,r, etc., P, Q, R, etc,
(12) beybehält. | y

—, etc, im Fall dag t — 0 if, als gegeben anſteht.

Bezeichnet man nun durch A ben Werth der Größe T, welcher ent⸗

d£ dy dp

ſteht, indem man I’ Ir gm in e, f, g, ete. verwan⸗

delt, und durch B den Werth des Theils der Größe V, morin bie vers
änderlichen Größen &, %, 9, etc. 2 Dimenfionen mit einauber ausdınas
hen, wenn man biefelben ebenfald in e, f, g, etc. verwandelt; fo iſt
leicht einzuſehen, und man kann ſich fogar leicht davon a priori übers
zeugen, bag man hat | |

aA a da
dB dB dB
= Fr Q = If’ R= dg’ etc,

wenn man hernach e — 1 feßt.

ı | Set

« “u
1 = Pr -
*

Setzt man alſo allgemein AK—B= &, fo find die Gleichungen für

"die Beftimmung ber unbelannten Größen Kb, g,et. » -

dA dA da

RT+F-tTn
wenn man e — I feßt.

Da alſo die Größe A fogleich aus deu Grögen T und V hexfließt;
fo kann man andy birefte die gefuchten Gleichungen finden ohne nöthig zu
4 haben, fie aus den Differentislgleihungen der Bewegung bed Syſtems
herzuleiten. " F — J

Ich bemerke jetzt, daß weil A eine homogene Funktion Ber 2 Dimen⸗
fionen von e, f, g, etc. iſt, man vermöge der (5) erwiefenen Eigen⸗
ſchaft diefer Arten von Yunktionen hat: - |

= 0, etc. Eva

da da dä | Br R
a

| Man hat daher auch A = 0; bie unbefannten Größen f, g, k,
etc. müffen folglich fo befchaffen feyn, daß nicht nur die Größe A ſondern
auch jede ihrer auf biefe unbekannten Größen’ fid, beziehenden Differentius
Yen = 0 ſey. Heraus folgt alfo, daß die Größe K, die ale eine
Funktilon dlefer unbekannten Größen angefehen worden iſt, und Yon der

Sleichung A — 0 abhängt, ein maximum oder minimum ſeyn muß.
| 9 > Od.
Setzt man alfo zuerfie — 1 und daher anflatt‘ 7.0 die

Gleichung A == 0; fo erhält man für. bie Beftimmung diefer unbekann⸗
ten Größen f, g, h, etc, bie Gleichungen:

dA dA _ ..
A — 0, IF == 0, dg = etc, .

ö u da
Zieht man alfo zuerſt ben Werth von f aus ber Gleichung I — 6),

—— J 267

und ſubſtituirt Henfelben in A == 0, wodurch, wie wir annehmen wollen,
* /

A
diefe Gleichung in A’ = 0 umgeändert wird; fo hat man nur de =o
⸗ |
zu machen, und ben aus biefer leßtern Gleichung gezogenen Werth von g

in A’ = o zu ſubſtituiren; nennt man alddenn A’= o bie daraus ents
dan |
ftehende Gleichung ; fo muß man Yon neuem feßen Tr u. ſ. ſ⸗

Hiedurch gelangt man zu einer endlichen Gleichung, worin die unbekannten

Groͤßzen f, g, b nit mehr vorkommen, ſondern bie allein die Größe K
- enthält, dies ift alfo die gefuchte Gleichung in K, deren Wurzeln wir K/, -

KU, Kl, etc. genannt haben,

Dan Fann biefe Gleichung fogar auf eine allgemeine Formel bringen,
wenn man erwäget, baß, weil die Größen f, g, h, etc. im Werthe von A
2Ad’A — dA?

nur 2 Dimenfionen ausmachen, die Größe — nothwen⸗

dig ohne f ſeyn muß, indem das Differential in .VBezug auf f =—
ıA Ä -
— und folglich == o iſt. Man kann alfo immer

d£? |
2Ad’?A — dA?
d P — ſehen; '

I =

und da in biefer Größe A die übriggebliebenen unbekannten Größen g.h,

‚etc, ebenfald nur zur 2ten Dimenfion fleigen; fo kann man wieder feßen

2 A'd? A’ dA⸗
dg? — 3 u. ſ. f.

—

Die legte der Größen A, A’, A”, etc. ii =. o und iſt die gefucht
Gleichung in K. Diefe Gleichung kann freylih zwar zu einem höhern
Grad fteigen als es ſeyn fellte wegen der in den Gleihungen A’ == 0,
All _— 0, etc. eingeführten Faktoren; bringt man jedoch nad) und nach,
indem man biefe Gleihungen entwickelt, biefe Faktoren daraus weg, und

nimmt hierauf für die Werthe von A’, A, etc, nur ihre erften auf biefe
g

(2 Art

Art vereinfachten Glieder; fo wird hie endlide Sleſchung v von ſolbſt auf
die Form und den Grad zuruͤckgebracht, wie es ſeyn muß. Die Werthe

von f, g, etc. beſtimmt man vn durch die Steigungen ,
dA da’
==:0, dg == o ete.

Erz Ä
indem man deu Anfang mit der letzten macht, und durch die fuccef five _
- Subftitution der gefundenen Werthe bis zur erftern ſteigt.

14) Wir haben (13) gefehen, daß bie Aufloͤfung nur alsdann alls
gemein flatt finden kann, menn bie Wurzeln der Gleichung in K insge⸗
ſammt wuͤrklich, pofitiv und ungleid) find. Man hat aber Methoden, zu;
erfennen, ob eine gegebene Gleichung von irgend einem Grade alle Wurs
zeln würklid) oder nicht hat, und im Fall der Wuͤrklichkeit derfelben von
ihren Zeichen und ihrer Unrichtigkeit zu urtheilen. Die Anwendung dies
fer Methoden aber tft allezeit etwas mühfam, wir wollen daher einige
fimple und allgemeine Merkmahle angeben, die dazu. dienen „ von der 9
fuchten Form dee Wurzeln urtheilen zu koͤnnen.

Nimmt man: naͤmlich die Gleichung A 0 oder AK — B ==o
$
(13); foifK— —; man Fann ſich aber leicht davon überzeugen, daß

die Größe Aallezeit nothwendig einen poſi tiven Werth Bat, fo lange f,
8, etc. würkliche Größen find; denn bie Suufrion, T, woraus: fie ent⸗
— — — etc. in I) Ä, gs etc. ders
wandelt, befteht aus der Suinme mehrerer durch nothwenbig poſi tive
Cooefficienten multiplicirte Quadrate. Iſt alſo die Größe B aud) allezeit
poſitiv, welches ſtatt findet, wenn der Theil der Funktion V, worin die
veraͤnderlichen Größen £, %, 9 etc. zwey Dimenſtonen ausmadhen, auf
einerley Form mit der Funktion T gebracht werben kann; fe Tann mar
davon verfichert feyn, daß die Werthe von K, d. h. die Wurzeln der Steis
hung in K, alle jederzeit poſitiv feyu: werben, wenn fie —— find.

foringt ‚ wenn man

run F a269

Iſt im Gegentheil die Groͤße B allezelt negativ, welches ſtatt findet,
| wenn fie aus mehrern mit negativen Coefficienten multiplicieten Qnadra⸗
| ten befteht; fo werden bie Werthe von K Alle negativ ſeyn. In diefem

leßtern Falle kann die Auflöfung nicht gut feyn, indem die Wurzeln ber
Gleihung in K nur imaginair oder wuͤrklich und negativ ſeyn Finnen, und

\ die Ausdruͤckungen der veränderlihen Größen £, , etc. nothwendig bie
Zeit t aufferhalb der Zeichen ber Sinus und Eofinus enthalten.

| |

Im erftern Kalle fieht man, baß wenn die Wurzeln wuͤrklich ſind, ſie

| nothwendig auch pofitiv feyn müffen, und ed mürbe vielleicht ſchwer fallen auf

| eine direte Art zu erweifen, daß fie zugleich auch wuͤrklich ſeyn muͤſſen;
aber auf eine Art kann man von der Nothwendigkeit diefer Behauptung
fich überzeugey. Denn da das Jutegrale T — V = Conft nothmwens

dig ſtatt finden muß, weil T und V Funktionen ohne t find, und man
bezeichnet durch V’ den Tbeil von V, der die Glieder von 2 Dimenſionen
enthaͤlt, ſo daß

— — v—⸗

| weit H T==06, Ha == 0,- H3 — 0, etc. (8, 9) fo erhält
man > H+ V’’= Conft — (T) + H+ (V') indem man

durch (T) und (VN) bie — von: T und V’ im erſtern Aegennne

bezeichnet. |
—Folglich TV =(T) Hr (VW).

2086 iff aber T feiner Form nach allezeit pofitio, eben fo wie V’ (per
hyp.); man muß alfo nothwendig haben V! > o, md < (T) + (V);
ber Werth von V’, und folglich audy die Werthe der veränderlichen Orb

ßen ẽ, P, 9, etc. werben alfo in gegebenen Grenzen eingefchloffen und
allein. vom Zuſtand im Anfange abhängen. Diefe veränderlihen Größen
koͤnnen daher die Zeit t eos der Zeichen der Sinus und Gofinus
nicht enthalten, weil fie In biefem Falle ins unendliche wachſen Fönnten.
Die Wurzeln der Gleihung in K werben alfo alle nothwendig wuͤrklich,
poſitiv und ungleich ſeyn aD

= U 3 15) Wir

270

* Pa

15) Wir haben auf biefe Art am Ende des sten Abſchnitts ber

Statik gewiefen, daß wenn die Funktion ® ein minimum im Zuftande des
‚Gleichgewichts iſt; dieſer Zufland beftändig ift, d. h. bad Syſtem, ins
dem ed ein wenig davon abgebracht wird, nur Kleine DOscillationen mas

gen. kann, Es ift aber offenbar, daß bie Funktion, die wir (3 Abſchn.
13) ® genaunt haben, einerley mit derjenigen iſt, die wir bier unter V
vorſtellen, ‚Indem beide: das Integrale aller Momente der auf die vers

fhiedenen Körper des Syſtems wuͤrkenden Kräfte ift, welche beim
Gleihgewicht = o ſeyn muͤſſen. DaapV=H + V' iſt, md V’
die veränberlichen. Größen &. %, P nur bis auf die zte Dimenfion ents
haͤlt; fo muß V ein minimum oder maxumum feyn, je nachdem der Werth
von V poſitiv oder negativ if, Indem man biefen veränderlichen Größen
geroiffe Werthe giebt. Gebt man aloy=ff,.@ = gE£, etc. fo wird

Vi EB (13), wenne == ı iſt; WU oder ® wird daher minimum

ſeyn, wenn B allezeit pofitio, und ein maximum, wenn es allezeit negativ.
ift. Im erſtern Falle enthalten alfo die veränderlihen Größen die Zeit t
nur unter den Zeichen der Sinus und Cofinus, und das : leidhgemicht
wird Veftand haben; im 2tem aber enthalten fie nothwendig Glieder, wo
t aufferhalb diefer Zeichen liegt, uud alsdann Fann das Gleichgewicht nicht
mehr beftehen, fondern dad barin ein wenig geflöhrte Syſtem wird fich
immer mehr davon entfernen. Diefer zweite Shell ded a, a. D. der Star
ti? erwaͤhnten Theorems Eonnte damals aus Mangel an nöthtgen Grunds
fügen nicht ermwiefen werden; wir haben daher den Beweis bis anf bie
Dynamik zurückbehalten, und dev oben gegebene laͤßt nichts mehr zu wuͤn⸗
ſchen übrig.

Uebrigens koͤnnen zwiſchen dieſen beiden Zuſtaͤnden der abſoluten Be⸗
ſtaͤndigkeit und Unbeſtaͤndigkeit, worin das Syſtem, wenn es vom Gleich⸗

gewichte auf irgend eine Art abgebracht iſt, ſich von ſelbſt entweder wie⸗
ber zu verſetzen oder noch mehr davon ſich zu entfernen ſtrebt, Zuſtaͤnde
der bedingten und relativen Beſtaͤndigkeit ſtatt finden, worin die Wieder⸗
herſtellung des Gleichgewichts von der anfänglichen Stellung des Syſtems

abhängt. Denn find- einige der Werthe von UV’ K imaginair; fo werben

die correfpondiren Werthe in ben veränderlichen Größen Zirkelbogen ents
halten, und das Gleichgewicht wird allgemein nicht ſtatt finden koͤnnen;
" 0 2 5 werden

..» \ i x

me Ä - 278

werden aber bie Goefficienten diefer Glieder — o, welches vom anfänglis
den Zuflande des Syſtems abhängt; fo verſchwinden bie Zirfelbogen und.
das Gleichgewicht kann noch als Feftändig angefehen werden, wenigſtens

in Bezug anf diefen befondern Fall, :

16) Die eben gegebene Anflöfung erfodert alfo, dag die Coorbinas
ten durch Funktionen in Reihen von fehr Kleinen veränderlichen Größen,

- Sie im Zuflande des Gleichgewichts — 0 feyen, wie wir (7) angenome

men haben, ausgebrückt werden Fönnen.

Died kann aber, wie wir gefeben haben, immer gefchehen,, wenn
bie'in Reihen ausgedruͤckte Vebingungsgleihungen die erftern Potenzen
der ald fehr Elein angenommenen veränderlihen Größen enthalten, benn
dadurch erhält man fogleih Gleichungen, bie auf eine rationale Art aufs

> gelößt werben Finnen, und man Tann allezeit nach bes Methode der Reis

- ben immer genauere rationale Wuflöfungen erhalten, |

Deſſen ungeachtet kann der Fall eintreten, daß die Glieder der erſten
Dimenſion in einer oder mehrern Bedingungsgleichungen fehlen, dies fin⸗

det z. B. ſtatt, wenn in der Gleichung Lo, bie Werthe der Coordi⸗

naten fuͤr's Gleichgewicht fo befchaffen find, daß fie nicht allein L., ſon⸗
dern auch jede feiner erſten Differentialien = o macht; denn alsdenn hat “

m = o > — 0, etc.
re re

und bie Gleichung L = o enthält nur die zten und höhern Potenzen a, #,
7, a’, etc. (7)

Druͤckt man alfo In dieſem Kalle die Coordinaten in Funktionen von
mabhaͤngigen veränberlichen Groͤßen aus; fo koͤnnen biefe Funktionen
nicht rational feyn, und bie Differentialgleihungen werden weder linear
noch felbft rational feyn. Die Boransfeßung ber fehr Heinen Bemwegune

gen des Spftems dient alfo nicht dazu, die Aufloͤſung der Aufgabe zu vers

einfachen and macht alfo nicht, daß fie durch bie Horgetragene allgemeine
Methode aufgelögt werben Fan, E |

—

272 0 —

Um aber nun biefe Arten von Aufgaben aufdie einfachfte Urt aufzu⸗
loͤſen; fo fieht man zuerft gar nicht auf die Bebingungsgleichungen, morin
die. erfien Dimenfionen der veränderlihen Größen nicht vorfommenz hies.
Ä gelangt man zu Ausdruͤckungeu von T und V nach der Form

‚der 8) z |

Zu diefem Werthe von V addire man hierauf die erften Glieder der -
Bedingungsgleihungen, worauf man noch zur Zeit gar Feine Rückficht ger
nommen hat, multiplicire jede durch einen unbeflimmten Goefficienten,
und nehme ihn in den Differentiationen nach d als beftändig an. Es iſt
hinlaͤnglich bey diefen zu den Bedingungsgleichungen gehörigen Gliedern
auf die niedrigſten Dimenfionen der fehr Kleinen veränberlihen Größen zus
fehen. Hieraus findet man bie gewöhnlichen Differentialgleihungen, und
man hat daraus nur die unbeſtimmten Goeffictenten wegzuſchaffen. Wis
ren bie Bedingungsgleihungen vom zten Grab, und Eörinte man bie uns
beftimmten &oefficienten als beftändig anfehen; fo würbe der Werth von
V uno von der nämlichen Form ald in ber allgemeinen Auflöfung feyn.
Man Lönnte diefe alfo auch auf diefen Fall anwenden, und hierauf die
Coeffisienten beftimmen, fo daß den Vedingungsgleichungen ein Genüge
geleiftet würde. Man kann alſo allezeit den Anfang damit machen, diefe
Vorausſetzung anzunehmen, nıan wird hernach fehen, ob die für bie vers
änderlihen Größen daraus entfpringenden Werthe den Bedingungsgleis
chungen genugthun Eönnen, in diefem Falle wird nämlich die Voraus⸗
feßung richtig und die Auflöfung vollkommen feyn , findet died aber nicht
ſtatt; fo muß man die Differentinlgleichungen nach den gewöhnlichen Dies
thoden zu integriren ſuchen. |

6. IL u
Bon der Bewegung eines nach einem oder mehrern Mittelpunkten getriebe:
nen Körpers,

17) Wir wollen zuerft annehmen, ber Körper werde nach einem eins
zigen Mittelpunkte von der Kraft R getrieben, die eine Funktion der Dis
ſtanz des Körpers x vom Mittelpuntte if. Nehmen wir nun diefen Mits
telpunkt für den Anfang der Eoordinaten und die gerade Linier für den
F | Radius

= ——_ —— 273

Radius Vektor an, aindi nennen wir.nft.bie Nelgung bee Linier gegen die

Ebene der x und y, P aber den Winkel der Projeltjon von r auf dieſe

Pre mit der Uchfe der x; fo hat man, wie wir- ſchon oben 2) gefehen
aben:. | z

x tCoſ Coſ | er |
= — nn . 2 4 Fe : a ;
* Q, z — — — 22 = — 132 «tt 4 .4
2. * 4
; —

.
y=rColy Sag,
z2 — ſin .
—— "4 we y ni 2 441 — — ao‘

—

folglich —

dx? + dy? + da? —r? [Cofy? dan a Ayt)-riden,
ER u Per —

Iſt alſo nur ein Koͤrper vorhanden, deſſen Maſſe zur Einheit ange

nommen werben Eönntes ſo hat man
_ 22CCofy? dp? + dp?) + dı2
I. mn 2de —— 5 ea .

welche Größe in. Betag: auf V auf £Ruduifihibringen läßht.
Weil alfo keine befondere Bedingung zu erfüllen vorhanden iſt, und‘

die 3 veräuberlichen Größen ar unabhängig. find; fo hat man für jede
dieſer veraͤnderlichen Groͤßen eine Gleichung von der Form:

IT 08T - | 2
iv ur m u

wodurch "man. (wenn man dt == Couk, feßt) folgende 3 Gleichungen

erhält: '
- drdy rꝰ fo Cofy dp? Ä
; e R 2 u i 2 e J
| Er > URN
4. 32 221 2202 1 DEE BB
>“ - —0 — or
dt —
d?r - rLColyp?. do? . dy) R n Ä
‚de? = P ‚dt i ß
> F
— Mm | Die
< 2 . f)
] e =

r
L
x

2753 |

“

Die ar iß an und: (ri BipEntegräbet, und * geunenle iſt
— — | —
"de — s er ae
do A. —

dt Cop i

Subftituirt man-tiefery Werth in der erffern, fe wird auch dieſe in⸗
tegrabel, wenn man ſie le edv multipliciri „ und ihe Integral
wird feyn:. .

,14d — nk
de + Eol’p2 : |
wo 4 B, zwey willkuͤhrliche Seflnbige Groͤßen ſind. Ich —

d J
in Anſehung dieſes Integrals baß wen man yaunb: a in einem: Au⸗

genblick zugleich == o faßt; fie allezei ſſeyn = benn feßi man:
Vo, und d 0 ſo a man B® =. At und die Gleihins Di Bl ann :

woraus. man: zieht,

pn SR U 7. Ba

= Br

«dd .L2
tr * 3 tang — — © weißen ſtatt ſinben kann DR wenn Vund
d P \ ER

* =o find. Be —— —.

Die erwaͤhnte Vorausſetzung beſteht aber berlin, baß ber — in:
einem Augenblicke fih in ber Ebene der x und y bewege‘, welches allezeit‘
moͤglich iſt, indem die lage dieſer Ebene von. unfexer Willkuͤhr abhängt.
Der Körper wird alfo fortfahren, ſich in biefer Ebene zu bewegen, und
folglich nothwendig eine ebene Bahn oder eine Linie von einfacher Krüms
mung befchreiben. - Dies kann man audy direkte durch die Integratipn der
vorgegebenen Gleichung felbft ——— Denn ſubſtituirt man für dt deſ⸗

Cofy: d®
fen Wer th —— der aus der Vortergefenden Gleichung wer
gen

⸗

u, 275.

gen worben iſt; fe erhaͤlt man dieſe? 577 — SE
' A: dp u. N

Coſyf dpr . Col

rn DE EEE Fe |
ED, 75 ge, men 4= os Hehe arhhlimne Dt
j' Ar a

A tang dt, — =. F —
und bie Gleichung wirb :
ON tang P | ang gi ’
Cof „+ dp? |
| in

Cfyıry (ung a — tang 9) wage

⁊

woraus man findet dp —
4 eg,
R Y

| — — d. 2 | | 5
| a om tung y zum Integral hats

a: J tang Y
‚Fin (PP) tang & u 8 ; 2%

| wo ß ber willkuͤhrliche Werth von 2 tft, wenn y = oiſt.

Man fieht aus dieſer Gleichung, daß A — A unb Idie 2 Seiten
eines rechtwinklichten ſphaͤriſchen Drevecks find, worin « der der Seite y
entgegengefeßte Winkel iſt. Weil’daher der Bogen 0 — 9 auf ber Ebene
der x und y angenommen werben ift, und ber Bogen y. allezeit ſenkrecht
uf diefer Ebene ſteht; fo folgt, daß der Bogen, der dieſe beiden vers

bindet, und ber die Hypothenuſe des Dreyecks bildet, mit der Baſis
0 — B, einen beſtaͤndigen Winkel x machen wird. Es wird folglich der⸗
felbe Bogen durch die Enden aller Boges gehen, und alle Radien r
werben fi) in der Ebene dieſes 0 befinden, welcher folglich Die ren
— | ns er

u - {ang :
0 6 = A fin ET oder z a Ne
E 8 | En — wire, teng & ü : —
|
|

*
8 ‘ —
Jy

der Bahn bed Körpers reis ſeyn wird deſſen Neigung —— der
x und y durch den beſtaͤndigen Winkel æ ausgedruͤckt wird, "<>

18) Die endlicdye eben — Gleichung zwiſchen 9 und‘ Y Eönnte
dazu dienen, eine diefer unbekannten — der andern Gleichungen weg⸗
duſchaffen g¶ well· man abwewähh, daß die Bahn des Korpers ganzemn eine

feſte Ebene faͤllt, fo vereinfacht man die Rechnung ſehr, wenn man dieſe
Ebene fuͤr die der x und y annimmt, wodurche man ——— == o, und

dv — 0. — |
Alsdenn with die dritte Gleichung ER
dr. _sdg® Be 2 Ze
— de. x deze ; er —— Zen R : 2 = — rate
das Sategenid ber·2ten aber giebt | |
| Adt t — —
d = — ' : ; . *

Subſtituirt man daher bieſen Werth von ng und cultiplleitt Ber
nach durch dr;. fo erhält man eine integrable Siöfe, beren — iſt

dr? A?
de Tr — + Rdr=C 2 N =
woraus man — — — — N it ae BE ee er a er
d . “ * *
= dt — — — 6
F vCe; = Si 3 — gr ar
A a se: u je8 ws Ir. " a w 71 390
' and: frag; J "Ar 239 — Tu b „, . # 23: — en
ao BER PR AIR: hd — ee. ea. 0 Wan
Pers: ee A EL er
[3 V: (mar ) - J
— — BER * Mahn 2 nn Be FETTE,
E aus ee u: 3

9. 877

in welchen Steigungen alfo t und 9 getrennt find, und deren Jutegratlon
die Werthe von 9 und eins giebt. Die ate.diefer Gleichungen giebt bie
Figur der Bahn, du erfiere aber die: SER, des rg in jedem Aus
genblick.

19) U diefe Auflbſang Auf die Bewegung der. Planeten am. die
Sonne anzuwenden, ſeße man

21.
45,5

E
Ro — 7 we bie anstehende Kraft * Sonn auf den Dinar

bie Diſtanz = 1 sefeät, if Di es giebt alfo

—_E - : Ä
* = * ne
- Rd ee Dee er
r
ee

—

Subſtituirt man nun dieſen Werih in ben ——— Sul
gen; fo ſieht man, daß die Groͤße unter dem ‚Zeichen wird.
„I He on 27 Ss

.P.. Ar Se Pr al
CH Bei: — Bann af gorm Eee

a — tt

er 7 * — — — — „Bingen kann. —
F * 1, gie
—— von i⸗ ir ae dem Difereite 5 Dr Mine gleich⸗

io: on TE TE RHE

aA —

3 integrirt man alſo und
ala wi — —* Geändige Größe vanz s ;ß erpäl mans

Da FE u \ F⸗ |
ammenlen ar) Cof. un.

[1 . *
.. 4 ’
x

Eee Hm 3 | Sest

278 Ä - nn

Sehe man daher Kuͤrze halber
P * re

P
ſe hält; T=eCl(p—
Mau erfi cht aus dieſer Formel, daß die groͤßten und kleinſten Wer⸗
tbenon r Ratt-finden, wenn = oder = 4 180°, und dag

fie aſſo anf einer geraden Linie fi ıb. Der tleiuſte Werth it = —
p

ber größte — 3 wovon bie halbe Summe oder der mitlere

Merk. — und die halbe Differeng - zu m I F — alſo ⸗ das

Being der er halben Differenz biefer Werhe zu ihrer halben Summe
af. Setzt man nun @ = y + 90°, In welchem Falle bie Direktion von

r ſenkrecht auf die Linie ber größten und re Wexthe — ſo hat
mar=p. i

Am die Natur der krummen en — zu lernen, To at man fi
nur auf 2 Coorbinaten x und y zn beziehen, bie man vom Mittelpuntt der -
Radiorum Weltorum genommen hat, amb wovon bie «ine x In ber Direk⸗
- tion bes größten Radius if. Weil nun 9 — 27 ber. — Deu s
mit biefem Radius macht; fo erhält map j

x— r Coſ (0 — >) ar ar — F

y=rin(P—y) .
and bie Gleichung r — erCol (0 — y) — p verwandelt fi f ch in
Y (+ y2) — x« ⸗ P Macht man biefe zatlonal ; ſe fü e

vom aten Grade, und giebt einen Kegelſchnitt. Es wird alfo — —

die halbe große Achſe des Schnutts ſeyn ‚den wir durch N änbenten ‚und
e er Eccentricitaͤt uber das .. er ber Diftanz zwifchen einent der

Brenn⸗

— | | 279:

— und dem Mittelyunkte zur halben groffen Achſe, folglich
wird V (2 — ?e)odrayr(ı — e) die halbe kleine Achſe
und or, oder a a(ı — 7) d. R. p der Halbe Heine Parame⸗
ter ſeyn. Wegen der Gleichung zwiſchen x und y bat man aber, wenn
x= 0, p = y; ber Anfang der Coordinaten iſt folglich in einem ber
Brennpunkte, wo, wie man weiß, bie Orbinate gleich dem halben Pas
rameter iſt.

Die Planeten⸗ Bahnen find alſo Kegelſchnitte ‚die die Sonne In ei⸗
nem: ihrer Brennpunkte haben, und ihre allgemeine Gleichung iſt
s.(T — e?) j

ee ee

wos bi emitlere Diftanz, e die. Eccentricität, und r der Radius Vettor
iſt, der mit der Abſidenliuie den Winkel 0 — 2 macht.

| 20) Um nun bie Zeit zur beſtimmen, bie verwendet wird einen ger
wiſſen Winkel zu beſchreiben, muß man noch eine andere Gleichung.
dr |

̃ integriren,
—* (04 = — —
hierauf aber für A und‘ C ku — in a und ©" ſubſtitulren. Es iR:

aber‘ '
a As’ ”
Na ae — en

F J
— E ——— —

— Fp. "Fa(ı — eꝰ)
A? u T|— —— — — = i
Gotzich — Fu En
waere Fr
| 4 As — 7 75

280. wwwee· |
durch bieſe Susfiationen wird die serie Seh . -
— —rdee
—6)7 V. — Ve —(3))

Zr = 0 = a — >
e |

. Seßen wir nun
fo gat man. > = a t be Cof3) (8)

und dı= Y (=) Cr +. (Col}) ds |
und wenn man integrirt —

rn (=) (3 ef. AM

Vergleicht man nun bie beiben Werthe von re mit einander hehmtich Kr um
9; fo a man
I e® DE
a — e Coſ (0 — 2)
werd man zieht ee ae
a eeonme, = u

WITa@-n

m 1:06 e.Col9,

Will man alfo 3 aus der Gleichung M) wesbringen; ſuͤbſtituire
man darin dieſen eben gefundenen Werth, und auf dieſe Art erhält man
t in Funktionen vou 0 — 7. Um nun dieſe Wegſchaffung zu erleichtern;
‚ci ce) (1 Co (9 — 22

X CofJ == Ir Zen
ſo bemerke man, daß 1 0 — ef — zu uuu E

—⸗

und alſo | | a”
ei =) 1 te n\
+ Col3 ——— En,

folge

[4
«

’ I ,,fi re
folglich tang. = (—®) tang.

— 281

* . ‘

AS)

21) Den Winkel 9 — y nennt man in der Aſtronomie die wahre
Fe 5 |
Anomalie, den Winkel (t — A) y er aber die mittlere Anomalie,
a
und den Huͤlfswinkel Fdie eccentrifche. Anom alie. Die Aufgabe ®—1

durch t — 1 zu beſtimmen ift unter dem Nahmen der KReplerfchen Aufs
gabe bekannt, Man ſieht aus den vorhergehenden Formeln, Daß fie

nicht völlig ſtreng aufgeloͤßt werden kann; ſetzt mau «ber die Eccentricitht
e fehr Klein, wie Died auch in allen Planetenbahnen der Fall iſt; fo kann

man ber Wahrheit fid) fo ſehr naͤhern, als man nur Luſt hat.

Man ziehe Pur zuerft aus ber —

(N) tang.

und nimmt i für bie Zahl any beren hyper⸗

v(F

bolifcher RE 1 iſt; fo verwandelt ſich die vorhergehende Glei⸗
chung (N) in dieſe:

2 .. a
1 2 ® S = — |
0: 7 5 9 0—r .. i
Pas Sau > Hr
1 +4 1 ”

V ( — tang, „2 ben Werth von
In € |

0 —» in 3, weldes man vermittelft der befanhten —
— — erhaͤlt. Denn wenn man Kuͤrze ‚halb er

—

282 ——
a V — 5 ' * vv - 1 -
i — i F
u: | u 75
a Eure
i $i a

eder (wenn man bey der erften Hälfte mit i — und ben der aa

bern mit j - oben und unten AnUlSEDLUISE, M):
2

vr—h i
== E feßt i
eder, wenn man — ſetzt, |

“ J ⸗

— *
. u = 283 °
Ne 3
b *

a x
* —

| A “ — 21

| (0 — 2) 21 A a

| i TON = Iyv—ı ;
i | ı+ Ei we

| |
und folglich , wenn man bie Logarithmen nimmt,
i —

4Y—-Y1=JIH+ —

EL LITER
| | | g Bir Te
| a] (1.r Ei v 1);

wen: | s — |
druͤckt man num. biefe Logarithmen in Reihen ans, und ſubſtituirt hierauf.
| anftatt ber imaginairen Erponentialgrößen, bie ihnen entſprechenden
würflihen Sinus ; fo bekommt man endlich: 2

aE®
2
2 E

+ fin 3 I + ec,

a : 4

in welchem ſehr einfachen Ausdruck |
m ES 0 Di: a) vie , i
Fur vya+z)#.va—ı ’
oh — — | =
ä IH ya—e). = |
Man hat nun nur noch an bie Stelle von 3 beffen Werth in t— A
zu feßen, der durch die Öleihung (t -— A)" y — — I +

e fin 9 gegeben ift. Es ift aber nad) einem Lehrſatz, den ich anderswo ers
wiefen habe, wenn man eine Gleichung von der Formu=I+ £ 9 hat, -
200 8, I eine gewiſſe Funktion von I bedeutet, umgekehrt _

Nu 2 Has:

.ı ku=efnu,

284 _ 2: ae. —
| len. Blu).

Ju — fur

— oo te. °
2 du 2.3 du? m
und, wenn ®. I eine andere gewiffe Funktion von I bedeutet, und man

d. d. 5

etzt AL — —
fegt © d.s

’ u : 2 E? . a E’
BE —
3 —

folglih, wenn man Fin u verwandelt, - .. | —

aE? 2En,
finau— a leSe,

D. u —u — 2Eſin u 4
2

und wenn man dieſe Werthe in der vorhergehenden Formel ſubſtituirt;

fo erhält man den Werth von ®, 3, d. Inden von — rin u. Segen

wir nun Kürze halber:

V_—ı —aECol.u 4 2 E Cof a u — 2E’ Cof 3u etc.;
fo erhalten wir |

x a E2 2E?’
G—r=u— z3Elinu — ſin au —finzur ete.

⸗

F ur © 4
E

} 7 f neuem | "235

a V ſi de (V finu’)
2 du 2.3 du2

wo man mir e bie angezeigten Differentiationen‘ wuͤrklich zu vollführen hat.

22) Wir wollen 2tend annehmen, ber Körper werbe zugleich nad)
2 feften Mittelpunften durdy Kräfte gezogen, bie gewiſſen Fanenen der
Diſtanzen proportional ſeyen.

Es ſey wie im vorhergehenden Problem der eine der Mittelpunfte
fm Anfange ber Eoordinaten und R die Anziehungskraft, und ed werde
des andern Mittelpunkt Sage durch die Coorbinaten a, b, c die den x,
y, z parallel fegen, beſtimmt. Ferner ſey Q bie Anziehungskraft, q
aber die Diſtanz des Rörpers von dieſem Mittelpunfte, alsdann hat man
. offenbar: -

av (+ (y — b» + a9)
d. h. wenn man für x, y, z ihre Werthe ine, P. 9, (13) feßt,

g=yv(?— ar ((aColp + bfing) Cofy + rn h?), -
wenn man bie Diftanz der beiden Mittelpunkte

h=V (# + b? + + 0) feßt.

Es iſt Mar, daß ber Werth von T der naͤmliche, wie im orherges
henden Problem: (17) ſeyn wird, der Werth von V aber wird um das
Glied [ Qdq vermehrt werden müffen, und da Q eine Funktion von q und

da q eine Bunftton € von ö 9 Y iſt; ; fo giebt dieſes Glied in den .—
tialien

VV ⸗V — —
— 75 J dieſe:
— — Ze |
—* 05 po’ Qz a x .
2

die man folglich u zu ben erfen Gliedern der ee allen
gen (17) addiren muß.
Ten 3 . Fuͤr

286 .

Fuͤr die — des von den Kräften R und Q F 2 Mittel⸗

punkten getriebenen Koͤrpers hat man alſo * Gleichungen;
d.?dy r2 ſin cofy dp?

ae ent i+ RESTE

d.r2 Cofy? do dq

Zn aa rer

ar o rlClpedpa dp) II _
Tea "a +R+ 0, = 0(3)

und wuͤrde ber Körper zugleich er andern Mittelpunften getrieben; fo_
hätte man nur für jeden dieſer Mittelpunfte aͤhnliche Glieder zu addiren.

Wir haben bereits (4) allgemein gezeigt, daß wenn T und V kein t ent

halten, man allezeit zum integral T + V = Conft. hat, melde bie Bel
‚haltung der lebendigen Kräftein fich fchließt.

Im gegenwaͤrtigen Falle wird ſie alſo | u Zu
(da V=[Rdr »+ (Qdgund |

; r_® (Cof pa d@ + dp?) u. dı? m)

ade
1? (Cof 2 d dy⸗
RR; —“ — > (Rdr PETTFEEIN GE

and man fiebt, daß, wenn man bie 3 — Gleichungen (1),
(2), (3) refpeftiv dur dY, dp, dr multiplichrt und zu einander addirt,

‘man eine integrable Gleichung alu 2 beren — ne eben gefuns
dene ift,

Aus diefer Gleichung (4) sieht man? F

3 (Cofx: do? dw + dı®
tin. Han afRis = alQig ge

: r
*und
e *
*
.

N R 287: .

unb ſubſtituirt man nım biefen Werth In (3) und multiplicirt dieſe Glei⸗

chung duch r; fo erhält man: : Zn
dr 2 n-dq

— .+ Rr»r 2fRdr »u Qr- +3 fQdgq= 4A (5)
de... — dr | |
Es iſt dran rar IL(a Coſ u b ſin 9) Coſ ze

| _ * efinY]

and, wenn man r Yarlabel annimmt, = =

ggl=r- (a Cofp + bAnp) Coy—chay

e co h? — .q?
21.

= r
1? >&% gg? — h3
2r

— d \
durch die Subftitution. dieſes Werths von = in (a); erhält man alfo
endlich DE

dar 222g — b?
+ Rr oe afRdr + Q ——— allg 4äß)
2dt⸗ — = |

Diefe Gleichung hat. vor den vorigen den Vorzug, daß fie nur bie
veränderlihen Größen r und q enthält, und zugleich andeutet, daß eine
gleiche Gleichung zwifchen q und r ſtatt finden muß, wenn man nurr und
q eben fo wie R und Q untereinander verwecfeit; denn es iſt einerley,
die Bewegung des Körpers auf einen oder ben andern ber beiden feften
Mittelpunkte zu beziehen, es ift klar, daß wenn man fie anf den Mittels
punkt der Kräfte Q bezieht, man durch eine ber vorigen Ähnliche Analyſis
finden wuͤrde: =; 5 J

— a⸗

288 _ . g
. 8 *

d —
— 2 Rg + 2l0dg + FEEX 22,

ade ar

n
⸗

folh Cory — z

+ 2 fRdr—gä (6);
burch dieſe beiden Gleichungen kann man alſo direkte die 2 Radien r und
q' beftimmen. | | —

Ich bemerke jetzt, daß man der Allgemeinheit — bie 2_-
Coordinaten a und b des Mittelpunkts der Kräfte Q == o feßen kann,
‚oder, ‚welches auf eins hinauskoͤmmt, daß man die Achfe ‚der Coordina⸗
ten Q in die Linie feßen kann, melde bie beiden BR verbindet,
Nach diefer Vorausfegung hat man c=h, und

| q=V (en — ahr fin y + h?),
worin P.nicht mehr vorkoͤmmt. Man hat alſo
4
——o0.

Aus der Gleichung (2) wird alſo:
d.r? Coſ vꝛ dog

a8 | Pe
deffen Integral if < = us ar BB | -
woraus man zieht | |
= = sen ; (A).
Aber fin v— = a — T ;

2 + 2

— *F — 289.

Y%Uu bh? — (1? + hr — —
ahr |

and alſo, wenn man dieſen Werth in (8) ſubſtituirt,

do 0.4 Bh?
de Beeren (2)

jo daß, wenn man r- und q in t Semnt, man auch 9 in t hat.
d
ſin und aber ſind ſchon in r und q gegeben man kann alſo offenbar

die We fo ausdrücken , dag fie nur r und q enthält, und in dieſem
Falle iſt ſie nothwendig wegen der willkuͤhrlichen beſtaͤndigen Groͤße E ein
vollkommenes Integral der beiden Steigungen (5) und (6). Denn man
hat alddenn

(2 92 19) de — argdaf

er — (ev + ht — gq?}: .

Addirt man nun dr? und verrichtet vie noͤthigen Reduktionen; fü
fommt: —

dp dra =
Ferner aber if
rt Col: dp? — | aD
öA
Verrichtet man daher diefe Subflitutionen tn der Steigung (4) uns
laßt den Nenner weg; ſo hat man
„r ed? + 2 d — (rip — h?) rgdrdg
EEE rer
+ a Be * (hr — (? + bb — g) 2) ({Rdr 4
+ ifQdg — 24) — 0 8).
| Ds. mer: Aus

2 dp? =

4(g? 122 de art g? dg?— (1? ꝙ —h3) rgdrdg)
4 bh’ r? (2 of h® — 47

e 200 | . sun

Aus der Form diefer Gleichung aber erficht man jeßt leicht, daß
ſie entſteht, wenn man die Gleichungen (5) und (6) reſpektive durch
22 d. r - (2 qꝛ — bh?) d. qꝰ, 2 rꝛ d. ga? — (14qꝰ? — h?)
d,r? multiplicirt, zu einander addirt und hierauf integrirt. Sehr ſchwer
aber würde es geweſen ſeyn, dieſes Sutegral a priori zu. entdecken,

23) Um die Auflöfung zu Ende zu bringen, muß man aber noch ein-
andercs Integral eben diefer Gleichungen haben, hiezu aber kann man nur
für befondere Werthe von R und Q gelangen.

Nimmt man, wie es in ber Natur wuͤrklich der Fall iſt, an, es ſey
æ | 4 |
R= — r2 N) OÖ — q? 3
fo findet man, daß die Steigung (5) durch d. q? multiplicirt, und zum
Gleichuug 6* die mit d. r? multiplicirt iſt, — * eine Integralſumme
giebt, deren Integral iſt:
d. 5ꝛ d. 4(312 g — h) 46392 er — h?)
2 de | — q.
Fe | == 4A(le rg?) +20) ° 0

Maltplicr ran diefe Gleichung f durch 2 + qꝛ — h2 und addirt
ſie zu dem im vorhergehenden gefundenen Integral (8); fo erhält man nach
der gegenwaͤrtigen Hypotheſe eine Gleichung von folgender Form:

2 (d. ı2 %: a(d. Y |

ER IHN 2 — as (erg) —aRg
(2 + 3r m) aAln ger org hr) + 5c- |
(22 —h)— .2B (i0) . a

und eben diefe Gleichung durch Zr q multiplicirt, und zu: bieſer abbirt:
oder. davon abgezogen, giebt diefe doppelte Steigung: —

—

— R ’
Ä @
. %
J —

— — — —— — *

(8* — u? — dus

———————— — 2091

dur + d. q? )
Berry rtredl- sl

—-b(agesr]= |
Alt z MV —M Cl? —B:lıı),
Seßt man al rm gs, -

fo erhält man biefe Gleihungen: R

(3 — u: )2 ds '
de ter D)SHrblarrPß)s——

A(# —b)+ Cr —B,

— (“—B) + 2 (a — B)u
A(w—h) + CW— B;
woraus man ſogleich dieſe abgeſonderte Sieigung jieht:

16de

7er en EHER ler Am En)

— du

"vb F@— A)W:r Cw—h @—.B)u—Aht_ pe)

folglich

82 da | 8F

4 —E 4) 33 + C2—h GE B) s —Aht — B2).

u?du j

=; V(Au (æ 2) u Ferm @—Au—ah Bi;

durch eben biefe Subftitutionen wird auch die Gleichung (7)
dp . 4Bh
dt == Kai (s? — h?) (u? — I?)
Oo 2

Ian 2

292. a ——

4.Bh? i T- ee y — !
— _w\e— bh w—h) ie

melde folalih giebt. .
| d u s ö Bh? ds.
2 (s?—h?) V(Ast + (e HP) + Ch? (a + A) s—Aht—B®

Bh? du:
— w —=h) v (Aut (am AJut -FCu?—h’la—A)u— 'Ah*—3?) =355,
Könnte mian diefe verſchiedenen Differentiälten integriren; fo hätte man

ſogleich eine Gleichung zwiſchen s und.u und t und O in Funktionen von s

und u; man zen alfo q und hieraus t und Pin Funktionen von r; unbe

b —
da ln . - * „ſo hätte man auch yinr..

she

| Dieſe Differentialien —— ſich aber auf die Mektification der Kes:
gelſchnitte, man Tann fie nur burd) Näherung auflöfen, und die befte:
Methode hiezu ift diejenige, die ich an einem andern Orte für die Inte⸗
gration aller Differentialien gegeben habe, die ein radtkales Quadrat‘
enthalten, morin bie beränberliche BO jur. sten mat unter. dem:
« Beichen fleigt.

Gabe es auſſer den beiden geiſten t und „ die be Koͤrper nach

den 2 feſten Punkten anziehen:, noch Bi dritte, bie der Diftanz pro⸗
portional wäre, und ihn nad dem in ber Mitte der Linie,
die. die, beiden. Mittelpunkte- mit einander - verelmigt:,. befindlichen
Punkte zoͤge; ;. fo. kann dieſe Kraft offenbar: in 2 nach einerley :
Punkten firebenden,.. und den Diftanzen: en Kräften zerlegt

merden, In dieſem Falle hätte man alſo = * 27.

N B U 2 » R
Q0=— + 279:
y g;,

d-
und

( =

J ” —
ceev 293

"und man wuͤrde finden, daß das Integral (9) In dleſem Falle auch ſtatt

faͤnde, nur muͤßte man zu ſeiner erſten Haͤlfte die Glieder

Ge slese)r (ers)

— Hierauf muͤßte man jur erſten Haͤlfte der Gleichung (10) die
lieder RE

— + ri sg? (? Hg?) —h2 (er gt + 612 ”) |
und · folglich zur erften Hälfte der Gleichung (zz) die Glieber-

ıT/. = | *
| af (x z4). — h* (7 +9): ] addiren.

J Man hat alſo nur die vielnamigen Glieder in s und u unter dem’
Wäürzelzeichen durch ‚die reſpektiven Glieder

”.

— se — ha5*) unb:
er Sarg )

BER. u — h? )
4 \.

zu vermehren, welches bie Auflöfung noch verwickelter macht.

24) So unmöglich es auch ift, die zwiſchen s nnd u-gefundene Gleis
dung allgemetn zu integriren, ‘und folglich eine endliche Verhältniß zwi⸗

noch davon 2 befonbere unter s == conli. und v.= conf." vorgeftellte Ins
tegrale erhalten;. denn druͤckt man biefe Gleichung überhaupt. buch
ds du |

— gu fo iſt klar, daß fie auch ſtatt finden roird, wenn man:

YS .yvV

" dp ober du==o feßt; Yorandgefeßt, ‚daß Die Neuner US oder YUV and
zugleich. — o und von beyfelben Ordnung find, Um: die für dieſen Fall.
4 et Ze Fe noͤthige

ſihen diefen beiden veraͤnderlichen Größen zu erhalten; fo kann man den⸗

—

29% nn en |
noͤthigen Gleichungen gu erhalten, feße mans — f + w, wo f eine bes: —
ſtaͤndige Groͤße, und « eine unendlich kleine Größe iſt, und bezeichhe

durch F ben Werth von S, wenn s ſich in f verwandelt;. fo wird

‘ds a 2 2
at u F
do
OO dE., Fr
er Si
damit alſo oben und unten eine gleiche Anzahl von Dimenfionen von « ſtatt
| | dF | en I.
finde; fo mug man F= 0 und T7 == 0o haben. Da aber = — ; füers
| N d | |
wandelt ſich das vorige Differential in - ar defien Integral
| ; u 2: — ade |
iſt Fr — l — wo Keine gewiſſe willkuͤhrliche beftändige Groͤße
var - |

| iſt. Macht man alſo » — 0 und zugleich auch K — 0; ſo wird der |

Werth von ] — unbeftinmt, und bie Sleihung kann ſtatt finden, *

d '

hen Wersh auch die eine Hälfte ſ = haben mag. Man weiß aber,
D n 2 \ ö dE „or " .
und es ift an fih klar, bag F == o und A 0 die Bedingungen ſind,

die f zu einer doppelten Wurzel der Gleichung F = o machen. Hieraus
folgt.denn allgemein, daß wenn das vielnamige S eine oder mehrere dop⸗
pelte Wurzeln hat, jede derſelben einen beſondern Werth von s giebt,
und eben dies findet für das vielnamige U ſtatt. | |
= J Es

a 0 j 295

Es acheller aber jetzt, dag die Gleihungs —s F, deerr Fqg=f
eine Ellipfe bezeichnet deren 2 Brennpunkte in den 2 Mittelpuutten der
Radien r und q ſich befinden, und deren große Achſe — fift. Ebenſo
bezeichnet die Gleichung u=g oder r — q= g eine Hyperbel, deren
Brennpunfte in einerley Mittelpunfe fi befinden, uud deren krſte Achſe

g if.
Die befondern eben genenuten Auflöfungen geben alfo Ellipfen oder
Hyperbeln, die um die Mittelpunfte der Kräfte — A die man zu -

£ B

2 2’
- VBrennpunkten angenoıinmen hat, befchrieben worden fi ind, Und da
‚die vielnamigen Glieder S und V die 3 willkuͤhrlichen beftändigen Gröfs
fen A, B, C enthalten, bie von der Direktion und der anfangs
lichen Geſchwindigkeit des Körpers abhängen; fo iſt Mar, dag man
allezeit diefe Elemente fo annehmen Fann, daß der Körper eine gegebene
Eilipfe oder Hyperbel um gegebene Brennpunkte befchreibt, Derfelbe Kes
gelſchnitt alſo, der durch eine nad; einem der Brennpunkte in verkehrten
Berhältnig ber Quabrate der, Diftanzen oder nad dem Mittelpunkt in
Verhaͤltniß der Diſtanzen wuͤrkenden Kraft befchrieben wird, kann auch,
welches fehr zu bemerken iſt, durch 3 gleiche nah 2 Brennpunften und
dem Mittelpuntte ſtrebende Kräfte befchrieben werben...

25) Wäre der — der Kräfte Q, deſſen Lage allgemein‘
durch die Coordinaten a; b, c (22) beſtimmt wird, nicht feft, fondern hätte
er .eine bekannte Bewegung; fo würden die Größen a, b, c nicht mehr bez
fiändig feyn, fondern Funktionen der Zeit t werden. Jedoch würden’ ofr
fenbar die Sleihungen (1), (2), (3) flatt finden, weil die Größe V
und bie auf r, $. 0 ſich beziehenden Differentialien einerley bleiben würden, .
* aber das Integral (4) würde, wie wir * —— ſchon angemerkt ha⸗

ben, nicht ſtatt finden.

| Anders würde es ſich verhalten, ı wenn der itteldunfi ber Kräfte”
R,- worauf mir die Bewegung bed Rörpers beziehen, ebenfald eine
Bewegung hätte, Um alsdenn die rechtwinklichten Coorbinaten. x, y,

2 der abfoluten Bewegung des Körpers zu erhalten; fo müßte man

bie Summe. berer dieſes — die ſich auf etüen gewiſſen fer
ften R

296 J —

fien Punkt im — beziehen, und derer des Biene in Beʒug
"auf eben dieſen Mittelpunkt nehmen.

Trennen wir alfo X, Y,. Z die Goorbinaten für den Mittelpunkt
der Kraͤfte R und ſtellen wir, wie oben, die Bewegung bed Körpers '
um bdiefen Mittelpunkt durch den Radius r und den beiden Winkeln y
und 9 vor; fo hätten wir im gegenwärtigen Falle,

x—XrTCoſv Colp,
y=Y+ rCofy fin9,
z=2L+rfag;
woraud man zieht: oo.
dx? + 42? + dt — dX? + ar: + dZ“ —
+ 3dXd. (rCofy Colp) + adYd. (rCofy fin 9)
+ 2dZd.(rfinY) + 1? (Col ꝓ⸗ dp? + dy?) dre.
Man hat alfo zum ra von T (17) die Groͤße

4X? „+ dY? .- dz? dXd.(rCofy Cofp)
erde a ne a
PR in du 2): - dZd.(rfiay)
dr de /

zu abdiren, und bezeichnen wir fie durch T’, fo hat man zu ben 3 Gleis Ä
dungen (17) oder allgemeiner zu denen (22) die Glieder

sT/ 7
——— er
‘ 8 eT’ 7
d. 1dQ — 19 ’
et 4T |
nr |

Ainzu zu addireen.

— | — 297

Was aber den Werth von V betrift, fo wird er derſelbe bleiben,
Indem. man noch immer den Mittelpunkt ber Kräfte R für den gemein
ſchaftli — dev Toordinaten b, cder andern Mutelpantte ans
nimmt.

— Sic man alſo die Bepegung des Mittelpunkts als Befannt an,
ſo muß man feine Coordinaten X, V, D als gegebene Sunkttonen von t bes

trachten. Der The il werd az! - des Auedrucks von J T' wird

N) eine ein Funft n vont ſehn/ ub in der ® erentiatton na
—* —X alſo * T’ die Ar Glieder zu 4
men, und man findet nach (4 Abfchn, 7.) leicht, daß die zu den erften
Hälften der Gleichungen (1), | 2), 3). 22} xefpektio nnpgtategencr

— ſeyn werden: — |

ax a F „®z

— — Fan Pre.

d X 2 i ; we

a erymp + * Cory Cop, ne

- "Miss — any; “ Tıda T:: u | N

ca rs ea fin ey ta ia
| 8 men ORLIER 10 SEHEN GER So en 1102 19fı

= ie Sie I Bel — Shakefpunftd aaa ui N |
NL] — >
dx — — REM 3 ya 3
—O — u 0, — m OÖ,
"de dt? A nie, di... 7 0 ee RR Be

"und die vorhergehenden Glicheb wuͤrdoͤn von: ſelbſt verſchvinden. Im allon
andern Faͤllen werben dieſe Glieder bie Gleichunmgen fuͤr die Bewegung
des Koͤrpers Fr verwicelter und fhwerer zu integriven machen, und da

der Ausdrutk bon Tioheglir die — Achſqhueſe wegtanter .

bo 2

Senblich enffernen,; und nehmen. wir

x '

v » R 2 | /

298 —
⸗ er ED Sa ae Se vi Eee

3 ar az
geh — win. Sr TV = Ci, ve fat

Fe, .

8 1.08

26) Bleher haben wir angentinnen, der Abrper fd, Yard freg.

Waͤre er aber gezwungen, 8 auf einer gegebenen krummen Oberflaͤche

zu hewegen, ſo würde alsde ider Raͤbius c chre b kannte Funktion von
P und Y feyn, die auch t enthalten Aifıde, wem 'd gFiaͤche fFelbſt Yarfkk
bel oder doch wenigſtens nach ‚ginem.gegebenen Geſete beweglich waͤre.

. Man hätte alsdenn alſo nur dieſen Werth von r in den Ausdruͤcken yon

T und V zu fubftituiven, nnd bie ⸗ veraͤnderlichen Groͤffen 4 md’ 9 eine
Veraͤnderung erleiden zu laſſen, hiedurch jefäme man 2 Gleichungen, bie
Bazıi -_. würden, die Bewegang des Körpers 3" beſttmmen. Rd.
ma At,
‚a — gewiſſen befiänbigen Gräfe oder einer einfachen Funktion

Son t ohne AP oder. gleich; fo‘ Beben dis Varianonen diefer Größe in .
Bezug auf die Carakteriſtik d— o ſeyn, und man bat alöbenn nur die
Gleichungen (r) und (33 (22), worin man flatt.r deffen gegebenen Werth
fubſtituiren muß. Diefer- Fall enthält — die Theorie der Pendel
von einer beſtaͤndigen ober veraͤnderlichen Laͤ * — wir uns ein
einfaches Wedel von der Singer nk Mitt ig + wuffehas
gen vor, und ſetzen Ihir die nach — — he a A Kräfte
‚R=0, die Kräfte Q aber, ald yargllef, Indem * ren Mittelpunkt un⸗
U niehrerer Einfachheit willen die

Acfe der Drbinatenz als vertikal, unb Yon oben — unten : bie

Kräfte Q aber in derfelben Divektioh as; fo hat man .. y:
a = FU En DE . —. —
ao, bo, sehe, iu —
ad q VM. £(h*- tar My Aꝓu⸗ — ICE TL TERN PR U ae! “a een
—*— Ir -tny 1.2. L a *

* vie Gleichungen 1a) u a — ia —

—

— / — |
3 ä 2 hang: Vi wie, sten a - E ® e 99
d, rꝛd y r ſin Coſ d ._ ad
— — en en | £ Cof zu > — Ze
d ta * dt: _ be \ $ at . % . f)
i dr Cop de —— —
— —— —— — 8. ’
‚de ee —

| u ur: nn 72 %

= Der —z—8 ſdrůckt hier Sie e Reging bed — zum —
rizont und der — * 9 den aus, ben daffelbe ER Feine Kunbeas

tung um bie vertikale Sun beſchreibt.

Die ;weite iechung gabe ſogletch, Com. mon — * M I
8 cCayedpe | | |
rose r-—

v er » #
* te Re # tree fi

—

| — folgt zZ u

2 Cl... , | —

> ve Sisfktict man nun dieſen Werth Base —2 —

man: ...: Der we 1 —— BER
durdy —R

= ir a . a.
— Coſꝓ — Caf — —
ee

Sind rund © beſtaͤndig wie — den ae lichen Derben, ‚wenn
Qdie Kraft der Schwere ausdruͤckt, ſo wird die‘ orhergehende eichung

bdurch die Multiplication mil „ntteghabet u maß betbnunt alödennz.

rd Aa R ee
— — Aca — 8 —— ar ee ae
woraus man vo i . —

so ME m, ya Cofläid ee Be |
ade = ” — Cof Yv +3 2 | Co ꝓ ſit —

e 4 ‚ Di
44 va . — —
Das vr Pp zii Ve Pe EEE Zee
i.. e z

* -
x . “ ——
[nu 5 * es =
00 | F
kr 2

‚r
— and IR Fe ae
‚und bierans sa
Ade w
do = | -n) |
\r2 Cof: Col N
Ady ‚u

Col y v(a gl Bra Cof y? 8 aQr. ‚Col, y? 6 N;

Diefe, Diffreentjollen in aber fü nd nur In: dem Gafleräntegtabel,
wenn die Varlationen von I nicht als fehr. Heln-.anggnommen werben,
Man kann jedoch durch ähnlihe Schlüffe ald (24) erweifen, daß ber
Wert von: Vbeſtaͤndig ſeyn⸗kannindem ver. die ⸗Sroͤße unter, dem Zei⸗
chen, ſowie auch das Differential derſelben — 0 macht. Died iſt der
Fall, wo das Pendel die Flaͤche eines geraden Kegels belchreit. |

Iſt der Radius r veränderlih, welches der Fall iſt, wenn man die

Bewegung eines durch einen Faden aufgehangenen Gewichts, der ſih
nach einem gegebenen Geſetze verkuͤrze oder verlaͤngere, Lverlangt; fo iſt
die Gleichung nicht allgemein integrabel, ſondern dies findet alsdenn nur
Bey ˖dem maglnairen Falle ſtuit, wenn'bie Auaft O nit bean Cubus ber
Diſtanz von der horizontalen Ebene, die durch den Aufhängepunkt: gebt,
iu einer verkehrten Verhältniß feat, fegtgan alsdenn

K a,
— 7 — und multipliciri die — Gleichung durch r⸗ day; Be er⸗
er an Ä u e
haͤlt man das Sur‘, ae Beeren
(r.dy sy): MB. 1, ck BI DIRT FE "0 Dim Zeimä
de j op + fin y® — — a Yen

rn A

Funftionen von y findet. ee
Druͤckt man — ns = 0, bie Flaͤche ana — *

Körper ſtag epy r, 3; Pu
t feyn muß; nA me inan wur” * Sa mE als — Hader

ung anzufehen, bie zwiſchen den verändern Größen, y, 9 —
2 nden

: a _ — u | 301

- finden muß, und kaglich zu den erſten Haͤlften der Gteidrungen (1), (2),

dl, dL _dL
(3) (22) bie Ölieber A -— , A -— 2’ A —* addiren, wo eine un⸗

beſtimmte Größe iſt, die man wegſchaffen muß, daß nur 2
Gleichungen übrig bleiben, bie mit der Gleichuug L = o verbunden, dazu

dienen werben, volllommen die ER Linie und ‚Bengung des Körpers

- zu beflimmen.

Waͤre aber bie Frumme Linie, worin fi dei Körper — fol,

ſelbſt gegeben; ‚fo erhielte man 2 Gleichungen L=p, M==0, und

man müßte reſpektiv zu den erfien Hälften der Differentiälgleiihungen.

dL. dM , gL „aM
1), (2), (3) die Glieder a — + —
— F 3) dy BT — ur »275

d4M ..
amt eg adbiren, wo bie beiden Größen A und unbeſtimmt
find, und hernach weggefihaft werden muͤſſen. a

Enthalten L und M kein t; fo bat inan ſogleich
T+ V = Conſt.
welche Gleichung zugleich von A und a befreit if. Dies Integral —

’

wird nicht ſtatt finden, wenn bie Zeit t in den Sleihungen für die geges

bene Fläche oder Kruͤmme nicht vorkoͤmmt. Auf diefe Art findet man
fehr leicht die Gleichungen für bie Bewegu ung =“ Körpers in einer, bes
weglihen Röhre nad) irgend einem gegebenen Gefebe, welches eine Auf⸗

* — deren Aufloͤſung — die gewoͤhnlichen ———— ſehr WIR
i kelt +

5. III. Pa n :
Bon’ dir Bewegung" mehrerer Körper, die auf einander entweder durch Anie

bungsträfte, oder — fie — Faden oder — mit einander werben i

find, anf einauder wuͤrken.
27) Mir. wollen m, m/, m’etc. die Maſſen der ARTEN: Koͤr⸗

per des Syftemd nennen, die wir als Punkte anfehen, x, y 2 m

Pps

, ." > t n — -
: , a ri ‘
— — A * h ‘ . —
Jor + —

die Coordinaten des Koͤrpers m, x', . 27 die des Körpers min. fin”
indem man dieſe Coordinaten alle anf, einerley feſte Achſen im Raume

bezieht; und sim die Ideen mehr feſt zu ſetzen, wollen wir allezeit die
Achſen der x und y horizontal annehmen, die Achſen der 2 aber vers
tikai nach der Richtung von uber nach unten: Wir wollen dieſe Coor⸗
dinaten fogleich In die allgemeinen Formeln einfirhren, aber w irmellen

fie hernach tn andere der Natur der Syſteme mehr ange⸗
meſſene verwandlen.

Man hat alſo allgemein ———
| dx? + dy? ++ dz® dx? 4. dyl? „2'dz/2
J —
| = — — er a dı? |
Wir wollen ferner P, Q, etc. die beſchleunigenden Reäfe nennen,
womit jeder Punkt der Waffe m nad) gegebenen feften oder nicht fes

ſten Mittelpunkten firebt, indem man. die befchleunigende Kraft der
Schwere zur Einheit anninitt, und wir wollen diefe Kraͤfte gewiſſen

*v
*

Funktionen ber reſpektiven Diſtanzen p, q, 5 etc. des. Koͤrpers m von

dieſen Mittelpunkten proportional ſetzen. Eben dieſe Buchſtaben mit
einem Strich bezeichnet, moͤgen analoge Großen in Bezug auf ben
Kirper m! bezeichnen u. ſ. w. |

| u Auf dieſe Art has mans :

N ee Qdg rec) m ä; war

= a. — F — ete.) +, ee, . “ *

* hg

nnd werben die — durch eine vertikale une beftäntige Kraft * —

von der der Schwere — werben P, P, etc. — # ſeyn, und.

gus ap. dp‘, exe, wird ald N 5 rn del, etc... indem. bie abnchmtn
alle

ie boͤher fie find. ; sie man alſo: er —*8*
V=—r(nz + iz α ete. ).

| De ee a u e * |

ı Da E Dr EN ee Was

\ — * J 277

— 303

Was aber die gegenſeitigen Anʒiehungen aibeteift; fo iſt Kar,
daß wenn R die abfelute Anziehung oder bie befchleimigenbe Kraft aus⸗
druͤckt, womit jeder Punkt der. Maſſe m birrch jeden Punkt der Maſſe
m’ gezogen wird, die ganze Kraft, womit jeder Punkt von! m mach dem
Körper oder Mitteipuner m! hingetrieben wird, durch m’ R ausgebrüdt
wird. Nennt man alfo r die Diſtanz zwiſchen dieſen beiten Kövpern; fe -
befommt man mm FRdr für das auf disfe Anziehung in dem Werte
Yon V fich bezichende Glied; u. ſ.f. |

. Fähre - man 'mm in den Funktionen T und. V neue veränderlihe
Größen k, 9, etc. ein; fo ift jede derfelden ımabhängig von allen andern;
man erhält olfoin Bezug auf biefe verfchiedenen — —— Glei⸗
chungen von ber Form: |

eT sT eV. —
I va F J ——*
BETT; I; KT zu | u...

Sollen aber dieſe veraͤnderllchen Größen auch in den Glelchungen
L=0,M=0, etc. vorkommen; fo wird jede veraͤnderliche Größe
& für die Bewegung bes Körpers bie Differentialgleichung Ä

ur. TE, Mm

. geben, wo A, m, etc. anbeflmun Brig find und wehhelhe wer⸗
den muͤſſen.

Man wird ſich aber leicht noch aus dem — FR
daß wenn bie Funktionen T, V, L, M, etc. die Zeit t nicht enthalten,
man allezeit das Integral /T -- V = Confl. hat, welches den Grund⸗
ſatz ber. lebendigen Kräfte in ſich ſchließt, undıbag dies Integrale ee: Ä
. mehr ftatt finden wird, wenn bie endliche —— u. t —
eine ber vorgegebenen Funktionen vorkoͤmmt.

28) Died vorausgefeßt wollen wir ford = Körper m md m/
betrachten, bie einander ſich bie abſolute Kraft ,R anziehen, und
en - wir

206° BE 2 >
wir wöllen — man verlauge nur die Bewegung bes Kaͤrpers
u’ um ben Körper m. Nennen wir nun &, 2, 2 bie vechtipinklichten
Coosäinaten bed Rörperd ım/ iu Bezug auf den zum Mittelpuũkt ans
mmerten Körper m, ‚und beziehen wir diefe Coordinaten auf Ads
fen ,.die denen ber x, y. z parallel laufen, und Puh ben — m
gehen; fo erhalten wir x! = x.+ £,
y=-yr% w
REN BAR; |
d a da?
Folglich hat man 1) T= (m ++ m’) oh — = |
—F —— dy >
ad mm „de? — =
.)V=mm[Rdr, | . |
wenn man eV [(x! — x) (y/ — E22 * (2 — zxj
=/tererte)fee, i
da aber die veraͤnderlichen Größen x, y, ⁊ unabhaͤngig von einander
und von ben andern Größen &, y, 2 find; ſo giebt jede dieſer SERIEN: er
hen Größen - Gleichung, als: 4 |
di £ | — Eh

2. den — — —⸗ J 8

(m + Ep mo | we
— day dy cer |

m 1 in’ — m/ _—— = ©, a Se 3.

— Ida + dı2 Pe 5 u er

d2s- u —

tn w — re er
woraue man Ba 5 — findet. = a ' N
BET PRIRaL Rot ——
ne ER LT — —
"a o9 ee er A Se Fr \ . tb,
F dy

—

Pers m)

: —
Ay tm N
ine
‘dz m yd? ER

| «ET Tate wre)

Subſtituirt man nun dieſe — in dem algenainen Bert on von

T; fo wird dieſer

T
arm pm‘ \ | ade
mi. /ay buch
‚m >I- m/ N 2

des Koͤrpers m?’ und m.

- Stennt r man alfo r ben Radius Vektor dieſer Vahn, "bie Neguri
1 dieſes Radius auf der Ebene der Sund 7; und 2 den

ſchon geſehen haben:

| Er Cof Y Col,
y = r Coſ ſin ,
— fin Y;

und hieraus a2: + dr? + = =n Kot de: —— * ar⸗.

Set man alſo

Siationen verſchwiudet) und

mm‘. — + dt —

13*

2 de

Y 4

wei

ae Ber

n
“

-- — —

TV enthalten alſo nur die berindeniche WVidüen — % ę ber. Be

>
vr i
L

Winkel ver Pros
jeftion auf diefee Ebene mit der Achſe der ei ; p ‚erhält many wie wir

Mee

⸗

mm’ tr (Col de + ai + an)

(wo ich die beſtaͤndige Groͤße weggelaſſen habe, well fie bey ben Differen⸗

V.= mm’[Rdr;

J 84

ſo

nn.

306 5 ———

ſo geben die Bariationen von — P undr, wenn man alle Siehe buch
mm ; '

— —— dividirt: PR
d.r2 dy r2 finy Cofy 49?

a, 2 de. =

dr Cof yvdo d® _

Ze ce

d?r a e (Cofyı don, da; + +ay
dı? — Te.

Pe ee \

+ cn + mi). R=o,

—

welche Gleichungen wie. man ſieht, denen ähnlich find, bie wir fuͤr die

Bewegung ceknes nach einen feſten Mittelpunkt (17) getriebenen Koͤrpers
ſchon gefunden, und aufgeloͤſt haben. In beiden Fällen wird alſo die Bes
bende Kraft durch (m + ml) Klausdruͤckt.

29 Wir wollen uns jetzt 3 Korper m, m/, m’! vorſtellen, bie ſich
einander anziehen; naͤmlich m und mdurch bie beſchleunigende Kraft R,
m und m‘ dur bie Kraft R’ und m’ und m!’ dur die Kraft R’; man
verlangt nur bie relative Bewegung diefer Körper, zu wiſſen

—— fem; age man bie nach dem feien Dittelpunks ſtre⸗

Behalten wir die auf die Koͤrper m und m’ ſich beziehenden Benens |

nungen (28) bey, und feßen mir ferner. £', g, 2 fenen für den Körper m’
die rechtwinßlichten Coordinaten in — auf den MAD: m ald auf den
Mittelpuukt, fo hat man

UK FV, — —
De ee

Folg⸗

en. 367

dx? + dy’ —

Zelguch — Fl)‘ — —
dxd dyd dzd
fm m’ — ———— an wann h
ee Pe
— — d, * dor on | —

2 de?

FR LEE A drdgr —

dr
k — „d [3 a
| oo +m — —

»)VY=mm’[Rdr ++ mm’ [Ride m! mat FRUdıl, 2
wenn man r —/ (#2 + *422)3 J

ae Ur td 07ER a ne Ka

Eee fe 2 3,2707 — + ai 2° fest.

Well nun die veränderlichen Größen x, y, 2 unabhängig fordohl von
einander als von andern veränderlihen Größen fi nd, ſo geben Au Varia⸗
— ſoglekch rar von ir Form: u a
(m + m’ > m) | m’ — Em F EM er —

= Er de
| ıy i —XX „de y’ J Be:
— my —. = "
„arm ir ut 3m e

—

——— —
—— nt wol‘ 84
— woraus man — die — — a RR

x = ö ® e Da 2 , dx.

308 2 —
d d
m - — wit, De ): (m»r mir m)

4‘

T=-—-“ een. a b)r {m pr m’ + m’)

dz _ de agı
Fr m’ FETTE (m + m + m’)

Sublitunt man dieſe Werthe in den ollgemeinen Werth von T; fe.
verwandelt derſelbe fich in diefen

m’(m.pmit) /dEr da? + df?
m - mf ..m’ ade
m’ m!! & d£! + dndy! md2dfN -
mr md rm j dee eg )
Ka an ee
milm rm) (den +.d,t + 2) 4
| "armen nn ade.
s r Pr + be 4 —
EEE RER TEE (ec)
ı 3alm tut m | |
worin nur die veraͤnderlichen Größen &, 7. 2. ke, 74, 2! vorkommen, melde

ben der Funktion V. flatt finden, und bie relativen — om m
and m‘ um m ausdruͤfen. |

Da biefe 6 veraͤnderlichen Größen —— von einander ſind,
ſo koͤnnte man ſogleich, wenn man ſie einzeln variiren laͤßt, Differential⸗
gleichungen zwiſchen dieſen veraͤnderlichen Groͤßen erhalten. Man ee
auch den Werth von T in Funktionen. der Radiorum Veltorum r, r‘ und
der Winktheh, P ind pl. Q! ausdrücken, wenn man ſtatt 5, 19. K. ee.
ihre Werthe r Coly Col 9. rCefy fa 9, :rfin . r Col y' Col Q!
etc. ſubſtituirte. Man erbielte alodenn ag zwiſchen biefen neuen
veraͤnderlichen Groͤßen.

Feng

— | 969

Jedoch tft es Leicht voraudzuſehen, daß dieſt Gleichungen fich nicht
unter ber.einfachften Form darſtelley, wenigſtens nicht in Anfehung der
Differentialgliedes, wegen ber vielen unfer einander in dem Werthe von
T befindlichen veränderlicheh Größen. Umr'nun diefe weränderlichen Gröfs
„fen von einander zu trennen, fo gebe ich dem T biefe Zorn; .

— mu derart

— — m’/(m m — de tde 0,

j — a — — : 9: ; |
z "m fe m? F m ade > zu
LE u

a £ ” i * —
—
almtrm tm) |
x

ER Fe. VERER, —
wo a = ?—— £, " 2
vs mtm .

| vr m“ — Er ; PEN
Bineeieen g' um UNEEERETINE sone J.

.m + m/

. j dir \
item
% ı ‘
ie S

Eubfltnich man nan in £/ und 1. hatt ke, 74, 2 ihre Werthe

’.
& x
21 t.

Pe}

a © a ee N. m’

a + Perg. * ee

fo erhält man T und V in Funktionen von &, 7,2, =, 8, ausgedruͤckt,
und da auch dieſe veraͤnderlichen Größen unabhängig von einander find, fo
merben fie auch eben fo viele Differentialgleihungen geben, : Führen wir
nun flatt &, 7, 2 ben Radius r und bie Winkel p und © nach den oben
gegebenen Formeln ein, fo verwandelt ſich der hell des Werths yon T

eh \ Sn

m’

Das. Te

g10 — —

wm! Gar: — IJ BT 6 2

— nrm "ade — |
„mm rn (Col ya: + JR de — —
un te ii une ng U. ee “

und dies ift der einzige MWerty, ber Siteder in den von ben Variationen
von rs Y und 9 abhängenden Gleichungen giebt.

Sieht may daher nuch #9 und’! als Funktionen eben biefer —
derlichen Örögen an; To hat man ſogleich diefe 3 Gleichungen:

mm’ d. r2 dy 12. fin y Cof v dga F — —
— ni de ur a — dee — |» Mm R —
| | dr”
= se .s, _

mm’ ,‚d.r Cofy2 do\
m -t- m! ( - de?

mm! dr r(Cofy: ——
m »- m’ de dı?

— Als er ch
m’! Ri? — m/ m’! Ra =o
u er ®

r
rn Tr — ee m
v

+malR + mat

= u —
*

Pi Ru“ —
— Er e — ee
Um nun die Werthe von dr“, ar in I, 39, dr zu wit: ; fo
hat man nur gu. bedenken, daf en

rt. a Ze int — SER

el ge (Ei £) (est) + * Gy

AIR) Zu ö Be:
und wenn man Kon ber Variation van a Br abſtrahirt z ſo ba man: |

—F 7

rn
Ce

,——. . 23911

m/
= —
4 mem In
—
ya —* ——
2. m’ ä —
J ⸗ * m + or 74) ⸗
ſo daß man hat

CR EC — J

r! er/ —

—R— are en Erd

-
_
Dam
a

—WM rn Ya - Ei i2 1J

Subftitairt man nun ſtatt 2, y, ? ihre Werthe, und feht auch Ahns

liche Werthe an die Stelle ber £', 71, 2! d.h. ſtelit man auf gleiche Art

bie Bewegung des Körpers m’ und m durch den Radius WVektor r und

durch bie Winkel und 0 vor; ſo findet man:

Er Ne Vi J Nar,
wenn man Kuͤrze halber ſetzt:

vr (bay Cly— Cofy’ En y Cof(p - —*

= ertCofy X Col y! fin (PP).

N = rlliny'fioy * Col ⸗ Col + re — 2
6 daß man ‚hat £® |

— m (utäiernm .

EM xxc

In B> J — PP . y
2 2 — — r 1 — % 1 \

t , £ e ri * «Ct;
wr

a
ee: een
>
12
z1 | ——
* —

TER EG Br u Ei

at Ef
Lt zn — 1 Zr — is
Dividirt man alfo bie a Steihergen * u, | F
fo erhält man: . - s a.
d. d. 1 dy r? fin y Cofydpr (ae Ri |
Ber — — m‘! Er
d.r u IR Ru EB |
— — To dee 3
* — do? ER
— Er, A
F BR ri \ ‚rR’ 4 an —
mel (S San I 4 7 == 0) er |

weldhe für die Differentialglieder dieſelbe Form: haben, als die dir Bes |
wegung eines nach einem feften Mittelpunkte gezogenen Körpers. _ R

Auf gleiche Art Kann man 5 5 ähnfiche Gleichungen für bie Bemegung:
des Körpers m’! um, m finden, und da felbft in den Werthen von Tund.
V die auf die Körper m'und m? ſich bezlehenden Größen mit einander vers‘ _ |
wechfelt werben koͤnnen, fo hat man nur in deu vorhergehenden Sleihuwn _ |
aen bie Größen r, Y,9, Rund m’ inr‘, Y', 9°, R’ und m‘ und umges
Tehrt zu verwandlen, indem die ‚Größe er’! die nämliche bleibt, teil fie guf
gleiche Art zu ben beiden RSowans gehoͤrt, deren Diſtanz ſie gg

Wären mehr wie 3 Körper vorhanden, bie einander an —* ſo
wuͤrde man dennoch die Aufgabe immer auf einerley Art auflofen/ ünb
man wuͤrde Gleichungen finden, die zwar den vorhergehenden aͤhnlich,
aber mit den Gliedern vermehrt wären, bie ſich auf bie Attraktionen aller
andern Körper beziehen. Settzt man nun in biefen Gleichungen
| —E

x >

, | m | 313
— —— — b———
Rn; —— —
fe hat. man, ben Fall der Bewegung Dex Planeten, wenn fie ſich eicander
anziehen und durch die. Sonne angezogen. werben. Nimmt man nun m
r die Erbe, m’ für'den Mosb, und m’ für die Sonne an; fo verwan⸗
deln ſich die oben.gefundenen 3 Gleichungen iu bie ber, unter dem Namen
der Aufgabe von den 3 Körpern, womit fi die Geometer in den Ießtern
Zeiten fo fehr bekhäftigt haben, bekannte Aufgabe... -Dev.Umfiend, daß
‚ bie Mondes und Sonnenbahnen faft cirfelrund find, macht, daß fie.
durch Naͤherung aufgelößt werden kaun, und man kann in den Werken,
worin davon gehandelt wird, die Kunftgriffe fehen,. bie man erdacht hat,
um diefe Raͤherung bis zur möglihften Genauigkeit zu treiben,

30) Wir wollen und jegt Vorfiellen, die 3 Körper m, m’, m’! zoͤgen
fi nicht an, ſondern wären ſchwer und durch einen unausbehnbaren Fa⸗
den verbunden, fo daß m’ und m’ an ben beiden Enden des Fadens, und

m an einem dazwiſchen Tiegendem Punkt befeftigt wären; und daß auf.
diefe Art die Diftanzen zwiſchen m uud m’, und gs und m’ nothwendig
unveräuberlich waͤren. — J

Macht man alsdenn x — x +f, --
ge 772 t ⸗ —— —2 ZU :

a u Zu
N Ba: \ al x + Pain | j

| y'=yt#
re werk. Zr
fo findet’ man fir Tdenſelben Ausdruck (a) det nofhergelenben Artikels,
‚und der Werth bon V'wird, wie (27) ſehn, wenn man durch = die he⸗
ſchleuntgende Kraft der Schwere ausdruͤkte. 5
v —r(a rn namen,

* »

Er er N : 47
J Rr— | Ä De
Fe ©; —

u Ar

pr * ⸗ = - *

Er a ma 2

Da die einzige Webinanng der Aufgabe in ber Un derlichkeit der
Diftanzen zwifchen m und m‘ und zwifchen m und m’! befteht, und biefe
Diſtanzen nur von ben veränderlihen Größen £&, 7, 9, &', 4/, 9’ abhängen;
fo iR Mar, daß die veraͤnderlichen Größen x,'y, z unabhängig von einans
ber, und von allen andern find; nimmt man alfo jebe insbeſondere als
veränderlih an; fo erhält man fogleih 3’ Gleichungen , weldye mit denen

.(b) (29) eineriey find, nar daß bie Zte noch die beſtaͤndigen Glieder’.
—r (m + m m‘) enthält. Hieraus zieht man fhr 2 = Fr
diefelben Ausdruͤcke ald a. a. D., wenn man nur bie Größe ee
+ m’ m") an die Stelle von c feßt. Vermindert man alfo bie Größe
Ä cun #« (my. m! + m’)t; fo erhält man für T dieſelbe veränderte
5 Gleichung (c. — | |
| Macht vian jegt & =. 1 Coly Cop,

ee ce Col $ fin 9,

| gg Gy. |

: = \ * = J „Col pt: Col’p',

5* Colt fin 9
J — — r ſin Y; W J SR
fo ift Har, baß die Radil Vektores r und r’ der Bahnen don m’ und ml! .
am m d he ihre Entfernungen von m nach der Natur ber Aufgabe beſtaͤndig
ſeyn müffen. Werrichtet man daher diefe Subftitutionen; fo erhält man
nur 4 deränberliche Größen Y: 9’, 9, 9, bie, ba fie aufferdem unabhaͤu⸗
gig find, auch vier Gleichungen geben.

31) Da die Findung diefer Gleichungen Feine Schwierigkeit hat,
und nur einen blog. mechauiſchen Calkul erfodert ; ſo mollen mir uns auf
den Fall einfehräifen, wie bie 3 Körper ſich In einerley horizontalen Ebene . °.
bewegen, welcher noch den Vorzug hat, dag er eine vellfländige Auflb⸗
fung zulaͤßt. u | Dan u

In diefem Falle macht man alfo, z, 2, z"=o, folglich auch &

und 20. Man hat folglich Vo und "

—

| eiäninäte a 1 7°
Pan in’ (m + Bam. ap a
mt mil ade — Zr 7
— m àe ata, —
— -.
m m’ m” dı2 |
ur Bes x j
— F * (m * m’) “ag 4 d t⸗ . . — 53
ůÿ!! —— 2.4 j
m rm + m > *

a(m+m‘ * m’)

Zu 3 2.7 1777
BE RENT ’ Ä
J 7 x. "7% =
er 7 77. (EEE
|

— y fin 9, F — ft lu
Fa J J — find; ber Wah e⸗ T wird alſo, da de und
120
seta ten. ©

zn — nie Zehn. Sehen ee

— — —

m hof. Hat! nad. aa oe ug * —

m/ m‘? r r’ Col (9! — 0) dp! de e 21 I
EEE EEE

. [2 2 ee ea ea ee] EEE * |
mn Ann E er u
z m’’ (m km’) — d'ois ..# ei I —— \ Er J
m *Fm’ «+ m’! * a dt: —
a 2 j « = .: 78 u
8: 4 b? u, Be ——— J
je EEE EEE F
4 4 u”.
3 (m «++ m’ »# m”) ET

und man erhaͤlt ſogleich wegen der Variationen von Fund 9! biefe 2 Die
RER wovon bie Yuflöfung der Aufgebe abbaͤngt

er , Rr as — m
1:3 *

Be: Zr
486 | | nm

de ꝙ | d. ee
m’ (m +) — Br (m -

en = —

| da 9! C f, — *
— | fin er — dor ion, _
\ . dt2
nr

.. Man fieht aber leicht, daß die Summe Befer Beiden Siegen
autegravel if. Das Integral iſt namihr ’

4
m’ (mr m) E = — m’/m’! cr! Cop! — In

m Ya I — J
AEG Tan m
do! j R En 9 ie
ee 1 — == Confl, are
onu = u 2 bh "3 an de — 4.3 ; a Fa ee HE

i * “

Da aber ferner T nicht tin ſich ſchließt m V=o un fo bat
man das Integral T = Confl, „_fo_daf durch .dirfe "beiden. Tategrale
die — ſchon auf Differentialien "yon: ber — gebracht
worden

„Fr x r 4 * €
Ä 14 + a ” * N » 4 3 Nırı hr 5

a — ve u

Da aber bie —— Gröden unter 'ehnaner‘ — ſind;
ſo mache man, um ſie von einarder 3. tvepugn .

ri FE
, —
op +9 — 5, ba % at aut rn F
g' > 9 m uz 4 12 ⸗
XX nu m
ober 9! — a ig |
il... ce ’ IE i 2 en
. Pi 8 v_ u , . — if & n : : x ;
© —*— ; £ : 2
El \ = x Mä

—

\ ’ el \ * 317

| durch dieſe Subſtitutionen werden banır bie beiden Integrale:

m’ (m m)re (de — du) P ne mem) darin) a
[mm Chadmhd
(m + mt) (de du +m”(m + mt) ı® ce +auy
— 2 mn! rr Cofu (ds? — du 2) — Bde,

wo A und B » wilfführliche beſtaͤndige Größen end. es fey Rn

| M =. m! (mir) ri +‘ (at mu),
N=m! (m+- m’) ı? —- m’ (mrin) 12;

fo det man

(M—2mm"rr'Colu)ds-- Ndu = Ade - |
. (M — 2 m/in! se! Cofu)ds® > (M-+ 2 m’ mı sr) Col u) =
du?» »Ndsdu — Bdı? —

Adt — Ndu |
Die erftere giebt: ds
und ſubſtitnirt man dieſen Werth in die 2te; fo bat man ·

Cadt — Ndu)» -& M?2.— 42 12 r2. Coku?) du» a N (Ad

—Nade) du 2 B(M — am mern a) dr t

welche fih auf folgende. Form bringen uͤgt: NT

m — 4m wre M — RR
A? — am/ mil! ——
jan, vu J — re — = — *
voraus man sieht LE are

M2 — N? — am nm/l2 12 ra u,
nr (ter), >

hl | ur Nr 3 R u j und

"318 Bu ST —

und ſetzt man dieſen Werth von dt in den vorhergehenden Auodruek
von ds; fo erhält man au ds in u und du ausgedrädt.

Das Problem ift alfo aufgelößt, ober hängt wenigſtens nur von
der Integration oder Conſtruktion der Differentiallen, worin nur eine
veränderlihe Größe vorkoͤmmt, ab, | j W

32) Könnte der Körper m, der in der Mitte iſt, der Laͤnge deß
Fadens nad) herabrätfhen; fo erhielte man allegett ben naͤmlichen Aus⸗
druck von T al& in der-Formel (c) (29); fubflituirt man aber r Cof y
Cof 9, 1’ Coly! -Cof 9%, r Col y fin 9. etc anftatt &, 3°, 7. ete.; fo
würden die Radiener und r’, die die Diflanzen der Körper m’ und
m’! vom Körper m ausdrücden, nicht alle beide befländig ſeyn, fon»
dern nur ihre Summe-r »r r/, bie allegeit der Länge bed Fadens
gleich -ift, wodurch bie beiden Körper m’ und m’’/ mit elnanber vers
bunden ‚find, Nennt man alfo a biefe länge; fo hätte man — a
— rund es wuͤrden nady ben Subflitutionen 5 veraͤnderliche unabhäns
gige Größen 1, Y 9 W’, 9° flatt finden, wovon jebe nach der allges
meinen Formel eine Diffexentialgleichung geben würde, "

33) Nähme man aber ben Körper m feft gehalten an 2 fo daß a
ber Faden, ber die beiden Körper m’ und m’ verbindet, durch eine
Art von feſten Ring im Raume gehen muß; und wenn man. mehres

rer: Etnfachheit willen biefen Punkt für den Anfang der Coordinaten
annähıne; fo würde man in ben. norbergeßenben Formen 2,y,2=0
machen muͤſſen, und der Werth (@) ten | würde: BE

| sdu Er To _
welcher durch die Horkergehenben Subftitufionen ſich in folgenden ver
wandeln wuͤrde: Dr

ER Pydgar+d >

Io — m’

— | 319

.—r) Col: y’dpt + dy”* et
u“ rL I v”) ca).
Sept man nun, die Rönder feyen ſchwer P Kine man. wie
Ve—r(m? + m’ 2) oder
V=— rnriny—rmt(a—r) fin y
anb man erbielte von nenen s Gleichungen " bie 5 —
Größen 9 Y 9 und Q%, nämlich: .
BA Bund (Col ydo + ——
u — —
„Fr + (a — r)* (Cof: —* —
dee
ml ſin 0,
ac 494 Coſy ſin va
di.

d. — 444 ET r): Col y’ fin v’ dgo'® * ran) Ofy=o

d. (1? Cof: yd9) ii ee
d. (a —r)* Coſ⸗ y'do'
ET mE
die beiden letztern find Integrabel, und: ‚geben Par

do A _

j 173 rc 1 Cofe x?
.d@ Bo

DT (@— 1)? ——ãù—

rn layer

«rCly==o,
— 0,

and

u =
nnd ſubſtituirt man diefe Wertge in die ate und zte Gleichung; fo vers
wandeln eh dieſe — — Be Ze — re
Admdy : Mmy, | = —
—— ne —
Ile — ) Be fioyt ' en Er Be
— — —— ——— — — —— —
de a (a — r)? Cof3 zer r es a
deren Integrätion nicht allgemein möglich iſt. Sie wuͤrde ed aber werben,
wenn man Feine Ruͤckſicht auf die Schwere der Körper nahme nd r=o
ſetzte; multiplieirte man alsdann die erfte der Heichungen dur 2 dw,
und.die, ate durch (a —r) dy; fo erhielte man bie Smtegralien:
ap rt | ;
in + con Y
(a — rt dy” | Ba _
— tr ie
| ‚di? Col? y- J —
woraus man zieht: 2 nr.
dt dy Bu J
we ——
— Be u,
— Col? v ) | er
u dt . dy! — — au SE 2 —
5— | BON *
vg + Be
Auſſerdem aber hat man and sts. — 2.0 =

Subftituirt man hierin bie vorhergehenden Werthe von do, dp, dıp,
du; fo erhältman, be V=0: i —

= C,

— D?,,

'
N , u z F m’

ya ir), BEREIT TE FOBESEBRE
Ih — — a — =E%,
Pr 7 a (5 * 1) ==>
and folglich = |
F —* IV (mis m’!)) J
7 )

x? | G@—n?

‚Subftitnirt man nun dieſen Werth von dt in ben 4 vorhergehenden
Integralien; fo.erhält man befondere Gleichungen, dur die man vers
mittelſt der Quadraturen t, %, V, 9,9! inr beſtimmen kann. Könnte .
übrigend derſelbe Körper mı in der Mitte anftatt feft gehalten zu werden,
wie wir eben angenommen haben, frey auf einer Oberfläche .oder gegebes:
nen Linie ruͤtſchenz fo würden bie Coorbinaten x, y,z, nicht — 0
fondern eine würde eine gegebene Funktion der beiden andern feyn, oder
2 biefer Coordinaten würden in Funktionen der Zten gegeben ſeyn; man
‚hätte alddenn nur dieſe Subflitutionen in benfelben Ausdruͤckungen von

T und V zu verrichten, und darauf anch auf bie Veraͤnderlichkeit diefer

Coordinaten Ruͤckſicht zu nehmen, .

34) Wire der Faden an einem feiner Enden feft gehalten, and mit
2 ſchweren Körpern m.und m‘ beſchwert, wovon der erfte dem feften
Punkte am nächften fen; fo muß man fogleich feßen

xıt=xı.Hf, *
Y=yrm’
!=2n/,

amd die. Ausdruͤckungen von T und V merden+
dx? »+ dy? -+ dz?

ne
2 dt? |

. T=(n+m)
ms Ar der Aydı + dade r
| Jẽ Er ——— —
| 5 , | a

327 — eg

mr de .ndg 2 der ’
ade .. ” .

Vz_-r(mtrm)jz-rmf. -

Nennt mar endlich r den zwiſchen dent Feften Punkt und dem Körper im m
md den zwiſchen biefem Körper und dem ii m’ befiudlichen Theil
des Fadens; ſo feße man <= rCofy Cop, |
v=-rColy fing,
z=rfin!,
E£=rCofy! Colp,
| s=r’ Col Y'. fin 9,
⸗ = = r! fin Y'; 5
and man findet 4 Gleichungen für die 4 veränderlichen Größen Yo.Y,
-@', wenn man r und r ale beftändig anficht. Diefe Gleichungen aber
» find allgemein Antegrabel, und nur ber Fall, wo die Körper ſich auf einer
horizontale Ebene bewegen, iſt einer vollkommenen Auflöfung fähig.
In diefem Falle hat man alfo Y und y’ = 0 weldes giebt Ä

V=o und
— rdoe re Cof(p — @dp!dp-
— N en a ee,
F (m rn) Ir > : dt?
r& dpi? z
2de ” |

Diefer Ausdruck von T iſt „wie man ſieht, mit dem (1) von eis
nerley Form, er giebt daher auch Ähnliche Gleichungen ber Coefficienten
nach, die folglich auch auf einerley Art integrirt werden.

Durch ein ähnliches Verfahren findet mar. die Gleichungen für die
Bewegung eines: mit ſoviel Körper beſchwerten Fadens, als man nur
will; aber die Schwierigkeit beſteht in ihrer Integration, und ich kenne
nur —— einzlgen Fall, wo ſie allgemein bewerkftellige werben: kann,

n aͤmlich

+ m’

—

F FE | a J 323

namlich den, wo man anrlmmt; daß die Körper fih fehr wenig von der
- Bertikals Linie entfernen; denn da bie vertikale fagı des Fadens mit der
feines. Gleichgewichts einerley if; fo Fann man in dieſem Yale die allge
- meine Methode anwenden, die wir (1) gegeben haben, _

35) Entfernen ſich die Körper wenig von der Vertifallinie‘, die bie
Achhe der zift; fo find die Cvordinaten x, y, x‘, y’, etc, ſehr klein, man.
muß daher diefe Coordinaten im Calkul beykehalten. Nennen wir nun
r, 1’, 1, etc. die zmifchen dem feften Punkte und dem erften Körper m,
zwifchen biefem Körper und dem folgenden: m‘, zwifchen biefem und dem
‚Körper ml! u, ſ. w. befindlichen Theile des Babene, fo ” man |

r==y (x+ y’ + 2°,
u x)? ++ (y —y)} rd —z),
ete.
woraus man zieht
z—r/e—rn— y”);
2 —2—=Y_ (it - -
ete. | =

x h., da x, x’, etc,, y, y’,ets, fehr Hein find

x» 492

ZZ. Y_ —

2 £ .

— X / an 2
EEE WoW.
| 21
Die Werthe von z,'z’, zii, etc, werden alfo fon
5 4 v2

z = x on —— ? N

27:

“ %
728% -

Ss 3 | 2!

324°. I ”
— EU 2 BERN ER Lenk len. Hy).
j - 97 “0 rt
vs I_ —
— ar - . ı3r
——— — —— — Eee"
u 2

* ſubſtitulre bieſe daher fm ben ifzendieen Aubirückungen von
7T und V (27), nehme r,:rY, rik etc. als beſtaͤndig an, und merfe die
Glieder weg, mo bie veraͤnderlichen Groͤßen x, y x’, y etc. über bis
ate Dimeufion fteigen, alsdenn erhält man:

dx? +.d dx’2..£ dy'2 ‚d 42 „u. dv//2
To — m⸗ * m * — ete.

V— — * (m m 4 — m net) et
— x (m „u etc.) 2! — etc.

x? +
5 ER N Se
| Sr

’ ar

Vo / * yÊVI
er (m ren) — At |
1 etc, i \ —

F 2 + ER —
(m + m’ Vete.) — |

Man fieht, daß in biefen PER dfe veränderlichen SGroͤßen
x. x’, x’, etc. von ben veraͤnderlichen Größen y. y’, Y“, etc. getreunt in,
and daß beide darin auf einerley Art vorkommen ; woraus man ſo⸗
gleich den Schluß ziehen kann, daß man: 2 Soſteme von Differen⸗
tialgleichungen haben wird, die unabhängig . von einander. uud eins
ander Ähnlich find, das eine zwiſchen x, x, x, etc, und das andere.

e 0 Bern wilden

‘

— —W 325

wiſchen y. Y, y!, ete. fo daß man nur eins biefer Sylleme zu betradisem .

nt; ja man — auch dies nicht einmal zu thun, denn man erhält ſo⸗
gleich für die endliche Werthe von x, x’, x’, etc, Ausbrüdungen, die fo
befhaffen find, wie die von &, Y, 9, etc. tio), uad die Werthe von y,

VY“!, etc. werden ebenfals von berfelben Form und nur durch willfühes
liche beftänbige Größen von einander verſchieden ſeyn.

Der Ausdruck von V, worin der verfüberlihe Theil aus Lauter pos

fitiven Quadraten beſteht, zeigt ſogleich, daß bie Werthe von x, x, x“, ete.
und von y, y“ Y“, etc, Feine Zirkelbogen, ſondern nur reelle Sinus und
Coſinus enthalten toͤnnen, fo daß die Körper um bie Vertikallinie nur
Heine Deckllationen machen können, ſowie mir allgemein (14) erwiefen
haben. Man überzeugt ns anf diefe Urt davon, daß die Werthe der
Soeffietenten VK,t, g. h, etc., alle reel find, und man hat fie. sur
nad) den Methoden (13) zu beſtimmen. Weil nun die Werthe für die
Aus druͤcke von x, gl xt, etc. und vor-y, y/, 3, ec, einerley find z:fo hat
man nur auf bie erflen diefer veränterlichen Größen bey ber Bildung der
Größen A und B zu feben, Man verwandte baher in T und V die Größen

dx dx’ dxir
de’ de’ de

bekommt man nad Wegwerfung aller andern Slider:

N he J |
: Amen u ne \ .

B e?
B=r(m m’ r me etc.) - —

je;

es de
‚lo +'m — nr

2 R S 2 a

\ ar u Se u Ze 2 5 x BL a
— „” — ER ı_ Pr 1 n

Sg woraus

ete., ſowie auch x, x, x’, etc. in of, g, etc.:; ſo

—

426 . .

Woraus mar, wenn man AK — BA,

| dA
and hierauf — o,

etc,

dest, folgende Zehungen dh wo man ſich daran erinnern mu
Ddaß —1 feyn muß >

meR- ={m +.m! + ur +F etc.) — Sr (m! +5 mUl ec)

Pr t . V en .£ — 606

r J

a
4

—
mi mtr ee) =0,

+ * (m! nu)

mt gR — rm + en) ET 4, rt

etc.

Die Zahl dieſer Gleichungen wird der Zahl der — Se
fen x, x, x”, etc. d. h. der der Gewichte m, m‘, m’, etc., die am Fa⸗
den feftgemadht fü find, und folglich. der Zahl ber Groͤßen e, f; 8, etc. gleich
ſeyn, fo daß, weil e == I, allezeit eine Gleichung zur Beſtimmung von
Kuͤbrig bleiben wird. Setzt man alſo zuerſt e == 1; fo giebt bie erſte
Gleichung f, die zweite g, etc. in vielmamdgen von K vom erften, zwel⸗
ten, etc. Grabe; und bie leßte enthält nur K und wird Yop.einerley Grab
mit dieſem ſeyn.

Man

— — 1_.

al — all j
„a!K — ”(k + u!) —

= 327

Man erleichtert ſich aber dieſe Beſtimmung, weyn man von ber letz⸗
ten Gleichung anfaͤngt, und nach und nach zu denen ſteigt, bie dieſer vor⸗
hergehn. In dieſer Abſicht wollen wir durch a, a’ a", ete., p pl. p',
etc,, =, 3°, #4, etc. Die Groͤßen m, m‘, m’. etc... T, rt, st, et.
f, g, etc., verkehrt genommen bezeichnen, und die ebenfal& verkehrt ges
nommene Gleichungen werden fepn 2”

æ a K — ru

—

= 0, In ta Br

BK— alu Fu er a) r = (0,

etc. . - =
Nemren wir. nıtır n die Zahl der Gewichte, fo bat mar ar — = e

— ı, ferner ſieht man aus der erften ber obigen Gleichungen, welche hier

die leßte iſt, daß das Glied, das in der Reihe e, f, g, etc. bem e Vorhers
geht, —s v ſeyn muß. Man muß alfo a° = o machen, und biefe Bes
dingung giebt bie Steihung in K. Denn zicht man nad und nach aus
den vorhergehenden Gleichungen bie Werthe von a’, a“, a’, erc.; fo wers
Ben fie von diefer Form ſeyn: ——

a == (N a,

el (23) a,

all (3) 8,5

etc.
00 (1), (2), (3), etc. die vielnamigen in K som erſten, zweiten, drit⸗
ten, u. f. w. Grad andeuten.

Die Bedingung an — S 5.giebt alſo
(n — 1) 2— 1, woraus man zieht:

—

a —

Tg
—

enduch giebt die Bedingung gs =s,

(n)= oe,
and Died iſt die Gleichung in K, die, wie man ſchon weiß, Yauter wůͤrk⸗

liche, pofitivewund ungleiche Birzeln bat.

- Sind die Gewichte alle unter einander gleich, — ie Diſtangen |

Son einander auf dem Faden; ſo hat man
gm ul, = u == etc md | TER
gez arte — x. | |

Setzt man alfo — — ſo wird aus den vorigen Siigugn:

‚at + al=o,;
lle— 3) + aa! $a= oo,
al (5) + —— 4.4*0.
etc,
woraus man zieht: u 2
= (ı) 42. A

ge
etc, ze 0
wenn man — 1 — C,
z2

0)=1—1.+t-.

& a 3 c? 5 23 j . \
: i ] 1 — - G - en Ang TS ö
Ä 6) : 2.23

etc,

und

a. martund. Sü 5 =

ee ETF I
— Te 4 49 4
ſetzt. — | —
Die Gleichung in K wird alſo feyns - oo j
ı — arRKe Eu) — — aa dt 1) to ——.2) ce Ki.
u 4 as % 49, J

— — * etc. — 05 — — x
jedoch iſt Die allgemeine Aufloͤſung dieſer Gleichung noch nicht bekannt.
Da Übrigens das letzte Glied dieſer Gleichung durch I, 2, 3.... n

dividirt iſt; ſo erhaͤlt ſie, wenn man alles mit dieſer Zahl multiplicirt,

und in einer umgekehrten Ordnung ſtellt, dieſe Geſtalt:

n? (n — 132

2 Ko — nz m I Kl m — ·Re — 4

—— — 3 Ku; + eu, — 0;
2.3 s h a
welche jeboch nicht leichter aufzulöfen ifl, | u

36) Wäre der Faden noch über das unterfle Gericht berlängert,
gienge hierauf in einen in der Vertikallinie befindlihen Ming; und erhtelte
noch ein Gewicht M, das an feinem Ende befeftigt.ift, und fo zu fagen
. dazu diente, ihn auszuſpanuen; fo hätte man nur zu den Ausdruͤckungen

von T und V die zu der Wuͤrkung dieſes neuen Gerichts gehörige Glieber
zu addiren. Diefed Gewicht aber Eann der Natur ber Aufgabe gemäß

nur ſteigen ober fallen, indem ed immer in derſelben Vertikallinie bleibt,
die wir für bie Achſe der z annehmen, es iſt folglich klar, dag wenn wir

feine Diftanz von dem feften Punkte nennen, den wir für den Mittelpunkt
a — — d
- bei Coorbinaten angenommen haben, man, nur zu T das Glied M I

Tt | und,

— — | 379

nt!

‚330 .

und zu V bas Glied — «ME& ( 27) zu abbiren, und # in — Ger

x, y, x, y’, etc. auszudruͤcken hat.

= Dan hat daher nur den Ring und das Gewicht M als 2 neue am
Faden befeſtigte Gewichte zu betrachten, wodon aber das erſte der Laͤnge
des Fadens nach herabruͤtſchen kann, indem es immer in derſelben Di⸗
ſtanz y vom feſten Punkt des Fadens und In derſelben Vertikallinie bleibt,
Alsdenn werden y und £ bie beiden letztern Glieder der Reihe 2,2, a“, eicy
fon, und folglid auch durch die nämlihen Formeln ausgedrückt werben,
Indem bie correfponbirenden Glieber in den Reihen x, x’, xl, etc,,; Y» y. R
‚etc. = 0 fehn müffen.

Man erhält auf diefe "Art:

= | a 2⸗
year tr dl ne P t — —
a Er
„x — x) + (y/ — v)?
——
(x⸗—-2)2 + (y’ — y!)*
— etc. et
_@»% T voy
P 3?
&
e— Fotiden. +emı irn
a7
— —
F — gr —
S ge

—

— eic. =

zu man bie Groͤße — ML aa "Te ſo hat znan · vur · die Coefficien⸗
| — t 2 on

— 331

ga-ı 2 a ı)a Eee
— es —

L. . 4

-
“

(mo, tele man feht, die Erpenenten m — 2 unb u das Bielfage u

nicht Potenzen bedeuten,) wo n die Zahl der am Faden zwifchen dem
Aufhängepunkt, und dem Ringe befeftigken Gewichte iſt. Es ift aber
Der rd rec perl die Länge des ganzen Fadens vom fes
Ten Punkte an bis zum Gewichte M, welche gegeben und folglich beftändig
iſt, und die wir durch b bezeichnen wollen,. and r + 1’ 1 etc.
rn — iſt die Länge ded Fabens vom Aufhängepunkt bis zum letzten
der Gemwichte m, m’, etc, m? —1, welche auch gegeben iſt, und bie wir
durch A bezeichnen wollen. Die erftere Gleichung giebt daher den Werth
von r? , welches der Theil des Fadens ift, ‚ber zwiſchen dem Gewichte
me —1 und dem Ringe iſt, und/dieſer Werth wirb bis auf die ſehr gerins

gen Größen vom zweiten. Grade = y — A feyn. | ZZ

Mau erhält alfo auf dieſe An: Ä F
xa 4 y⸗ x 2x54 (y’ —yJ»

BE Ze ar | ax”
[x — x!)? FL (yı — y1)3 on F
— TER
da y y nn tn
— ru —

— PER Helen (ER
.aly—A)
— td A

+ .
.. ‚ = je
- '

Weil man nun in T’ und V die fehr Meinen Glieder, die geringer.

.
f
,

als von ber zweiten Orbnung find, hindanſetzt; ſo iſt klar, Daß bie zu T

:d 2 = x *
zu addirende Groͤße “u* == ſeyn wird, fo daß der Werth von T

und folglich auch det davon abgeleitete von A mit bem im vorhergehenden
Artikel einerley bleiben wird. Was nun, den Werth von V betrifft, wo⸗

ten

* Pu

\
‘ * *
- ur 2 . wi J
— *
* - * “ « =
332 ;
*

x⸗4 y⸗ (X — xy + (y- y»
— — DE nn ne nn rennen

ten von —
2 1

Bon V 5) um M zu vermehren, und en 2 bie Slleder — «MI

2 +(p—]2 3 e

2 9 2—- 4)

gieburch wird die Groͤße B, wenn man i das Ießte Glied ber Reihe

m g, etc.. nennt?

⸗

Br Mm at m rein) — ar

— — a
| 6 | *

>> r(M Fr m etc) gr

etc. nn
> = M

Pr r
8 Au
1 Lan, R i Na se

20-0 =:

Bezeichnen wir nun wie eben durch m,w ad, etc. .p, pl > getan,

e,f,g, erc., a, 8, af', etc., bie Größen m; m‘, mA, erc., p ’pl. BA etc.

e, f, g. erc., i verkehrt genommen; fo tft kiar, daß bie durch dieſe Sun

ausgedruͤckte Werthe von A und B_feyn werben:

88 aus
Rn 4 er + m — + etc.
| a al G— wr
— Mer ® M
* nt ( kr) +

al _ at?
Mare) wm, etc.

, ete: — — Ausdrnc

— . . 333
Die Gleichungen zwiſchen a, a‘, etc. — aſ⸗ ſeyn:
da da

da — da
wenn A — Ak — B, oder

uch ⸗ ‚+

a — 2

uaK dr

ie j

#»'!a!K br (M In —

au |
—* —

— 0 9
1*

UK EM aa)

etc,

"
1

wamt—ı and = = 0 ſeyn muß. |
Um diefe Gleichungen aufzulöfen verfährt man eben fo wie fm vorhers

‚gehenden Artikel, und man hat alsdenn nur die in den allgemeinen For⸗

meln (10) gefudbenen Werthe zu fubflituiren. Da aber diefe Gleichun⸗

“gen noch verwidelter als jene fi 2 nd, r wird man wohl zu Feiner allgemels

nen Auflöfung zu'gelangen tm Stande feyn, wenn man nicht dad Ges
wicht M, das ben Faden unendlich fiärker ausdehnt, als alle Gewi te
m, ım/, etc., womit ber Faden beläftigt ift, annimmt. Sn dieſem Falle

laſſen ſich die Gleichungen auf eine einfachere — bringen, ale:

N |
gıK — A as Er) = 5:

a — 2 a — alt
— — es
p- p’

al af! — 2 al — lit |
2 Ä

eier x
&t3 | Setzen

‘

23 00 |

Setzen wir num DR Diſtanzen pe’, pl, etc. zwiſchen ben gleichen
Gerichten ebenfals gleich, ſowie die Gewichte m, ul, a, etc. und machen

‘ 1

u.
— pK cz fo erhält mans ex -
=M |
a; Fr
a (e — 1 — rim: (D
= yaı 2 0 — ee:

lc 3) Hart ol)
allkc—a).r - o (A)

etc, | z

wo man fieht, daß die Größen a’, a’, all, etc, eine surhcklaufende Reihe
ausmachen , deren allgemeines Glied a” von der Form Ac'! «+ BB” feyn
wird, wenn wir = und.8 die beiten Wurzeln der Gleichung |

2» lc—2)x + 1 — o nennen.
Es ſey — — Col.» fo werben die beiden Wurzeln der Glei⸗

hang ſeyn: Ä ’ _ . Bu
- cl» Eins Y —ı F —
and wenn man bie beſtaͤndigen A, B Größen in andere T, D verwanbelt;
fohatman. | | | | a
"ww—TtC Tol vo + D Tin vo oder auch,
ww E lin (vo + 8), | | |
wo E und e a unbeftimmte beftändige Größen find. Dieſer Ausdruck
muß zuerſt der erſten Gleichung genug thun, die eine von den andern ver⸗
ſchiedene Form hat. — Se |
Setzt man daher. v — o, und — 1 fo erhaͤlt man
. = E ün Ss, . = ——

a! — Efin ( s), . —
F und

‚wo s eine gewiſſe ganze Zahl iſt. u —

— 335

and da c—e u Cole,
ſo wird die erſtere Gleichung Vz

| (E fin (2 —2Cdlu— ı _-
obder wenn man mit E alles a und abkuͤrzt. M. m

I) HE)

—J — 20]! ine + ln (v —R
woraus man zieht |

(ins) ı

]+ fin Coſ- ſin e Col» =,

In € P |
DS 1 —
Cr — Ir mo=0, 5

d. b. tang E I+ —j=% —*

and folglich M.) F

ſin

tan

—

Man mi hierauf V—T—=ıubwWw=o feßen folglich

E fin (G—ı)a * Tı)= 1, |

E fin (uno 2 s) = 0, 2
woraus man zieht z —

u 1
ET U U U)
— er al
nw Hs — 180°, 8,

336 —— — |
Diefe letztere Gleichung wird dazu dienen w zu beſtimmen welches
felglich immer ein wuͤrklicher Winkel ſeyn wird, und ſetzt man nach und nach
5O, 1, 3; etc. n— HI, en |
fo erhätt man n verfledene Werthe von @, die bie n Wurzeln von K
durch bie Formeln; ae a |
cM

Km \ , —
pp Ks

= 2 — 2 Cola = 4 fin? — geben,

—

Setzte mans >.n; ſo würde man wieder bie naͤmlichen Werthe .

von ce finden. Es iſt folglich alles beftimmt, und man bat in diefem Fall

noch den Vortheil allgemeine Ausdruͤcke fowohl für K als für a, a’, a’, etc.
d, h. für die Coefficienten f, g, etc. = a0 — 2, 2 — 3,_etc, zu erhalten.

- Diefe Aufloͤſung aber wird noch einfacher, wenn man p=y — A
fest, d. h. wenn ber zmifchen den leßtern Gewichten m, m‘, m’', etc.
und dem feften Ringe enthaltene Theil des Fadens dem gemeinfchaftlichen
Zwiſchenraum p eben biefer Gewichte gleich ift, welches fatt hat, wenn
alle Gewichte den Theil des Fadens, ber zwifchen dem feften Punkte und
dem Ringe Ift, in gleiche Theile theilen. In diefem Falle bat man:

tang s = tang w, und folglich == oe;
folglich v — — und
_Mmbe+ 1) a
— —AA
ober (weil (n + 1)» = 180°. s)

fin(n—v)eo
y

[E32 nes Sn 22 [Sn 2

9
. ‚ma
und

L
So»
>
I

* f— — fin — — *
ſin V *
ſin 30 J —

— ' fin w- i Bu 1

etc. ER

Diefer Ießtere Fall der don einer oflirenden Ehorde, d die burch
‚sine gewiſſe Zahl n. von kleinen einander gleichen, und in gleichen Entfer⸗
nungen von einander befindlichen Gewichten beſchwert iſt, und die, indem
fie an dem einen Ende feft iſt, durch eine Kraft Mausgedehnt iſt, die am
anberu Ende wirkt; es mag nun dieſe Kraft Yon einem am Faden -befes
fligten Gewichte, ‘ober von einer andern Urſache, oder von ber Elafticität
des Fadens, der als der Yusbehnung und Zufammenziehung fähig anges
nommen morben ift, herkommen. Auch ſtimmt die aus ben vorherges
henden Formeln entfpringende Aufldfung volllommen mit derjenigen uͤber⸗
ein, worauf wir an einem andern Ort durch eine venge Analyſe ge⸗
kommen ſi nd.

37) Was wir eben don der — der Wuͤrkungen Ser Span
nung, die durch ein Gewicht, und derjenigen, die durch die Elafticität
des Fadens felbft hervorgebradit wird, gefagt haben, ſcheint an ſich offens.
bar genug, wenigftens fo lange die Oscillationen fehr gering, find. Da
inzwiſchen die Aufgabe von bei Bewegung eines undehnbaren Fadens ih⸗
der ‚Natur nad) von derjenigen, wo Oseillatlvnen eines dehnbaren und
elaſtiſchen Fadens ſtatt finden, verſchieden iſt; fo wollen wir — Die
direkte Aufloͤſung dieſes letztern Falls geben.

Man hat hier keiner Bedingungsgleichung genug zu thun, aber man
muß auf hie elaſtiſche Kraft des Fadens Ruͤckſicht nehmen, deren Wuͤr⸗
kung in der Verkürzung jedes Theils r, r‘, r“, etc. beſteht. Es ſeyen
baher R,R/, R“, etc. die reſpektiven Elaſticitaͤten bed Fadens r, r’, r’‘, etc.
= die oerfchiebenen Körper verbinden, "welche Elaſticitaͤten bie Linien r,

4,2”, etc, zu verkleinern fireben, = bie man fich durch Funktionen =
— — 4m Sr wi j die

x % a J
“
338 u

—

dieſer Linien ausgebrückt vorſtellen * Alsbenn entſtehen in ben Ben
the von V’ die neuen Glleder

Eder + [Eldıt + fEWrdet . etc,
und man hat darin nur flatt r, r/, r’%, etc. Ihre Werthe in x⸗y., 2, x“,

Y etc. zu fübfittuken, und hierauf alle biefe Coorbinaten als unabhaͤn⸗

gige veraͤnderliche Groͤßen zu behandlen.

In dem Fall alſo, wo der Faber im Anfang —— —— feſt,

md durch die Gewichte zm, xm“, zn‘, etc. beſchwert ift, hat man
kberbanpt:

dx? + dy: ++ dz? dx 2 dy@ 2 dza '
— rue Eu 7 = —
V=— rm — zuzl — etc. F fRdr + [R’dr! + etc;
7 u
V=-—r (mdz + m/d2’ etc.) 4. Rer - Ride’ ete.
Man bat hier nur ſtatt dr, dr’ihre aus den Formeln
r=r@#yH+7), .
(arte)
etc; =
gezogene Wente zu fubfitufeens alsdenn wird jeder der veraͤnderlichen
Größen 2, y, etc. eine Diffirensialgleichung von ber ———— Form:
er eT eV
re a a

In dem Falle, wo o die Koͤrper ſi hfehr wenig von der Rertifeline, bie

T — m

bier. die Achſe der Eoorbinaten z if, entfernen, find Die Werthe der anders

Coordinaten x, y, x, y’, etc, fehr gering, und bie ber Größen nr, etc., z,
2’, etc. find fehr wenig davon unterfhleben, was fie im — des
Gleichgewichts ſind, wo x*, y, x, y, ete. ⸗ o ſind.

ze Sefegt

Gefegt man hoͤtte in dieſem Falle r — p⸗ — = pN,ge

z 4, 2’ g/, 2” == qll, etc.

und ed ſer allgemein — p ⸗. p fe ol, etc.

2 — qTę, tgl + 24, etc,
fo Bat man“ p=14 p29 — q, p" q — q etc.,
und p (RU 2 (q ęY)ẽ,

—— are =,
etc,

woraus man, wenn man bie Dimenfionen der Tehr geringen Größen x, — Ze
ı 8, x/, y/, eic., bie ſich über.den zweiten Grab erfiredien, vernachlaͤſſigt,
sieht: . °

p={+ a

ap, F
,.._ WW) —
— Preis: ARE. Ass
2 ir u =
| (x! — x)? —2 (y! — y!) x Be
pl = 2u — 4 ö—— —

ete.

Es ſeyen jetzt P, P', etc. die Werthe Yon R. R/, wem r,r/, etc.

—

=p, p, etc. d. h. die Elaſticitaͤten der Faden, wenn ihre Längen auf p,

p/, etc, gebracht find. Man hat alsdenn nach den bekannten Formeln,

wenn man p °F 7 flattr Pen

fRdr= fPdp + Behr ten ee. au

and eben fo verhält es ſich mit den andern Funktionen TR’ Urt, etc, Ver—
richtet man alſo dieſe Subſtitutionen, und loͤßt bie Glieder, worin Vie ſehr

geringen Groͤßen über den zweiten Grad ſteigen, us; ſo erhaͤlt man;
BE | Uu 2 ac

lerne IRTETZS, P den ZZ...
9“ u 3 de i i q dı2: — GE 2 ;
j dx/!a ua g?112 : a:
+ ars Be a

V=(Pd—xmq + [P’dp/ rg {pr dp! arm’! * — |
Bm) HB rmigt 4 Bu (gg)

= ml etc,

2 d — x)2 4. 1{yl— yJ2
az LEER el.) de
as ag dp Re
| ty a lyluy)? dp
— ————

Damit nun in ber Stellung, worin die fehr geringen Großen xy;
.g, x, y/, etc. = 0 find, das Gleichgewicht ftatt finde, fo. muͤſſen nad.
(9). die erſten Dimenfionen diefer. Größen in dem Werthe Son V vers
ſchwinden. Setzt man alfo bie Coefficienten yon 2, 2’, 2, etc, = 2 ſo
erhaͤlt man die Gleichungen: |

F 7 — ZN — pP’ = 0,

Po zw — P! = 0 | — —
PU — an u PA o,. rn x
etc, u = ö Ze; 5
woraus man zieht‘
P == P— iu; —
ehr rn ar 2 ur ee
Marsa m,,..

- : | ä Ber

SEREREIE 341:

J Vergleicht aan nun dieſe Ausdruͤckungen von-T und V mit denen,
(36); To fieht man, daß fie don einerley Korn find, wenigſtens in Am
hung bed Theils, der bie veränderlichen Größen x, y, x’, y’, etc. enthält,

und daß fie voͤllig emerley werben, wenn man P=r (M -+ m »r m’
er. mi! etc ) macht, ſo daß bie Werthe dieſer veränberlicden Groͤſ⸗
fen in beiden Aufgaben nothmwendig einerley feyn werben: Was nuu bie
andern veraͤnderlichen Größen S, 21; etc. betrifft;. fp werden fie ähnliche:
Werthe haben, wenn. man nur bie. Groͤßen „oz

EEE a de F
Du Meer Tear Ta

verwandelt, wie man dies anfänglich bey. den vorhergehenden Ausdruͤl⸗

kungen von T.und V gefehn hat, Mir wollen und alfo nicht länger bey:
biefer Aufgabe verweilen. F

38) Die Faͤlle, die wir eben betrachtet haben, ſind alle vollfümmes:
ner Auflöfungen fähig, indem die Worausfegung der fehr geringen Bes
wegungen bie Differentialgleichungen nur Hnear und folglich integrabel
macht, wie wir (2) gefehn haben. Jedoch koͤnnen bier Umftände ftatt
finden, die die Vortheile dieſer Vorausſetßzung zu nichte. machen. Wäre
3. B. der Faden an feinen beiden Enden fe, und zugleich -unbehnbar,
und der Zufammenziehung unfählg, oder wären bie Körper durch gerabe
Stangen unter einander verbunden, die durch Bänder an einander. befes-

ſtigt waͤren, "fo daß die ‚erfiere End letztere fich um u fefte. Punkte drehen.

müßte, aldbenn hätte man, wenn man immer gnnähme, bie. Körper ents-

fernen ſich fehr wenig von der Vertikallinie, für T und V die naͤmlichen

Werthe als (35), jedoch mie dem. Unterſchied, daß die veränberlichen
Größen x, y, x, erc.,. ba fie vorhin völlig unabhängig vor einander waren,-
der aus: ber: Bedingung „ daß das unterfte Ende des: Fadens auch feft ſey,
entfpringendben Gleichung aenug thun müßten. Mennt man baher y- die:
vertikaͤle Diſtanz zwiſchen biefem feften Punkt und: dem obern fefterr Punkte 3

”

fi erhaͤlt man wie (36):

Uu 3 =

r} [02

—

F -
*
— — - t
— *
\

EN " \ | .
xa y? (x! — x)? I— y\2
— — — { +6 _m
j st 9 2
(x! — xt)? se (yı =”. Br _@Ty+ (mp
— ar . y . . 2 Ei —

Es ſind bie Größen 7,7, Ai, etc, m BEE REN gegeben, _
indem fie. die Längen der verfhiedenen Fäden oder Stangen find, bie
bie. Körper verbinden, und ihre Summe . 1! »p 1 Het pn
drückt die ganze Länge bed Fadens zwiſchen biefen beiden feſten Punk;
ten aud: ete. m — 7 iſt Folglich ber Uebers
ſchuß der Länge des Fadens über den ihm entſprechenden Theil der
Achſe. Nennt man daher c? diefen Ueberſchuß der un ift, fo
hat man die Gleichung: -

+ y sen (y’ vSyr
ar . ar

| — x)? 4 —e——

ar“
— * ur

wo, wie man fieht, pe veranderlichen Größen. überall von 2: —
ſionen find, fo daß es unmoͤglich iſt Trgend ine zů beſtimunn, ie
die Wurzeln auszuziehen.

Man hat alſo hier den Fall, wodon wir (36) allgemein geredet
haben, und ber durch die allgemeine Methode für die Beſtimmung
fehe geringer Bewegungen nicht kann aufgelößt averdenz; welches um
‚To mehr befonders iſt, da, wenn man bie Faden oder Stangen nur
fehr wenig ausbehnbar, und ber Zufammenziehung fähig ammmmt, die
Aufgabe volllommen ‚aufgelößt werben kann. Dies if eise metlwuͤr⸗
dige Bemerkung, die noch nicht gemacht werten ift.

3 =

de +

‚Stangen und x = ı, ferner aber ;

zz, N "343
Um dieſe Wahrheit nech in ein helleres licht zu fen; fo wollen

wir ben vorhergehenden Fall unter ber Vorausſetzung auflöfen, daß

nur 2 am Gaben befeftigte Gewichte m, m‘ vorhanden feyen, und daß bie
Bewegungen im einee Ebene vorgiengen. Man hat alddenn nur 2 vers
Soterlihe Größen. z und x zu befiimmen; indem alle na (per
hyp }= — 0 ſind.

Die Bedingungsgleichung iſt alſo in — Falle

12 (it — x)? . xi2

— + en? (A }
und bie Werthe von T und. V find wie (35) -

ac. a gr
zZ
‚ dx

x? ;
m’ — ,
2dt? = 2. dı?

T=-m

2 —— —J
⸗ —A

Um mehrerer Leichtigkelt willer kann man fich des —
Integrals TV = Conft, bedienen, welches auch ir dieſem Falle
ſtatt findet, ndem die —————— fein t @ enthält. Man

di °— der @&' —8 |
* Guru # 4 — — 2
ar era * En

wo b eine willkůhrliche beftaͤndige Größe iſt. Dieſe Gleichung nun
mit der obigen Ela en verbunden, dient dazu x und x’

zu BRINGEN:

Wir wollen ‚mer mehrener Einfachheit willen bie beiden Gewichte
m, m? einander gleich ſetzen, fo wie auch die Längen r, 1*, x der 3

x=£fing, x =£Colg =

x x e
*
. — On —
= ‘
\ 344
:+w. be
s & 3 —

— 7 —

alsſdenn giebt die Bedimgungooleichans A Rn Se
(= u Cofi @ „acte—tmor |
ZT Be * E AR. ur
oder went ‘man’ Die ganze Gleichung mit 3 e tmudtipticiet gnd unte
dividirt J ES
2arc Se
a TE Er 2,

Ye ſin⸗ꝛ? 0 Col? 9 =ı u ce
und (CP — fin Cl: P —aColp ip Fr
folglich en ne

... arc? Be . E x
ME Se ”) ed
Br, :
— PER PET PER mit, ml.

und bie Differentialgleichung (8). wird: Ri SE F
2? d@? Col? 9 & do? fin? ꝙ ka ſin· -- u.
er 7 er er Te
—E —— ip) =b |
- wenn man mit 2 r über multiplicirt und mit m? Gifte

D
y R - "a

ee rm - ı 9

— Ta 7 (Col: P ++. ſin⸗ * 2 ſin· Cofp-Gop)r= —

RR m) u

—

(d= E-

RU; a u | 345°
2rbrꝛ |
me i

—* —8 4 (Colp — op) =

Hieraus zieht man
doY'r

r MR —-:i19 — CCof p — fin 97° |

| nn arc?
Aber aus Of findet — gi —⸗ el M. y

ben Werth von ſubſtituirt:

(a = | der: |
bene] |
dp —J |

Eee

j | else fin 29) — 3 im 9 — Col: p +2
“ in 9Cot | m. ) —
| der« EA
= — (2—fin2 9) + Cof u

Er
GuRERmu

| von welcher Differentialgroͤße das Integraͤl von der Rektlfication der Res

gelfchnitte abhängt, fo daß alfo auch fu dem einfachſten Falle diefe Auf:
gabe von einer höhere Ordnung als bie ————— =” BER

" tioiren iſt.

er n 39) Mir

,
PL |

346

N #

30) Wir wollen bie Boransfegung, daß die Körper durch geräte
und unbengfame Stangen verbunden find, beybehalten, und uns vorftels
len, bie Bänder, die diefe Stangen an einander befefligen , feyen elaftifch,
d. h. fie hätten Kräfte, wodurch fie alle biefe Seiten des Polygons mit

einander in gerader Linie zu ftellen ſich beftreben; alsdenn hat man nur °

in dem Werthe von V die auß diefen verſchiedenen Kräften, deren Würs

fung in der Verringerung ber ra ac bed Polygons beſteht,
entſpringende Ölieber einzuführen.

Es feyen E. Er, El', etc. die elaſtiſchen Kraͤfte, die in Winkeln
oder an den Orten, wo bie Stangen r und r’, r! und r', r’! und r, ſete.
mit einander berbunden find, und wo die Körper m, m‘, m’!, etc, ihre
Stellung haben, wären; ferner feyen c, e’, e’”, etc, die Complemente
diefer Winkel zu 10° d h. die Beruͤhrungswinkel des Polgogns, beflen
auf einander folgende Seiten r, 1‘, r’‘, etc. find. _

Alsdenn werben die zu V zu addirenden Gfieber ſeyn:
{Ede + [Ede + [Edel -+ etc

wenn man, wie allegeit geſchehen Bann, E, E/, E'!, etc. ald — Funk⸗

tionen don e, e’, eſ, etc. anſieht. Man beſtimmt dieſe Winkel in Funk⸗
tionen der Soorbinaten, wie wir (1 Theil 5 Abſchn. $. 2.) gethan haben.
Denn es ift Har, daß wenn man ſich eine gerade Linie p vorftellt, bie die

- Enden der Feiden Seiten r und r/, die einen Winkel einfchlieffen, mit eins
- ander verbindet, man ein Dreyeck erhält, deffen 3 Seiten r. r’, p find, und _
darin 180° — e der ber Seite p eutgegengefeßte Winkel iſt; folglich hat

2 pn?
Bırr Pr:

man auch Col e u — —

r la 4 rila — p'?

unb eben foCofe' = — —, wenn man p’ für bie 3te Seite

zr rl

— Em annimmt, beffen beiden andern Selten x’ und x’. find
u. 1. %

Berner |

E folglich, da

Cofe —

"ah 347

Ferner fieht man leicht, daß man hat

, p=/V (x. yna 22),.
pVICEX- GE J.
p VIC (ya y’)a (zl —z11)2 1,

etc
—

VI(G +7),
VI[(X — M (y—y) + (2!—2z)?],
vlnr
etc, —
xX(— X)4 ycy'—y) + z (!—z) 5
eh es —

—

ri rt

KU— x Kl I) a (yil — y) (vll ylı) + (Gi 29
( zii — 2/1)»

Cof e! —

u — * > TEE
Cole - . . Re rd r/4 }

etc,

Man feßt gemeiniglih voraus, daß bie elaftifhe Kraft bey elaſti⸗
ſchen Btechen dem Beruͤhrungswinkel ſelbſt proportional ift, man kann fie
aber anf gleiche Art dem Sinus diefes Winkels proportional aunehmen,
weil bey unendlich kleinen Winkeln ver Sinus mit dem Winkel felbft zus
ſammenfaͤllt; biefe Vorausſetzung ſcheint auch mehr der Art angemeffen
zu fepn, nad) der man fich kaun, daß die elaftifche Kraft bey.

KR . der

—— —

348 ; u — —
der Kruͤmmung der elaſtiſchen Bleche hervorgebracht wird. Es mag dies
nun feyn wie ed will; fo erhält man, wenn man feßt: |
‘E —HfMme, .

E'! == H fin ei,

E!— H fo el,

etc, | F
wo A einen beſtaͤndigen Coefficienten bedeutet,

ſEde — H (1- Cole),

[Ed = H(1— Coſe),

etc, | ee | -

wo man nur für e, Cofe, Coſſe“, etc. die vorhergehenden Werthe zu |

fubftituiren, und hernqch wie gewoͤhnlich zu verfahren hat. .

Sind die Coordinaten x, xl, xl, ‚etc, y,y/ y“, etc. ſehr Hein, wie
wir (35 fg.) angenommen haben; fo hat man nad) eben dieſem Artikel:
za 2 v2 z
2— — —
ar \ | >
xl xX)2 .r (vl y}2
ie ey), y) —
| , gr s

u / | |
ZU eu Zr oy) —
u... | £ 2 rd U

etc,

Subftituirt man daher dieſe Werihe in den Ausdruͤcken von Cof e,.
Cof e‘, Cof e”, etc. und vernadhläffigt die Glieder, wo x, x‘, x’, etc., yı
V, Y“ etc. zuſammen höhere Dimenfionen als die ate ausmachen, fo ers

hält manz.

Cof

— 349

——————2
Ben rt

(x) + yy'—y).
Lt.
Kr ji? ——— +4")
— —— — ie

KENN ”,

rd.

die auf bie Elaſticitaͤt in dem Ausdruck V ſich beziehenden Glieder
ſind alſo:

| Ten ns, CI rl

Kr, "rl lm xl! ylayı —
Er r ri er ) ]+

Cole! =

x
+
" — 4
*

ee Adkirt man- daher diefe Glieder zum Werthe von V (35) und vers
richtet fodann ben Kalkul auf diefelbe Art; fo erhält man die Bewegung .
eines an einem feiner Enden feften elaftifhen, und mit einer geroiffen Uns
zahl von Gewichten beſchwerten, Fadens.

Alle Aufgaben, die man noch uͤber die Bewegung eier Körper :
anfwerfen koͤnnte, die durch Faden oder Stangen unter einander, verbuns
den find, werden allezeit leicht durch die Anwendung unferer allgemeinen.
Formeln aufgelößt, und wir glauben daher uns. nicht länger bey diefer.
Materie aufhalten zu müffen, ba fie im Orunbe doch nur zur Befriedi⸗
sone der Neugierde dient. |

æx 3 ZZ 40)

350° ERETTEER

40) Uebrigens wird die Aufloͤſung diefer Arten von Aufgaben das

durch fehr vereinfacht, wenn man. den Faden oder bie Stange, die bie ders

ſchiebenen Körper verbindet, ald unbiegfam und von einer gegebenen Fis

gur betrachtet. Man hat alsdann nur foldhe veränderliche Größen, bie

von der Bewegung eines Fadens im Raume, und von der Bewegung

der Körper der Sänge des Fadens nach abhängen; und man erhält bie

“ einfachften Formeln, wenn man dur; diefe veränderlihde Größen felbft

die Werthe der Coordinaten ausdrückt, und diefe Werthe in die allgemeine

Ausdruͤcke von T und V einführt, denn jebe veränderliche Größe giebt
allezeit eine Gleihung von der Form: —

sT sT eV,
"9dE 7* 7 — | u

wie wir oben 'erwiefen haben.

Um. ein fehr einfaches Beyſpiel zu geben, wollen wir fe en, eine
gerade um einen feften Punkt bewegliche Stange fey von einer beliebigen
Anzahl von Gewichten m, m‘, m”, etc. beſchwert, die entweder feft feyen,
oder bie Freyheit hätten, der Länge ber Stange nach ſich zu bewegen.
Nehmen wir nun eluen feften Punkt für den Anfang der Coordinaten an,
und nennen r, r/, r’', etc. die.veränderlichen vder befiändigen Diftanzen der
Körper m, m‘, m/!, etc. von dieſem Punkte, und P. O die Winkel, vie

die Stange mit der horizontalen Ebene der x und y und ihre Projektion
“anf dieſer Ebene mit der Achſe der x macht; fo ift Elar, daß wie (17)
x == r Cofy Cofp, |
y=rCoy fing,
z=rfny, Ä
und daß die andern Coordinaten x‘, y/, z/, xU, y“, etc. auf eben bie Art-
anögebrückt werden , wenn man nur r in r‘, r‘‘, etc. verwandelt, Indem
die Winkel y und 9 für alle Radien r, r/, etc. einerley find. Man hat

— 40° + Ay + dr —rn (Cole y dar + Ay) + de
dx‘? nn dy⸗⸗ >L« dz — r/a (Coſ⸗ J. da dy?) + dra
* wenn

— 351

‚wenn man alle Koͤrper m, m’, etc. auf einmal beweglich annimmt.
Nimmt man. alfo auf ihre Schwere ober beſtaͤndige und vertikale Kraft x

Ruͤckſicht; ſo erhaͤlt man (27) |
T=(mr2 + m/r2 + m’ etc).
dd. de |
ET ER
— — r(mı.r mir mil ete.) fin vs

und da die veränderlihen Größen r, r/, r?, etc,, ®, Yy y unabhängig von
einauder find; fo giebt jede derfelben eine Differentialgleichung.

Col? y dp: + dy? |
2de

Laͤßt man nun 9 zuerft variiren; fü erhält man bie Differentials

gleihung ö
d. (mr? + m/r? + min + etc,) Colt y vdp_
de?

deren efategenl ift :
(mi? + mir + mir 4 etc.) Col: % —

Laßt man hierauf Y varüren; fo er man def andere Differens .
tialgleihung:

d. (mr? + m/r? ++ mel + ee) fin y Coly de
de?
— (mr? $ mirt 4 mil rl + etc.) fin Y Col Y 108
u
r — + (mr ++ mir! 7 mc u etc) Cly=—o

Subſtituirt man hier flatt = deſſen aus bei vorhergehenden Jute⸗

grale gezogenen Werth; ſo wird ſie F

—

352 —

d.lme »r mir u mil ete.) dp ' |
a de Be
Amy ꝰ ä = —
(mı? mt „ mr’ ete.) Col? — |

= (mr + mr u mr 2 etc) Coly = 0,

welche mit (mi? «+ mir? u mrle ete.) dp multiplichet integrabel
ſeyn würde, wenn bie Größe

beftänbig, ober = 0, ober eine Funktion von y wäre, "

Der erſte Fall findet überhaupt flatt, wenn alle Größen r, r/, r“, etc.
beftändig, d. h., wenn alle Körper an die Stange befeflige find. In
diefem Falle ift offenbar, daß die beiden Öleihungen in @ und Yy und
folglich auch die Oscillationen der Stange eben fo find, als wäre ein eins
zigee Körper M in einer. Diftanz R vom feſten Punkte geftellt, fo dag
man hätte Ä |

MR? — mr + m/r? mil 4 etc.

MR — nr »+r- m’r + mUrdl 2 etc,

Der Werth‘ von R ft Daher die Diſtanz vom Mittelpunfte der
Schwingung, und der von M bie in dieſen Mittelpunkt zu feßende Maſſe,
damit einerley Stoß einerley Bewegung beym einfachen und zuſammenge⸗
ſetzten Pendel hervorbringe. J J |

Der Fall, wor (m’r? + m/r? > mirt2 2 etc.) (mr ++ mir
rn mir ete.) eine Funktion von y wäre, ift vSllig imaginafr, und
wir umternehmen es baher nicht, ihn meiter zu unterfuchen. Wir beguüs

‚gen und Hlelmehr. den andern Fall. in Erwägung zu ziehen, wo biefe

Größe — o ift, oder wenigftend ben der Vorausfegung von == 0
verſchwindet, weiches,gefehieht, wenn man von der Schwere der Körper

abftrahirt und folglid, der Werth von V == o iſt. |

Wirk

Sasse — 33

Wirft man baher in der letztern Vleichung in ap bie Glieder « (mr

+ mr + mil m etc.) Col weg, und multipticirt die ganze Eds
Yung durch

(ar + mr: + m’rdta Fee)dpy

fo wird fie integrabel, und man befömmt zum Integral:

‘

(mr + mit? m’ dia + etc.) dy: As
ER an ae ——B,
| di⸗ A CoRy

Es ſey d= (mr mirl: % m’/rl!2 ete.) d9,
fo hat man, (wenn man biefen Werth von de ſubſtituirt M.)
dw m 8
dr Of y *
woraus man zieht
as — Coly d —V
—00——
| — d. fin Y
(kr B— Bin? y)
und wenn man fntegrirt; fo erhält man:
x
de 5?

wo «, eben 2 wie A und B, eine ie beftänbige u iſt.

ER |
Es iſt aber auch LEE — 7% Man hat alſo, eben ſo wie man

fin in Funktionen von I hat, wenn man gehörig ſubſtituirt und inte⸗
en 9 in Funktionen von I,

2 Dy Es

Es blelben alſo nun nur noch Die Werthe ber Diſtargen r, 14, vV, etc.
zu beſtimmen uͤbrig. Um hier ſo allgemein als moͤglich zu verfahren,
wollen wir annehmen, unter den Koͤrpern, womit die Stange beſchwert iſt,
waͤren eine oder mehrere feſt, ſo daß ihre Diſtanzen vom Mittelpunkte
beſtaͤndig blieben; und wir wollen durch MR? die Summe der Produkte
ber Maffen biefer Körper in bie Quadrate ihrer Diſtanzen bezeichnen.
Sehen wir baher die Maſſen m, m‘, m“, etc. als beweglich an; fo hat
man nur zur. Summe der Glieder mı? + m/s m mi'rdla 2 etc, bie
beftändige Größe MR? zu addiren.

Setzt man alſo um der Abkuͤrzung willen
Cof: v dp ++ dm ..

| de
fo wird der Werth von T: | Bi
T=(MR? + mı? «+ m’r? «= m//rl!? + etc.) u? |
dr dr’? . drtie
Hm Te 2. dee + etc,
und da V— o und nr‘, etc. veraͤnderlich ſind; ſo erhaͤlt man die Gr
u | |
d’r R
de — [U =—=O0,
dar, =

e = r‘s
3 — 1". u2 = — 0,
welche, wenn man WR weafchafft, geben:

* rd?

—— =

® .edr—vdr::
‘ — — —— mn Os
dt %.

rer! —ridr.
ÿWFI„II—I——————— — O.
de Re i Ds EM
etc, = . Fa
und wenn man integrirt >

„\ edr/ — r!dr

nn dt
de — r!!dr £ ;

———————⏑—⏑ in »

dt e F

"etc.

wo a und b willkührliche beſtaͤndige Größen find.
Es ſey x — pr, *
rt —— p’r,
etc. i
fo iſt dp = adt, .
Ri; dp‘ == bar ” :
‚etc.

bdp-
Flslich d Ag — ⸗

bp Ä

—

p + P

und Wer el Ze —
etc.

00 Br Y% etc. andere willführlice beftändige Groͤßen ſi nd,

Yy2

356 1

Sch nehme jetzt das allgemeine Integral T + V= Conſi wieber
vor, welches, da VS o, ſich auf die Form

(MR? 4 mr? 4 m/r’2 + mr u etc.) u?

dr? dr? „dr
TFT Te

und wenn man für 2 u?, rt u2, r/i2 u?, etc, ihre Werthe

rd2r vd rUd?rd
de? de ’ de es

die man aus ben Gleichungen
dr

17 — ru? =o0,

d? r/ ‘

“= — LU? 0

etc.

gezogen hat, fubftituirt; Auf die Form:
da. (MR? + mi2 + m/r'2 + m’’r!a ete.) J
gebracht wird, die durch eine doppelte Integration giebt:
MR? + mr er mir? + mr a Fe = act - Dt E,
wo D und E wieber 2 neue beftändige Größen find.

Es fey nun Kürze halber
MR? »u mr? + m/r? „u mr. etc, = z) —
fo hat man z= 20212 4. Dt E, woraus man + in Funktionen von z zieht.
. Wir wollen diefe Funktion durch z andeuten; fo = = z und wenn man
bifferentlirt de = dz; aber wir haben de = 2 dI (wenn man nad). der
| “ obigen

| — = 3857
obigen Vorſchrift MR? zu ben Gliedern mr? -- m/r# eto. abbirt)
geſetzt; folglich zdI = dZ, und _ |

dJ = = und wenn man integrirt

—
2

Hat man auf dieſe Art I in Funktionen von 2; fo hat man umge⸗
Behrt z in Funktionen von I, und bezeichnen wir dieſe Funktion dur 0;
fo hat man z = © und folglih dt = 8dY, und wenn man integrirt
tſo ds, fo daß eben dadurch man auch t in Funktionen von I hat, -

Subflituirt man daher in bem MWerthe von z für r!?, rd?, etc. ihre -
Werthe pr?, p’r?, etc. und hernach t + 2, etc. für p/, ete.; fo iſt
Har, dag man hat z=MR? „u r# P, wo P eine rationale, und ganze
Funktion von p vom zweiten Grade it. Es iſt ao — en

und wenn man biefen Werth fo wie den von dt in die Differentialgleihung
12 dp — adt fubflituirt, die wir weiter oben gefunden haben; fo hat
man - j

um 2 j
MR pe nd namlich

Ed ı0d3 02 aBdY.
— — — —
P z — MR? 8 — MR? °

don welcher getrennten Gleichung das Integral p in Funktionen von 8
giebt. Und fubftituirt man bierauf Diefen Werth von p in dem vorher⸗

gehenden von ı?, naͤmlich | |

z — MR? 8 — MR:

p | p > | ;

0. Dy3 | fo

| ⸗

358

ſo hat man auch x in Funktionen von I, und da
- | b ; t R *
r pr, pr ( + 4) r, etc. fo hat man auch

s’, r, ete. in Funktionen von I. Alle veränderlihe Größen 2, v.t r,
r’, 1“, etc, find alfo befannt in Funktionen bon IF, und wenn man $ ders
mittelſt des Werths von et in I wegſchafft; fü hat man 9, V, r, u, “, etc,
in Funktionen von tz; welches die Lage der Stange, und jedes der bewegs
lihen Körper in jedem Augenbiick angiebt. | ” ee

Da das beftändige Glied MR? die Summe der Maffen der an det
Stange. befeftigten Körper durch die Quadrate ihrer Diftanzen vom Mit⸗
telpunkte der Umdrehung ausdruͤckt; ſo iſt klar, daß wenn man nun auf,
die Maſſe der Stange ſelbſt ſehen will, man nur die Zahl dieſer Koͤr⸗
per = oo anzunehmen hat, und alsdenn wird MR? die Summe ber
Produkte jedes Theilchens der Stange in dad Quadrat ihrer Difanz vom
Mittelpunkte der Umdrehung ſeyn. Die Aufgabe ift alfo nicht verwickel⸗
ter, als wenn man auf Die Maſſe der Stange gar Feine Radficht nimmt,

4) Will man auf bie Maffe und Figur. ber beweglicher Körper
Ruͤckh cht nehmen; ſo muß man überhanpt jeden Körper als eine Vers
ſammlung von unzähligen Theilchen betrachten, bie unter einander einers
ley tage erhalten, wenn der Körper folib ift, und bie fie nad) gewiſſen
Gefeßen verändern koͤnnen, wenn der Körper biegſam ober fläffig iſt;
und wir haben am Ende des vorigen Abſchnitts (12 fq.) gezeigt, wie
man biefe Betrachtung durch auf die Figur bed Körpers fich beziehende
Differentiationen und Jutegratiönen in den Calkul übertragen koͤnne.

Wir werden aber noch in befondern Abſchnitten von der Bewegung
feſter und fluͤſſi iger Körper handlen, indem dieſe Materie Stoff zu michtis
gen und merkwürdigen Unterfuhungen hergiebt, und wir begnügen und am
Ende des gegenwärtigen, ein Beyſpiel von ber Methode zu geben, die man
bey der Aufgabe über die Bewegung ber fhmingenben. Seiten anzumens
ben hat.

“ Mir

. bie Bewegung bes Fadens oder der Saite:

wo man uach (4 Abſchn. 16.) bie doppelten durch 3D bezeichneten Diffe⸗

| — 359.
Mir wollen den Fall (37) annehmen, to der Faden fhwer und . B
behnbar iſt, und durch Din die Maaße eined geroiffen Elewents des Fa⸗

dens, beffen fange Ds fen, bezeichnen; indem wir das Zeichen S gebrau⸗

hen, um bie auf bie dur D bezeichneten Differentialien ſich beztehenden

| Sntegrationen anzubeuten, uͤbrigens aber die andern Benennungen (37)

bepbehalten; alöbenn ift Klar, daß |
ae da a Ze |
BR LEE u Mir — Eee
‚ 2dı |
V=5S(—»:Dm + f[RdDs)

wo R die Elaflicität ober bie Zufamnienziehungss Kraft des Elements

Ds if, melde allezeit als eine Funktion eben dieſes Elements angeſehen

werden fann.

Man hat alfo, ba hier Feiner Bedingungsgleichung genug zu thun
iſt, nach ber Formel (4 Abſchn. 15.) folgende allgemeine Gleichung für _

s (=: LER — 5—
dia 7 Fan 4 t —
"#Stz Dm »F SRGODS 0.

Es iſt aber Mar, daß daB Clement der Krümmung des Zaberd
Ds — y’ (Dx?+4 Dy®! + D2?)- ift; folglid weng man nad d biffe .
rentiirt: | en: — — |

| Dx 8Dx = DydDy DzeDz

eDs == Ds — * —A7
— DxöDx DydDy ' Da
i | SR ——;
unb folglid) SRID; == SR ne SR Ds + Du’.

rentialien unter dem Zeichen S zum verfchwinden bringen muß.
> | Man u

60 ——

- _ DxeDx
Dion berwandle daher SR ih
/ ’
„Brit ‚Driea! _ 5, ine
Du DT "Ds

indem man mit einem Strid die auf ben Anfang des Jutegrals, d. h.
auf das oberfte Erde des Fadens ſich bezieheuden Groͤßen bezeichnet,
durd) 2 Striche aber diejenigen, Die fi) auf ben Teßten Punkt des Inte⸗
grals d. h. auf das unterſte Eude des Fadens beziehen.

Auf gleiche Art verfährt man mit den ähnlichen Gliedern, wodurch |
fih tie vorige Gleichung in folgende verwandelt, worin unter dem .
S $ nur bie einfachen Variationen dx, dy, da vorkommen:

s[ Dm — DS) 6X »&. = 2

RDy
(F a Pe |
dez j
* Be x — +
'D Di | :
RA | (5 ex + Kar ay * Dan mE —

Da nun dieſe Variationen unabhaͤngig von einander End; fo hat
ma ſogleich diefe 3 unbeftinunte Steichungen für alle Punkte des Fabens:

d? J RD:
a D, ; ee 0, e&

ar Ds
| | "9%

m | 351

RDy
de u
das
pm DD, AD: _

de? Ds !
Was nun bie Glieder betrifft, worin dx’, Ayt, &z', ax“, dy dr,
vorkommen, ſo iſt zu bemerken, daß, da der Faben an ſeinen beiden En⸗
- ben als feſt angenommen worden iſt; dieſe Variationen an ſich — o ſeyn
werden, und die genannten Glieder verſchwinden werden, ſo daß in die⸗
ſem Falle die Aufloͤſung der Aufgabe einzig und allein von den drei vor⸗
hergehenden Steigungen abhängen wirb,

Waͤre aber ber Faden an feinem.oberften Ende feſt, an feinem unters
ften aber frey; fo bat man nur die 3 Variationen dx’, dy’, de’, die = 0
feyn werden, und um bie andern zum verſchwinden zu bringen, hat man
nur R’ = zu feßen. In diefem Falle hat man alſo audy noch ber Bes
"Dingung Genug zu m. f R am unterftien Ende des — — 0
ſeyn muß.

In Anſehung der Wathe von Ds und Dm aber iſt klar, ns das
Element der Krümmung des Fadens
- = Y- (Dr? «+ Dy? ++ D22) ifl, x
und daß bie Maſſe dieſes Elemente Dm = ıDs iſt, wenn s bie Dicke
dieſes Elements bebeutet.

43) Nimmt man eife an, ber — entferne ſich ſehr wenig von
‚ber geradlinichten Figur, d. h. von der Achſe der z, fo bag x und y alles
zeit fehr Klein in Anſehung ber z unb alfo auch Dx, Dy in Anfehung der

2 Dz, fo hat man bis auf die Größen von der zweiten Ordnung Ds = Dz.

Nimmt man nun aufferdem noch an, ber Faden fey fehr wenig dehn⸗
Bar, ſo daß die Längen s faſt —— in Anſehung der Zeit ſeyen, »

d.Ds
hat man —— und folglich we: — LE =o

Fr 1
z Die

—

362 | I

Die letztere Gleichung rebucirt ſich alſo uf.
'+Dm>»-t- DR — 0, °_ ne
N man durch bie Integration zieht z;
R Conſt. — SD,
indem Dim — == ıe Di.

Bey der gemöhnlichen Theorie der — Saiten abſtahier
man von ber Schwere ihrer Theilchen, und nimmi fie an ihren beiden
Enden ald feſt an. Macht mar alfo in-diefem Falle x —.05 fo hat man

== Conft. und: nimmt man auch das Element Ds sber Dz als be⸗
Kan an, fo hat man folgende beibe Gleichungen in — Differen⸗
alien:

‚dx RD”
dt? . D2 — = Ä
d“y R D’y =. a
ãc T 7 2) Bed |

Bavon Das complette Integral.iift, wenn s = Coönfl.. :

x, y 6(4 r-) Fr (e er);

wo f, F 2 willkuͤhrliche Funktionen bebeuten..

Diefe Formel enthält bie ganze Theorie‘! ber Schrofngungen t der ſchal⸗
kenden Saiten wie man In ben Memoiren ber Akademien zu Berlin, Pes
rerſsburg und Turin ſehen kann *).
Iſt

‚»3te Aufgabe de chordis vibrantibus iſt ſicher immer eine der merkiwärdige
ften in ber ganzen Mathematit. Lange fhritten darüber die Mathematiker
vom erfien Range ein Taylor, D' Alembert, Euler, Bernoulli,
Ha Grongeu a Es Arsen al bier Männer, von. benen,jeder den ..

j : gebre

z — | 353

—

u; bey einer ——— ſchweren Saite das untere Ende frey;
ſo — R = 0 ſeyn, läßt man alſo die Integrationen, deren Zeichen $
tft, am obern Ende der Kette, wo z —= 0 fi, anfangen; fo hat man

R — r (A — SeDs), . 5
‚wo A ber Werth des Jategrals 8 Ds für die ganze Länge der Kette iſt.

Verrichtet man daher biefe Subſtirution in den beiden en Ste
chungen; ſo erhaͤlt man da |
5 Dm « = .D> |

wenn man Ds m conſi. ————

+ un bie Rette gleichförmig vie; fo iſt s=1,$8:ıDs 8,
A— | der Laͤnge der Kette und bie Sleihungen werden:

dx D. (I — 5) Dx
— — 7 = ==0Q, -
-dt? =. Ds? | * |
day _D 2) |
GEAR — iz — ER , — o,
‚di? Ds?

— aber durch keine bis jetzt belannte Dali integriet werden
Können,

43)

— Ruhm hatte, natuͤrlich war auch bier tbeils ein Mißverſtand
Schuld, theild daß man calkuliven mußte ohne die Erfahrung zu Rathe
ziehen zu können. Ich wuͤrde gu weit-ausfebweifen,, wenn ich den aanzen
Verlauf der Sache oder die Rn diefes Streits —— wollte.
ĩ 2

4—

34 a "

43) Wollte man den Faden als undehnbar hetrachten 3 ſo muͤßte
man in dem Ausdruck von V das Glied SIRdDs, und folglich in der
allgemeinen. Gleichung das Glied SRaDe wegſchaffen; aber auf der ans
Bern Seite müßte man auch auf die Unveränderlichkeit der Elemente Ds
Rücfiht nehmen, woraus bie Bedingungsgleichung Ds — confl. = 0
entforingt. Hiedurch erhäit man das Glied Br welches zum erften
Glied eben diefer Gleichung (4 Abſchn. 73.) zu abdiren iſt. Man hat
auf dieſe Art, da dieſes neue Glied völlig demjenigen ähnlich tft, welches
weggefhafft werben ſoll, wenn man nur A flatt R febt, aa die näms
lichen Formeln. .

| Jedoch muß man in Anfehung ber ſchwingenden Saiten bemers
en, daß tm Falle der Undehhbarkeit man bie beiden Enden nicht feſt,
fo wie bey dem ber Dehnbarkeit annehmen kann; denn damit die Saite
gefpannt ſey, muß eind bev Enden durch eine Kraft gezogen werben, die
fie zu bewegen ſtrebt; und die einfachfte Worausfeßung ift ſich wie (36)
vorzuftellen, daß die Seite in einen feften Ring gehe, und hernach ein ge⸗
gebenes Gewicht aM trage. Man erhält auf dieſe Art für das untere
Ende ber Saite x’ und yl’ = 0, und folglich dx! = o, dyl=ozaber
2 ift veränverlich und brückt bie vertikale Diftanz des Gewichts «M vom
Anfange der Coorbinaten z aus. Um nun auf die Würkung-diefes Ges
wichts ebenfals Rücfiht zu nehmen; fo muß man zum Werthe von V
das Glied — 7M2“ addiren, indem die Wuͤrkung bes Gewichts 2 zu
vergrößern firebt, und folglich zum erſten Gliede der allgemeinen Gleis
hung dem Differentialausdruck — Mor-. Aber oͤꝛ! ift nicht wie (42)

= 0; ed muß alfo in der allgemeinen Gleichung das Olted a Sr dz!

big bleiben, wenn man A anftatt R in ber Formel Gr) feßt. Aobin
Dit

man dieſes Ölied zum vorhergehenden; fo erhält man Gr * Mm) azru,

welche Größe unabhängig von d2’’ = o feyn muß, — man zieht

Da
au — «M = 0 oder da Di! = = D;!! (ehe oo az in Da
s

nun

— u 365

nun —* Re Heinen Oscillationen A = conft. tft; fo hat man allgemein,

wenn man von ber Schwere abſtrahirt A rM; woraus man ſieht, daß
die Spannkraft M im Fall der Undehnbarkeit der Zuſammenziehungs⸗
kraft R bee als’ dehnbar angenommenen- Fadens gleich iſt.

44) Dieſe verſchiedene Beyſpiele enthalten beynah alle Aufgaben,
die die Seometer.über die Bewegung eines Körpers oder eines Syſtems

von Körpern aufgelöst haben. Wir haben fie mit Vorfaß gewählt, das
mit man um defto beffer von den Vortheilen unferer Methode urteilen

Eönne, wenn man unfere Auflöfungen mit denen vergleicht, bie man in

den Werken der Hrn. Euler, Slairaut, D’Alembert, u. f. w. antrifft,

und wo man zu ben Differentialgleihungen nur durch Schläffe, Conſtruk⸗
tionen und oft fehr langwierigen und verwickelten Analyfen,gelangt. Die
Gleichfoͤrmigkeit und Schnellheit des: Verfahrens bey biefer Methode find
das was fie von allen andern hauptſaͤchlich unterſcheiden muß, und das

wir beſonders in — Anwendungen zeigen wollten.

333 | Scchẽ—⸗

‚Mer

366 —

Sechster Abſchaitt.
Ueber die Rotation der Körper.

nie Wichtigkeit und Schwere biefer Aufgabe haben mich bazu bewogen
ihr einen befoudern Abfchnitt zu widmen, und fie von ihren erften
Gründen an vorzutragen. Sch gebe zuerft die allgemeinſten und zugleich
einfachften Formeln, um Die Umdrehungsbewegung eines durch geroiffe
Kräfte getriebenen Körpers vorzuftellen, Hierauf aber gebe ich verſchie⸗
bene Anwendungen dieſer Öleichungen,

Ohnerachtet diefer Gegenftand ſchon von mehrern Geometern abaes

handelt worben iſt; To wird doch die Theorie, ‘die wir davon anfftellen

werben, nicht minder nuͤtzlich ſeyn. Auf der .einen Seite ‚giebt fie von
neuen Mittel an die Hand, das berühmte Problem der Umdrehung ber
Körper von einer gewiffen Figur aufzulöfen; auf der andern aber dient fie
„dazu, die ſchon genebenen Auflöfungen davon, die alle auf verfchiedenen
Principien beruhen und unter verfdjiedenen Gejtalten Dargeftellt find, uns

ter einen Geſichtspunkt zu vereinigen. Diefe Arten von Vergleihungen

find allezeit iuſtruktiv und koͤnnen dem Fortgange der-Analyfe nidyt anders
als zuträglich feynz; ja man kann fogar behaupten, daß fie nach dem Zus
flande worin fie ſich jeßt befindet, dazu eine nothwendige Erforderniß
find. Denn diefe Wiffenfchaft wird in demfelben Vergältnig immer vers
wickelter, worin fie fi) ausbreitet und durch neue Methoden bereichert

wird, und nur durch eine allgemeine Zuſammenſtellung der Methoden, ,

bie diefe VWortheile.gewähren, kann man fie vereinfachen.

— $. L |

Allgemeine auf die Umdrehungsbewegung fich beziehende Formeln,
1) Die (1. Theil 5. Abſchn. 55.) gefundene Differentialformeln
zur Ausdruͤckung der Variationen, bie die Coordinaten eines gewiffen Sy⸗
4 2 s fie me

= \

—

— 367

tteme von Punkten, * Diſtanzen son einanber unveraͤnderlich find, erfahren
finden natürlich bey ber gegenwärtigen Unterfuchung ebenfall& ihre Ans
wendung. Denn biefe Vorausfeßung macht nur, daß bie aus den Vas
ziatiowen ber Diftanzen zwifchen ben verſchledenen Punkten entſpringenden
Glieder verſchwinden, fo daß bie uͤbrigbleibenden Glieder das ausdruͤl⸗
ken, mas bey der Bewegung bes Syſtems allgemein. nt allen Punkten
gemein iſt, wenn man von Ihren relativen Bewegungen abſtrahirt, und
eben biefe allgemeine und: abfotute Vewegung haben wir und zu unterſu⸗
hen vorgenommen.

2) Verwandlen wir im ben eben, genannten Formeln bie Charak⸗
theriſtik 8 in dz "fo erhält man für bie abfolute Bewegung des Syſtems
dieſe 3 Steihungen:

dx — di + zdM — ydN, |

dy = da + xıdN — zdL, 5 Fe
| dz — de -F ydL — xdM, _!
- vcorin x, y, z wie gewöhnlich bie Coorbinaten jedes Punkte des Syſtems

in Anfehung der 3 feflen und auf einander ſenkrechten Achfen vorftellen;

and wo dA, da, dv, dL, dM, dN unbeftimmte Größen find, bie für alle

Punkte einertey find,. und die nur von ber Bewegung bes Syſtems übers:

haupt abhängen. | ,
3) Es feyen jeßt x’. y, 2“, die Coordinaten für einen keffiimmten
Punkt des Syſtems, alsdenn hat man alſo auch:
dx? = dx Fr z’dM — y’dN,
dy/’ = da xdN — z’/dL,
d’=d, + y’dL — x’dM5.
folglich wenn man’ diefe Formeln von ben Aorkergehenden abzieht, und
anı mehrerer Einfachheit willen ſetzt:

—

x — WW == $,
y-y)=n
2 — z' u

. /

368 | ——

ſo hat man — e Dif wattalgtautetene u

m EAN — 2dL. FJ
dę — „dL — ZdM, 2
— die veraͤnderlichen Größen. &, 4, 2 bie Soorbinaten ber berſchidenen
Puunkte des Syſtems vorſtellen, wenn man fie von einem befiimmten

Punkt deffelben Syftems annimmt , den wir ins fünftige Mittelpunft des
Syſtems nennen wollen.

4) Da diefe Sleihungen linear und nur von ber — Ordnung |

find; y folgt aus ber bekannten Theorie diefer Arten Yon Gleichungen,
daß, wenn mar durch &/, £, ZU drei befondere Werthe von S ausdrückt

und durch 7", all 7 und 24, 2, 2 die correfpondirenden Werthe von

y und 2, man biefe compJeten Sntegrale erhälten wird;
gm af bil chi,
q — a7 fe byt! 4 ey’,
== ad! Pb ce,

_voa,b, c 3 beliebige befländige Größen find, Es iſt klar, bag £&%, *.

>/ nichts anders als bie Coordinaten eines gewiſſen gegebenen Punkts des
Spftems fi fi nd, und daß ebenſo £/, „il, 21, und gu, , 2 Die Coor⸗

Hinaten zweier andern ebenfald nach Willführ angenommenen Punkten

ſind, indem dieſe Eoordinaten Ihren geineinfchaftlihen Anfang in dem
Mittelpunkte des Spftens haben. . Kennt man alfo bie Drdinaten für 3

gegebene Punkte; fo hat man dutch bie vorhergehenden Formeln bie

Werthe der Cvorbinaten für alle andere Punkte, welche Werthe lineare

- Ähnliche Sunftionen ber gegebenen Koordinaten ſeyn werben,

Aber man muß die beftändigen Größen a, b, c beſtimmen.
In dieſer Hinſicht bemerke ich, daß, weil man in den Differentialglei⸗

a Hungen die Diftanzen zwifchen den verfhiedenen Punkten des Syſtems

als Enveraͤnderlich angeſehn hat, dieſe Diſtanzen Funktionen der durch
bie Integration eingeführten beſtaͤndigen Größen ſeyn muͤſſen; man muß
| — alſo

| 2)

369

alſo einige dieſer Diſtanzen als gegeben annehmen, um die eben genann⸗

ten beſtaͤndigen Groͤßen beſtimmen zu koͤnnen.

Es ſey daher
Hr 7. 9 ER:
— gr + ya ZUR — AR,
gi — — — Al,
„gi u ylUR, . gu = Alu, Ei

‘

"E-4G-MERRQ- IB,

(Er — Lu = Bi,

(£ — 21) -L (a — —2 —2 ( — u = Be,
(Ei — guy» 4 Ca — Gt
(EI — guys > (y' — 7 » >L (2! — — ei )? — oh

( gu _ giu )2 -p (tl gl) + (Eur z

guys — cu, |

wo Die Diſtanzen A; AM, AU, Al, Bi, Bit, etc, als gegeben angenommen |

‚werben, und ſetzt man nun Kuͤrze halber:
aA: A BR

— 2

F/ =

2 S u.
Ar u Alla — Bil?

‚FF — n s 2 —
— Br „Alb - But

Fi = = —

FERN 2 An Alk —

G! — —E

= z 1

Aaa

370° 7 0°. a

? | Al2 u Allla — ca
"GU — — — —

m gun es Aus _ em u -
3 ; + i s
fo erhält man an bie Steleber 6 letztern Steigungen f Re einſachere
Ed

EEE,

ZEN ya EAN — FIN,
ggu a ag G,
gg glg + zu — Gu,
zug Le gu zu — = giu,

Subſtituirt man daher in den 3 erſtern dieſer Gleichungen die Wer⸗

the von —.1, 2 (3); for erhält man vermittelſt ber andern —— bie
3 folgenden:

aAa + bG/ ++ cG" — OF
AG + bAla po cGlli — Fi,
aG! +.bGU 4 ehdn == Fr,

. woraus man leicht die Werthe don . b, c zieht,

—

5) Haben die 3 Punkte des Soſtems, bie wir (3) für — an⸗
genommen haben, eine ſolche Lage, daß fie vechtwinklichte gute um
das Centrum bilden, das bie gemeinſchaftliche Spitze derfelben iſt, d. h.
daß dieſe Punkte in 3 geraden Linien angenommen ſeyen, Die durch das Cent⸗
rum gehen und rechte Winkel unter emander bilden; ſo hat offenbar

——— G!! 0, Go;

and

⸗

| i | — 371
aund die 3 obigen Gleichungen geben ſogleich: |

Fi Ä Fu. gu RE
N: m’ em —

6) Obgleich uͤbrigens die 3 eben genannten Punkte nad; WIN
kuͤhr angenommen find; fo iſt doch Mar, daß, wenn man’ bie 6 Größen
A, AI, M, GI, Gt, G alô gegeben anfieht, die Eoorbinaten eines
dieſer Punkte durch bie der beiden andern beflimmt feyn werben. Die
Coordinaten &/, zit, ZH werben z. B. durch die 3 Gleichungen:
oo . zig zi zu z g gu — GI, |
| gu gi a lt Zug u Gu
gun ,—
beſtimmt, welche wenn 60, G!= 0, Go, geben,
| ; | au
en)
u de: PN
zit = (ga — E20) —7

ein —/ —A gu) AU.
Inu

7) Auf "eine fo direfte Art man aber bey ber vorhergehenden Anas j
Infe zu Werke geht; fo kann ınan doch durch einen natürlihern Weg zu
. benfelben Reſultaten gelangen, wenn man von. der geomietrifchen Verracdhs
tung ausgeht, daß die Lage eines gewiſſen Punkts im Raume allezeit
durch befien Diftanzen von 3 gegebenen Punkten beſtimmt fey,
- Denn gefeßt, bie Coorbinaten .biefer Punkte ſeyen
' x, y’ 2’ für den erflen,. j
a y“, 2 für den zen, ©
xl, y’, ze für den 3ten,
J Aaa 2 En und '

372 J —

und x, yıZ 7 — uͤberhaupt die Coordinaten eines gewiſſen andern Punkte,
- deffen Diftanzen von diefen 3 Punkten durch I, m, n ausgebrädt J—
ſo iſt klar, daß mag folgende 3 Gleichungen haben wird: :

— — az G-zy>=1%,
ı (x x!’ j* 2 (y — y!'yı +.(z — zii): — m”,
(x— x) +(y— yMıj +(2— zlıy = — ne,

durch deren Huͤlfe man x, y, z in Danrioden | bon x’, y> 2’, x etc, bes -
fimmen kann. —

= - _
' u

3) Um nun dieſe Beftimmung zu — ſo nennen wir ef, g, k
bie Diſtanzen zwiſchen den 3 gegebenen Punkten d. h. bie 3 Seiten des
durch dieſe Punkte gebildeten un, dies giebt folgende 3 Gleihungen ; :

(x — x) * (y“ — ya = - (2! — zi). =f?,
(x — x!)2 + Ay —_y ‚) + (zii _ 2/)2 = — —
at. — — * (y““ — 9) —2 wm - — —

Segßzen wir nun Kuͤrze halber

xzoxzf, e
y-y=n_| J
zz -l=,, . J > i ‚

e) — x. —

— y’ — .
zit’ un z' u u F | *
.
wu ug |
ee SR nn
2“ ee — .

— — — — —

J gu2 22 „tz ++ glla — : 8%

— ne 373
np men fubſtituirt bieſe Werthe nebſt denen’ im vorhergehenden Xrtilel
gefundenen , fo. verwandeln n bie vorhergehenden TER in a =

on.

ga + za pn Pl “

(gi — —2 + (af — y'ya + c⸗ — — — —*
Brrrgel, |
E- M+G-r) + ce — eiy —
WE-HyEGE- Pre,
bie ſi ch in er ‚einfachere verwandeln Iafen: J
ga ya oh =f?, |
gin + za + | erg,

| f: 2... h?
i — En 2 u run (U,
£ + y° . + 22 =P, | = ; -
HE + Fer De TR u

2
zug Ra 9* — ——— rk —
|

0) Die Schwierigkeit befteht nun darin bie — Groͤßen
Ei Sin ben 3 legten Gleichungen zu finden. rn man baber ——
halber
ei . ur
2

or. 12 _ n? * |
ee
= IauL O7 5 ſ0

. 374 E . —

| fo zieht man ſogleich aus beiden letztern:

PR 1 (et Ally er m
zer ap —
— End € Aula 1 22 VO
ee 27,
und ſubſtitutrt man dieſe Werthe in der Steigung”
— * 2 + 2==1%; |
fo erhält man,. wenn man. bie Glieder ordnet?
Lena gt zn ru Ey
| + —8 Large — ? tr) —LL" zu — # 2
BEE — lad — 2 —
"(an — 11) | j
| Deuten wir nun durch A den Soefficienten von 22, durch 2B ben von
- und durch C bie beiden Glieder —— — C— 7 ) anz ⸗
fo hat man bie Gleichung | |

Ad? 2 Bl — (El guy , _ c
aufßzuloͤſen, ing giebt

5 | F
u ng = [all gl) l A +B— ac] ober )

Aęß B V ti 7 FE Bꝛ ach
Es iſt aber
BA ανσ νν νννν ν ren:
(CL e7 2 2 ua
[are — ein Ey ————
est ty 4 — vz') ji=

er gu

> ua Bi. NT“
“ . *

—

| 375
et — ua! — u - j x
CEIEN nA EYE)

TEN

gell — 2 guy (Et — Zac | en
eh“ + „Ey Cal -—— yel)? * | u | Ar
GR 2 Kor Eee?)

TE EI EUR rail .— vr

(El let Can! —y/y—= N.)
gm Ally Call er
2 MILE — EN) Cu all 7) —— ve
HR a re — ex
[or gu A Hy 4 GL ae; |
Tür — ve): +afl—sr)}]=. Ä
2 gl gl) Cr — gg) Caztt ug ) Eh
— Icelt gg ya C — yiell)r Cut v2

— Late — en U) 4 Ei! Eye ] („Eu — +57

— — ein — - Hu, Car — vn!) 4 gu — ey 4)
. z („El — v£!) 2
— 2 Nm ren Lat a Ge].
— (t — I[I(CA— — vgl) “+
Gar rare”

. Seht man alfo noch

— — vg) + — — —* * Cugn BEER =D;
A . fo

376 se

ſo A mat - Ze
AP HB (& Me —D)
Die Werthe von A, B, D laſſen. ſich aber leicht ſo ausdricken-
Anl ta rg) nd) —

cgig * T 7 4 gu, 2 - } en N
— ne = oa =, | i -
Ri: = ,[@ tr) gu — (eng ia EI
—,[(? +7? ga) gu — (gren a Er + N) Sg].
fe + g—h
[tet — ee]
u = za :
»[? gi u 1 0

D — (gu2 + ya 4 22) * * (£2 y'2 RB 2)
— DV (zig rn qm’! 4 gi). — —
— ⏑

Subſtituirt man a diefe — und ſeßt um mehrerer Ein⸗

ſechben willen | j
— — =
= er era | : Fa ie
7 — =, u — |

J Zu — 0... 377.
fg — b?

b Fe 5 55 2 3

3 +8
f Y — —)
: = ( %

af! RE Pd Ber Ba (U— 17 20 So
u Um nun die Werthe von S und 7 zu erhalten, hat man nur anzu⸗
merken, daß die primitiven Gleichungen diefelben bleiben, roeın man bie
Größen 2, 21, 2 ing, a’, a’ oder in &, &', &' verwandelt. Die Größen
a, b aber find rationale Funktionen don 1?, g?, h?, 1?, m?, n? und muͤſſen
alſo auch dieſelben bleiben, und druͤckt man die Groͤße c burd) eine radi⸗
ale Funktion eben diefer Größen f, g. etc. aus; fü kann fie ihe Zeichen .
verwechſeln ; man hat daher allgemein: |
= a7!’ + bz4 + c (gi2lt — (ig),
£ = ss bil mc (ei er)

Um ferner bie Zeichen von c zu beftimmen hat man nur bie beiden _
Sleihungen es Ze |
iS Zur ve U a
zug 2 ytn + ęue —=v |
zu betrachten, und man muß um bie Gleichungen zu verifichren, wenn
man die vorhergehenden Werthe — 2,7, ẽ ſubſtituirt, die untern Zei⸗
| Bbb chen

.
7

r f - ® ,
378 mm — >

den von c in den Ausbeielungen von y und E- nehmen. Hiedurch erhält
man endlich: A
g=all + bil + lien + ę),
F = a by! + c (gign — gu2l),
= — ar * ber —8 c ri)
= Hier if klar, daß in dieſen Auddruͤcken die Größen a,b, c,
da fie Funktionen der Diftanzen f, g, h, l, m, n find, nur von ber reſpek—⸗

‚tiven Lage der verſchiedenen Punkte unter einander abhaͤngen; ſo daß,
wenn man dieſe Lage ald unveränderlih annimmt, welches bey jedem feften

om
- FL

—

Körper ſtatt hat, a, h, c beſtaͤndig bleiben muͤſſen, waͤhrend dem daß ſich

der Koͤrper bewegt. "Nur von. einem Punkte des Koͤrpers zum andern
werben biefe Größen veränderlic) feyn ‚ da Die auf beſtimmte Punkte des

Koͤrpers ſich beziehenden Größen &, 7’, 9%, æ, “, die naͤmlichen in

Anſehung aller andern Punkte ſeyn werden, und von einem Momente
zum andern waͤhrend der Bewegung des Koͤrpers ſi ch veraͤndern.

Um ſich eine dentlichere Idee von dieſen verſchiedenen Groͤßen in

Anſehung eines gewiſſen Körpers zu machen, hat man nur zu exwaͤgen,

daß, wenn man durch den gegebenen Punkt des Körpers, ber. den Coors
dinaten x’, y“, z* entfpricdht, und ben wir oben. den erften Punkt genannt

“haben, ba wir ihn inskünftige den Mittelpunkt des Körpers nennen wols -

len, wenn man, fage ich, durch biefen. Punkt drey ben Achſen ber Coors
dinaten x, y, z parallele Achſen zieht, die Differenzen x — x, y — y’,
.z— z'd.h. bie Örößen & 7, 2 zugleich auch Die Coordingten eines ger
wiffen Punkts des Körpers in Anfehung eben biefer Achſen ſehn werden,
und daß auf gleiche Urt die Größen 8°, 7’, 2’ und EU, 717, 21! die Coor⸗

binaten zweier anbern gegebenen a. in Beziehung auf die ——

| Achſen ſeyn werden.

Da num bie Sage biefer Punkte in dem Körper willkuͤhrlich iſt; fo

kann man um mehrerer Einfachheit willen aunehmen, dag ihre Diftanzen .

. vorn Mittelpunkt des Körpers = r hıyen, und ” ferner die durch das

; J
I;
e *

"ir

Cs -

— —⸗ 05399,

Sentrum, und die beiden genannten Punkte gesogene gerabe Unlen einen
rechten Winkel mit einander bilden, wodurch man hat
= TI, 8 = 1, |

h= — ff + tg= = 3: g a
welches die Werthe von a, b, c fehr vereinfacht. Man ftelle fid) nun vor,
der Körper habe eine folche Lage, daß die beiden eben genannten geraden
Linien mit den Achfen ber. Coordinaten £ und'y zuſammenfallen ſo daß
man in dieſem Falle hat *

Ei, "=0,{f'=o,, ns

ZI =0O, „’= I, — 03 ,
aldbenn geben die Formeln (9): - u

g=ı,1=b,f=c. —

| . Hieraus folgt, daß a, b, c nichts anders als rechtwinklichte Coordina⸗

| ten eines gemiffen Punkts bed Körpers in Beziehung auf 3 durch deſſel⸗
ben Mittelpunte gehenden, und im Inwendigen beifelben feften Achſen
ſind, wovon die eine durch den Punkt, der zu den Coorbinaten El, ya, g!
gehört, die andere aber durch den auf die Coordinaten *“, 7’, 2 fi bes
ziehenden Punkt geht, und die dritte biefen beiden ſenkrecht iſt.

11) Man hat daher für jeden Punk des Koͤrpers oder Eofene
| die Cvordinaten:

x = x! > £, "a a
y-y+n |
zer’. + g, on
worin. Em all bil ci,
| 1a, by all, N Be Mr

| galt ÊE,
wenn man Kuͤrze halber ſetzt:

Ä J 8̊ — , | En
Bhh 2 zii

380 —

pr - dig gg,
gt — El m — | ,

Es müffen aber die 6 Größen £, »', 2, EI, nl, ZU bee a Bedin⸗
gungsgleichnnen (6(83
g’: 4 —7 «fe gl = 1,
gta Ne 7a >I« ga =]I
gi gl + ya u 4 —— — 03
genug thun, ſo daß man uͤberhaupt nur 6 von der Veraͤnderung der £age
der Körper abhängende veränderlihe Größe hat, nämlid die 3: x’, y’,
a, die die age des Mittelpuntts in Raume beſtimmen, und 3 der 6 £',
a, 2,2, etc. Diefe veränderliche Größen find in Anfehung aller Punkte
gegentheil® aber find die 3, Größen », b, o für jeden Punkt vers
— und haͤngen nur von der reſpeltiven Lage der Punkte unter ein⸗
ander ab.

WUebrigens iſt es EM bier zu bemerken daß die 3 Größen ZU, y,
gl ebenfals fo befhaffen find, daß
ga 4 zyilıa >L glitz ZT;
gig >L- 7 zu > glg = — 0,
gu zu + 7 I »L. lu 2 — 05
die erſtere dieſer Gleichungen folgt daraus, daß
(zig — 21 4) (220 2; go) > (Ei — „218
— (2% 4 7’? + e!2) (g12 + 72 + 22 — (grgu fe zn!
und bie beiden andern find am und für ſich evident.
Man hat alfo auf biefe Art zwifchen den 9 veräubertichen Größen.
EN U EI, 4, 6 einander voͤllig ähnliche Bedingungs⸗

En welches — daß dieſe Groͤßen mit einander verwechſelt
werden koͤnnen.

’ , 30)

— 381

12) Die durch beſondere Betrachtungen fo eben gefundene Formeln
koͤnnen audy fogleih aus ber einfachen Vetrachtung der rechtwinklichten
Coordinaten bergekeltet werden. Denn ba &, 7, 9 Coordinaten eines ges
wiffen Punkts des Körpers oder Syſtems in Bezug auf die 3 Ychfen, bie
fi im Mittelpunkte ſenkrecht ſchneiden, find, und », b, o ebenfald die
Coordinaten biefes Punkts aber in Bezug auf die 3 andern Achfen find,
tie fidy auch in demfelben Mittelpunkte fchneidenz fo müffen 1) 57,2
in Funktionen von a, b, c ausgedrückt werben koͤnnen, und 2) müffen
diefe Funktionen nur linear feyn. Denn wenn man anyiımmt, eine lineare
Gleichung zwifhen &, 7, 2 drüde eine gewiffe Ebene aus; fo muß
die in a, b, c umgeänderte ebenfalld Iinear feyn, indem bie Gleis
hung von einer Ebene allezeit vom erfien Grabe ifl, die Coors
Dinaten, worauf man ſi e bezieht, moͤgen auch beſchaffen ſeyn, wie ſie
wollen.

Die Ausdruͤcke von 2,2, in b,c koͤnnen alſo nur von folgender
Form ſeyn:
g = af’ rn bEU u El,
ya but z cylit,
F=zaft bl eg;
mo bie Größen &, 2, , etc., für alle Punkte des Körpers einers
ley find, und allein von der Lager ber Achſen der. a, b,c in Bezug. auf .
ng abhängen.
15) Da nun die Coordinaten £, 7 £: und a, b,c einerley Lfeung

haben, und einem gewiſſen Punkt entſprechen, fo ift Har, daß die Dis
-flanz biefes Punkts vom bekannten Aufange der Coordinaten an, durch

— 22) und ! (a2 + b2.r c?)
ausgedruͤckt werden kann. Dieſe beiden Groͤßen

Ar? Fl mer oc P
muͤſſen ſolglich identiſch ſeyn, und aus der erſtern die zweitę werden, wenn

man die Werthe von Z, 45 Ina; b. c ſubſtituirt.
Bbb 3 | WVer—⸗

Ba 7

r
382 NETTER 2 F

Verrichtet man dieſe Subſiltutionen, und vergleicht die Abnlihen _
Glieder mit einander; fo erhält man die 6 Bedingungögleigungen Y): -"

u Sur RT = —A ,
glla + = + en—ı; — *
ginn + y'Wı 14 — == 1;
zig U — 0,
gg a leo,

. grgit — SUZOR, =0;5

woburd die 9 veränderlichen Größen —* , 1, EN, ete. auf 3 unbeſtimmte
„gebracht werden koͤnnen, und dieſe Gleichungen Fommen mit denen (11),
wie man ſieht, überein,

Betrachtet man überhaupt 2 gewiffe Punkte, wovon einer zu *
den Coordinaten &, 9, 4 und der andere zu ben Coordinaten Ei, y1.dı,
gehört, und wo a, b, c,aı,bı,cı die anderen eben biefen Punkten entz
- fprechende -Coorbinaten find; fo ift Har, daß die: ua; zrolfchen biefen
beiden Punkten auf gleiche Art durch

vrla—Eı® — ) — 1)2] and
vr la—sı9? m(b—brı glce—cı)?] |
ausgedruͤckt werden wird; fo daß man immer biefe identiſche Glei⸗
— hat: —
-(£— 1)? + G—zı) + — u = (see,
' (6b - biy + (c—=cı).

—

Aber um £1,71, ? 1 zu erhalten, iſt klar, Daß man nur a, be
inaı, bi1,ca in den allgemeinen Yusdrüden von &, 7, 2 zu verwandlen
hat, und dag man, um bie Werthe von Fi, ggf

zu
#) Eben dies hat (don Hr. Euler in ben Nov, Ad. Arad, Imp. — pro
1775 — M. |

= — 383

Gleichung, und vergleicht die Glieder mit einander; fo erhält man bie
naͤmlichen bereits oben gefundenen Bedingungsgleigungen. '

Hieraus kann man (öliefen, daß dieſe Gleichungen allein noͤthig
ſind, wenn die reſpektive Lage der verſchiedenen Punkte des Syſtems un⸗
ter einander allein durch die Größen s, b, c beſtinimt ſehn, und auf keine
Art von den Groͤßen &, æ, etc. abhängen fol,

0715) Auch kann man durch diefelbe Methode andere —
Vahneſ zwiſchen eben dieſen Größen &, 74,5’, &, etc, finden, bie bey

mehrern Gelegenheiten von Nutzen feyn Finnen.

Addirt man bie 3 Formeln (12) zu einander, nachdem man ſie re⸗ 2

ſpektiv durch &4, 27, 21 oder EU, zU,.2H pder EU, , ZI multiplicirt
hat; fo hat man in Unfehung Vedingungsgleihungen (14) diefe ums
gelehrte Formeln: |
DE 2 Er er 2
ba= EEE" Ey gel,
ce Eell.n PO gen ö
Subſtituirt man daher biefe Merthe von a, b, c in der identifchen
- Gleichung
2 + b + eier 200

ſo erhält man durch NE bet Glieder Rn neue Beingnge

Gleichungen:
Er 2 gif + ellla ——
2 sp ya ih,
‘ gl $: 24 * gta —

zu erhalten, nur in eben dieſen Ausdruͤcken a — a1, bb L,c—ch.
ſtatt a, b, c zu ſetzen hat.

Subſtituirt man hierauf dieſe Werthe in der vorigen identiſchen

Lo u —

Ey! J

-384 —

* 4 El yli — gl ze — 0,

— — ——— EIN ZN o,

z' 21 + nt 2 + za — O0,
welche nothwendig eine Folge von denen (1.4) ab indem fie aus derſel⸗

ben identifhen Gleichung hergeleitet werden.

16) Sucht man aber direkte die Werthe von a, b, c durch die Auf⸗
fung der Gletjingen (13); fu erhält man nach ben befannten Formeln:
g (2 —T — —7 209) +7 (21 gIu dal zu) >L ⸗ (£” „ie —zt! gt
ee rer

— Cæ —* ı!) +7 — — —MV — („’ el _ z112N,
K ®
_# Be — 12) ey (21 gu - 21£1) dl (&’ 7 — gHy')
ra rn en a ge re eg EU ee J— — | — — — —
wenn man ur:
KK £ ein — zu EU 4 ge! guy El elly u sr yigligin
ö Ag annimmt,

Diefe Ausdrücke müffen daher mit denen (5) identiſch ſeyn. Ver⸗
gleicht man daher die Coefficienten der Größen 2, 9, 9, mit einander; fo
Aare man folgende Gleichungen: *

7" ęu⸗ u 7 gu — K£’,

gu gu — gu gl =— Ky’ R i R

gu —* Bu —* gu — Rę,
PL ya guy — Ken,

£ ęr⸗ — 2 ⸗ ei — 7",

ygu—_ gie KA, >,

1’ ge

>»

ee | 3 83
wagen.
* gu — Kr’,
Ey El yt — Ku,
Albdirt man bie Quabrate ber ; erffeen — ‚fo hat man:
Cru gun — ER * gerät — —— — + (4 U a’ EI)E
—=KR.(fe ge a 2R);

vvrin die erfte Hälfte auch fo geſchrieben werden kann:;:;

— “+ —* * u +- — u fr uly 4 sb. ‚gueuiys,
durch, die Vebingungsgleichungen.. (13) wird aber dieſe ———— auf
1 >= K gebracht; folglich ii K = T

Um zu erfahren, meldes diefer beiden Zeichen man — muͤſſe,
hat man nur den Werth von K in einem zn Falle zu betrachten.

Der einfachfſte Fall aber iſt ver, wo die 3 Achſen ber _Coorbinaten s, b, c.
„unit ben 3 Achfen der Goordinaten.£, m, g zufammenfallen, in weldem

Fall g—=1,71=b, Z=ciÄf, und folglid nad den Sormeln (12)
dr, —=ı, fl" —=ı
und alle * Groͤßen eu gl etc. —=0

Verrichtet man biefe Subftitutionen. in dem allgemeinen Ausdruck
vonK; powder —ı. .

Es ift daher allezeit K= ı.
Uebrigens ſieht man, daß bie 3 letztern obigen Gleichungen wit de⸗

nen (11) angenommenen äinerlei find, "and daß hieraus ſich die 6 andern |
durch bie Analogie herleiten laffen. — —

17) Wollte man alſo die 9. Größen $', 5°, El, zi, etc, auf —
ſtimmte bringen; fo brauchte man nur darauf bie 6 Groͤßen: £,.£, ,
7, 2, vermittelſt der 3 Bebingungegleiduingen

&ce u g'3

Fe — ———
"gu oe y'2 + gla — 1,
gta — —** 4 ga — 1,
FR — DIE a | |
zu bringen, indem die 3 andern EU, zus, a ſchon in EN von“
‚jenen bekannt find. 5
Mimmt man z. B. &, jr und zu für bie unbeſtimmte Größen a anz
fo giebt die erftere Gleichung ſogleich er
tr (ı ir ®); —
und man hat nur noch 7", durch bie belden andern Steigungen | |
— ęnua — 1 EUR, und | ,
— + ee — Ef beſtimmen.

Es iſt aber bie identiſche Gleichung |
a la Rn guy,
folglich Graue el = („3 "4 012) (2 + £2) —(z! 144 & guys —

= {1 — g12) (1 — g12) — £2 $lla i
— I — —* — £l2, |

Verbindet man daher die beiden Sleichungen

nt 23 g' Pd 7 und — | |

gl VV (1—£R2 — En) ut . e

mit einander; fo erhält man: 2 u FE
EI Ey Hera — —

2 7 «hr er |
UA JC — ER er) | Y
Endlich geben die 3 letzten Formeln des vorigen Ari |

1
|
|
i

”

tn
EU — —

J U gl ws

% . er
* -

— s — 387

| zul — el El — gu, .
og — Eu gig.

18) Um alle diefe Ausbrüde auf eine eationale und ganze Fem in

bringen ‚ bat man nur.

® N

r — Col A, >
Pe — fſin Cfu, ° BL Zu
u ee Col»; |
zu feßen, welches giebt: en
; & — far fo: B

yet =— Coſ Col u Cofv - — fin « fin »,
gi — — Col Yin « Cof » > * fin »,
3 ini fin v; |

fine Col» — Cola Cola fir,
eu — Cola Coly — Cofr fin» fin v.

a Und es iſt nicht ſchwer zu begreifen, nad) dem was (10) — if, 2
daß A der Winkel feyn wird, den die Achſe der Coorbinaten a mit der ber

zZ macht, # aber berjenfge fegn wird, den die durch biefe beiden Achſen

gehende Ebene mit der Ebene der Coordinaten- £ und ? bildet, und dag

endlich » der Winkel feyn wird, dem die Ebene ber Coorhinaten a, b mit

der durch die Achſen der Eoordinaten £, a gehenden Ebene bilde. Be⸗

trachtet man daher die Achfe der Coordinaten a, bie als allezeit durch die⸗
felben Punkte des Syſtems gehend angeſehn wird, als eine Umdrehungs⸗

Achſe des Syſtems; fo wird A die Neigung dieſer Achſe gegen bie feſte
Achſe der Coorbinaten & feyn, m aber der Winkel, den eben biefe Umbre⸗
hungsachſe beſchreibt/ "indem ſie fich um dieſe feſte Achſe dreht, and A

wird der Winkel ſeyn, den- das Syſtem ſelbſt beſchreibt, indem es ſich

um . Unteegungtat, waͤlzt. u wir wollen weiter unten “a

Sce.2. | 0... tie

—X

388 u I‘

eine einfachere und natuͤrlichere Urt angeben, Gebrauch von ber Betrach⸗
‚tung dieſer Winkel zu machen. Ä BE

109) Bey einem feſten Koͤrper muͤſſen bie Größen 2, b, c beſtaͤndig

bleiben, ſo lange bis der Koͤrper ſeine Lage im Raume veraͤndert, indem

die Bedingung ber Solibität darin befteht, daß alle Punkte bes Körpers
unver&nberlich diefelben Diftanzen unter einander behalten. In biefem _

Falle müffen die Achſen deg Coorbinaten s, b, c im Innern des Körpers
als feft, aber in Anſehung der andern Coortinaten &, 7, 9, bie. als feſt
im Raume angenommen worden find, als beweglich betrachtet werben.

a. aber auch die Veränderung ber Lage bed Koͤrpers uni feinen
Mitte Mnkt befchaffen feyn mag; fo kann man beweifen, daß allezeit
eine gerade durch diefen Mittelpunkt gehende Linie 2. fepn wird,
welche immer biefelbe Lage behält, uud für mylche die Koordinaten &, 95
g einerley find O0. | = ne
Denn da man für irgend eine Sage des Körpers überhaupt die
Formeln na ne ie
g — afl mbH cl ... nn
abe,
ee en.
| hat, und man annimmt, daß in einer andern Lage deſſelben die Sroͤßen
Ben . 8, g'; ete. ſich verwanblen Ai Er, nr, Zn, yfı, guieed
fo. hat man fhr’diefe neue Lage: a u a

ı ft
[4 ”
.t

——6 Re ——— — we
1... fispnfıtbili heil, 0.00.0053,
» - . . > — A
— — En —
2 4 ——,

* —F — Des, fe
‚eurer Erfinder dieſes Khbnen Satzes der Medranik war Ari erh
Euler, der ihn in Den Noya dh. Acad. .Tmper.;Betrop. vorgettagen und ges
hörig ermwielen hat. Kür ein dlich kleine Rotation warbieft
von ſelbſt In die Augen fallend‘,. und eben daher ſchon Iangr
. Geomerern befanne Zur. Euler aber erwies Ihn’ zuerſt für
AUmdrehungsbewegung, und machte Ihn eben dadurch fo anwendbar. 117.

A en iii u, —

⸗

— 389

ı = ar balı m call. 5
u wafı Hibetren cdlla; -

und befinden fid) im Körper Punkte, die ihre Stelle nicht verändern ; fo
hat mas offenbar fir jeden biefer Punkte die Beningungegleiduugen

" FegQugenges 0
Alle Punkte diefer Art werben alfo durch biefe 3 EIER be⸗

ſiimmt ſeyn

£-fı=o, — =0, -
Em Ar o; Es iſt naͤmlich alsdenn
HH ty bl — An) ps (EU ea) o.
2(2 tt) ey) eo,
cer - bg gun) nr Qu — guy on
Die aus biefen Gleichungen gezogene Werthe von a, bc geben -

alfo die Sage dieſer Punkte in dem —— Uber es iſt klar, daß wenn

man 2 biefer 3 unbekannten Größen a, b, c wegſchafft, eben dies auch nit

- der zten angehen wird; bie Stelhung, die'man erhält, muß folglich an

ud für ih: ſchon akt. haben, und Wie finhet, ONE eben. sefshe bat,
wuͤrklich ſtatt.

. 20) Sch abdire in dieſer Hinſ cht die 3 vor ergchenben Gleichungen
zuſammen, nachdem ich fie reſpektiv durch Pr ya, dr fı,
multiplicirt habe, und indem man auf bie — ungen (13)
nnd auf die aͤhnlichen Gleichungen ſieht, die zwiſchen &a, JI, etc. ſtatt
—— muͤſſen.

Man bekommt hiedurch
⸗ — (Zu 4 RR ie zug — "gu, Ba —
REIT er, *. a gt a Hl
| D) tr, — us

— SAT ee
— = -&er z , Abdiri

— —

Abbirt man dieſelben — zu einander, — man ſie
reſpektiv durch ẽ -- Er, m ing all — hat; ſo
findet man auf eben bie Art:

o=3 (ges +» zrzun — giuge,, — WET gung)
-p b(zugu, 4 aa + au u EIN er — — 1
— gan ge 1 ) |
Diefe veränderte Steigungen find offenbar Bil den vorgeſchzten el⸗
nerley; macht man daher Kürze halbe:
ep=gumgli a —7*8 27 ZU DU — gl een euztug,
2Q= He A EU IP 1— gli liy,
aR= Ep ln glg rt glg
fo bat man Biefe 3- Gleichungen aufzulöfen: de
.bR— .cQ = 0, = =
a ceP— ıaR == o, |
rn Er) bp = 0
ra bie zte, ite. unan fieht, eine Se der Säben — — Dip
geben : =

=
*
+

ie 1
a

'b
ce:
RE
— T

woraus man’ zieht a=hP, b=hQ, c=hR, wenn man fr h eine
willtühsliche Größe. annimmt. F

21) Dies find alfo bie Werthe der Goorbinaten r, — für alle
j nr Körpers, die ſich nach der Umdrehung des Koͤrpers uin fein
— das unbeweglich angenommen worden iſt, in derſelben =
befin⸗

1 4

—

3851

befinden, * ed Ar Har, daß dieſe Eoordinaten zu einer Knie gehoͤren
werben, bie darch dieſen Mittelpunlt geht, und mit ihren: Achſen Winkel
bildet, deren Coſinus ſindd | |

P Q;, = R. |
——————— —— ee NIS er in See
YRHFEHR r(erQa+ DIZGETZ TO

& zufammengefeßt daher Auch: bie Rotation bed Körpers feyn mag; |
fo wird fie boch zulegt einer einfachen Rotation um die eben genannte inte, .

die als feft angenommen worben ift, gleich feyn, und man Bann folglich

biefe ——e ̊ — des Koͤrpers nennen.

23) Die Sage biefer Achſe in Beziehung auf die Achſen der Eoordi⸗
naten a, b, c kann man alſo vermittelſt der 3 Größen, wie man geſehn
hat, beftimmen, Wollte man Aber biefe Sage auf die Achfen der Coordi⸗
naten &, », 4 beziehen; fo hätte man nur in. den Ausdruͤcken dieſer Coor⸗
dinaten (12) anftatt =, b, c ihre Werthe hP, h@, hR, zu fubftitniven ;
— geben ua £=hl, — hM, g=hN, Denn man — hal⸗

er jeßt:

L=z!EP + iq + zur, |
„M=zP + iq + ylUR, = i .
N=eP + 2uQ 4 —R

Dieſe Werthe yon £, 7, 2 entſprechen folglich allen Punkten der Unis
| prehungdanhfe, biefe macht baher mit benen ber — * m‘ Wins
- Bel, deren * nus reſpektiv —

+
.
* Tan -
= *

*
| "N.
e —777 er; + N’ V(L? + N2y”. Nr + M? + +N?)

ausgedruͤct werden.

- Die Größen L, M, N find — voͤllig mit Ben Größen P,Q, R- ahas
Yog, jedoch mit *— Unterſchiede, daß dieſe fich uf! die —
— en, =

wie may fie gewoͤhnlich nennt, (l’axe Ipoutande deretstiön) feyd wird.

“an, fo daß man hat: A |
; r SEE RE: u 5 : ;

. 2 P= gWidgl ya AU EN a A a

„ — —
D . *
- a
* -
-
5 x. - .
«
“ b
‘
- *
-
⸗

392 I—

Achſen der Evordinaten d, b, o beziehen, jene zu ten beweglichen Achſen

. „ber. gegebenen Coordinaten -#, 7,2: gehören. Aufſerdem iſt

LM + N=P.2Qr Rz,
welches daraus folgt, daß man allgemein hat: ' _ R
Priralessihgan. 09
Subftituirt man’ übvigehs tn dew Liusdvütken der Grötzen L; M, N
Me Werthe von P, Q, R, (20) und bebient fich dabey der Reduktionen (16);
fo hat man: a uk:
sl mnelı + gen zilugen — iylı Alt Zu gung,

»M=zieue —X BERG a Big eg plug,

rat 3:

aN= Et u eg — ενν— zuugiig, "

...,.23) Betrachtet man nur bie Bewegung des Körpers in einem Au⸗
genblick;. ſo wird während deſſelben bie ehen_genaunsen Umdrehungde
acıfe feſt feyn, und ber Rörper ſich wür lich und nach Willkuͤhr um dieſe
Achſe drehen, welche folglich die willkuͤhrliche Rotationsachſe des Körpers,

Um nun dieſe Achſe zu beſtinimen; To mmmt man die Größen Er,
„ti, 21, Er, etc. ald unendlich wenig von 5474,94, 8, ete. Werfieden |

PIE;
x ;

= tr dy, er *

ori = ge! 4 dt, F Br |
ST. Ti ai T,

etc. i

‚welches giebt (20)

.ıQ_

Qi dei. + yidglll ⸗⸗ gut — NE A AI ALT,
RE At A

Aber durch die Differentiation der 3 letztern Bedinguagoglelchungen |

erhält man . |

gdgl pp yi dyt! + zıg2u — — gu de! — dy! — EEE

gitdel 4. a! da’ — ern der — — —_ edel _ a dal — g'd gu,
gi d gu fr! y“ dy sy gu dęeu Pe gl datt — sah dy!! — gm delt;

und fubftituirt man biefe Werthe ind verwandelt, um alles is zu
machen / P,Q, RindP, dQ, dR; fo erhält man:

dp — £ludgli$ „il dy'! fe gi den,
0: — gi deu + zdz sh grdgzu,

j AR : — gu dgl + u »p cd,
Folglich fi ſind | |
de 290 dR

Y (dP?+dQ?+dR?) vr? 4403-4 dR?) OR?) ’ Pa ERTTIE FR)

bie Sofinus der Winkel, bie bie willführliche Umbrehungsachfe mit den
Achſen der Eoordinaten 3, b, c (21) macht.

24) Verrichtet man dieſelben Subſtitutionen in den Ausbricen von

L, M, N (22), und fieht auf die 3 leßten differentiirten Bedingungsglei⸗

chungen (15); fo erhält man, wenn man L, M, N in dL, dM,.dN ums

Andert, folgende Formeln:
dL = „’d?! +. 2" de 4 ‚u au,
dM= eidet p Lid gu + ea,
| dN = Ada + Zudglt + Ei dal,

Ddd wodurch

394 ———
ne man n bie — der willkuͤhrlichen Umdrehungsachſe in —

der Coordinaten &, 7, 2 beſtimmen Tann, denn die erſtere dieſer Achſen
macht mit den 3 andern Winkel, deren Coſinus ſeyn werben:

dE dAM
y (dia + dM? ANY)’ Y (die +dM2 4-dN?)’
dN

Vers amr an)
Und will man haben, daß die Werthe von dL, dM, dN von —
von dP, dQ, dR abhaͤngen ſollen, fo erhält man wie — die Sonnen

dL = #dP + £1dQ + guidR,

dM = = „! dp + ydQ +» alt AR,

dN = 2’ dp + 2UAQ + in dR;
welche wegen der Bedingungsgleichungen (13) ſogleich geben: I Ä R

dL? dM + dN? — dP: + dQ? «+ dR?,

25) Die Größen dL, dM, dN haben noch einen andern Nutzen in
der Veſtimmung der Bewegung des Koͤrpers, ſie dienen dazu auf eine
einfache Art die Differentialien der Coordinaten —, . zu beſtimmen.
Denn wenn man die Formeln (12) differentiirt, indem man immer dabey
a, b, c ald beftändig der Natur der fefteu Körper gemäs anficht; fo hat
man foglih
' d= ad’ rn bdzl cdzm,

d = ady! + bdy” cdy““,

dę = adzt. + bag“ + edel;
und ſubſtituirt man in dieſen Formeln die (15) — Ausdruͤcke

von a, b, c und hat zugleich guf Die differentiirten Bedingungsgleichungen
(15) Acht; fo bat man end 29

⸗7, —— Pe
En eg

| — | 393
dge —ędM — »u,
dy = £dN — gal,
des = „dL.— £dM,
welche Gleichungen volfommen benen (3) aͤhnlich find, und folglich zeis -
gen, baß bie Größen dL, dM, AN auf beiden Seiten einerley find.

26) Diefe Formeln find auch von derfelben Form als die (1. Theil
3 Abſchn. 7.) durch die Betrachtung der befondern Umdrehungen um 3

Achſen der Coordinaten; woraus man fogleich ben Schluß ziehen Tann,

1) daß die Größen dL, "IM, dN die durch den Körper um die Achfen der _

- &oordinaten &, 7, 2 befchriebenen Elementarwinkel find; und da die Gröfs

fen dP, dQ, dR, in Anſehung der Achfen der Goordinaten e, b, c das find,
was dL, dM, dN in Anſehung der Achſen ber &, 7. $ find; ofolgt auch,
daß AP, dQ, dR die um die AUchfen der », b,c befehriebenen Clementars -
winkel find, 2) Daß dieſe befonderen Rotationen ſich auf eine einzige
um eine Achfe bringen laffen , die mit denen ber Eoorbinaten &, 7,9 ober
8, b, c Winkel bildet, deren Coſinus ſind

dL dM |
TV(dl: + dM FAN)’ Vldi + dm: + dN?)’
dN
dP. j 40 |
7 Cap +40: + dR2)’ V (AP + dQ’r dR?)’

UV (ap rn dQ? + dR?)’

wie wir fchon oben gefehen haben. 3) Daß der um dieſe Achfe befchrtes
bene Elementarwinkel durch

V (dLæ »p dM + AN?) ober v (dp +do + dR?)
. Ddd 2 ausge⸗

396... Eee

ausgedruͤckt iſt, indem dieſe beiden Groͤßen nach (29) — gleich
ſind.

27) Wir haben eben bie Differentiatien d£, dy, de auf * ſehr
einfache Art durch die Größen dL, dM, dN ausgedruͤckt, man kann fie
aber auch, auf gleiche Art durch die. analogen Größen dP, dQ, dR aus:
drücden, und man hat. zu biefem Zwecke nur anftatt diefer Größen ihre
durch die legtern Formeln (24) gegebenen Werthe zu fubftituiren,

Man bekommt hiedurch folgende veraͤnderte Ausdruͤcke:
er u) AR AT )AO + (Eat! — v AR,
= (Et — 25) IP eg — LEN) IQ (ES SEN) AR,
n = (a — Ey) AP (78 — E41) AQ 4 CyErl — Ertl) AR,
| Sept man nun ſtatt &n 2 ihre (12) gefundenen Werthe ‚und fieht

auf die Reduktionen (10);3 ſo Beau fid) u Ausdrüde in
“folgende:

Oz — cz) dP + (ci — 72 dQ + (ad — bE/)dR,
da (bc) AR + (et — a7") dQ + Can! — by’) AR,
de — gm cf") dP ++ (ed! — a2) dQ > (ad! — be’) AR.
Und da biefe, Ausdruͤckungen mit denen, die man; wenn man eben

biefe Sorweln (12) fogleich differentlirte, erhalten würde, einerley ſeyn

müffen, ‘fo erhält man durch die Vergleichung der a worin a, b, c
vorkommen

di'=EUdR — „gu 4Q, Ä

. Ag dp — £'AR,
| dp — £1dQ — EldP, F
da’ = zidR —zudQ, ren

dyd

J | — — | | 397
BL LIE Wr Zee rT
dy! — yldQ — ı'dP, | S
del = eud k — guıaQ, -
0 deu = ZluldP — AR, — F
dem — g’dQ — Lu dP, Te
“28) Die vorhergehenden Yusdrüdtungen v von d£E, dy, dę wurden ge⸗
funden, indem man a, b, c als beſtaͤndig annahm. Wollte man darin
auch biefe Größen ald veränderlidy annehmen; fo hätte man nur zu dies

fen Ansdrüdungen, bie zu den Differenzen von a, b, c gehören, zu ads , ,
biren; und. bie Formeln (12) wuͤrden zeigen, daß biefe Glieder feven -

ER + ZHdb 2 Eltde,
y'da + db er gilde,
s £lda «u Eldb + Lllde.
"Man bekaͤme alöpenn für die vollfommenen Werthe von. dẽ, da, de. > u
dE—= HlcdQ— biR da) . |
J + El (adR — cdP + dh)
A lbdP — adQ + de), |
dy= 7 (edQ — bAR - da) - Zn 7 re Free
| 4 gl! (adR — cdP + 4b) | u
' | | + al (BIP — adQ + dc),
d2 = L!(cdQ — bdR + da)
ladR — cdP + db)
* Ber (bdP — adQ + de);

; Da, De

308 | —

Diefe Formeln find wegen ihrer Einfachheit und Gleichfoͤrmigkeit
fehr merkwürdig, und haben aufferbem em das eigene, baß die Groͤßen
&,n', etc. völlig in der Groͤße |

d£ + dy? + dę⸗
verſchwinden; denn wegen der —— (13) en. manauf
eine fehr einfache Art

"dardp+ de — = Ceiq — bdR -+- da) m
" CadR — cdP “> db)? »
(bdP — adQ + dc)?
welcher Ausdruck uns in der Folge von großem Mugen feyn wird.

29) Wir haben fchon (18) gezeigt, wie man alle Größen &, 7’, 2”,
gl", etc. durch Sinus und Cofinus dreier unbeflimmter Winkel —
ausbräcen kann; es ift aber noch ein geraderer und natürlicherer Weg
vorhanden, zu eben biefen Reduktionen zu gelangen, und biefer befteht
darin, daß man bie befannten Umänberungen der rechtwinklichten Coor⸗
dinaten anwendet. ®

Denn weil —, 7, & bie rechtwinklichten Coordinaten eines gewiſſen
Punkts des Koͤrpers in Anſehung dreier durch deſſelben Mittelpunkt den
feſten Achſen der Coordinaten x, y, z parallel gezogenen Achſen find, und
8, b, c die rechtwinklichten Soorbinaten eben diefes Punkts in Anfehung
dreier andern durch eben dieſen Mittelpunkt gehenden, aber inwendig im
Koͤrper feſten Achſen ſind, und folglich veraͤnderliche Lagen in Anſehung
der Achſen der £&, 7. £ haben; fo hat man, um die Ausdruͤckungen von
:£,1»£ ins, b, c zu erhalten, nur auf die allgemeinſte Art diefe leBtern
Coordinaten in bie andern zu verwandeln.

Wir wollen in diefer Abſicht « den Winkel nennen, den bie Ebene
der 3, b mit ber &, 4 mat, und Y den Winkel, den ber Durdfchnitt
diefer beiden Ebenen mit der Uchfe der E macht; endlich wollen wir durch
P den Winkel beftimmen, ben die Achſe ber a mit eben biefer Durch⸗

ſchnitt o⸗

—R

— — BER a a) ee m ——

— 399
ſchnittslinie macht; dieſe 3 Größen o,.%, A werden alsdeun, wie man
fiebt, dazu dienen, bie Sage ber Achſen der Coprdinaten 3, b, c in Anſe⸗
hung ber Achſen der Coordinaten &, 7, J zu beſtimmen; und durch ihre
Huͤlfe kann man dleſe letztern durch die andern beſtimmen.

— | Na . : :

Stellt man fi, um bie Ideen zu fixiren, vor, der vorgeſetzte Koͤr⸗
wer fey die Erde, und bie Ebene der a,b die des Aequators, und die Achfe der
a gehe durch einen gegebenen Mittagsfreis, ferner die Ebene ber —, 7 fey
die der Ecliptif und die Achfe der &-fey nad) dem erften Punkt des Wid⸗

ders zugelehrt; fo ift Mar, daß der Winkel » die Schiefe der Ecliptik

wird, ferner daß der Winkel y die Länge der Herbſt⸗Nachtgleichen oder
des auffteigenden Knotens bed Aequators auf der Ecliptif, und daß p
Die Diftanz des gegebenen Meribians bey diefer Nachtgleiche fey. Se

9 iſt alſo überhaupt der Winkel, den der Körper befchreibt, Indem

er ſich um die Achſe der Coorbinaten c dreht, die man deswegen nur Achſe

des Rörpers nennen kann; ferner ift alddenn yo — » der Neigungswin⸗
kel dieſer Achfe zur feſten Ebene der Eoorbinaten &, 7 und y — 90° ber
Winkel, den die Projektion eben diefer Achfe mit ber Achſe der Coordi⸗
naten & macht. | |

30) Died vorausgefeßt, twollen wir fogleih annehmen, bie beiben
Coordinaten, a, b vermandelten ſich in 2 andere a’, b‘, die in ebeu biefer
Ebene liegen, ſo daß die Achfe der a’ im Durdyfchnitt der beiden Ebenen
und bie ber b’ fentrecht auf diefen Durchſchnitt ſey; alsdenn iſt

a a Coſ — bfin 9,
DV —bCflPp + ſin ꝙ.
Mir wollen num feßen, bie beiden Coorbinaten b’, c verwandelten

fi in 2 andere b“, c“, wovon die eine b’ auf den Durchſchnitt der Ebe⸗
nen allezeit feukrecht aber in der Ebene der &, y, die andere c’ aber ſenk⸗

recht auf dieſer letztern Ehene ſey; alsdenn findet man gleichermafen

40... ——

b” = bl Cola — cine,

ce = e Cola + b’ ſin w. |

Endlich wollen wir annehmen, man verwandle die Coordinaten a“.
bA, die fchon in der Ebene der &, 7, find, in 2 andere a’, bl, die in eben

diefer Ebene fih befinden, aber fo beſchaffen ſind, daß die Achſe der a’!
‚mit der Achſe der £ zufammenfällt; alsdenn findet man auf eben bie ert

al = a Col y — b’ fin Y,
bu bii Coſ ſin . | 0

Es ift offenbar, daß die 3 Coordinaten a’, bin, e’ ker mit ben
Goorbinaten &, 7,9 find, indem fi ie auf einerley Achſen bezogen ſind.

Subftituirt man daher nach und nad) die Werthe von al, bb’;
fo erhält man die Ausdruͤckungen von &, 7, 2 in 3, b, c, die von "eben der
Form ſeyn werden, als die (12), wenn man feßt

⸗ ColP.Coly -— fin pP finy Cola, I
U fin 9 Ealıp — Col Q fin m,
gl —= fin Y fin w, .
e — fin @ fin y + fin @ Col y Colm,
"— — Soap finy + Cop . —
u — Col» fin o,
el = = fin 9 fin w,
AM — Col p fin o,
.giu = Colon.
(Denn alsdenn iſt
— — a Coly — 6 fin J, |
a a a a sn. nn *

⸗

401
= Püfe—6me} Co» — Fb Col p — reg
07, Cola sr elaw fin,
Zr Cote CE ng CH ¶ BCHfe Any Cala. a fin ꝙ
| fin y Eolw + c finw fin y,.
— [0 Coly— fin fin y Col»] —b [fing Col y
+ Col fin 4 Cola] re fin yhnm
Ebenſo b Col v. + ſin y, —
— I[ Gola — cfinw} Coly Ia Col — b’fin p] — |
. =. Cof@ Cola Col y 4 afin P Cola Cofy — c lin æ ſin y |
J + a Coſ 9 ſin - b ſin 4 ſin v —
— 8ICoſ p finy + fin @ Col y —
b[fioQ fin y +. ColQ — Cola] =
c.Cof y fin. -

; Und el = c Cola + b’ fine, Ze |
| — c Cola + bp fit + afnp mw
= afnp no + b Col 9 fin w == Cola. M.)
Diefe Werthe thun auch den 6 Bedingungsgleiungen (13) genug
ſowie denen (15) und Löfen diefe Gleichungen in alleın ihren Umfange auf,

indem fie 3 ne — Groͤßen Rn als —
und vw.

31) Subſtituirt man non dieſe Werthe in den Ausdruͤckungen der
Größen dP, dQ, dR, (23); fo hat man, menn man bie —
Reduktionen der Sinus und Coſinus verrichtt |

dP = (zu de: zii dy“ url de 2

Eee: ee finy

i @®
403 . — I
fin y. fin « [fin @ fin y dy — Cofy Colp dp + Col Gar
ſin v de —Cof9 Cola Col y dy »+ finy Colw fing dp]
+ Cofy fin» [in @ Col ydy + fnyColp@ dp
+ Col $ Cofxy finwdu-+ Coſ 9 Cola finydy-rCofyColwlinp dp]
>> Coflo Cofp Cof» do — Col a finao ſin do
= M.) Gap fin» dp + Colp da, |
dQ=(Frdgw + dal ęudęu —
ICoſ o Cofy — fin ꝙ fin y Colo»] [fin @ Cofa do + fin“
fiay dy} -r [Col 9 fin y + fin 9 Cofy Cola] [fa » finy
dy — Cofy Cola du] — fin fin? » da. — M.)
Cop ſin vd — ſin ꝙ do,
dR — ( —— euder—
— ſſia⸗ Col Coſ Play Col #] [fing fin ſinv de —
fin @ Cofa Cofy dy — finy Col» Cofpdp — Colpfinydy-
— Col finp d0] [Pcoſę Col y Coſ — finp fin P][Colp -
Cofy dy — fin @ finyd@ + Cofy Cola Colp dp — fin 9
finy Cola dy — finp Cof yfin» do] + ns Eee *
Cofo ſin v Coſ d . — M.)
do + Col» dy.

Verrichtet man eben dieſe Subflitutionen in ben ustridungen der
— dL,dM,dN (24); ſo findet man
dL == fin y fin» dp # Coly da,
dM — — Cofy Gin» dp 4ſin do,
IN == Cola dp dp | |
Durch

2
PL)

— 403

Durch dieſe Formeln kaun man alſo bie Elemente ber augenblickli⸗

- en Umdrehung bed Rörpers um bie willlährliche Achfe beflimmen, "wenn

man bie Umdrehung des Körpers um- feine Achfe, und die Lage biefer
Achſe im Raume Fennt,

32) Man muß diefe ‘beider Achſen und die darauf ſich beziehenden

- "Umdrehimgsbewegungen wohl unterſcheiden.

Wir haben eben bie Bewegung‘ bes Körpers um feinen Mittelpuntt

durch die 3 Winkel Ö, w, Y, vorgeftellt, wovon der erfte @ den durch den

Körper beſchriebenen Winkel ausdrüct, indem ex ſich um eine gerade Linie
ober Achfe dreht,. bie durch diefen Mittelpunkt gebt, und eine beftändige

"Lage in Anfehung der verſchiedenen Punkte des Körpers Hat, die aber

übrigens mit ihın beweglich fen; ber ate Winkel w dient dazu, die Nei⸗
gung biefer Achſe zur. Ebene der Coordinaten S, 4 zu beflimmen, deren
Richtung als gegeben nnd im Raume fefl angenommen ift, und diefe Nei⸗
"gung iſt durch den Winkel 90° — w ausgedrückt; endlich drückt der britte

inkel die Sage der Projektion ber nämlichen Achfe auf diefer Ebene

aus, indem fie mit der Achſe ber Abſciſſen £ einen Winkel — y — 90°

macht.

Da aber dieſe Umdrehungsachſe mit dem Koͤrper beweglich iſt; ſo
iſt ſie nicht die wahre Achſe, um welche der Koͤrper ſich wuͤrklich in jedem
Augenblicke dreht, biefe if diejenige, die wir willführliche Umdrehungss
achſe genannt haben, und deren Lage fin Raume von den Größen dL,
dM, dN (24) abhängt. Hat man nun oben bie Werthe biefer Größen in
9, Y und » gefunden; fo ift leicht auch die Sage eben diefer Achfe und den

Umdrehungswinkel um fie durch die den Winkeln 9, Y, » analoge Wins

kel, die wir Deswegen durch 24, Y', m! bezeichnen wollen, zu beftimmen,
Denn da die Ausdrückungen von dL, dM, dN in @, V. @ für jebe Lage der
Achſe des Körpers allgemein find; fo werben fie auch für die willlührlicye
Achfenumdrehung gelten, wenn man nur 9, Y, w in 2, Y, w'! verwans
belt; allein da bie Eigenſchaft diefer letztern Achſe if, daß fie während

eines Augenblicks unbeweglich iſt; fo müflen die Differentialien dy/, dw,

Eee 2 die

404 - —

die ſich auf die Veraͤnderung der Lage dieſer Aqhe — = 0 ſeyn,
fo daß man in Anſehung diefer Ahchſe hat

dL —= fin ſin »! del,

dM == — Col ſin ⸗ w
| dN == Cof«! dp,

Vergleicht ı man daher biefe neuen — von — dM,dN .
mit dem erftern; fo erhält man folgende 3 Öleichungen |

fin yi fin „do! =finy fin» d® + Coly da,
Cof y' fin »! de’ = Cof fin a do — fin y do,
Cof w! do! = Cofu dp. + dy

welche Dazu bieiten werden, bie auf bie willkuͤhrliche Umdrehungsachfe ſi ch
beziehenden Elemente durch diejenigen zu beſtimmen, die zur Achſe des
Koͤrpers ſelbſt gehoͤren, oder gegentheils dieſe durch jene; welches bey ver⸗
PER a u von großem Nutzen ſeyn wird.

g. I.

Par Gleichungen fuͤr die Umdrehungsbewegung eines feſten Körper pen
irgend einer Figur, der durch gewiſſe Kraͤfte getrieben wird,

33) Wir haben fo eben im vorhergehenden $ gefehn, daß,
wie aud die Bewegung befchaffen feyn mag, die ein fefter Körper hat,
fie dody nur von 6 veränderlihen Größen abhängt, wovon 3 ſich auf die
Bewegung eines einzigen Punkts des Körpers beziehen, ‚ben wir den
Mittelpunkt des Körpers genannt haben, und wovon die 3 andern zur
Befiimmung der Umdrehungsbewegung um diefen Mittelpunkt dienen. -
Hieraus folgt, daß die zu findenden Gleichungen nur 6 an der Zahl hoͤch⸗
ſtens ſeyn Binnen, und es iſt klar, dag man biefe Gleihungen folglich von
denen ableiten kann, die wir ( Abfchn. ‘3. Art 2, 6, 8.) berefte gegeben
haben, welche für das ganze Syflem von Körpern allgemein gelten, Mon .

unterz

— | | 465

Ä anterſchelde hier at aber Aßülle, erſtlich, wenn ben’ aoryer ganz fg if
sum andern, wenn er fih um einen feften Punkt. bervegen muß.

34) Wir wollen zuerft einen feffen voͤllig freyen Körper betrachten,

und feinen Mittelpunkt im Schwerpunkte deffelben ſelbſt annehmen. Es

fenen x’, y’, 2’ die 3 rechtwinkfichten Coordinaten dieſes Mittelpuͤnkts, m
bie ganze Maſſe des Körpers, dm jedes ihrer Elemente, - un X, Y, Z

‘ die befchlennigenden Kräfte, die auf jeden Punkt diefes. Elements nad) u
‚ben Richtungen eben biefer Soordinaten — alsdenn haben wir zuerſt
| Bun Gleichungen —— — 35: | |

ge ns | Mr ae Dee 33
. .

de m + en == ö, | — ei et Ye one

. = we eg a * F — 3 ’

day *
m + rin

: 7
. I * * *
*
dt? 2 —
U
“
i * J ur =E
. *

d? 2 — a
| - m + sin — 0 5
dı® re

wo bie e Garakteiifiit S die ganzen Jutegrale in — * die ganze

Maſſe des Koͤrpers andeutet. Dieſe Gleichungen nun dienen, wie man
ſieht, dazu, die Bewegung des Mittelpunkts der Schwere zu beſtimmen.

Beazeichnet man zweitens durch k, 7, £ bie rechtwinklichten vom Mit⸗

. " telpunft der Schwere angenommenen, und eben ben Coordinaten x‘, y/, 2
. biefes Mittelpunfts parallelen Coordinaten jedes Elemente ni & erhält

man Bw. 3 andere Steigungen (Abſchn. 3. Art. 8 I

‚3

u .
satt ar ar) dns Mi, a Be ur
d? 2 |
SU — de #1— X) —

Er —

—— Wir

466 ur — |
Mir haben aber tm vorigen $ ertwiefen, daß die Werthe ber Gröfe
fen &, 7, £ allezeit von biefer Form find: ur |

ab c
€ — a2! + bu 4 coll; R

und wir haben da ebenfals gefehn, daß für die feften Körper bie Größen
a, b, c nothwendig beftändig in .Anfehung der Zeit, und allein veränders
lich in Anſehung der verfchiedenen Elemente dm find, indem biefe Größen
‚die rechtwinklichten Coordinaten jedes dieſer Elemente ansdrücen, in Bes
ziehung auf bie 3 Achſen, die im Mittelpuntte ded Körpers ſich durchs
Freuzen, und inwendig in ‘demfelben feft find. Gegentheild aber haben
wir auch geſehn, daß die Größen £, £, etc. in Anfehung ber Zeit vers
‚Anderlih und für alle Elemente des Körpers beftändig find, indem biefe
Größen indgefammt Funktionen der 3 Winkel 9; %, » find, welde bie
verſchiedenen Umdrehungsbewegungen beftimmen, bie der Körper um fels
‚nen Mittelpunkt hat, Werrichtet man daher in den vorhergehenden Gleis
- ungen biefe verfchledenen Subftitutionen, und trägt Sorge dafür, daß
die veränderlihen Größen 9, Y, » und ihre Differentialien anfferhalb ber
Zeichen S gebracht werben; fo erhält man 3 Differentialgleihungen vom
zweiten Grade zwiſchen eben biefen veränberlichen Größen und der Zeit t,

wodurch alle Drei in. Funktionen von t beſtimmt werden. -

Dieſe Gleichungen ſind denen aͤhnlich, die Herr D’ Alembert zuerſt
fuͤr die Umdrehungsbewegung eines Koͤrpers von irgend einer Figur fand,
und wovon er eine fb nuͤtzliche Anwendung in feinen Unterſuchungen uͤber

’ -

die Vorruͤckung der Müchtgleichen machte,

Aus diefer Urſache, und weil aufferdem bie Form diefer Gleichungen
nicht die Einfachheit hat, deren fie fähig find, halten wir uns mit ber
Auselnanderfegung derfelben hier nicht weiter auf; fondern wir wollen
vielmehr das Problem direkte durch bie im 4ten Abfchnitte gegebene allges

| - meine

I
;
A
I
1
[2 %
4
%

ö—— ———— — oe ae —

bezieht.

= meine Methode auflöfen, die ſogleich bie einfachſten uub bequemften Glei⸗

ungen für den Calkul giebt.

35) Um aber biefe Methode auf die algemeinfte und einfadhfte Art
anzuwenden; fo wollen wir annehmen, wie ed in der Natur au wuͤrk⸗
lich flatt hat, daß. jebes Thellchen Din des Körpers dur; die Kräfte
P, Q, R, etc. angezogen werde, bie gewiſſen Funktionen der. Diſtan⸗
zen p, q, r, etc. eben dieſes Theilchens von den Mittelpunften bies
ſer Kräfte proportional find, und man erhält dadurch bie algebraiſche
Groͤße —
n— , (ẽ dp 4 caã + Rdr + etc);

Man betrachte hierauf die beiden Größen
dx2 »% dy? »F dz2
= — m )D

L i s( — ade aa |

v=-STnDm,

| wo die Carakteriſtik S allein ſich auf die Elemente Din bes Körpers f und

auf die von der Lage diefer Elemente im Körper abhängenden Größen

Dan bringe biefe beiden Groͤßen auf Funktionen gewiſſer veraͤnder⸗
ſichen auf die verſchiedenen Bewegungen bed Koͤrpers ſich beziehenden
Größen &, Y, 9, etc. und bilde daraus folgende allgemeine Formel

(4 Äbſchn. 9 Art.) BE

0 | sT eV‘ VF
e- (45; +) 5

ed£ e£
seT eT eV
7 (4; Fr Fr

ı CP Be GE —
J a a
= IK... WVN. ee u
; * et ep, Er —
ddp * * a u Ze
* etc. ne. DE Se
| Siud die berindenchen Stößen & EP, ete, sr atur Aufabe
nach von einander, unabhaͤngig (wozu man ſie allezeit bringen: kann),
ſo fee man bie durch de ber unbeſtimmten Variationen ẽẽ, d.y! 89, etc.
multiptirerte Groͤßen*z 0; und man erhält dadurch ſoviele Gleichungen
en den ve anderlichen Größen £, Y, O, etc., als — Groͤß
ſen vorhanden ſind.

Sim digfe oerkpbertichen Größen nicht — unabhänätg von einans
der fondern finden unter ihnen eine ober. mehrere Bedingungsgleichungen
ſtattz P erhält man durch die. Differentiation dieſer Gleichungen eben ſo⸗
viele ——— ——— zwiſchen ben Variationen SE, dy, 4: burch
die man dieſelben auf eine kleinere Zahl bringen kann.

Nachdem man nun dieſe Reduktion in der allgemeinen Formel ge⸗

macht hat⸗ fo ſetze man darin anf gleiche Art jedes der uͤbrigen Variatio⸗
u 0; und Die daraus entſpringenden Gleichungen verbunden mit den
gegebenen Bebingungsgleihungen werden zur Auflöfung ber ‚Aufgabe bins

reichend ſeyn. Im gegenwärtigen Falle hat man nur die im vorhergehenz

beit $ gelchrten —— Ara Man fubftituire daher
ſogleich | u

Why —

anſtatt x, y, 2 und \ —
Ba? me, an’ + by‘! — ea, dl Ro ber 4 Er
| anftatt & &, 7, 8, (Art. 11).

® -

und man erhält dadurch die Srößen T, V in Funktionen der 6 veränders

lichen unabhängigen Größen x’, y“, 2“, 9, Y, @ außgebräct, anſtatt beren
man noch, wein man es für gut findet, andere RER Werthe einfuͤh⸗
xren

⸗

—— — 409
zen — und jede derſelben giebt zur Befinmg der — des
Koͤrpers eine Gleichung von dieſer Form:

sT eT eV

ee ra ra = 0,5.

ede da da

wenn a eine diefer veränderlichen Größen if.

56) Wir wollen daher damit aufangen, in Heim Ausdruck fe
anſtatt x, y, z biefe neuen veränderlichen Groͤßen

xp &, yl +n 2 + $ iu ſetzen,
und nachdem wir die x, y!, z! aufferhatb des Zeichens S gebracht haben,

- bie für alle Punkte des, Körpers eineriey find, weil e8 die Coordinaten

des Mittelpunkts des Koͤrpers find; fo wird bie Funktion T

dx pn dyla da®, de +d da.
m mes( m + — im

adı? de
dxiSd£dm + dy’Sdydın ds'Scedm
ee ae

| Dieſer Ausdruck beſteht, wie man fieht, aus 3 Theilen, wovon
ber erſte nur die veraͤnderlichen Größen x', y’, 2’ enthält, und ben Werth.
von T fir den Fall ausdruͤckt, wo ber örper als ein Punkt betrachtet
wird. Sind biefe veränderlichen Größen daher vun ben andern £, 7, $
mmabhängig, welches ftatt findet, wenn der Körper die Freiheit hat fich
nach "allen Richtungen um fein Centrum zu Demegen; $6 muß bie vdrige
Formel befonders behandelt werben, und für die Bewegung biefed Mits
telpunkts diefelben Gleichungen geben, ald wenn ber Körper darin cons

centrirt wäre. Dieſer Theil der Aufgabe wird alfo dadurch auf ben Hall

‚gebracht, den wir im vorigen Abſchnitte aufgeloͤßt haben, und worauf wor

alfo bier verweiſen. |

Der zte Theil der — Ausdruͤckung, der die Diferentin

lien dx‘, dy‘, da’ multipliciet durch bie Differentlalien dt, dy, dę enthält,

Sff- ders

410 | —

—

verſchwindet in 2 Fällen von ſelbſt. Wenn nämlich der Mittelpunkt des
Körpers feſt ift; fo iſt es an und für fi klar, Indem alsdenn die Diffes _
rentialien dx’, dy‘. dz’ der Coordinaten diefes Mittelpunfts = o find,
und wenn man diefen Mittelpunkt im Schwerpunkte des Körpers felbft

annimmt; fo werben die Sutegralien
Sd£dm, Sdydm, Sdedm

von ſelbſt = 0. Denn wenn man darin für dE£, dy, de ihre Werthe Ei
adzg! „2 big! cdE“, | |
ady! 4 big! ao cdyt,
ade! »r bafH 2 cdAM (35, Art.)

— fubflituirt, und die Größen dE’, dée“, etc,, bie unabhängig von der fage

ber Theilchen dm im Körper find, vor das Zeichen S brfugt; fü wird jedes
Glied diefer Integrale durch eine der 3 Größen Sadm, Sbdm, Scdm
multiplicirt ſeynz dieſe Größen aber find nichts anders als bie Summen
ber Produkte jeded Elements dm multiplicirt durch deſſen Entfernung von.
ben 3 Ebenen, bie durch ben Mittelpunkt des Körpers gehen, und ſenk⸗
recht auf den Achſen der Coordinaten a, b, c find. Sie fie daher = ö,
wenn biefer Mittelpunkt mit dem der Schwere bed ganzen Körpers zus
fammenfällt, nad) den bekannten Eigenfchaften biefes Ießtern Mittelpunkt,
In biefem Falle find alfo auch die 3 Jutegrale a. —

Sdädm, Sdydm, Sdędm = o, |
In beiden Fällen ift folglich nur noch im Ausdruck T die Formel
d 2 4 2. = ‘ j
S ( — dm
| | 2dı Ä

zu betrachten übrig, die ſich allein-auf die Umbrehungsbewegung bezieht,
bie der Körper um feinen Mittelpunkt haben Eann, und bie daher dazu
dient, bie Gefeße diefer Bewegung ‚_ unabhängig von der, die der Mittels
punkt felbft im Ranme haben kann, zu beftinmen.

use J Um

411

Um nun die Auflöfung fo viel als möglich einfach zu machen; fo

kann man von deu Ausbrüden d£, dy, d? (28) Gebrauch machen wels
de, wenn man ſetzt
da=o, db=o,de=o
geben
de: + er + dt — CedQ — bAR)3,
+ (adR, — cdP)?
| + (bdP. — adQ)?
— (br c?) de +(e #+:c?) dQ? + (a + b2) dRa

— sbedQdR — 2acdPdR — en

Da nun hier die Größen a, b, c bie einzigen veraͤnderlichen Groͤßen
ſind in Anſehung der Lage der Theitchen Dim im Körper; ; ® folgt dar⸗
ans, daß um ben Werth von

.$S(d£&2 »& day? «++ d??) Dm
zu erhalten, man nur jedes Glied der vorhergehenden Größe durch Dm

zu multipliciren, und in Beziehung auf die Carakteriſtik S zu integriren

hat, indem man die Größen dP, dO, AR, bie davon abhängen, auffers
halb biefes Zeichens bringt, Auf biefe Yet wird aus der Größe
R |
ad
folgende: - |

‚AdP: . BAG -+ CAR? — iR + GaPAR + HdPdQ

ad — de i
‚wenn man: Kürze halber feßt:

'A= S'(b2 pr c?) Dm,

B=S(e Ho)Dy
j Sffe ne C=

. — -
412 |

.C=$ (#4 b?) Dm,

F=SbcDm, i B
G = Sac Dm, |
H = Sab Dm. Ze.

Dieſe Integralien beziehen ſich auf bie ganze Maſſe des Körpers,
fo dag A, 8, C, F, G, H jede beſonders betrachtet, und wie durch die Fi—
gur des Körpers gegebene beftänbige Größen behandelt werden muͤſſen.

37) Setzt man um mehrer a pen

dp |

er ‘= P, | |
Fr ti
iR |

—T = IT

fo erbäit man, wenn man in ber Funktion 7 nut bie auf bie Unbrefunge j

bewegung fi beziehenden Glieber betrachtet
T=1ı (Ap + Ba 4 Cr?) — For — Gpr —Hpg;

da alſo T nur eine Funktion von p, g, r iſt; To erhält man, wenn man
nach & bifferentlirt |
daT aT dat

‘T- Tr.
AT zI8T X + r

| Nah den Formeln (31) aber hat man

_ fin@ fine dy + Cofp du Bu,
dt a a 5 /

J 43

__ Col 9 fin a dy — fin pda“. J — —

——
dt ..

dp + Colody
dt 3°

folglich (da de allezeit — confl.) -

—
27* (z Ta-r)io et — —

Tuer lern. + Taf 9— zis

— fin ꝙ Cof » oro cor⸗ IT aa)

dyde
—

+5 —E—— —

woraus man ſogleich fuͤr die Umhang eömegung des Barnes felgen

3 Gleichungen vom zten Grabe erhält;

„st dr u ‚

dr. ar. df .. eV

———— ap —
de dp dq ,: 69
dT. —— d nu J 2* —

d. — fmo + — Col ꝙ fin « -# — Col o }
dp _ _dg_ de.)

+I= 0, ; .
Sf3.: | d,

—

414 | m
| 5 dt. _
’ dt’ Sf
CH fir . Col » + Fran — ſin IE.

L 22

| Was bie Größe V anlangt, die von Kräften oöhängt / bie den Kir |
‚per treiben; fo iſt fie = 0, wenn der. Körper durch feine Kraft angetries
ben wird; in dieſem Falle find alfo auch Die 3 Groͤßen

eV. sv 83V
89’ ey” dw.
und die ate der 3 vorhergehenden Gleichungen wird an und fuͤr ſi ch inte⸗

grabel ſeyn. Allein die allgemeine Integration aller dieſer —
wird dennoch ſehr ſchwer bleiben.

Da uͤberhaupt V —SIIDm
und TI eine algebraiſche Funktion der REN p, J. ‚etc, (3 5) iſt,
dadon jede durch

I[6x - fy + vg. * (2 —

ausgedruͤckt iſt, wenn f, g, h die Coordinaten des feſten Mittelpunkts ber
Kräfte bezeichnen; fo hut man nur in’ der Funktion II diefelben Subftitus
tionen ald oben zu verrichten, und nachdem man mit Dinficht auf die. ganze -
Maſſe ded Körpers integrirt hatz fo hat man ben Werth von V in 9,
Y, 0, woraus man durch die. gewöhnliche —— die Werthe von

— eV eV
ep’ ap’ ‘dw

zieht, welche mit |
| dv

— 415

dv dv av ;
do’ dy’ 8a
einerlei find

Da dies weiter Feine Schwierigkeit hat; fo halten wir und weiter
nicht Dabei auf; wir bemerken nur, daß die vorhergehenden GSleihungen
auf die hinauskommen, die ich anderswo in meinen erflen a Ä
über bie Libration des Mondes gegeben habe. u

38) Ohnerachtet die Auwendung der Winkel 2, V, v bie einfachfte _
Art zu feyn ſcheint, vermittelſt unferer Methode die Gleichungen für die
Umprehung bed Köxpers zu finden; fo kann man doch nody direkter zum
Zweck gelangen, und viel fchönere und für den Calkul in mehreren Fällen _
bequemere Sormeln erhalten, Indem man zuerft die Variationen der Groͤſ⸗
fen &/, E, EN, 21, etc, betrachtet, und biefe verfchiedenen Variationen
durch benen (27) analoge Formeln auf 3 unbeftiutmte Rule

dP
Denn weil p — — (23)
gu d£ a 7 d35 + gun agu
dt |
fo erhält man (da de == Conft. ) durch die Differentiation nad} d
u. — gu ggg a alt ad in go
nn se

rn dst . d en aghi

daT |
folglich dp dp (im Werthe von 8’T (37)

6 — —

A pemaagt a mon =] Me
— Be,
5 dT. dev de d U gytl dougemıT : \
——— ER at
ap'Lt de F we |
“ ydT x |
d. (7 zu.) i@ „in u
1 deu zu &y! —
d. Gr “) ?

.“

en dt

”
=)

(zUNg gu be zn ef! + eu 8 2

dT dm gel du gytıt “an „ag ee]

“
’

d7 an gie in dy⸗⸗ dy demgp. — di! ag — dy⸗

dp — — — u = = ur
a : JJJ F—

dT |
Eben fo giebt das Glied Fr dq in berfelben Formel die Glleder

—

R daT
a nal U DI EEE ZDF

N le „

T 5 gell. 4 re 4 dz! et dguagı — dylirgzi-
—. ze eh 89"

* a =
er *
—

FO de
and endlich bas She Tr er

a se —
(zuge 3 —0 —3— gu 2) nu

d7 Tagu 38° 4 EIER 4 di ag ud}: agu dr en)
de b . | a — —*
— de

Wir Haben aber allgemein gefunden‘
ig. — gu ÄR-— zum dQ,
-dgu — gindp — IR,

ag = 2dQ — züdp, ”
Em „U dR — a dQ,

“et

(27) ‚wodP,dQ,dR unbeftimmte Srögen find. Auſſerdem tft Klar,
daß man.aud) den Variationen dE', 28”, 88, day’, etc. biefelbe Form
geben kann, wenn man d in, d verwandelt. Man hat alfo auch

del — EHER — zUgQ,
af AP — EIER,
i gen = EHIQ — ESP,
J u * IRQ, ei

j etc. u

z Br GH — m

418— J
| wo bie 3 — sp, 20, Reebenfals awbehimitnt, und von einander
unabhängig ſi find. | |

Verrichtet man dieſe Subſtitutionen, und ſieht uote auf bie Dr |
dingungsgleihungen (13); fo findet man -

gung ag — AR,
gl gglu + y! Wu N u — 20
gu ggl EN E Pr + AU! öR, | ; J
welche Ausdruͤckungen denen don dP, 0, dR 9 analog find, : —

Ferner iſt alsdenn
dtkOEM. dyO agu 22 — de⸗Q.
dgu ggı > dgl da + daugz! — z dPeR; ,
abi az dt at Ale dQe,

ag ag 4 Agllläyll - Agluaglı = — AQaR;.
ag ag Ayla dla — ARE, F
dgragiu + da 2 Dan aut Pr 20 — — dRIQ

Setzt man al pr q, r für | = j —
de 40 AR Ed =

u. Pre de’ |
fo wird ans ben oben aus ben Gliedern | Re rue ih Ä
dt, dr, ar, ; a

— 0 — „or d ; .
dp p dq 1 di.

in dem Werthe von d T gefundenen Größen

9 | — _ — re zur ang
Fi —
Mr J
= ar Rum
rar |
(7) aT
dt

er + Fraitüsn 1280). I

die Summe dieſer Glieder ift folglich der Werth der Warlation von 7 in

der allgenieinen obigen Gleichung.

Da nun V eine algebraiſche Funktion von BEN, EIN, qi, etc. wird,
nachdem man flatt x, y, z |

ae
y’ + an! = by * cꝓi,
2 —R bę⸗ + eg,

fubftitutrt hat, und das Zeichen S ſich nur auf bie Grögen‘s, b, c bezieht;
fo hat man nur nach d zu differentliren, und ſtatt 48. se, etc. ihre
Werthe in dP,8Q, ER zu ſetzen; aldbenn erhält man, weil

eow avy

det
"av dv |

Zr 7

etc, | j

Og82 u in

420. | — —

in ber naͤmlichen Gleichung folgende Glieder:
Su (EIER — £UgQ) 4

* (rap — FR) +

arm rt

I rar — ia) + Er
dyt —
etc. © 7
Daurch die Sufammeufegung aller Glieder x durch jede ber
3 Groͤ ßen
| ar, 2Q, eR,
erhält man alſo eine allgemeine Steigung: von dieſer Form:
0 Gyer GDO + RI ER,
worin
N dr |
4 _4T dT
le a re
.d av
4 —— = nit = 4 gr
FL AURAE \ ARE
dgua dp dl q j z
| RC)

_ gt

Fi
* *
m Ä . gar

„at —
ãĩJg47 dr
ur ar eek ar ra |
dV dv dv
rg Hg
av dv
ar Er hr ra
F dT -
) “ dr dT dT
—— PT dq 177 J
| dV dV : dv
(1 BASIEREN ————— U
dV dV- -dV

2e — dir U mes es — 2
— JJ re er ro
Und da die 3 Größen ap, 20, IR von einander unabhaͤngig und zu⸗
gleich auch willkuͤhrtich ſiud ; ſo erhaͤlt man dieſe 3 beſondern —
(P) — 0. (O == o, G) = 0,
welche verbunden mit beit 6 Bebingungsgleihungen zwifchen der 9 veraͤn⸗

derlichen Größen £’, £/, etc. (23) dazu bienen, jede biefer sie a
Größen au Gefmmen. |

Diefe von der Größe v abhoͤngende Glieder tiefer Gleichungen Kann

man auch, wenn man will, auf eine einfachere Form bringen. Denn da

V. — SITIBm

er s ſich nicht auf die —— Groͤßen 2, Eu, etc, Be

Gg83 ſoe

fo ft 5 ? = .
v0, 4V dm. .
1 EEE > u u — *
se, £ — 8* a Pe
dv — IT
Tsd ed
le a een
ete. | .

und da II eine algebraiſche Funktion von
a be cl,

an’ a ball op gl,

rad 2 7 2 Er

Ag fo ih man leicht‘, daß ‚ wenu man. einzel 8, b €. varliren laͤzt,

man erhaͤlt
dn | dm Ban -
ern ul: ge en
El + 3 —— —
an * ‚„ IN cdm,
BE lEr 7-75 ür 7 u Far ver —
etc. |
Auf diefe Art erhält man
un dv dv. dv
ME: nenne u — =
* 2 I + am | e .
dv dv. dv 0. |
e dgiu — Kr ws 20 Liz m Se

Wenn dieſe Transformatlon aber gleich die Formeln vereinfacht; fo
vereinfacht fie doch den Calkul nicht, beim ſtatt der einzigen in V enthalte⸗
nen Integration hat man alsdenn 3 zu verrichten, Ä

39) Sind die Entfernungen der Mittelpunkte dev Kräfte vom Mit⸗

F telpunkie des Koͤrpers in Anfehung der Dimenſionen bfefes Körpers fehr |

groß; fo kann man alsdenn die Groͤße FI auf-eine fehr. condergierende

- Reihe bringen, deren Glieder den Kräften und Produften von a,.b, c
proportional find, fo daß die Integration STIDm Feine Schwierigkeit bay, =
Dies ift der Fall mit ven Planeten, in ſofern ſie ſich gegenfeitig a anziehen. |

Iſt die Attraktionskraft P. nur der Diftanz p proportional, ſo daß E : Rp,
wo. K ein” Deftärlbiger ‚Coefficient iſt; fö wird das Glied SP d ® Zr
— | der

424 | zn

en re Ben da
der Funktion IT (35) ——; und. da p allgemein durch

— +48” + hy}

anögebrückt wird, wenn man durch f, g, h die Coordinaten des Mitta⸗
— der Kräfte bezeichnet; ; po ‚giebt dieſes Glied

— — [ 1) +OZsInG _ny].

Subſiituirt man daher ſtatt xy, ⁊ ihre Werthe x’ Er yvry
2 +2, multiplicirt durch Dim nnd integriert nach S; fo - man in dem
Werthe von — = SNDm folgende Glieder

E1C22) — — hy] SDm

* Ki) S£ZDm-+
K(y—g)SDmr
K(z'—h)S’Dm-+-

‚-se@trrtri)Dm
Aber 2. af + be ch
7a ben,
S gmallı be“ ce,
folgt
S£Dm =£!SaDm en £'SbDm ai: EiSEDm |

u. f. fe und (13)

S(&® +7 --2?).Dm= le + bir ec”); Dm — conl (weis
che Beftändige Groͤßs wir E nennen wollen),
z | Nimmt

* k
ö — — Ze
= — 425

km man aber für ben willkährlichen Mittelyankt des Börpere
ſeinen Schwerpunkt ſelbſt an; fo hat man alsden

8D m = =o, SbDm == 0, ScDm = =o0 |

wie wir ſchon oben (36) ‚gefehn haben, In dieſem Falle enthaͤlt behe

die — Vin Brꝛiehavg auf die veſuchte — nur bie Glieder
[+ rar WW 1°] + a E

fo * alle parlielle Differentialien | I
‚dV av J — —
as gen’ etc. = 0 ſind. |
Hieraus folgt, daß bie Wirkung biefer Kraft In — der Um—
drehungsbewegung um den Schwerpunkt = o iſt. — da der vorher⸗
gehende Aus druck für Vbis auf das beſtaͤndige Glied — einerley mit

dem iſt, wenn der ganze Koͤrper in ſeinem Mittelpunkte concentrirt wäre,
in welchem Falle m:

xx, yy, z—==ı; -

ſo hat man fuͤr die progreſſive Bewegung dieſes Mitelpunkes bie namli

chen Gleichungen, als wenn der Koͤrper auf einen Punkt gebracht waͤre;

denn die Baruelen Differenttalien von V in Bezug auf die veränderlichen
' Größen x', y‘,z' find mit denen in biefer Hypotheſe einerlei. |

Betrachtet man. den Körper als ſchwer, und fetzt die beſchlennigende

Kraft der Schwere = 1.und die Achfe ber Coordinaten, bie vertifal von" —

oben bis unten geht ı 25 fo bat man:

2
P = x 9 p == h — 23
folglich Spdp = orebor map bh zegin
und die — v Wegen a bed Sims, bie
— I

‚In biefem Falle ſeyn.

/ — m.

426 — —⸗⸗

k—:7/)3Dm — 215 Dm — I SbDm — ZIScDm.

Der Mittelpunft des Körpers fällt alſo anf diefe Art: mit feinem

Schwerpunkte zuſammen, die Glieder, worin die veränderlichen Größen

ę, g", etc. vorkommen, verſchwinden, und folglich iſt die Würkung ber -
Schwere auf die Umdrehung = 0, wie im vorheraehenden Fall. Der

- Werth von V, infofern er von der Schwere abhängt, wird alſo auf

Ch —z’JSDm gebracht d. h. darauf, was er feyn würde, menn ber

Körper in einem Punkt zufammenfiele, und feine Maſſe SDm beibehiette,

Daher wird auch bie Fortruͤckungobewegung bed Körpers einerlei mit ber

| F. in. er:

Beſtimmung der Bewegung eines ſchweren Koͤrpers von einer. belles
—— bitgen Figur.

'40) So einfach dieſe Aufgabe if; fo tft fie doch deffen ungeachtet |

eine der fchwerften, die in. der Mechanik vorlommt, wenn man alles dabei
im natürlichen Zuftande und ohne Abftraktion betrachtet; .. beun ba alle

R Srper ihrer Natur nach ſchwer und ausgedehnt find; fo-Fann man Feine

diefer ihrer Eigenfchaften weglafien, ohne ihre Natur zu verändern, und
bie Fragen, worin man nur auf eine bdiefer beiden Eigenſchaften fähe,
würden auf blofe Euriofität abzwecken. | 1

Wir wollen ben Anfang damit machen, bie Bewegung freier Körper
zu unterfüchen, wie tie gemworfenen, hernach aber wollen wir audy bie, .
ber an einen feften Punkt befefligten, betrachten, wie dies bey ben Pens

J | bein ſtatt findet. | 5

Im erftern Galle nimmt man den Dlittelpunft bes Körpers In feinem
Schwerpunkte an, und ba alsdenn die Würkung ber Schwere auf bie
Umdrehung = o iſt, tie man eben gefehn hat; fo hat man die Geſetze
diefer Undrekung durch folgende 3 Gleichungen zu beftimmen (38),

Pr
® —

ö &

= = d
’
L }
—
— *
*

Was aber ven Miittelyunkti w Körpers — fo folgt er ben bes
kannten Geſetzen der Bewegung ber geworfenen als Punkte betrachteten

- 7 Körper. Die Beſtimmung feiner Bewegung hat folglich keine Schwierig⸗
—— Pa und wir halten uns Daher wicht länger babei auf. -

en a | | Im

- “ Ri =
EZ

Im zweiten Falle — man den feſten Yufhängungepnoft für den
Mittelpunkt des Körpers an, und man erhält ‚, wenn man bie Ordinaten

2 vertifal und von unten bis In die Hoͤhe anntınmt (39) 4 s
V- Be) 8Dm — 2 Dm — ZrihDn Fade:
woraus man sieht ee —
av a
| der — Sa Din, 2 i | 4 ’
dV WERE ee u
0° dV | Ense
—— — ScDm; em“
dgw —. =

und alle andere partielle Differentialien von V werden, == 0 ſeyn ſo daß
die Gleichungen fuͤr die Umdretur gsbewegung ſeyn werden (58)

- —7. -d d '
a BL 3 J — sn ————
—— de I dr
’ dr — |
U “ dr
ger rt % P7- ⸗ ne n 224 SDm=o;
dr dT dT Q ee,
BEE rum (GENE 5 , =
de u ren 7 — p dr $”' SaDm -+ 2'SbDm ='8,

wo sie Grzgen SD, GDm. Se Di als beſtaͤndig und — die Fi⸗
gur des Koͤrpers — Orte des — — angefea
werben muͤſſen.

l. „„„b

* *
Vecq? 41)

| — — 429

ar) Die Auflbſung des erſtern Falls, wo Ser Körper als völlig
feey angenommen worben iſt, unb wo man nur bie Umdrehung um dem

Schwerpunkt betrachtet, hängt allein von ber —— der 3 an |

gen (A) ab. 2
Es iſt aber fehr leicht 2 Integralien biefer Orig zu Fat
— 1) wenn man ſie reſpektiv mit
art dr dT |
' dp pP’ dq q de °
wultiplicirt und hernach abdirt; fo hat man offenbar eine Integsabele Gli⸗
chung, u Zutegrale N: 54

re) * De

| wo f? eine ht beliebige beftändige Größe iſt.

2) Multiplicirt man diefelben Gleichungen burch p pt und adbirt
fie rn fo ” man biefez i

ir — + rd. Zoo | fr
dp |
T aber — nur eine —* von er und folglich iſt auch
‘ dT
4T= 7-4 + — ur + ir
dp? dq a

Integrabel und Ihr Integrale iſt nz |

x d
Pat + Tem

wo he eine m neue — beſtaͤndige Groͤße iſt.

She - Setzt

430 . —
Segt man in biefen Gleihungen anflatt 7; |
dT. dJT dT , - =
dp ’ Ery ’ dr
. ihre Wertbe; fo erhält man 2 we — vom aten: ei zwiſchen p.
q, t durch die man die Werthe zweler dieſer veraͤnderlichen Groͤßen in
Funktionen der Zten ausdruͤcken kann, und ſubſtituirt man hierauf dieſe

Werthe in einer der 3 Gleichungen (A); ſo erhaͤlt man eine Gleichung von
der erſten Ordnung zwiſchen t und der veraͤuderlichen Größe. Auf dieſe

Art erhaͤlt man bie Werthe von p, q, r In t, und dies wollen wir jetzt weis

ter zu entwickeln fuchen. Ich bemerke zuerſt, daß man die ate biefer-beis

ben gefundenen Sutegralien auf eine einfachere Form bringen kann, wem -

man bemerkt, daß, weil T eine homogene Funktion zweier Dimenfionen
Bon ps q, r iſt, man nr bie bekannte Eigenſchaft dieſer Arten von
Funktionen

Terre — 5

bat, wodurch bie geſuchte Jutegralgleichung auf 7Tk? gebracht wird,
welche die Erhaltung der lebendigen Kraͤfte der Umdrehungobewegung
ausdruͤckt.

— — man, daß, da die Groͤße

r mt

en —

dp
G2 dT<?®
Er Ar 73
mit der: (em). |
| Klar

Mn. 4 B-——

— u.

ECT n)* ]-

dT dr ke.
Gr S+ip+rT

einerien if, 2. megen der 2 vorhergehenden Integrollen fe Cp? ꝓ q⸗

r) — 4 h*.wird, man eine einfachere Differentialgleichung ei,

wenn man bie Quadrate ber Werthe von
dT ,drT dT

d. dp’ En dq ’ "dr

in den 3 Differentialgleichungen (A) iufanmen atdirt, Bei Steigung j

man denn flatt einer von biefen gebrauchen Fan

Die Beſtimmung ber Größen p, q,.c int baͤn gi auf diefe Art
don den Oleunge Ben pr 9, — at alſo f if

.. zu

— ya - _?,
GG ay, (+ + (a

Cle+ ey

ö ab, wo

Tat (Ap + Bq + Cr) Fge — 6 Apq
2 Diefe — iſt ſehr — wenn die 3 Badge Bu

Daun alöbenn J man
Tai (Apr Be Han). | J
u f folglich

— ⸗

Setzt man daher
p+g treu a —

und zieht die Werthe von p, raus den 3 Gleichangen

pr Q + Ru, J

Ap? + Be tr Cce=cht,

Apr u 4 or= £2, a,
fo hat man |
BCu—ab(B+-C)+ ff

p’ = 3

TB A—C,
. ACum= ab (Ar C)+ ODJ+rR Zr
—
ABu—ab(AHB) HP
wa C—n.

PR == — 3

—

=
— —* Bgq, F
N dq
— Cr
fo ” die 3 aufzulöfenden Gleichungen Yon folgender Form m er
Ap Bqꝙ + Cr = ah, u a s
A? p? -— B?gq? + 0212 ſ2, |
4 .r B2 2 dr? N
ESF EN — P (pe 12) — 4ht,

— 433

ar wenn man biefe Werthye fu der obigen Differentlalgleichung ft;

. So wird das erfie Glied diefer Gleichung nad) ben Redultionen

A: Ba C- (4. — fu?) dus
— — +0) +0) + SYD) |
(ABU — ab CA By r 2) de; | ——
"and das 2te a an
Pu—a4ht, BE A
fo dag man, wenn man bie ganze Sieg Dur
= fen — 4 h+
dividirt / und die Quabdratwurzel auszieht, enblich hat: |
de ABCdu en
i =,’ -Bau su ERSESLHONDTERTN
| (a - C) Tſ) CABu— 2h (A B) ſ)
woraus man durch die Integration t in u und umgekehrt, zieht.
43) Wir wollen jetzt annehmen, die beſtaͤndigen Groͤßen F. G. U

ſeenhen nicht = 0 ‚und ſehn, wie man biefen Fall auf den vorhergehenden
| BAR einiger Subftitutionen.bringen kann. &

In dieſer Abſicht ſubſtituire ich ftatt der veränderlichen Größen p. 4
r Funktionen von andern veränderlihen Groͤßen x, y, z, bie man nicht mit
benen verwechfeln muß, die wir bisher angewandt haben, um bie Coors
„.binaten der verfchiebenen Punkte des Körpers zu beſtimmen, und . nehme
biefe Sunftionen fogleich von der Beſchaffenhelt an, ee

Preifre=sryrhr

iſt. Es iſt offenbar, daß um dieſe Bedingung zu lager / ſie nur Kine
ſeyn koͤnnen, und folglich von dieſer —

zu \ E pe,

a nt
pm pi a py up, aeg
g=gx rg u qliiz, = Bu | >
ser lyredlz J |

U, pill, gi

polen ter‘ va —2 fo oe —* .
PrqQ+ 2 — x + y8 -z2,

folgende 6 Gleichungen ſtatt finden:
pr + ger tn,
per gu rn
pn q/la $ rl — 1,
pl gigl hr dd,
pp + gig po rrlli zo, F

pp fe g’’ q’4 + li — 0, en 27
‚daß, ba der genannten Größen an der Zahl 9 find, nachdem man dies
6 Gleichungen genug gethan bat, nur 3 willführliche übrig bleiben,

86 fußftituire jeßt dieſe Ausdruͤckungen von p, gr in dem Werthe
‚Son Thund dies vermittelſt der. eben genannten willkuͤhrlichen Gleichungen
dergeſtalt, daß die 3 Glieder, bie die Produkte xy, xz, yz enthalten, aug

dem Werthe von T ‚ fo daß biefe Größe auf diefe Form

gebracht wird:

ax? + Ay: - Er
z |
Um- aber den Calkul einfadjer zu machen; fo — ic 5 Pole
in dieſer Formel bie Werthe ven x, y,2 in p, Q 7, und ich beſtimme dur

bie Vergleichung des Reſultat's mit dem Merthr von T richt nur bie ges
ugnuten aa Größen r fonbern auch bie unbefannten & 4. v.

. E

Mul:

2 & rt —— — ie yet = <H.
Die jur Beſtimmung :ber 6 gefahren —2 ren Bien u

. r N x n
: | ——— | | 435

— man aber die obigen Werthe von p,q, # refpeftio durch pr, d

re, durch p“, q, r’' and p, q’4, 1dt and addirt hernach alle zufammen;
fo erhält man fogleich wegen der Bedlugangegleichucher od ben Coef⸗

J ficienten p', pe. | .

een
vr.

E RE: PÜP>+. gr Fr ee NS e — |
die Subſtltution nun dieſer Werthe in BR: z

u x? 52 ey? re —
2

u und’ ste NO, mit dem Werthe von T 14 s) giebt af dieſe Art die
6 folgenden Sleichungen: |

& >h A pun * yp'!a = = BE

«gt + Ag” + rain a
ar? „> Br” + yria=C, Ä
.p gr + Ap“q“ * rg U wi do

⸗

werden. |
ESecerbbſit dieſe Vefuimmana aber hat keine Söwireigkit; beit abbirt

‚Anan bie erftere Gleichung ‚ multiplichet durch p‘, bie 4te multipliciet durm

g* und bie zte mulsiplichet durch 175 fo — man wegen ber ſchon —
führten Bebingungsgleihungen: | |
= J — 259 — 2Gr;
R)

ii 2 und

436. ' | Er Fee j
and abbirt man bie, ate, gie und 6fe MINE: malsiplicht 2 * Zu I Fe

To erhält man auf ‚gleiche Art: . .

ag = -Bg’ — @Rp — Er.
Addirt man endlich die zte, ste und. ote sefpetio anti u
r, pl, q’; fo erhält man:
j el — 26P —- 2Bq⸗;.

mb verbindet. man diefe 3 Gleichungen mit ala sei |
p” ++ gq/3 Hr 2 — 1

.. = —

ſo werden dadurch die 4 unbefannten Größen a, p'; T se y Sein | oe]

I Die beiben erften Steigungen —

FG + HA — a) TE:

—srFäAr 6B—e PS |
(A—«) B—.)— 4R —

—ES nen . e » —

t 4FH F. G (B-) Pi. ae

mb ſubſtituirt man dieſe Werthe in der 3ten; fo abit man nach der
N on durch p’ folgende Gleichung in =:
"@-NG6-9)G.-09—4EL- 1-46 n
— 4664—- 0) + #6 F6GH=0o _

welche, da. .fie vom Zieh — fr nothwendis eine OB Wenel
— muß.

: . „Subſtituirt man eben diefe Werrhe in der aten. Sleichung; ſo zieht
man daraus bie von e⸗ J eine, Be: went — habe.
ber. ſetzt: 2

x * — -
Ir oo. * r ”

—

i ..* ’
x R : J

ZT,
>

— — —

— (A— «) —— —

— Tn a-n. RB

4FH 4 26 Bo

alſo ausgedruckt werden koͤnnen — —
aFH + 26 (B—.+) J
> nn
BEL. + :H — — ——
Ce
y — (B — «) ar,
a (e) . . er

Macht man von neuen die naͤmlichen Sombinattonen der obfgen Gleis
dungen, und nimmt bie Größen p‘‘, q’, r anftatt p/, g4, r! als Muls
— anz ſo steht man ' daran folgende Gleichungen |

gie — — — 3 Fp“ — 2 Pos | |
Bl = — Cr! — 3 Gpu— Hg“, ne": ;

—

die verbunden mit der Vedingungöslelchuns
ps 4 gq//a 4 rila == 1],
dazu dienen bie 4 Unbekannten mn Be 5 —
B, pu, gl, cu = |
zu beſtimmen. |

ug rd

433. 0... — —,

| - Und da biefe — nur badurch von den —— f dy-

äuterföeiden, daß dieſe unbekannte — auſtatt der erſtern
ap, gut,

fichen; fo ſchließt man: mit’ Met, daß die Gleichung in 4 ſowie bie Aus⸗
bruͤckungen von p, qii, r in 8 mit denen N die wir In «
gefunden haben. |

Wiederholt man vieſelben Berfährungsarten, und nimmt pi q’%,
rt zu Multiplikatoren an; ß BR man uf a Art folgende
3 Gleichungen:

ypll Apu— afg” — 3 Grm |
2 gun * 2Fp — 2 Hi,
yridd — Cr — a 0p% — Hg",

e ae man bie Gleichung

— * sp rilla FF I

verbindet; und ba dieſe Gleichungen in allem dem vorfergehenbe en
find ; fo zieht man ‚daraus analoge Schluͤſſe.

Man zieht daher uͤberhaupt hieraus den Shhluß / baß die ib ges. -
.fundene Gleichung in x bie Werthe der 3 Größen «, 8. y zu Wurzeln hat,
und dag, wenu man dieſe 3 Wurzeln ſucceſſiv in den Ausdruͤckungen von
p%, gu r/ in a ſubſtituirt; man ſowohl die Werthe von pP‘, q’, r’ als von
p‘“, q’, 1 und p‘'l, gi, v4 exhält, fo daß alles verwittelſt der -—
fung ber genannten Gleichung bekannt feyn wird.

Da uͤbrigens dieſe Gleichung vom zten Grabe iR, fo bat Ye (me
eive woͤrkuche Wurzel, welche, wenn man fie für « anna) auch bie
3 Größen p, g‘; r‘ „wärtiih machen wird.

J Was aber die 2 andern Wurzeln 3 und y Set, went fetmagt
van find; fo find fie bekanntlich don der NEO
b+

7”

ı x
“ ni

nn ©. . __

würde a

— ,439
and v i—

ſo daß die Größen p, q“, r“, die rationale Funkiieuen von ß 2 nd

don biefen Formen feyn würben
na /Y —1ı, = | '
m’ ++ "vVv—1, |
Aus der Bedingungsgleidgung | | u
pp’ p‘” En q” g/l > 5 r — o —“
m? + n? «x m’? + n/a mꝰ⸗ — nl? — 0, |
und folglich fo lange uͤnmoͤglich als m, n, m‘, n/, m’/, n wuͤrklich ſind;

woraus folgt, daß 8 und y nicht imaginair fegn können. Um ſich direkte

von dieſer Wahrheit zu überzengen, und zwar burch bie genannte Glei⸗

dung ſelbſt; fo gebe ich dieſer Gleichung folgende Form:

4H?’(a—A) +46? (BJ) —ı6F6H
(e —- A) (æ — B) — 4?

a — OC —

J und ich ſubſtituire barin ſucceſſtve anſtatt e. bie beiden andern Wurzeln
-B und » und ziehe die daraus entfpringende 2 Gleichungen von einander

ab; hierdurch erhalte ih nach gefchehenen Reduktionen und der Dinifion
mit 6 — ydiefe veränderte Gleichung: &

((8—A) (8 —B)— 4°) GA) le Be
+4(@ + 4?) Ar
4(4FCH + Bar GB) (B + 1)
+16P?(@ + HH)
(AH BIFCH +. |

40H + BO) —=o 0, —
— bie

440 ——

die, wie man ſieht, mit der Gleichuung
‚pt p/ gl! iu LM 0 re

einerley iſt, und woraus man folglich dieſelben Schluͤſſe zieht. | |
Die 3 Wurzeln a, Br find alſo — alle reel, und eben fo |
auch bie 9 Coefficienten

pP ga, 1, pl, etc. \

die rationale Funktionen biefer Wurzeln find. j Ä “

44) Wir haben eben die Werthe diefer Eoefficenter Sein fo. |
daß man hat

Prf+r—repar
“x 4 By? + yı?
7 2 ®

gäßt man daher nach und nad p % —— ſo abau man, da
% y,2 Funktionen dieſer veraͤnderlichen Größen find:

‚mT=

‚dr — dx dy dz
— — — a⸗
T | PT ag | |
aT, — dx y dy : dz Zu
Te TEE TE,

—
= pp + gYg ten,
31 plüp 4 gig rg > J Zu a
wie wir ſchon oben geſehn haben. I
| . we _ i Folgs

PR :
dx
F e. F
‚dx —
dq I
dx
ai
de me | |
dy B]
u. MN.
u, 8 x
Be dy —
—
ete.

Subſtituirt man nun biefe fe Bene s p efätt men

ar SIEHE
Io — be — 4 qilyz,

fo daß wegen der Zonimiexiagueſe wiſchen Dee dig

u > etc, man hat '

DERCHHA CT

Zu « x2 +2 82 y⸗ re
.....8erk

F == Pax ν ir plilge,

zu ei I.
Ar — By I 2 yz, |

u 4
.
i
3
F
—
*
Pr
— ⸗
— € R
.
A
®
1
— *
—X 1
⸗
1
x

-442 | - Sie J —

und LITE
CE — + (a Ä 2; 1 any, 2
ur; — *42 dy? d22.
Folglich werden die 3 endlichen Gleichungen GB anf es —

AIX2 — By? — 22 * ah?, x
ex + By? + vy2 22 * 12

24— d 2
AL EEE Lee TEE e

die, wie man fieht, denen .(42) ganz aͤhnlich find, indem bie Größen
x,y,2 0 A, y ben Größen a Jer, A, B, C entſpreche.

Hieraus folgt, daß wenn man wie (42) macht
= ꝙ 12 2 x y⸗ 4 22;
man dieſelben Formeln zwiſchen den veraͤnderlichen Groͤßen F z,ut 7”

hat, melde man zwiſchen p, gr, ut aeraaben bat/ wenn man nur A,
B, C in a, B, y verwaubelt. |

Hat man auf diefe Art die — von x, y, 2 in ugb rt —
fo hat man die vollkommenen Werthe vorm p, q. r durch die Formeln (43);

45)- Die Größen p, q, r reichen nicht dazu hin, alle Umftände ‚der -
Fr bed Körpers zu beftlinmen, fie dienen yur dazu
— Rn mdrehung zu beſtimmen. Denn da

———

”
“
v
”
%

-7. | er
dQ

nus reſpektiv find *

——

⸗

iſt; ſo fſolgt darans, was mir ſchon (26) geſehn haben, daß die will⸗

“ Tührliche Umbrehungsachfe, um Die der Koͤrper fich jeden Augenblick dreht,

mit den Achfen der Cosrdinaten 8, b, c Winkel inachen wird, beren Coſi⸗

| p MEET DR: or |
Pi) Teer +) Y(P+g+ 1°)
und daß die Winkelgefhtwindigkeit um diefe Achfe durh.Y (pr ma?
+ .1ı?) ausgebrüdt wird, | ” . —

Zur vollkommenen Erkenntniß der Umdrehung des Koͤrpers muß

wman noch die Werthe der 9 Größen Ei, E“, etc. beſtimmen, wo⸗
von bie ber Coordinaten &, 7, Jabhaͤngen, welche bie abſolute Lage jedes

Punkts des Körpers im Raume in Anſehung des als beweglich angeſe⸗

henen Schwerpunkts (34) geben; welches noch 3 neue Integrationen

erfordert.

In dieſer Abſicht nehme ich die Differentialforigeln (27) wieder vor,
und erhalte, Indem ih pdt, qdr, rdt ſtatt dP, dQ,.dR feße, biefe

Gleichungen: |

de lpit)de=or.erselcy.

dw 4 (pn — ge) de=o

und eben fo viele Ähnliche Gleichungen in 74, 7%, ya und 24 Qu, Zu ing
dem man nur & in 7 und in 2 verwandelt. Ä

Vergleicht man biefe Gleichungen mit den Differential leichun en’
(A) (40) zwiſchen den Größen — — F

— 47 ar 47 oo.
Tuer 7 Euer TE ne

KH 2 an ER

444 —

fo ſieht man, daß fie einander vbllig aͤhnlich ſind, ſo daß dieſe Groͤßen
den Größen £’, £, ſowie auch den Größen 7’; nt,
Zus entforechen. | — |

Hieraus fchlieffe ih, daß biefe teßtern veraͤnderlichen Größen als

beſondere Werthe der veraͤnderlichen Größen we
u #607: „ar. ar 2.2 u a

‚dp a 'dq ’ de > | |

‚ angefehn werben koͤnnen, und daß daher, da die zwiſchen dieſen veräns
derlichen Größen ſtatt findende Gleichungen nur linear find, man folgende
3 vollkommene Jutegral⸗Gleichungen durch die Annahme gewiſſer dreier
beſtaͤndiger Größen, m nat: > : | .
ul} ‚ , gi TR

ds EEE rn? | |

I and 5 N
TEURER ng 2 se «(D) ee

aT | |
— m u Mi 114 :
dr UN ER DE
Verbindet man num biefe 3 Gleichungen mit den 6 Bebingungsgleks
ungen zwiſchen den nämlichen veraͤnderlichen Größen S, 2’, etc.; fo
Scheint ed, daß man biefe veränderlihen Groͤßen, bie überhaupt 9 am ber
Zahl find, befiimmen. kann. Betrachtet man aber ‚näher bie vorperges.
henden Gleichungen; fo. ift lelcht fi) davon zu überzeugen, baß fie nur.
bet; zweien Sletchungen ftatt finden koͤnnenz benn addirt man ihre Qua⸗
drate zuſammen; fo gefdjicht es, daß .alle unbekannte Größen £', =’,
gli, etc. auf einmal wegen berfelben Bedingungsgleihungen (15) vers.
ſchwinden; fo dag man nur die Gleichung hat: er

OO ZaTse z7dT\e LAT \. —
5 * (7) * er = tr m rn,
ZT, dga/.. X\dr 7. | |
ee zZ s - weile,

—

a BE 443

I | weiche, wie man fieht, mit ber erſtern der beiden welter oben gefriadenen
> 0L (gr) Inlegrallen uͤbereinkommt, und bie Vergleichung dieſer Gleichun⸗
gen giebt or = az
— 6 — + m nn? NE u Be Ba
=... fo bag unter den 4 beftänbigen Groͤßen nie 3 willführlihe find.

Ä Hierans muß man ſchlieffen, daß die vollkemmene Auflsfüng noch

=... eine. neuẽ Integration erfordere wobei man eine der obigen Differential‘

0. gleichungen ober irgend eine Eombinatien dieſer Gleichungen anwen⸗
den muß. |

46) Man kam aber den Calful noch weit allgemeiner und einfacher *
machen, wenn man direkte die Werthe der Coordinaten ẽ, 7, 2 ſucht, be
fögleich die abfolute ‚gage irgend eines Punkt. des Körpers beftimmen,
für den die auf die Achfen bed "Körpers fih beziehenden Coordinaten
a, b, c find. | en | e

| In dieſer Abſicht addire ich die 3 oben gefundenen Integral ‚les i
‚ungen (D); nachdem ich die erfie durch a,’ die 2te durch b, die Zte- durch &
e-multiplicirt habe; welches folgende Gleichung giebt (12) en
= FR — art, „ar ‚4dT
Zu Ei SE Zehen Pr Tage

| Nun aber iſt nad) der Natur der Größen &, m 2 (13) a
ern ßen tbre ar
— 7Exndlich hat man and) (28), wenn man.pdt; qdr, dt anfatt
dp, dQ, dR feßt, und a, b, c ald befiändig annimmt SR
de + dy'-+d ER —
Man hat alfo 3 Gleichungen, woraus man die Werthe von &, .
Be vermittelſt einer einzigen Integration ziehen kann, —
es | z str 3 F ee Mole

⸗

*
* —

446 Mb —— ⸗

ir Wolli⸗ man übrigens bie Werthe von £', 77, 27, &U, te, „ jeben be
fonderd kennen; fo hätte man nur in ben allgeineinen String
von — 1, die beſtaͤndigen Größen

— 1, b=o, c=o,
Dr Se Sa a 0———
„a —0, b=1, c=o,.
oder
so, bm0d, — 1
zu ſetzen.
Wir wollen Kuͤrze Bee —

— a? en b? ++ e2,

N=(cq—br)? + (ar— cp)? + (bp ag);
elöbenn hat man folgende 3 Gleichungen aufzulöfens

Em rn? =L,

2er rin M.

d& + dp d-

—— —
wo M eine gegebene beſtaͤndige Größe iſt, L und N aber als bekannt fn

Funktionen von, t REN find, und |, m, n willkuͤhrliche beftändige
Größen find.

Ich bemerke bier mert, daß, wenn 1 und m zugleich = o ehren
die erftere Gleichung geben würde
=,

——
an
‘. s .

ce
.
—N, -
⸗

To Zee ee

—_ 5 Sr Be at SEE A en re ee An ne ee ET

\_
% i ————
rg — 447

and Bud bie Subſtitution bleſes ind " den Beben andern er⸗
kaͤlt man:

L
—————— —
en, 2 EEE ei
de dr Be di? . er ey
Zr TE ra |

wache Gleichungen leicht zu integriren ib, wenn man

£=pCol9, Ben, 2
a 4ſn9 Pr “1
feßt, welches fie in folgende beiben verwandelt: en 2
ramzh u — =
E 4. — — — = —— — | _ |
de? — nd? ’ a

wovon bie erftere den ‘Werth don er 2 2te über dei wink y — die
Integration dieſer Formel J

dl de Se >
n2de? 78 en F
giebt. | I Ei

- Gefeßt num 1 und m feyen nicht = = — und fe wollen ſehen, wie
man dieſen Fall auf den vorhergehenden bringen‘ San; ' Ss iſt klar, daß,
wenn man Nach)

j E+ dy=xyPiem,. er Fa ae
a — oo. Pu
mi — l7.= — — —

s="rn-

a ——

man fogleih hat | De —
IE DE c..
at +dinedu dp; | |
die vorgeſehßten Gleichungen laſſen ſich alſo leicht auf diefe Bern — —

TůL,
atyrg.=M,
dx? + dy? + dę⸗ — |
de —
| Sept man auſſerdem noch

——— — Berg

ar evrkrmt=uyl aan,
fo iſt noch | eo * —
»räs=snte, Ä

⸗
ww. =

dx + dl = dr + Au>;

woburch bie En Gleichungen auf folgende Go gebracht
werden: |
. j .- |

zY k Tr m’ + —E L, rn |
w+yte-M we _
dw 2. dy? + de® en i ne
—— — N.
— wie man ſieht, volig denen aͤhnlich fi ob, die wir eben oben anfgelödt |
haben. Man bat alfo auf diefe Art für u, y, z die nämlichen Ausdruͤk⸗ |

Fangen, bie wir für &, 5. gefanden haben, wenn man nur n in
.Y

Fi . z &
I) an "N
r

2. — 449

* v (l: + m? + n?) verwandel. Stab: dieſe Werthe bekaunt; ſee
bat man bie allgemeinen Werthe von Z, 7, durch die Formeln: u

— Ix my
vl + m)’
mx — ly ö 4

— V (l2 + m?) ’
nur z / 1? .+ m? |

VRr+ mr.

ıl

47) Dies ift, wenn ich nicht irre, die allgemeinfte und zugleich eins
fachſte Auflöfung, die man von dem-berühmten Problem der Umdrehungs⸗
- bewegung freyer Rörper geben Tann; fie iſt derjenigen analog, die ich in 2
den Memoiren der Berliner Akademie für d. J. 1773. gegeben habe, = 7
‚ aber fie iſt zugleich in einigem Betracht direfter und einfacher. In jener
- bin ih von 3 Integrals Öleihungen ausgegangen,. bie dea Gleichungen
A "(D) (45) entſprechen, und die ich direfte Durch das befannte Princtp der
Flächen und Momente erhalten hatte, und womit ich die Gleihung für
die lebendige Kräfte T == h? (41) verbunden hatte. Hier habe ich bie
ganze Auflöfung von den 3 primitiven Differentialgleichungen abgeleitet, '
und ich glaube bey diefer Auflöfung alle Klarheit, und (wenn ich mid) ſe
ausdruͤcken darf) alle Eleganz angewandt zu haben, beren fie fähig if.
Es wird deswegen jedem lieb feyn, daß idy nieder von neuem diefe Aufs .
J gabe behandelt habe, wiewohl ich es nur aus bloſer Curioſitaͤt gethan
habe, beſonders da es, woran nicht zu zweifeln iſt, einigen Nutzen zur
. weitern Vervollkommung der Analyſe dringen kann.

Was mir bey der vorhergehenden Auflöfung am merkwuͤrdigſten
ſcheint, iſt der Gebraud, den man von ben Größen %, 7', 2, £, etc,
hier macht ohne ihre Werthe zu fennen, und wo nur die Bediugungsglei-⸗
Hungen bekannt find, denen fie unterworfen find, und welche zufeßt ganz
aus dem Calkul verſchwinden. Sch zweifele nicht daran, daß biefe Art von

ae 2 1 Arnalyſe

r +

\ ie IN
so u ie © —— ⸗ Ä =
Unalpfe nicht auch bey andern Gelegenheiten von eben fo großem Nußen
fegn ‚Eönne. u | Se
Iſt dieſe Auflöfung übrigens etwas lang; fo hat man ed ganz allein
ber aroßen Allgemeinheit zuzufchreiben, bie man dabei beobachten wollte. ‚
Um fie zu vereinfachen hat man 2 Mittel bemerken koͤnnen, 1) wenn man
die befländigen Größen -F, G, H == 0 feßt (42) und 2) wenn man bie .
beftändigen Größen | und m ==.o feßt 46. Die erftere biefer beiden
Vorausſetzungen hat man fo lange immer für notwendig gehalten, um.
zu einer vollkommenen Auflötung der Aufgabe zu gelangen, bis th’ in
- meiner Abhandlung 1777. eine Methode angab, woburd man auch biefe
VBorausfeßung nicht mehr nöthta hat. Diefe Worausfeßung befteht naͤm⸗
lich darin, für die Achſen Der Coorbinaten =, b, c. gerade Lilien anzunchs
‚men, von ber Beſchaffenheit, daß die Summen

SabDm, SacDm, SbeDm = 0

fegen (36) und Hr. Eüler hat zuerft gewiefen, daß dies allezeft möglich
fey, die Figur. des Körpers mag auch befchaffen feyn, mie fie will, und
daß die auf diefe Art beftimmten Achfen natürliche Umdrehungsachſen
find, d. h., daß fie fo befchaffen find, daß der Körper fi ſrey um jede
von ihnen drehen kaun. Ohnerachtet man aber alezeit Achſen finden
kann, die dic genamute Eigenſchaften befißen, und da die Lage der Achfen
bes Körpers auſſerdem willkuͤhrlich fen; fo ift es Doch etwas ganz anders,
eine völlig direkte und von diefen befondern Betrachtungen unabhängige
Anfloͤſung zu erhalten. Die 2te der beiden erwälmten Vorausfeßungen »
bängt, von der Lage ber AUchfen ber. Coordinaten &, 7, 2 im Raume ab,
welche, da fie ebenfald millführiich find, allezeit fo angenommen werben.
kann, daß die beftändigen Größen | und m = o werden, mie man fü
direkte nad; ben allgemeinen Ausdruͤckungen &, 7, 9, die wir gefunden haben,
davon überzeugen kann.

“om

| — — wie F, G, H= 0; fo haben mir, wie wir (42)
geſehn haben | |

5 5
= ⸗
dT
= 2

— — Ap, I we

|
|

Bꝗ. F —

—
— Zen
A—C

dq r 7 prdt =0o,

⸗

—W
pgdt=o, \ | Sn,

BR —_
dr + z

bie mit denen übereinlommen ‚ die Hr. Euler in der Aufloͤfung — | Pr

wandt bat, melde er zuerft von diefer Aufgabe gegeben hat. (Manıfehe
die Memoiren der-Alademie zu Berlin für 1758). . Um ſich davon zu’

überzeugen, hat man nur zu bebenfen „ daß bie beftändigen Größen *

A, B, C (36) nichts anders ald das find, was Hr. Zuler Momente

, ber Trägheit bed Körpers um ‚die Achſen der Eoorbinaten e, b, c nennt, .

und, daß die veränderlichen Größen p. q x von ber augenblicklichen und

willkuͤhrlichen Umdrehungsbemegung abhängen, fo daß, wenn man «a, 4,

y die Winkel nennt, die bie. Achfe, um bie der Koͤrper jeden Hugenblic®

ſich willkuͤhrlich bewegt, mit ben Achſen der a, b, c macht, und p die Wins,
kelgeſchwindigkeit der Umdrehung un biefe . u ‚ man hat “ )

= p Cof x, | N
q= p Cof ß; - j
i = 9 Cof y/ ’ ı.
ı - ee s
| - E = gita Was

und endlich

452 | —

Was die andern Gleichungen des Hrn. Euler vetrifft — die
Lage der Achſen des Koͤrpers im Raume zu beſtimmen dienen; ſo kann
man ſie mit aufern Gleichungen (C).(45) vergleichen. Denn da die 9
Größen &°, , &', etc. nichts anders als bie rechtwinklichte Coordina⸗
ten der 3 Punkte des Koͤrpers ſi nd, die man in feinen 3 Achſen in der
Diſtanz, vom Mittelpunft en hat, (welches offenbar daraus folgt,
daß dieſe Größen aus ben breien &, 7, 2 entſtehn, wenn man ſucceſſiv

a = 1, b=0,.c=o
hierauf | |

a=o,b=1, c=0,

feßt ) fo iſt klar, daß wenn man mit ru. Kuler durch!, m,n: ‚Eompler-
mente der Neigungswinkel diefer Achfen zur feften Ebene der £, und 7 und
durch) A, u, » die Winkel bezeichnet, die bie Projektionen eben diefer Achfen
mit der feften Adyfe der Emadt, man folgende Ausdruͤckungen hat:

ge! = Coſl,

—fnlfnr, - s
zZ ſin l Cofa, |
el! — Cof m,

7 sn m fin u;

2’ — fin m Col 2, _

gl —— Cofn,

tt — fin no fin v,

gu =—— fin n Cof »;5

nn
1

> — F 453

und durch dieſe —— findet man leicht die ——— auf bie — |

Hr. Euler durd) geometrifche und Be gekom⸗
men if, |

49) Setzt man übrigend zugleich F, G, Hund , m 05 fo hat

man bie eiufachfte Aufloͤſung durch die 3 Gleichungen (D) (45), wenn =

- man die Wertbe von Z4, 2, 2 und von p. rind, . » (30, 37 *
darin ſubſtituirt. Denn —— erhält man ‚folgende 3 BR von
ber erften Ordnung:

A * — — era de: — F Fan -
Coſ ꝙ fin» dv — fıa 2 dw
Be oz
c do + Cof.» dy —— F
dt u.
ie A (lin @ fin» dy + Cof@ de)=n Gap fin vd,
8 (Col p fin ady — fin Pda)=nCofQ fina di, .
C(dp + Cha dy) =nlolad M}) ..-.
Ä welche fi ſich offenbar auch fo ausdruͤcken laffen; =
Adv .-. | | PP
tang ® finw ”
Btangp do -
ine —
Cdo 2
Colw | |
Wirfft man nun dt und dy weg, indem man bieſe 3 Steigungen

zuſammen addirt, nachdem man ſie reſpektiv durch
— l l 2 C — B

B — n Colp ſin v,

sd Ady =

adı —

ea cdiyv=

454 BR — J

TB, ac Bei
| ———— hat; fo erhält man die Gleichung

A(C—B) — B(A— (0)

&o
tang 9 ii [N &

‘

J ⸗
C(B—A) Io

die auch auf folgende Form gebracht werden kann:
Col» do . EC(B—A) do

ee re | A(C—B),
ee A 7

100 bie veroͤnderlichen Groͤßen getrennt ſind.
Das ate Glied diefer Gleichung verwandelt fi 5
C(B— A) do tang ®
Uersemsc re ggens -
Da i Anno
C B — A) do cofe
ſinꝰ . Ä J
— (C—B)
ober Zähler und Nenner mit Col? 2 multiplicrt in 17.)
C(B— A)d@ finQ Cop
a Cie 9 AO — ch,
Lo Cof? &

EEE -
9

B(A—C)

(und de fin?« —

ı + Col?u

Col?s ==

— u

⸗

md fin 2 « = 2 fin « Col x,
fo iſt dies =, M.) |
| C(B— A) fin a@ de

— 278 — B) + C(B — 5
‚ foiglid wenn man durch die < fogerkfunen integrirt, und — alsdem in

Zahlen verwandelt
2 AB—- CA * B) + C(B—A)} Cola = ⸗

wo K eine beſtaͤndige willkuͤhrliche Groͤße it
Cworaug man ——

Coſ 20 — — —a8 C(A B)
ee Re | &(B—A)J |
Kesitrsr C(A-£ B fi? =
— CB) WM)
* Werth nm BR Col’a 9) in dem Ausdrucke
air ı1—Cf297
fubſtltuirt giebt J
to — — mann — — —
* ee ar)

gleichungen; fo hat man:

fin? &

und ſetzt man biefen Werth von taug 9 in den beiben een Oiferetial

—

⸗

436 . a —

x
‘

| Adv. aB(C—A)fnto rc K
By V — — 9
. Bda (m —
— Ine 2B(C—A)fino HK)"
in welchen Gleichungen die unbeftimmten Größen getrennt fi fi a As die
—— t und Yin Funktionen von w geben.

Dieſe Auflöfung kommt mit derjenigen überein, die Sr. D’ Alembert
im aten Theile feiner kleinen Schriften gegeben hat.

—

50) Wir kommen nun zum zweiten Falle, wo ber ſchwere Körper,

an einem feſten Punkt aufgehängt ift, um den er ſich frei riach allen Rich⸗
“tungen bewegen Fann. Nimmt man biefen. Punft für den Mittelpuntt
des Körperd d. h. für den gemeinfhaftlihen Anfang der Coordinaten &,
1» 2 und a,b, c an, und feßt, die Ordinaten 2 feyen vertikal und’ von oben
nach unten gerichtet; fo hat man für die Umdrehungsbemwegung des Körs
pers bie Gleihungen'{B) (40). Diefe Gleichungen find mehr zufammens
gefeßt ald die im vorhergehenden Halle, indem die Glieder durch die Groͤſ⸗
fen Sadm, SbDm, ScDm multiplicirt find, welche nit mehr = o
find, wenn der Mittelpunkt des Koͤrpers, deſſen Lage hier gegeben ift,
aufferhalb feines Schwerpunkis fällt; dennoch aber kann man 2 biefer
Größen wegfhaffen, wenn man burch den Schmwerpunft eine der Achſen

der Coordinaten a, b, e gehen läßt, deren Lage im Körper willkuͤhrlich iſt,

welches ein wenig die geſuchten Gleichungen vereinfachen wird.

Wir wollen daher annehmen , die Achſe der Coordinaten c gehe |

wuͤrklich durch den Schwerpunkt des Körpers; rn hat man nad)
den Eigenfchaften diefes Mittelpunfts

‚$SaDm = o, SbDm == o, — ee
und nennt man K die Diſtanz zwiſchen dem Mittelpunfte des Körpers,
ber der Auf haͤngungspunkt iſt ‚and feinem ——— ſo bat man
offenbar auch

.Ss(K—c)Dmn= o

—

folg⸗

07. Km; fo erhält man folgende 3 Steigungen:

457

folglich Sc Dm=SKDm=KDm=Km, went man m die Maſſe
bed Koͤrpers nennt. Verrichtet man dieſe Subflitutionen und fegt K PR

d. — -

dp dT dT = E er
— ar ee he,
34T 8

dp ..ıAT d7
— ET IE (E) — |
„Et — Fuss | ae „ui

dr ‘ dT oT j R

dt wer dq Tg }
— — 3

T=3(Ap + Bo + ey

Far — Gpr — Hpq. Een |

—

sn) Man ann fogleih 3 Integralien dieſer Gleichungen finden, —

“indem man fie zufammen abdirt, nachdem man fie BR . gt
‚ober durch 9, 9’ 2 multiplicirt hat; denn weil *

as ze 2 2 27) 7 u
dę“ — (ge p — gr) dt,

| Sum 2'd,

458 u —

— Fr or, = 4 — m Far —
pP

+5 ad = 0, nn

davon bie Integralien find - a U
dT , ar dar | ;
— u — — un U 5

Era erier 7 x⸗ —— —

dT 1 und: - ee
ren + f'-- =b,: Tu
we fund ha willkuͤhrliche beſtaͤndige Größen find. |
Es ſcheint ſchwer, andere Integrallen zu finden, und folglich die
‚Aufgabe allgemein aufzuloͤſen. Allein man Bann dazu gelangen, indem

man annimmt, daß bie Figur ai ERS bie uns
terworfen ſey.

Setzt man alſo —
| F=0, G=o, H=o m A= 3;
fo bat man

‘

3 „mie dy? + du?

. % [4
. — | 000458
ö ’ u [3

davon das Integrale iſt |
| J
— u Conft. N) j “
dr

Diefer Fall ift der, wo die. Achfe der Ordinaten e d. h. bie gerade
Linie, die durch den Aufhängepuntt und den Schwerpunkt geht, eine nas
tuͤrliche Umdrehungsachſe ift, und wo die Momente der Trägheit um 2:
andere Achfen gleich find (48); welches überhaupt bey allen Umdrehungen

fefter Körper flatt hat, wenn der fefte Punkt in der Umdrehungsachfe

angenontmen mworben iſt. Die Aufloͤſung dieſes Galle iſt . nach dem
eben gefundenen 3 Integralien.

Denn da
To FIN, —

2
ſo iſt offenbar, daß dieſe 3 Integralien ſi ſich auf biefe Form beingen fen; j

A(p+ 47) Cre — 2Rę 2f5,
Alp dreh

r=D1,

wo f, b,n willkuͤhrliche Sefländige Größen find.

Subftituirt man "Haher für 27, 2, 21 und fie p, g r ihre Werthe
in Funktionen von 9, V, w (30, 37 ); fo erhält man folgende 3
Gleichungen: |

+ as 2KColo = ab,

dt2.
fin » dv

>t-- Co Cofw = V
‚dt

A
Mums Kr

su 2

dt —

1 Fr “ Pr I
r 2 \ -
” = %
— *
60 | EIER “2 2
J -
’ 5 1 — En) . un “
” — -
0 NS

der ER Nom i
de ._ J

weile, * man ſieht, den Vorzug baben, N bie cable Winkel v

‚ und 2; ſich nicht mehr darin finden.

Die ate ‚giebt ſogleich Rn | Br
dy h- CnCow. u

— — nn.

.dte Alın?o

und wenn man dieſen Werth in der erſtern Moftitelet ſo erhält man:

- j Afıno do
dar fin? (2.f—Cn» + aK Col») — GC
endlich giebt die ate und gte
h — Ca Cofw de ; —
day —

Ber late aK Cole) — (h— Ca
Col «)?),

a — CAn — à Coſ- 4. (C - An Col24) da | =
A "TYZ Alan Kaf—Ca + 2Kch)_ bn

, | (n Col w)?);

a — leichengen die unbekannten Groͤßen getwnnt ſind, worin aber

die Integration aͤberhaupt von der Rektificatjon der Kegelſchnitte abhaͤngt. n

52) Wir wollen num wieder die Gleichungen (E) — und
darin die Werthe von
47T dT: at | eo:
Sa 7,2, 72 Pe
in p, gr ſubſtituiren; alsdenn wird aus biefen: —

= fü dag, weil

' Bdg order — - Hdp

* =
— | 61
® i
—
.. 1 2

“dp — — — Hidg

. +C-Dae4Fe@-)- 2

BEER = 0, u;

— + (A E)pr+ Pr) Her
| + Fpg— Klo, |

Cdr — — G.dp

— 0———

+ sg = 0. —
Im Zuſtande der Ruhe des Koͤrpers ſind die 3 Groͤßen pgr= 0, —

weil ” (pꝛ 7 + 1?) die — a =>
keit iſt (45); man hat alfo alsdẽnu | —

Oo, ę?—⏑

gl u la * ę.u — 3 und Pitt
ae — 1.

die Achſe der Coordinaten E mit der der Ordinaten c zuſammenfallen wird; —

‚ 5. h. dieſe letztere Achſe, die durch den Schwerpunkt des Koͤrpers geht,

und bie wir vorhin die Achſe des Körpers Yenannt haben, wird vertikal

ſehyn, und dies tft ber Gleichgewicht'szuſtand des Körpers, und es erhellet
dies noch mehr aus den Formeln (30), welche geben

fin ſin == 0,:Col fin» == 0

an folglich == 0, wo v ber Winkel der lade REN = Coordina⸗ —
ten c und iſt.

Sektßzt man nım, ber Körper fey in Benegung; fo nimmt mar zu⸗

| gleich an, feine Achfe entferne ſich ſehr wenig von der Vertikallinfe, fo

daß der Abweichungswinkel « allezeit ſehr klein bleibt; alsdenn werben
die ——— er “ fehr klein ſeyn, und man erhaͤlt den Sal weder
Mamz ‚ Körper, :

—

462 —

+ .

Kvorper nur ſehr geringe Oscillationen um bie Vertikallinie macht, indem

er zugleich eine Umdrehungsbewegung um ſeine Achſe hat.

Dieſer Fall, der noch nicht aufgeloͤßt worden iſt, kann es leicht und

vollkommen durch / unſre Formeln werden, ‚und wenn man bie ſehr kleinen

Größen von der 2ten und folgenden — wegläßt; ſo findet man

„' —= fin, | aM oe
Coſs, u .
and Col(r — 9) == 0; folglich
m = 90° +3 und
cd, Heli

Subſtituirt man biefe Werthe in-ben Ausbruͤckungen von dP, rn

AR (23); fo erhält man
s dP —= #dI »r del,
un — Zi dI — dLN, |
dR == d9, zer;

a 1

indem man immer bie Größen von ber aten BR gernatäft
: | Man

— 4263

Man hat alſo auf dieſe Art

dP AdIep del!
Te
aa ade 5 | —
I u Te? |
dR ds
a Ten Tas

melde Werthe in ben obigen Differentialgleichungen ſubftituirt Linearglei⸗
chungen zur Beſtimmung dieſer veraͤnderlichen Größen geben, wenn man
die Potenzen und Produkte von 2 und weglaͤßt.

Ehe man aber dieſe Subſtitutlonen DEE — man, daß
wenn man |
Ad lo -

R7 bie erwähnten Gleichungen geben werben

a3 0 de
055 + Pe 3
ER TE
ar pnr
23
dı? j

Weil aber C nicht = 0 werben Tann, wenn der Körper nicht in eine
phufifche Linie übergeht, indem
EC = $(a + b°) Dim
iſt; fo folgt daraus, dag man biefen Glelchungen nur alsdenn genug gun
77 San, wenn man macht

—— — 0, F

dı? — — | and

und berg entweder
.d3
dt — — — J J
oder Fe —
r— 0, und G = 0. | |
Hieraus kann man leicht ſchließen ‚dag da ai und ? nicht = (>) ſon⸗

d9
dern nur fehr Fein find, bie Werthe don. -— oder von F und G ebenfals

ſehr klein ſeyn muͤſſen; Bine 2 Säle giebt, wovon jeder befonbers be
trachtet werden muß.

53) Mir wollen vorerſt amehmen,— — 2 eine ſehr Beine Oröge
von eben der Ordnung als 9 und 9‘, — bat man bie ee bie Groͤſ⸗ |
fen von der aten Orbnung
i d Eu *
———— u er
ag. I J
dt . — —
Darch dieſe Subſtitntionen — bie Differentialgleichungen (52),

wenn man immer die Groͤßen von der 2ten Ordnung weglaͤßt, und um
RR Einfachheit die Buchſtaben 2", El ins, u verwandelt

Ad’u — Gd?J »r Hdas

-
— , man

Ira — #4 Ku = O0,
— Bits — Fa29 — u — —

de | . | | u

‚cd3 — Fa; — Gd?u
eh el

— 0

. x

— 465

Die letztere giebt Ze ———— J
d®I3- Fd’s Fd’s +» Gd’u. FE |
dee — ——Tcde ° 5 i Be?
und ſubſtituirt man dieſen Werth in den beiden ln; Mi hät man.
Ad?u GEd?s + G?d?u Hd?s N x
de — Ce Te == 0,
Bd?s Pd? + FGd’u ie |
Euer Tg - 2— de -Kı=o 8)
oder | En:
AC — 6?) d’ CH — GF) 425
S ae - —* I ur. CKu =: O,
"BC + P)d&s + (CH + TE
| dt? Ds Aa Fo ee + CKs == 0,

deren Antegration durch bie bekannten Metheden leicht bewertſellst wer⸗

den kann.

Dem men feße in dieſer Abſi Pr
s5 4 ſin (pt + P)
u== y fin (pt + ß)»

wo 0, ß, 9, p unbeftimmte beftändige Größen find; alsdenn hat man Sur

diefe Subftitutionen folgende 2 Bedingungsgleichungen:
(AC - G?) p? >j« (CH— GF) ae CKy=o, |
(BC — F?) ap »- (CH »F GF)y@® = ARı = 0,
; ' " 4* me
"Na welche

466 TE — | \

x (CH—GF) 7 | CK (BC + ey

TCKR— (4-6) " (CH+ GM)e
woraus folgende Gleichung in ⸗folgt sah

K Fe Be Fr
— tar By C + Pu or ne
9

BHO aR BO) Co F

welche, wie man ſi eht, 4 Wurzeln hat, wovon 2 einander DL} nue mit -
dem entgegengefeßten Zeichen find.

Bezeichnet man alfo allgemein durch p und ⸗ die ungleidjen — —

dieſer Gleichung, und abſtrahirt bon ihren Zeichen, und nimmt 4 wills
kuͤhrliche beftändige Größen =, a’, 8, 8! an; fo hat man allgemein |
‚s= afin (pt + P)>r a! > £!)
und folglich .
— -(cH — :GF) pPrefin(pt + ß)

x CK — (AC— GG?) 72 FE
(CH — GF) ſin (pt BI).
STOCK — (ac-- et —

Endbllch erhaͤlt man, wenn man den Werth von
— Fd?s Fd’s „u Gd Gd?u

a Cie =): Pr

— Fs + Gu 5 2
e is GC.’ . Be

—

Auf dieſe Art wird man I veraͤnderllche Größen in Funktionen
zur t erhalten, ab bie Rn ird aufgeloͤßt — ;

-4/

- - \
I 2 * -
“ [3 j . i s e — ⸗
F
Be
‚ « ’ y —
= % es ⸗
—
— ‘ 2 kai *

er a ei DE een — ge mn “ “
#
%

— — | i ze 467

en |

2a uͤbrigens dieſe Auftzknng auf Se Dorothee veruhet/ daß su
und ſehr "Heine. Größen find; fo muͤſen, wenn ſie ſtait finden ſoll,

Wurzeln p, ⸗ wuͤrklich und ungleich ſeyn, damit ber Winkel t allezeit uns
ter dem Zeichen der Stand A Diefe 2te Bedingung aber erfobert fob
genbe beide

ArB)c+P—G@<o, — .

4 (CAB- = — C: 4- (APP — BG») o < ca + » c

+ PP - 60ʒ

welche allein «von ber Figur Körpers und von ber Sage des u
gepunkts abhängen. J

5) Wir wollen unn 2tens annehmen F und G fepen — ſo klein

und von derſelben Ordnung als 2’ und 2”; läßt man alöbenn die Größen
von der 2ten Orbnung weg, und feßt s, u an’ bie Stelle von — gr

werben die Differentialgleihungen (52) .

A(d. sd3 + d?u) Gd?$ H (d.ud3 0)

| de (7 ae Te —
+ (C— B) (ud$ — ds) ds ” Fd3:

de? ‘\ de2
— * du) d3 d$ ek
\ de ++ Ku=o,

B(d.uds — d?s) Fd2$ aa sdI 4 2) |
‚de = de — da
+ Aa— 0, RE: + du) ds _ Gar -

‚ de | E
Wi Nun 2 2 i —

“

davon bie Sutegration Feine Schwierigkeit hat.

de |
un wenn man integrlet , u 2
dJ a“
dt. in | | |
won eine beftänbige ilihefihe Größe tft. Subſlituirt man Hefen

.
- ’ ’ jr
- =
=
fi -
{ zer * r “ —
8
\ % e Due x . *
8* -
“
”

d%
Werth von 1: in ben beiten Glechungen:z ſo erhaͤlt man n folgende:

du. des
A. * +HT+OH+B-OaT Erlen
+ Fn? + Hn?s + Ku==o,

„des. a du: — —
3 +H — Arb- On + (C—Ay ns

un Hasu 4 Kı=o ER

Man dividire biefe Gleichungen durch n? und feße um mehrerer Ein⸗ ui
fachheit willen d9 an die Stelle von ande und denke daran daß dI von
jeßt an beftänidg iſt; alsdenn hat man, wenn man bie Glieder ordnet und

„*

mb hierauf bie beftändigen Größen f, b bergeftalt Beflimme, daß die Glie⸗
. der F und G verſchwiuden welches folgende beide Bedingungsgleichungen

Km
ee rt (50) -
fee i
d?s | e
— ern
>» Fl mt Go
" d?u is a | £
(er Luna | R
+ (lg) He

Um nun diefe Gleichungen zu integriren; fo fange id) damit an, daß
ich alle beftändige Glieder zum Verfchwinden bringe, indem ich ſete

s——xınf,
n—=yıbk 5* *

. giebt:
(C—A + L)trf+ Hh+G=o,
(C—B-»-L)h + Hf.r-F=o,
woraus man zieht |
Fe FH—-GCC—B+L) — e
(C—B+-L)(c—A+L)— pi
CH—F(C—AH+L)
(e-B+I)c—Arn—M
| un z rk und

i > | e "
——— Ze en —
470

und man erhält in x, y, I die naͤmlichen dungen « als ins, u, ð mit
dem einzigen Unlerſchiede, daß die beſtaͤndigen Glieder G, ſich nicht
mehr darin finden.

Ich ſehe jeßt x = act ee 7
oo y=hch J az
wo &, A und i unbeflimmte beftändige Größen find, und e bie Zahl be⸗
deutet / y deren hyperboliſcher Logarithme 1 iſt.

Da nun alle Glieder der zu integrirenden Gleichungen x und yin

der erften Dimenfion enthalten; fo folgt Daraus) daß fie. nach ben Sub⸗

flitutionen alle durch e id theilbar find, aldbenn bleiben en folgende beide Be a

bingungögleichungen übrig
-(C—A+LHBt)cHh
UC—A—B)i+ H (+) A=o
NXcC—B+ LaAt)B —
(e—A—BirHlri)ı—o

x, welche — | | Ba

— 4 mL L
Ce —-ı—mir * + 5
(C—A—BJi—H (1-1)
C—B+rL.+ A»
ſo 8 man, wenn man durch's Krenz multiplicht, folgende Glachungti in ĩ
erhaͤlt

| (C-BHLAAM)(C-AFLHBR) + ca
2 — H3 (1 > 1? 0

J x

*
* r
R
=
\ i
._ ”
" %
f
E
%
=

a |
4

melde, wenn man
| 1 —
ſetzt, auf dieſe Form gebracht wird
| (A—B—H) P? + ((A + B) (1. 0)+ — un
(A + B—C) == 0.

Dat man p durch dieſe Gleichung beſtimmt; ſo abit man
vo set! (1) : a

— AE-
— 77 u

und die befländige Ördße « wird unbeftimmt bleiben. Da nun bie Glei⸗
chung in p 2 Wurzeln hat, und die Radikal⸗Groͤße (⸗— 1) groͤßer
oder kleiner angenommen werben kann; fo erhält man auf diefe Art 4
verfchiedene Werthe von x, y, welche mit einander verbunden, den vorges
feßten Gleichungen genug thun, weil die veränderlichen Größen x, y barin
nur eine lineare Form haben. Nimmt. man baher 4 verfchledene beftäns
dige Größen für.“ an; fo erhält man auf biefe Art die volllommenen
Werthe von x und y, indem biefe Merthe nur von ben beiden Differens
‚ tialgleihimgen der aten Drdnung abhängen, und daher nur 4 air
liche beſtaͤndige Größen in ſich ſchließen koͤnnen.

55) Damit die Ausdruͤckungen von x und y Feine Bieföibogen ent⸗
halten, muß (pP — 1) imaginair ſeyn „ und p iſt alſo auf dieſe Art -
eine würklihe Größe bie < ı iſt.

Mir wollen durch p und a die befpen — der Gleichung in⸗
ausdruͤcken, die als wuͤrklich und < 1 angenommen worden find, und
den. 4 willkuͤhrlichen beftändigen Sroͤßen dieſe imaginaire il Kr |

ß r — 1 u =

Re...

ee * R

— Pre —ı >
ae
ay —ı ; u
v—r.
ee __ P\ — —
St 2 — 1 ö — | .
i [x n - 7
Ye. Ri =
may ı z

alsdann erhält man, wenn man dieſe Subſtitutionen ki ‚ und bon =

den Erponentialgrößen zu ben Sinus und Cofinus übergeht, N
vollkoͤmmene und würkliche Werthe von x und y:

x sfin (I (ı—o) 4)
ſin (S Ci — ) oe),
«(A + B—C)V (ı —
— B—C-+Alt—p)—
| aHp
— B—CACIi — 6) —
vB C)V (ı — sc)
B—C+ Ab—c)—
. Ho
B— C—A(ı—c) —
wo'a, 9, A, « willlährliche ‚beftändige Größen find, die vom aufinfien
Zuſtande des —— abhaͤngen.

—

—õ —
fa (IV ti)
Paovra—arn
— in (I (ie) +),

—

s gar

— 4

—

o
‘

‘

gu man — — Art x und y; fo erhärt man
FH: G(B—C—L)
(A—C—-1)8B—C—L)—
| GHrFOA—C—L) 000.00,
Bm=y-p o [0 2
(A-C-)B-C—-1)—H Eu,

ı=ıHı

— Nimmt man daher für 9 irgend einen der ‚Zeit. -proportionalen 2Bins
kel an; ß — man dieſe Werthe der 9. veraͤnderlichen RR er, —

— El, | }
es —=C0ofl!, 5 |
zu — — fin}, Sr
gu — — :C0olJ pr ufin;
y' = fin 9, 2 =
yı — Col, nn
zit = sind — Coll, ur — u —
fen | |
gu Ä = 0
eu — 1;
fo daß man bie Eoordinaten &, 7, e jedes Punkts bes Bones für irgend -
einen Augenblid kennt (12).

Vergleicht man bie vorhergehenden Ausbräckungen von &, nl, ete. ‚
mit denen (30); fo zieht man daraus a bie Werthe der Undreharge— | ei:
winkel 9, Y, w; und man findet
a Y = |
fin fno ==s, \ a —
J Col 9 Col o = u; Fe nd .
| | Dos | woraus |

47% 2 a ___ __

moraus man zieht
— = E = + u)

* *
*
5 %
.
tung —
..
“ E

—

J Es iſt leicht nach den Definitionen (29) zu ſehen, daß o die als ſehr

klein angenommene Neigung ber Achſe des Koͤrpers mit ber Vertifallinte
ft, daß fernen Y der Winkel iſt, ben dieſe Achſe beſchrelbt, indem fie fidy
um bie Vertilallinie dreht, und daß A. dee Winkel ift, den ber Körper

ſelbſt befchreibt,. indem er fidy um eben. biefe. Achſe brebt, indem bie
beiden legtern Winkel von einer beliebigen Größe feyn Ben

56) Damit aber biefe Auflöfung genau fey, mößfen die veraͤnderli⸗
hen Größen stund u allezeit fehr Flein bleiben. Auf dieſe Art mıäffen alſo
er allein die beftändigen Größen-« und y, die vom anfänglichen Zuſtande

des Koͤrpers abhaͤngen, ſehr klein ſeyn, ſondern die Werthe der beſtaͤn⸗
digen Größen E und G, die durch die Figur bes Körpers gegeben find,
müffen ebenfals fo beſchaffen ſeyn, und auſſerdem muͤſſen bie Wurzeln p:
und co würklih nnd pofitiv feyn, damit ber Winkel I allezeit in Sinus
ie Eofinus eingefchloffen ſey·

Set manbaber DE ce pe
F ea On G = 0. |
SbcDm=o, ScDm=o, 5

- fo erhält man die nöthigen Bedingungen, damit Die & Momente der Gens
triſugal⸗ Kräfte um: bie Achſe des. Körpers, bie zugleich die Achſe der
Coordinaten.c tft, ſich aufheben , fo daß der: Körper. fich gleichfoͤrmig und
frey um diefe Achſe drehen kann. Man weiß: aber, daß bey jedem Koͤr⸗
per 3: auf: elnanden ſenkrechte Achſen, die durch den Schwerpunkt gehem,
ſtatt finden, welche dieſe Eigenſchaft haben, und welche man gemeiniglich
nach Hrn. Euler die Hauptachſen (axes principaux ) des Koͤrpers nennt.
Da wir nun angenommen haben, daß bie al des —— zugleich durch⸗

den

—

⁊

— 475

—2

ben Schwerpunkt und Aufhaͤngepunkt geht; ſo folgt, daß die Größen F
- und G == o feyn werden, wenn der Körper an einem gewiffen in einer
feiner Hauptachſen angenommenen Punkte aufgehängt iſt.

Damit nun biefe Größen ohne nothivendig — o zu fen, wenigſtens

ſehr klein ſeyen; muß der Aufhängepunft bes Körpers ſehr nahe an einer
der Hanptachfen feyn, und dies fft die erfle nothwendige Bedingung, da⸗
mit die Achfe des Körpers nur ſehr geringe Oscillationen um die Vertis
kallinie mache, indem der Körper felbft übrigens eine gewiffe Umdre⸗

hungsbewegung um diefe Achfe hat.

Die andere nothmendige Bedingung, dag die Döchlhatfonen allezeit

ſeehr klein ſeyen, hängt von der Gleichung in p ab, und befteht darin, dag
alAFBCL—CO)+c)>(AB—H)(D— oaL

| (A-+-B—C)), |
Km LER 1 Kam) EEE _
(A—- CAL)(EB-C—L)— H-
= Bone

welche zugleich von der Lage des Aufhaͤngepunkts und der Figur des Koͤr⸗

pers abhaͤngen.

57) Die Aufloͤſung die wir eben gegeben haben, enthaͤlt die Theorie
der kleinen Oscillationen der Pendel in aller Allgemeinheit, deren fie fähig
af. Es iſt bekannt, daß Huyghens zuerft bie Theorie der DsciHatios
nen in einem Zirkel gegeben hat. Der verfiorbene Herr Clatraut fuͤgte
dazu noch die Xheorie der Oscillationen in Kegelfchnitten, bie ftatt finden,

wenn das von feiner Rahelinie abgetriebene Pendel einen Stoß bekommt, _
deſſen Richtung nicht durch diefe Linie geht. Bekaͤme aber das Pendel

zugleich eine Umbrehungsbewegung um feine Achſe; fu kann Die durch dieſe
Wewegung erzeugte Centrifugallraft die Oscillationen fehr Röhren, fie
z Dvo2 - 202 mögen

⸗

* x
\ i —

476

— * F — |
mögen nun in Zirkelbogen ober in Kegelſchaitten geſhehn; und bie Beſtim⸗
"mung diefer neuen Dscillationen ift eine Aufgabe, die noch nie vollkommen
uud für Pendel von jeder Figur aufgelöft war. Aus’diefer Urfache habe
ich mich hier damit abgegeben. | | —

⸗

x “ w

Siebenter Abſchnitt. | | Be
Non den Grundlehren der. Hydrodynamik. |

ie Beſtimmung ber Bewegung fläffiger Koͤrper iſt der Gegenſtand

der Hydrodynamik; die Hydraulik hingegen, wie fie gewöhnlich ifl,
ſchraͤnkt fi) blos auf die Kunſt das Waffer’zu leiten, und es zur Bewer
* gung der Mafchienen zu gebrauchen, ein. Man bat biefe Kunſt feit jeher
wegen des Nutzens, den fie gewährt, betrieben, und bie Alten waren
darin, nach bem, was fie und darüber hinterlaſſen haben, zu urtheilen,
eben fo ſehr Meifter als wir, . Zr

Die Hobrodhnamik aber iſt eine ganz neue im gegenwaͤrtigen Jahr⸗
hundert erſt entſtandene Wiſſenſchaft. Newton verſuchte es zuerſt, die
Bewegung fluͤfſiger Körper nach den Principien der Mechanik dem Calkul

zur unterwerfen; und D' Alembert brachte zuerft die wahren Geſetze ihrer

Bewegung auf analytifhe Gleichungen. Archimedes und Galilaͤus
(denn die Zwifchenzeit, die zwifchen biefen beiden großen Köpfen verfloß,

J verſchwindet in der Geſchichte der Mechanik) hatten ſich nur mit dem

Gleichgewichte der fluͤſſigen Maſſen beſchaͤftigt. Torricelli fing an die
Bewegung des Waſſers zu unterſuchen, das aus einer ſehr kleinen Oef⸗
nung eines Gefaͤßes läuft. Er fand, daß wenn man dem Ausfall eine
vertikale Richtung gäbe, berfelbe allezeit beinah. die Hortzontals Ebene
des Waſſers im Gefäße erreiche, und da man vermuthen kann, daß er
- fie vollkommen erreichen mwerbe, wenn die Reſiſtenz ber Luft, und bie
Reibungen wegfielen; fo zug Torricelli daraus den Schluß, daß die Ges _
na Br ſchwin⸗

ſchwindigkeit bes herausfliefenden Waſſers einerfen mit Lerjenigen iſt,

weiche es erlangen würde, wenn es frey vun der Höhe der Horizontal;

Ebeur herabfiele, nud daß biefe Geſchwindigkeit folglidy der Quadratwur:

zel eben biefer Höhe gleich if. .

—

Da er indeſſen zu einem ſtrengen Beweiſe dieſes Satzes nicht gelan⸗
gen konnte; fo begnägte er fidy damit; ihn als einen Srfahrungefag am _
Ende feines Traktats de motu naturaliter accelerato , den er im Jahre
1643 druden ließ, zu geben. ı Newton unternahm es im 2ten Buche -

ſeiner mathematifchen Principien, die 1687 erſchienen, ihn zu beweiſſen;

allein man my geflehen, : daß Died gerade die am wenigften genuge |

thuende Stelle in biefem großen Werke ift,

Betrachtet man eine Wafferfäule, die fin leeren Raume frey faͤllt;
fo ift es leicht, ſich Davon zu überzeugen, baf fie die Figur einer Conoide
annehmen muß, die durch die Ummälzung einer Hyperbel von der 4ten

Ordnung am die Vertibalachfe gebildet iſt, denn die Geſchwindigkeit jeder

horizontalen Schichte verhält fi) auf der einen Seite wie bie Quadrat⸗
wurzel ber Höhe, wovon fie herabgefallen tft, und auf ber andern muß
fie wegen der Stetigkeit des Waſſers ſich umgekehrt wie die Vreite diefer

Schichte, und folgli auch umgelehrt wie das Quadrat ihres Radius

verhalten. Hierans folgt, daß bie Proportion der Adyfe oder Abſciſſe,

die die Hoͤhe vorftellt, ſich im umgekehrten Verhältniffe der 4ten Potenz

der Ordinate der dadurch erzeugten Hyperbel befindet. Stellt man fich

daher ein Gefäß vor, von ber Figur einer Condide und das immer init
Waſſer angefüllt fey, und man nimmt an, die Bewegung des Maffers
gelange zu einem beftänbigen Zuſtande; fo ift klar, daß jedes Waſſer⸗
theilchen darin eben fo herabfallen wird, als wäre es frey, und daß es

folglich beim Herausfallen ans der Deffnung eine der Höhe bes Gefüßes,

worand ed gefallen iſt, angemeffene Geſchwindigkeit haben wird,

Newton bildet fih'ein, das Waſſer, das ein chlindriſches vertl⸗
kales Gefaͤß anfuͤllt, und auf dem Grunde eine Oeffnung hast, woraus
es laͤuft, theile ſich feiner Natur nach in 2 Theile, wovon ber eine nur
in Bewegung iſt, und die Figur einer Conoide hat, von der wir eben

| —O8683 J— geredet

| 478 m ——

‚gerebet haben, und bied nennt er Cataradis; ber andere aber in Ruhe iſt,
gleichſam als wenn er gefroren waͤre.

Auf dieſe Art iſt klar, daß dad Waſſer mit einer Geſchwindigkeit

herauslaufen muß, die derjenigen gleich iſt, welche es erhalten Haben -

würbe, wenn ed von ber Höhe bes Gefaͤßes herabgefallen wäre, wie es
Torricelli durch die Erfahrung. gefunden hatte. Aber Newton mans
die Größe des in einer gegebenen Zeit heransgelaufenen Waſſers, verglich
fie mit der Größe der Deffuung, und ſchloß in der erſten Ausgabe feiner
Principien daraus, dag die Geſchwindigkeit beim Herauslaufen aus dem
Gefaͤße nur der Hälfte der Höhe des Waſſers in dem Gefäße
entfprede. Diefer Srethum kam baher, daß er 'ifeine Ruͤckſicht
auf die Contraktion des Waſſerſtrahls genommen hatte. In der zmelten
Ausgabe die im Jahr 1714 erſchieu, aber richtete er auch hieranf ſogleich
feine Aufmerkſamkeit, und er erkannte, daß ber kleinſte Schnitt des

Strahls fi zur Deffuung ded Gefäßes verhalte wie 1: U’ 2; fo dag,

wenn man biefen Schnitt für die wahre Deffuung annehme, die Gefchtwins
digkeit in eben der Verhältuiß 1: 2 zunehmen, und folglid der gans

zen Höhe des Waſſers entfprehen muß. Auf biefe Art kam feine Tiheos _

rie faſt mit der Erfahrung überein, aber fie wurde darum nicht genauer ;
denn bie Bildung der Catarakte ober des eingebildeten Gefäßes, woriu
man fi die Bewegung des Waflers vorftellt, während dem das Waffer
an den Seiten in Ruhe bleibt, iſt offenbar ben bekannten Öefeßen bes

Gleichgewichts Fläffiger Körper entgegen, indem das in biefe Catarakte

mit feiner ganzen Schwerkraft fallende Waſſer, wenn es feinen Seitens
druck ausuͤbt, auch dem Drude bed ſtillſtehenden es umgebenden Fluis
dums nicht zu widerftehn tm Stande iſt. | |
Bier und zwanzig Jahre vorher hatte Darignon der Alademte ber
Wiſſenſchaften zu Paris eine natürlichere und wahrfheinlichere ErElärung
dieſer Erſcheinung vorgelegt. |

Denn da er fah, dag, wenn das Waſſer aus einem cyhliudriſchen

Gefaͤße durch eine im Voden gemachte Oeffnung fließt, es eine ſehr kleine
und für alle Theilchen merklich gleichfoͤrmige Bewegung hat; fo zog er
daraus ben Schluß, daß hier Feine Beſchleunigung ſtatt fände, und daß

per Theil der flüffigen Maſſe, ber jeben Augenblick herauslaͤuft, feine

ganze

>
— — e
— ” a
F 8

os | — — 2 479

ganze Bewegung von dem durch das Gewicht der Sanle bed Fluidums,

movon er bie Baſis iſt, erzeugten Druck erhält. Dieſes Gewicht, das
ſich tie die Breite der Deffuung multiplicist durch bie Höhe des Waſſers

‚in dem. Gefäße verhält, muß der Gröpe der Bewegung, bie jedes Theil⸗

chen hat, das jeden Augenblick durch die naͤmliche Deffnung geht, propors.
tional feyn. Dieſe Größe der Bewegung aber iſt bekanntlich ber Geſchwin⸗
digkeit und ber Maſſe proportional, und die Maſſe verhält fidh hier. wie
dad Produkt der Breite der Seffnung durch den Kleinen Raum, den das
Theilchen in einens gegebenen Augenblicke durchlaͤuft. Die Größe der ‘Bes:

| wegung verhält ſich folglich wie bie Breite der Oeffnung multiplicirt durch
bad Quadrat ber Geſchwindigkeit. Die Höhe des Waflers in dent Ges.

fäße ift folglich dem Quadrate ber Geſchwindigkeit proportional, womit es
herausfaͤllt, und das iſt ben Torricellianiſche Lehrſatz |

Aber auch dieſes Raiſonnement laͤßt fich nicht ohne einige Bedenk⸗

lichkeiten anſtellen. Denn man nimmt hier ſtillſchweigend an, Die kleine

Maſſe, die jeden Augenblick aus: dem Gefäße herauslaͤuft, erhalte ſo⸗

gleich Ihre ganze Geſchwindigkeit durch den Druck der Säule, bie über der

Deffnung:- fich befindet. Num weiß: man, daß ein Druck Feine endliche
Geſchwindigkeit hervorbringen Farm. Setzt man uber, wie ganz natürz.

ch, das Gewicht der Säule wuͤrke auf das Theilchen während der gan⸗

zen Zeit, daß ed and bem Gefaͤße herausläuft;; fo iſt Elar, daß dieſes
Theilchen eine befdyleunigte Bewegung erhält, deren Größe nach einer ges
wiſſen Zeit dem Druck multtplichrt durch die Zeit proportional iſt. Das
Produkt des Gewichts der Säule durch die Zeit: des Herauslaͤufens des
Theilchens iſt Daher dem Produkte der Maſſe diefes Theilchens durch die
Geſchwindigkeit, die ſie erlangt hat, gleich; und da die Maſſe das Pro⸗
dukt der Breite der Oeffnung durch den kleinen Raum, den das Theilchen
Ben ſeinem Herauslaufen beſchreibt, iſt, welcher Raum ſich nach der Nas,
tur der gleichfoͤrmig beſchleunigten Bewegungen ſich wie das Produkt der
Geſchwindigkeit durch die Zeit verhaͤlt; ſo folgt, daß die Hoͤhe der Saͤule
ſich von neuem wie dad Quadrat der erlangten Gefhnf- tigkeit verhaͤlt.
Dieſer Schluß tft daher völlig mathematiſch fireng,, wenn man: zugefteht,
daß jede& Theilchen bey ſeinem Herauslaufen aus bem Gefäße durch das:
ganze Gewicht ber ganzen Eänle des Fluidums, bie dieſes Theilchen zur
| N 2 BEP ae Sn Baſis

—
x

480 —F ——

Baſis hat, gedruͤckt wird, welches wuͤrklich ſtatt finden wuͤrde, wenn die

im Gefäße enthaltene fläffige Maſſe ſtillſtehend iſt, denn alsdann wuͤrde

- > ihr Druck auf den Theil des Bodens, wo die Oeffnung iſt, ben Ges

‚wichte der Säule gleich feyn, wovon fie die Baſis iſt; aber diefer Druck

muß verfhieben feyu, wenn bie flüffige Maffe in Bewegung tft: Indeſ⸗

F ſen iſt klar, daß jemehr das Fluidum ſich dem Zuſtande der Ruhe naͤhert;
deſto mehr auch der Druck auf den Boden ſich dem ganzen Gewichte der
vertikalen Säule nähern wird; auſſerdem zeigt die Erfahrung, daß bie
Bewegung des Fluidums im Gefüge um fo geringer fl als die Oeffnung

‚x Meiner ift. Die vorhergehende Theorie nähert fich baher um fo mehr ber”
- Wahrheit, je größer die Dimenſionen des Gefäßes in Anſehung der Deffs
nung find, burd die der fluͤſſige Rörper läuft, welches auch die Erfah⸗
zung beſtaͤtigt. u oo

Aus eines entgegengefeßten Urfache wird die naͤmliche Theorie auch
anzulänglic zur Beflimmung der Bewegung ber flüffigen Körper, die in
Röhren fließen, deren Breite fehr klein iſt und fich wenig veraͤndert.

- Man muß alddann auf einmal alle Bewegungen ber Theilchen bes ‚flüffigen
Körpers betrachten und es unterfuchen, welche Veränderung fie durch bie
Figur des Eanals erleiden. Die Erfahrung aber lehrt, daß, wenn die
Möhre eine von der Vertikallinie wenig‘ verſchiedene Richtung hat, die
verfchiedenen horizontalen Schichten ded Fluidums beinah Ihren Parel⸗
liſmus beibehalten, fo daß eine Schichte immer den Platz der vorherges
„henden einnimmt; woraus wegen. ber Unpreßbarfeit des Fluidums folgt,
dag die Geſchwindigkeit jeder horizontalen Schichte nad) der vertikalen |
Ricichtung geſchaͤtzt, ſich umgekehrt wie die Breite diefer Schächte verhalte,

wæelche durch die Figur des Gefaͤßes gegeben iſt.

Man braucht daher nur die Bewegung einer einzigen, Schichte zu bes
ſtimmen, und die Unfgabe if in einiger Ruͤckſicht derjenigen von der Bes
wegung eines zufanımengefeßten Pendeld proportional. Da nun nad
ver Theorie ded Jakobs Bernoulli die jeden Uugenblid durch die vers
fchiedenen Gewichte, woraus das Pendel befteht, erlangten und veriornen _

| Bewegungen beiin Hebel einander dad. Gleichgewicht halten; fo muß auch
HB Gleichgewicht in ber Röhre zwifchen den verfchiedenen Er. =
| | ' Flui⸗

—

— — 481

— Fluidums, wovon jede von ber jeden Augenblick erlangten ober verlornen
Geſchwindigkeit getrieben wird, ſtatt finden; und man hätte hieraus durch
. bie’ Anwendung ber fchon ‚bekannten Principien des Gleichgewichts der
. flüffigen- Körper fogleih die Bewegung eines flüffigen Körpers'in einer

Röhre beflimmen Eönnen, fowie man bie eines zuſammengeſetzten Pendels
Beftimmt hatte. Allein der menſchliche Geiſt gelangt nie durch die einfache

ften und geradeſten Wege zu Wahrheiten, von welcher Art fie auch feyn

nrögen; hiervon giebt uns die "gegenwärtig von uns. behandelte Materie. -

ein auffallendes Beyſpiel. |

Be Schon im erften Abſchnitte haben mir die verſchiedenen Schritte ers
zählt, die man gethan Hat, um zur Auflöfung der Aufgabe vom Mittels -

punkte ber. Schwingung zu gelangen, und wir haben dagegen gefehn, daß

- bie wahre Theorie biefer Aufgabe nicht dur Jakob Bernoulli fey ents
deckt worden, fondern daß erft lange darnach Huyghens fie durch ben ins‘
direkten Grundfaß von der Erhaltung ber lebendigen Kräfte auflöste,

Eben fo verhält es fid, mit der dlufgabe von der Bewegung der fläfs
figen Körper in den Gefäßen, und es iſt auffallend, daß man fich nicht

des Lichts bey diefer bediente, das man durch jene erhalten hatte;

Das naͤmliche Princip von der Erhaltung der lebendigen Kräfte ‚gab.

auch noch Die erfte Aufloͤſung diejer legten Aufgabe, und biente der Hydro⸗
dynamik des Hrn. Daniel Bernonlli zur Baſis, welches Werk im

Fahr 1738 erfchien, und darin ‚übrigens eine. eben ‚fo fehr wegen bed.

Ganges, ben er darin geht, Schmudvolle ald wegen feiner Refultate -

einfache Analyfe herrſcht. Aber bie Unzulänglichkeit dieſes Princips, das

noch anf Felte allgemeine Urt war eriwiefen worden, mußte auch alle dar⸗

ans flieffende Saͤtze unzulaͤnglich machen, und erregte den Wunſch zu einer
gewiffern und auf die Fundamentalgefege der Mechanik fi) grühdenden
Theorie. Maklaurin und. Johann Bernoulli unternahmen bie. &rfüls
lung biefes Gegenflandes, ber eine in feinem Traktat über bie Fluxionen

der andere in feiner neuen Hydraulik, die ſich am Ende feiner Werke bes
findet. Ihre Methoden führen, ob fie gleich fehr verſchieden find‘, den⸗
noch auf die nämlidyen Nefultate ald das Princip der Erhaltung ber lebens _
digen Kraͤfte; allein man muß geftehn; daß dit Methode Maclaurins nicht
0 7 u | Ppp | fireng -

vv I LNS

‘

"482 ae ——

fireng ER tft, und im voraus nach den — — zu ſeyn
ſcheint, die er erhalten wollte. Was aber die Methode Jakob Ber⸗
noullis betrifft; ſo muß man ſagen, ohne voͤllig die Schwierigkeiten an⸗
zunehmen, die Hr. D'Alembert ihr entgegengeſetzt hat, daß fie noch in
Abſicht der Klarheit und Genauigkeit viel hinter fi läßt. - Man bat im
erften Abfchnitte gefehn, wie Hr. D’Alembert, da er bie Theorie des .
Jakob Bernoulli von ben Pendeln allgemeiner machte, auf ein einfas
- bes nnd allgemeines Princip der Dynamik gekommen war, weldes bie

Gefeße der Bewegung der Körper auf die ihres Gleichgewichts bringt.
Die Anwendung diefes Princips auf die Bewegung flüffiger Körper zeigte
fid) von felbfb, und der Verfafler gab davon zuerft am Ende feiner Dynas
mit, die im Jahr 1743 erſchien, einen Verſuch; entwidelte fie aber
durch ein angemeffenes Detail in feinem Traktat von den flüffigen Koͤr⸗
pern, der im folgenden Jahre erſchien, und der eben fo direkte als ſchoͤne
Auflöfungen der vornehmſten Fragen, bie man in Anſehung ber in Ge
faͤßen fich bewegenben flüffigen Koͤrpeg aufwerfen kann, enthaͤlt.

Allein dieſe Aufloͤſungen, wie bie bes Daniel Bernoulli, ſtuͤßten
ſich auf 2 Vorausſetzungen, bie nicht allgemein wahr find, 1) Daß bie
verſchiedenen Schichten des flüffigen Körpers genau ihren Paralleliſmus
beibehalten, fo daß eine Schichte allezeit bie Stelle der vorhergehenden
wieder einnimmt, 2) Daß die Geſchwindigkeit jeder Schichte in der Di⸗
rektion Feine Veränderung erleidet d. h. daß alle Pumkte einer und berfels

ben Schichte, ald von gleicher Geſchwindigkeit und — un an⸗
BERDAIEN ſind.

Kaͤuft der fluͤſſige Körper In ſehr engen Gefaͤßen oder Roͤhren; —

ſind dieſe Vorausſetzungen ſehr gut, und feinen durch die Srlabrung
Yetätigt au werben. .

Auſſer dieſem Fall aber entfernen ſie fic ch von ber Wahrheit, und
es giebt aledenn Fein anderes Mittel, die Bewegung ber fluͤſſigen Körs

per zu befiimmen, als die zu unterfuchen, , die jedes Theilchen u
muß... |

. Sr.

‚
L

z—— - 483

Ar, Clairaut hatte in feiner Theorie ber Figur dee Erbe, bie im. ,
Jahr 1743 herauskam, bie allgemeinen Gefeße des Gleichgewichts der
flüfjigen Koͤrper beſtimmt, deren Theile insgefammt durch gewiſſe Kräfte " -
." getrieben werben. Man hat daher nur von biefen Gefeßen zu denen ber
Bewegung vermittelt des Grundſatzes überzugehen; auf ben Ar. _
D' Alembert zu gleicher Zeit die ganze Dynamik zurüchgeführt hatte,
Eben diefer that auch einige Jahre darnach dieſen wichtigen Schritt. bey Ges
legenheit des Preißes, den die Akademie zu Berlin tm Sahr 1756 über bie
Theorie des Widerftands der flüfjigen Körper gegeben hatte, und gab
zuerſt in feinem Eflai d’une nouvelle theorie fur la refillsnce des Huides
im Sahr 1752. mathematifch firenge und allgemeine Gleichungen über bie
Bewegung fowohl unpreßbarer als preßbarer und elaftifcher flüffiger Koͤr⸗
per, welche Gleichungen zu benen gehören, bie man partielle Differens
| tialgleihungen neumt, weil fie zwifchen den verfchledenen Theilen ber Difs
| ferentialien in Beziehung auf verfchlevene Veränderliche Größen ftatt finden. |
Durch diefe Entdeckung wurde die ganze Mechanik flüffiger Körper auf _
einen einzigen Punkt der Analyfis gebracht, und wären die fie enthaltens -
ben Gleichungen integrabel; fo Fönnte man in einem jeden Falle vollkom⸗
men bie Umſtaͤnde der Bewegung und Wuͤrkung eines durch gewiffe Rräffe
bewegten fläffigen Körpers beſtimmen; aber unglücklicyerweife ſind fie
dergeſtalt rebellifh, daß. man nur in fehr eingefchräntten Fällen bisher
30 feinem Zweck bat gelangen koͤnnen. | =
3 In dieſen Gleichungen und in ihrer Integration beſteht alſo die ganze
Theorie der Hydrodynamik. Anfangs bediente ſich Kr. D' Alemberg,
um ſie zu finden, einer etwas verwickelten Methode; darauf aber gab er
eine einfachere, Allein biefe Methode gründet ſich anf die den flüffigen
Körpern befonderd zufommenden Gefeße ded Gleichgewichts, und madht
daher aus der Hydrodynamik eine von der Dynamik ber feflen Körper ges
trennte Wiffenfcheft. - |

Wir haben aber Im erften Theile diefes Werks alle Gefege des
Gleichgewichts der Körper, fie mögen nun feft oder flüffig feyn, auf eine.
| Formel gebracht, bie Anddendung, bie wir don diefer Formel auf die Ges
_ _ feße der Bewegung zu machen haben, führt und natürlich darauf, bie
oz Prr2 0000 > Dyna⸗

—

484
Dynamit und — ebenfals nur als Branchen eines und reſel

ben allgemeinen Grundſatzes und als — einer ne Rene
anzuſehn.

Dies iſt der — der noch auszufuͤllen iſt, um dies Werk
aber die Mechanik zu vollenden, wenn es den angenommenen Titel mit
Recht führen fol. |

— Abfhnit
Don der Bersegung unpreßdarer ſtuͤſſigen an u,

2) »M* koͤnnte die Geſche— der Bewegung dieſer fluͤſſigen Maſſen fo⸗

gleich von denen ihres Gleichgewichts, ableiten, die wir im
nten Theile im 7ten Abſchnitte gefunden haben. Denn nach bem allges
meinen im zten Abfchnitte vorgetragenen Princip hat man nur zu den vor⸗
* bandenen befchleunigenden Kräften die neuen befchleunigenben Kräfte -

dx Ey dz
de’ de’ de’
bingeynabbiren ‚ beren Richtungen die Eoordiuaten x x, y, z find,

Da man nun in ben Formeln (7 Abſchn. 13.) alle befchleunigenbe
Kräfte des Fluidums ſchon auf 3, X, Y, Z nach der Direktion ber Coordi⸗
Raten x y, z gebracht fid) vorftellt; fo hat mau nur, wenn man biefe For⸗
meln auf 'die Vewegung eben dieſer fluͤſſi gen Koͤrper quwenden will, darin
ſtatt X, Y,Zz

0 dry . ne
Fe | en

F]
a de?
sr ’@ " . \
| * zZ d?z. F R t R . & :
ı R x u —— ” \ —
ee 1 |

zw fubftituiren. Aber ich halte ed dem Gegenftande bes gegenwärtigen

Werks fir angemefjener, die ip 4ten Abfchnitt für Die Bewegung irgend
- eines Syſtems von Körpern gegebene allgemeine Gleichungen. direkte auf

bie flüffigen Körper anzuwenden. ° Ar
— ) \

u ne he Te
Allgemeine Gleichungen für die Bewegung unpreßdarer Ahffiger Maffen.

3 F 2) Eine unpreßbare fluͤſſige Maſſe kann man ſich als aus einer. unende

lichen Menge von Theilchen zuſammengeſetzt vorſtellen, bie ſich frey unter⸗
einander bewegen, ohne am Volumen eine Veränderung zn erleiden. Die

Frage kommt alfo aufden Fall (Abſchn. 7. Art. 12.) hinams. =:

Es fen daher Dmn die Maſſe eines Theilchens ober irgend eined Ele⸗
mepts bes flüffigen Körpers; X, Y, Z die befhleunigenden Kräfte, bie
auf: bied Element wärken, und die man mehrerer Einfachheit wegen auf

. die Direktionen der rechtwinflichten Eoorbinaten gebracht hat; L= o bie

. von der Unpreßbarkeit oder Unveränberlichleit des Volumens von Dm
herkommende Bedingung; A eine unbeftinnmte Größe und S die Charakte⸗

riſtik der Integration in Beziehung auf die Eharakteriſtik D und In Bezie⸗

Ä hung auf bie ganze Maſſe des flüffigen Körpers; aldbenn hat man für
digudemwegung ved flüffigen Körpers folgende allgemeine Gleichung:
Äbſchn. 15. Art.) ——— — |

_ ax Fe
Er —
|

fe ve f Ppp 3 (dæe ⁊

⸗

—

1:7 — 1

. «€

| d!z x | | = |
(7 m 2) =) Dm + — * on
j : * — | = = a =

Man muß jegt in diefer Gleichung die MWerthe von Dim und dL fubs

filtutren, und nachdem man bie Differentialien ber Variationen, wenn ih⸗

ver vorhanden find, zum Verſchwinden gebracht hat, die Eoefflcienten ber -
anbeftimmmnten Variationen dx, dY, dz= 0 feßen,

Es zeige ferner die Charakteriſtik D die Differentialten in Beziehung .
anf die augenblickliche Lage der neben einander befindlichen Thetlcdhen an, .
während bem daß die Charalteriftif d fich allein auf bie Meräuderung ber
£age eben diefer Theilhen im Raume bezieht; alsbenn iſt Far, bag man

das Volumen bed Theilchens Dim durch das Parallelepipebum

in der Gleichung
ni enthalten fey, fo dag man hat: — = v

ib folghich

ausdruͤcken kanu. Nennt man daher A die. Dichtigkeit dieſes Theilchens;

DxDyDz

fo erhält man
Dm==4DxDyDaz. zZ

Aufferdem ſieht man leicht, bag die Bebingung ber Unpreßbarkeit

Dx DyDa —- Gonft. | >

L == DxDyDz — Conft,

$L— 4.(DxDyDe). €

Um nun biefe Differentialgröße gu beſtimmen, muß man biefelben
Betrachtungen ald (1 Th. 7 Abſchn. 14 Art.) wieder anftellen. Vers -
wandelt man alfo nur d in D in den Formeln an diefem Orte; fo erhält

man
8(D

— ..,.487

s(DaDyD)— | F —
ex > Dey Doz

Dx 7 Dy * 5)

. Multiplietet man dieſe Größe durch A und integrirt in Besichung

DxDyDz

anf tie ganze Maſſe des Fluidums; fo erhält man den Werth von

SA dL, worin man die doppelten Zeichen DE auf gleiche Art wegbringen

muß, als wir fon (7 Abfen. En 13.) gethan haben. Auf diefe Art

erhält man:
SıeaL==S (Al 8x — 41 1x) DyDz
4 S(ar ey! — Ay) DxDz
+ S(algzu—x 2’) DxDy |
DA DA: Da —
— 8 >= dx + nn De D.*) Dx Dy Da.

Verrichtet man baher dieſe Subftitutionen tm erften Gliede der alls
gemeinen Gleichung; fo wird diefe zuerſt ur ganze ——

enthalten

i’x —
(65 * ax— >.) —
d? y: y DA
ae ja: ra =n,)’Y +

d?z
A 7* a2), DRDybaı |
v
worin man die Coefficienten der Variationen ex, dy, 82, jeden =o
feßen muß, welches folgende 3 —— Seangen für alle Punkte.
der rö gen Maſſe geben wird:

⸗

A
u £ J— J

"
mE Mr ae ———— —— nn nn —

® |
l
488. — | — |
rd].
| Be, |
Gr ) Fa

BIC +) — a

Run hat man bie — ——
S (alt ax a Ex!) DyDz +.
S (al aydı — Akayl) DeDassai 2? os
S.(AH 24 — A800) DxDy i

wegzuſchaffen, ‚melde ſich nur auf die Auffere Obreläie des fläffie igen
Körperd beziehn, und man fchließt daraus, mie (7 Abfchn. 16.), daß
der Werth von A für alle Punkte der Oberfläche, wo der flüffige Körper
frey iſt, = o feyn müfe, und man erweißt ferner, wie (7 Abſchn. zo,
21.) , daß in Anfehung der Derter, wo ber flüffige Körper durch feſte
Wände cingefchlofien ift, bie Glieder der vorhergehenden Integralien ſich
gegenfeitig aufheben werben, ſo daß daraus gar Feine Gleichung erwaͤchſt,
‚und allgemein erweißt man durch ein Ähnliches Raifonnement ald (24, 25)r
daß die Größe A, die ſich auf die Oberfläche des flüffigen Körpers bezieht,
“hier den Druck ausbrüdt, ben der flüffige Körper darauf ausübt, und
ber, went er nit = 0 ift, durch die Nefiftenz oder Wirkung ber Wände
im: Gleichgewicht gehalten werden muß.

3) Die eben gefundenen Gleichungen enthalten fetglich die allgemei⸗
nen Gecce der Bewegung unpreßbarer fluͤſſiger Maſſen, mad hat aber
noch dam̃t die Gleichung ſelbſt zu verbinden, die von der Bedingung der
Unpreßbarkeit des Bolumens Dx Dy Di während dem daß ber fluͤſſige
‚Körper-fih bewegt, herkommt; diefe a iſt daher durch

d. BEREITET | —

⸗

aud⸗

ausgedruͤckt, fo daß, wenn man im oben“gefundenen Ausbdruck
4. (DxDyDz) |
d flatt 3 feßt, und-ihn = 0 ſetzt, man erhält
Ddx Day ' Ddz ee
— — -— — o .... (B).
Dee er)

-Diefe Gleichung nun, mit den 3 Gleichungen (A) des vorhergehen⸗

ben Artifeld verbunden, bient dazu, die 4 unbekannten Größen x, y,z

und A zu beſtimmen.

4) Um aber eine klare Idee von der Natur diefer Gleichungen zn

haben, hat man zu bebenfen, daß bie veränderlichen Größen x, y, z, die
bie Sage eines Thellchens in einem gewiffen Augeublicke beftimmen, zus
gleich ſich auf alle Theilchen, bie bie flüffige Maffe ausmachen, beziehen‘;
fie muͤſſen daher Funktionen der Zeit t und Werthe feyn, die eben diefe

veränderlihen Gröpen im Anfang der Bewegung, ober In einem gegebes

nen Augenblicke gehabt haben. Nennt man daher a, b, c die Werthe Yon

x, y,z, wennt= 0; fo müffen die volllommenen Werthe vonx,y,z. -

Funktionen von a, b, c, t feyn. Auf diefe Art werben die Differentialien,
die das Zeichen D vor ſich haben, ſich allein auf die Veränderlihleit von
a, b, c und diejenigen, bie das andere Zeichen d vor ſich haben, ſich allein
auf die Weränderlichkelt von t beziehn. Da aber in den gefundenen Glei⸗

. Hungen Differentialien vorkommen , die fi) auf die veränderlihen Größen

x, y, 2 felbft beziehn; fo muß man um der Einfoͤrmigkeit willen, diefe .

in Differentialien in Beziehung auf a, b, c verwandlen, welches allezeit
möglich ifl. Denn man hat nur anzunehmen, man habe in den Fuuk⸗
tionen vor der Differentiation die Werthe von x, y, z felbft in a,b, c
fubftituirt. —

5) Sieht man daher die veränderlichen Größen x, y, z als Funktio⸗
nen von a, b, c,t an, und druͤckt die Differentialien wie bey ben partiellen

Differentialien gewoͤhnlich, aus; fo erhält man: -

Da Dx

e
(RER UST ERETEDE

490

—
dx dx dx
— __d er — de,:
>: da =. Te = de E
dy dy . dy
..Dy sr er de
dz dz dz
a — — 4 *
De 4 Tee au , | J

und betrachtet man bie Funktion A als eine Funktion von x, y> z und von
3,b,c; fo hat man ;

| DA Di Di_-
L — - ———
D — Dx a7 re
di di da £
re

biefe beiden Ausdruͤckungen von DA fubfiituire man fr ber erſtern der
Werthe von Dx, Dy. Dz in da, db, de; alsdenn mäffen, da fie identiſch
ſeyn müffen ,. die Coefficienten von da, db, dc auf beiden Seiten gleidy feyn,
welches 3 Gleichungen giebt, die zur Beftinmung ber Werthe von
Dı Da Dia da da da
"Dx’ Dy’ Da’ da’ db’ de
dienen werben; eben bied wird ber Fall feyn, wen man im aten Aus⸗
drude von DA die Werthe von da, db, dc in Dx, Dy, Dz fubfiituirt, die
man aus 'den Ausdruͤcken diefer letztern Größen gezogen hat. Alstenn
gicht die. Vergleihung ber Glieder, worin Dx, Dy, Dz vorkommt, fos

DA ;
gleich die Werthe von — ete. Nach den gewoͤhnlichen Regeln der Eli⸗
mination aber hat man | Be
«Dex + «Dy + »"Dz- _ ee

da == —
I

—

7 .

de ==

wenn man feßt -

yDx +. yDy + y'Dz

> pi 9Da+ BDy r "De
| — 5 —

_.dy dz dy dz
“db de de’db”’
„__ 4x dz dx da

de’ db db’de
ud Ay

u — — — — 5

—db’de dc’db’
R de da - da ’de’

dx dz dx dz
—.. — — 7·. 73

da de de da
FOR.

de da da dc

__dy .dz dy: dz
db’ de

„.dx dz dx dz

— — . rn
van da de

: ee dx dy
‘da b dd da
QDgq2

>
Ne!
[2

Ds
nn -

Oo,

[21

a \

I — 1 TE 1 — —
dx dy .dz
ET Tr
dx dy dz .
db de’dae
dx d dz i ö
nn *
| dx dy dz.
de’ dad
da dc db | |
Verrichtet man daher bieſe Subflitutionen in dem Ausbruck
J Tau db r ode |
und vergleicht ihn mit dem identiſchen Ausdruck |
ſo erhält man
Di’ adı ' god y da
Ds sur: db a
pr era Bd
Dy sus" de

oo 0 0 00 00 — 493°

Di _«" da gu da Yu da |

DD rat svntTs it
Süuübſtituirt man nun. biefe Werthe in ben 3 Gleichungen (A):
@); fo erhalten fie, .. man fie mit % En: bat folgenbe
Bon

‚a "ua .
$& X RE I. nun Se
a Er ner ze

Pi dc
! ‚dar ‚a..%°
er u u. zum 6

—
JA * . iR ER — * a __ J
dt? ° da db de ]
wo nur partielle Differentialten in Beziehung auf s, b, c, t vorkommen. i |

In diefen Gleichungen iſt die Größe A, welche Dichtigkeit andentet,
eine gegebene Funktion von ⸗, b, c ohne t, indem fie für jedes Theilchen
unveränderlich bleiben muß; und iſt dag Fluldum homogen; fo ift A eine
beftänbige unabhängige Größe von a, b,c,t. Die Größen X, Y, Z aber,
die die befchleunigenden Kräfte vorſtellen, werden ſehr oft in Rene
von x, Y„2, t gegeben fun.

6) Webrigensd kann man bie vorhergehenden — auf eine
. ‚einfachere Form bringen, wenn man fie zu einander addirt, nach dem man
fie reſpektiv, und nad und nad) durch

dx ‘dy dz

a5: da da’
2

dx dy dz
. db’ dh” db’

Q2gq3 dx

i ; dx dy ..dz u | *

en, — , de — at
de de de | I

Bu bat; denn nad) ben oben geben Ausdruͤcken von I, * 8,
9 ab, B', eto. fieht man leicht daß

dx dy. dz
— u — —
— — da = da !
dx -dy dz
— B — NM.
ß 3, ß b + ß 7
x d z .
"— — ER u__
7 de ur wu q > 9 Er
und daß
4x d d
B= une EB en,
dx dy dz
— J— J—————
y er Ts 3; — 0,
dx y ,dz... R
al — — —
Ta 7° 9%

u. ſ. f. | |
| Durch diefe Reduktionen und durch dieſes Verfahren erhält man

€

dann

Te 2 — ne

| x ..\ dy

or & —
— N) (5; Fe ) bi

en | 2 dzN —
“7

ch)

7) Auf eine ähnliche Art verwandelt man die Gleichung (B) C)
und “5 nad) dem, was ich. (4) angemerkt habe, die Differentialten dx,
dy, dz ſich nur auf die veränderlihe Größe t —— ſo kann man ſie
fogleich auf die partiellen —— |
dx d’y

—— dt, dt, mir ’ .,

bringen, fo daß bie geſuchte Steigung mit de dividirt don A:
Form ift:

zur dee er Ay .dz

mtr Dr. Dr

Di DA
Aus den oben gefundenen Formeln für die Werte von Kr Dy” etc...

2 0. aber

496 ° DC —

}
aber man auf en die - wenn man =, = -—, etc, ſtatt A fubs
ſtituirt. nn |
———
12 FE J —
dt dt 3
Dx — da. *
dx | Ä
*268 — IB = Ar
a
dx
F d. ri

I. dc

und da im 2ten Gliede diefer Gleihung He Größe x ale eine Funktion
von. a, b, c, t angefehn wird; fo erhält man.

dx he —
dd _ @x |
aa u vers

und eben fo iſt es auch mit den andern partiellen Diet von x,

fo daß man auf eine einfae Art er
dx
D. ——
"dt! «a dx 8 dx y d?x

Ss 7’ Dat ud
Aehnliche Ausdruͤcke findet man fuͤr die ng von

dy - dz

er “ 5 dt
—Iy * dz

und

| — 497
und man hat. da nur in ber — Formel x in und ⁊ zu vers
wanblen.

Verrichtet man baber dieſe Subtitationen in der obigen Saga:
fo wird fie, wenn man ben geimesfchaftlichen Nenner I wegſchaft |

; d?x
Ferner A.
0, diy ‚a

— 5* —— —— nn
d?z ; d’z 7 d?z

Den — Se nun
a re ra a Te Ta re Te

Das erfte Glied biefer Gleichung iſt nichts anders als der Werth
d
von — wovon man ſich leicht durch die ai Diffesentlatfon ded Wertho

| won I (5) überzeugen kaun. |
Die Gleichung wisd alſo auf dieſe Art
d9

ut u OÖ,

- bavon das Integrafe iſt — fund. (u, b, c). Wir wollen in diefer Gleis
dung t—= 0 feßen, und ed ſey K alsdenn der Werth der Größe I; fo
bat man K= a. (e, b, ©) und folglich wirb die Gleichung feyu I =K,

| Bir haben aber angenommen, daß, wenn t= 0, man hat x =;
y- b z=c; alödann hat man auch F

dx dx | ö dx 2
put — — — 0,
en Se

i
0
- ?
”
+ ’
’ x r
R

und fubflitufet man dieſe Werthe in den Ausbruch don 3 —2 fo bar
man — = 1, folglich K= 1.

Setzt man daher für 9 deſſen Werk; * die geſuchte su
von folgender Form ſeyn

dx dy dz dx ay de

da” db de db’ da de *. =
dx dy de dx dy dz

db’ de’. da de" db’ dat

dx dy de dx dy dz |

— a db da’ de Butuld

Diefe Gleichung verbunden mit den 3 Gleichungen (Cy’ oder (Dy
(5, 6) bienen zur — der — von A, %, y, 2 in Sunftionen

von a, b, c, St,

8) Da biefe Steigungen in partiellen — beſtehn; ſo
werden nothwendig durch die Integration verſchiedene willkuͤhrliche Funk⸗
tionen darin eingeführt. und die Beſtimmung dieſer Funktionen Tann zum
Theil aus bem anfänglichen Zuſtande bes Fluidums hergeleitet werben,-
welcher ald gegeben angenommen werben muß, und zum Theil: ans ber
Betrachtung ber Auffern Flache des Flnidums, die ebenfals gegeben. iſt,
wenn das Fluidum in ein Gefäß eingeſchloſſen iſt, und die durch die Gleis
hung A= 0 audgebrädt werben muß, wenn ed frei ift (2). Denn
ftellt im erftern Falle A = o die Gleichung für die Wände des Gefaͤßes

vor, wo A eine En Funktion ber Coordinaten x, ” 2 biefer Wände
ö iſt,

“ \
T i)
» \
2 ı
r

* *
*
— * 1 .
Eu) * en

- if, und man 'fegt darin für dieſe veraͤnderlichen Geoͤßen ihre Werthe in
| , b, e, tz fo erhält man eine Gleichung zwiſchen ben anfaͤnghichen Coordi⸗
naten a, b, e und der Zeit t, welche folglich die Flaͤche vorſtelen wird, bie
biefelben Theilchen im anfänglihem Zuftande bildeten, welche nach ber
Zeit die Fläche bilden, bie Die gegebene Gleichung A = 0 vorftell. Will
man alfo, daß die Theilchen, bie ſich einmal auf der Oberflaͤche befinden,
auch allezeit darauf bleiben, welche Bedingung notwendig flatt finden zu - .
muͤſſen ſcheint, wenn fi das Fluidum nicht thellen foll, and die man
baher allgemein in ber ‚Theorie ber flüffigen Maffen annimmt; fo muß
bie gefuchte Gleichung die Zeit t nicht enthalten, und folglich muß bie Funk⸗
tion A von x, y,z fo befchaffen feyn, daß t darin nad der Subftitution
der Werthe von x, y, zina, b, c, t verſchwindet.

Aus den nämlihen Grunde kann die Gleihung A= 0 ber freien
Fläche, kein t enthalten; dev Werth von A muß daher eine einfache Funk⸗
tion Yon a, b, c ohne t ſeyn. —

Uebrigens giebt es Faͤlle bey der Bewegung eines fluͤſſigen Koͤrpers,

bder aus einem Gefaͤße herausfaͤllt, wo die eben genannte Bedingung nicht

ſtatt finden Fannz die Beſtimmungen alſo, bie aus dieſer Bedingung
herflieſſen, find nicht wihwrudig. — —

9) Dies find bie Gleichungen, wodurch man direfse ote Bewegung
irgend eines unprefbaren fluͤſſigen Koͤrpers beſtiumen kann. Dieſe Gleis
chungen aber haben eine etwas verwickelte Form, allein man kann ſie auf
eine einfachere bringen, wenn man ſtatt der Soordinaten x, y, z, die Ges

fhwindigleiten : |
_ u dx dy . de
| K&’ de’ do

in der Direktion der Coordinaten als unbelannt annimmt ‚, und dieſe Ge
ſchwindigkeiten ald Funktionen von x, y, z, t anſieht. Ä

Denn auf ber einen Seite ift Har ‚ daß weil x, y, z Funktionen von
a, b,c,t find, bie Ordßen

Rrr 2 — N Er dx

de’ de’ de BE Dre Ze,

ebenfals Funktionen dleſer veränderlichen Größen a, b, c, t find. | Sabflis
tuirt man daher in diefen Funktionen die Werthe von s, b, cin z, y, =

= die man aus denen von x, y, z in a,b, c gezogen hats fo hat man

dx . dy .dz.
de der de oo J |

in Funktionen von x, ysz und t ausgedruͤckt. Auf der andern Seite ifk
"Par, daß, um die augenblidliche Bewegung des flüffigen Körpers zu er⸗
ennen, man nur die Bewegung irgend eines Theilchens jeden Angenblich
zu Eennen braucht, das einen gegebenen Ort Im Raume einnimmt, ohne
daß inan die vorhergehenden Zuftände dieſes Theilchens zu wiſſen nötkig
hat: Es if alfa hinlänglich bie Werthe ber. GSeſchwindigkeiten

dx | d y dz : i !
— | dt ’ dt. de Ä we ey

in Funktionen von x, y, 2, t zu haben. zZ ”

bie Gleichungen
dx = pat, dy — qdt, dz = rde
zwiſchen x, y, 2, t, welche, nachdem man fie dergeſtalt Integriert bat, daß
and x,y, 2; wenn t ==. a,b, c wird, die Werthe von x, y, z felbft in
8, b, c, t geben werben. Schafft man übrigens dt aus biefen Differens.
tialgleichungen weg; fo erhält. man biefe | u
qdy = gdx, pdz — rdr,

welche die Natur der verfähiedenen krummen Linien ausdruͤcken, in benew
das ganze Fluidnm ſich jeden Augenblick bewegt, melche jeden Augenblick
eine Veraͤnderung in Anſehung des Orts und der Form erleiden.

Nennt man übrigend biefe befaunten Werthe pi gr; fo erhält MAR

109) Wir wollen daher die Fundamentalgleichungen (A) and (BJ
wieber vornehmen (2) (3) und darin bie verämberlichen Größen

p>=

—

ec m — 7.505

dx u Ay — dz
= e de ’ ad dt

welche ald Funktionen von x, y, z, t anzufehn find ' dnfien
Es iſt Har, daß die Groͤßen
“x dey . d’z
folgende Form erhalten können Fa Ze

dx dy dz
d. = an de
de ” de ° de ° "

wo bie Größen
dx dy dz
Bez De
PT de?’ de
als Funktionen von a, b, St anzuſehn find.

Steht mar fie alſo fe an; fo erhälst man ad bie ——— a

ſerenz von ri | |
d. — | PR | m —
dt — dt — "db: u u
dt ae ee Fe

und eben fo verhält es fich mit den andern; betrachtet ınan fie aber ala
Funktionen Son x, y, z, t und bezeichnet fie dung p 4.73 J werden ui
vollfominenen Differentiatien > | Ze

dp dp dp

— — — rg Pa

rich fh 7. dx 4 Tiyr I, z

: sb eben fo mit ben übrigen, ' |
Rz Segt

so . — m ©

. Segt man daher in diefen letztern Ausbruͤckungen ſtatt dx, dy, de
ihre Werthe in», b,c,t; fo muͤſſen fie mit den erfiern identiſch werden;
da man aber x als eine Funktion Yon e, b, c, t anfieht; fo hat man

dx dx Es dx dx
dx— den dar —db des

wo = offenbar =p tft, wenn man annimmt, daß man in P bie Werthe

von b, e, t ſetzt. Man hat alſo | | Ä ————
dx

da dat =

dx = pdt +

und eben ſo auch
0... dy

dy = qgdt + FR da + etc.

dz rd + —dar em.
da

}
ı

Subftitutrt man, biefe Werthe in dem Ausdruck des vollkommnen
dx

Differentials von = 5 ſo werben bie Glieder, worin dt vorkommt, ſeyn

dp dp de ._ den,
(x Fax “ yır da )

welche mit, dem correfponbirenben Gliede |

dx az — —

dt dx
— dt oder RN: Ta dt
identiſch ſeyn muͤſſen. Es iſt daher

d?2xr

| "0983
d’iz dp 4 dd
Er Du Te Zr Page 5 = a
amd man findet. anf — Art
d’y — „33.
ds nur drıg ee
d?z dr dr *” - dr Äär,

de LTR Ta Zur

Man verrihte Daher biefe Subflitationen in den Grddungen CAJz
and ba. in eben biefen. Gleichungen bie. Glieder -
Di Di. Di
Dx' Dy’ Dz
| partielle Differentialien von & fir Aunſehung der x, y; 2, wennt= Conft,,
- ausbräden;: fo kann man darin bie Charakteriſtik D in d verwandlen.

Dadurch * man folgende — 2
ni REN EEE. BEER:
.(} BEE Er Eee X); —

: —

rg , „da. ,de-: dg we Bi |

(4,3: Innen) 5* G

rd. „de de dr N_aLı
(rat ar) onm j.

F Was nun die Gleichung (B) 3) betrifft, fo hat fhän darin tut flatt
dx, Ay, da ihre Wenthe pdt;.gde, rer zu fehen,: und man erhält
wenn man bie Charakteriſtik D in d verwandeit, da det == Oonſt. iſt,
d d d | Ä
2 + J „0. —J — — F

1 71; un * Man

304 = | an |
Man ſieht, daß biefe Gleichungen weit einfacher find als bie (C)

ober (D) und (E), denen fre entfpredyen; man kann fie daher mit Vor⸗
theil vor den andern bey ber Theorie der flüffigen Maffen anwenden,

ır) Bey homogenen Flüfft gkeiten von immer gleicher Dichtigkeit iſt
bie Größe A, bie die Dichtigkeit ausdruͤckt, völlig beſtaͤndigz das ift der
gemwöhnlichfie Fall, und der einzige, den wir in ber Folge betrachten
wollen.

Bey heterogenen * gleiten aber muß Biefe Größe eine befländige
Funktion in Anſehung ber Zeit t für einerlel Theilchen ſeyn, aber fie muß
eine veraͤnderliche Funktion nad) einem r gegebenen Geſetze von einem Theil⸗
chen zum andern ſeyn.

Betrachtet man daher die fluͤſſge Maſſe in igeem anfönofiden Zus
ftande, mo die Goordinaten x, y, z mit a, b, c zufammenfallen; fo wird
die Größe A eine gegebene und bekannte Funktion von », b, c ohne t, ſeyn;
folglich muß das Glied, worin dt vorkommt, in dem vollfemmenen Difs
erential von A, als eine. Funktion von a, b, c, t angefehn == 0. fepn.
Man findet Er durch ein ähnliches. Reifonnement als (10), um ben

Werth von — Freu finden, dag / wenn man A als eine Funktion bon
x, y, Zt anfieht, das geſachte Glied alfo ausgedruͤct wird:
da da da dA...
— ee 4 — ) ar
Man hat alſo die Gleichmng nn
da da .da
; de m P F. +9 d., |
Die u bienen wird/ die — — A in br Oleichengen e zu
beſtimmen, inbem man darin A als eine Funktion von x, y, 2, t betrachtet.

In dieſer Hinficht find fie mit weniger Vortheil zu gebraudjen, als |
die —— (C) oder D), in benen man A, als eine. befaunte Funk⸗
tion von a, b, c auſehen kann.

450...

12)

— 0.595

12) Was wir eben in Anfehung der Zunftion A gefagt haben, mug

man auch auf bie Funktion A anwenden, inſofern A = o bie Gleichung .
für die Wände des Gefaͤßes if. Denn die Bedingung, baß biefelben
Theilchen immer an ber Oberfläche bleiben, erfordert, wie wir (8) gefehn
haben, daß A eine Funktion .von a, b, c ohne ⁊ werde, fo va, wenn
man biefe Größe als eine Funktion von x, y,z, t anfieht, man die Gleis
Yung hat; u = zZ

dA dA RT SE —
DOREEN BERNARD EN

Fuͤr bie Theile der Oberfläde, wo bie fläffige Maſſe frey iſt, hat
man die Gleichung A= 0.(2). Man muß alfa, um.eben dieſer Bedin⸗
gung ein Sinüge zu thun, haben |
di dA di al 8)
art, tr 17 De ..

| 13) Dies find die allgemeinſten und einfachften Formeln zur rigurens

fen Beftimmung der Bewegung ver flüffigen Köeper. Die Schwierigkeit,
die nun noch übrig iſt, befteht alfa blos in ihrer Integration ,. allein dieſe
tft auch fo groß, daß man his jegt genöthigt iſt, auch bey den einfachſten
. Aufgaben. fi befonderer mehr oder weniger auf Hypothefen und Bedin⸗
gungen gegründeten Methoden zu bedienen. Um nun diefe Schwierigkeit
foviel als möglich zu verringern, wollen wir jeßt unterfücdhen, wie und in
welchen Faͤllen biete Formelu noch vereinfacht werben Eönnen, und eine :
Anwendung davon wollen wir hernach auf: einige Aufgaben über bie Des
wegung der fläffigen Maſſen in Gefäßen oder Röhren machen.

14) :Micitb aber iſt hier leichter als ber Gleichnag (G) (to) genug
zu thun, denn feßt man. DE a Re

de dB,
— 1— 77 |

2
oo ® A
.

506 | —

fo wird ſie ———
—— d?« dB ‘de

> Bde ide de
welche in Beziehung auf z integrabel iſt and
da : ds

giebt.

Wegen ben unbeftimmten Größen «und 8 iſt es nicht noͤthig hier
eine willkuͤhrliche Funktion hinzuzuaddiren. Der genaunten Gleichung
wird alfo durch folgende Werthe ein Geruͤge gethan —

2
—
—
1— 77 —
[ld
dx dy

Subflituirt man biefe nun in den 3 Gleichungen (F) (10); fo bat
man nur noch 3 unbekannte Größen a, A und A und es wird fehr leicht
ſeyn, felbft A durch partielle Differentialien wegzufcheffen. Iſt alſo bie

Dichtigkeit A beſtaͤndig; fo wird die Aufgabe auf 2 einzige Gleichungen
zwiſchen Den, unbelannten Größen a und A gebracht, und iſt A veränders
iüich; fo mäßte man damit die Gleichung H (ir) verbinden, Allein die
Integration biefer Gleichnugen geht über bie Kräfte der bekannten Yyalyfe,

15) Wir wollen daher fehn, ob bie Gleichungen (F) an und für
frch betrachtet nicht einiger Vereinfachung fähig find, er i
Betrachtet man in ber Funktion A nur die Veraͤnderlichkeit von =
3,2; fo hat man —

—

da:

— 200307
| da,-44 da,
ba Tr TA + 7, = x
da dı .da
dx’ dy’ dz En
ihre aus biefen Gleichungen gezogene Werthe; fo erhält man. &
dp — er |

Subftituirt man baher ſtatt —

dp dp
a=(zren+e

mr dq dq N
aa ar |

(z dr dr
ze * u Pa” 3

2 bas erſte Glied dieſer Sleichnn⸗ ein vollkommenes Differential
if, fo muß das 2te ehenfald eins in Auſehung ber Größen x, y, z jene,
unb ber daraus „gezogene Werth won A wird allen 3 Gleichungen (F). zus

= gleich genug thun.

Wir wollen jegt a; das Fluldum (ep Kanonen; ſo Haß die
Dichtigkeit A beftändig ſey, und fie ſey um mehrerer Einfachheit willen = 1.

_ Ferner ſeyen bie befchleunigenden Kräfte X, Y,-Z fo beſchaffen, dag
bie — | . |
Se Xdx Ydy on Zdz

ein vollkommenes Differential fey. Dieſe Bedingung iſt nothwentig
damit die fluͤſſige Maſſe durch dieſe Kraͤfte im Gleichgewichte bleibe, wie

wir (7 Abſchn 17.) geſehn haben. Sie findet aufferdem immer ſtatt,
wenn biefe Kraͤfte von einer ober mehrern gewiſſen Funktionen der Diſtan⸗
zen von ben Mittelpunften — Anziehungen herkommen, wel⸗

— —

ches in der Natur der Fall iſt. Denn nennt man P,Q,R, etc, die Ans -

giehungen und p. gr bie Diftanzen; fo hat man allgemein ;
StH2 Xdx

[

j
Xdx + Ydy 4 Zi — Rap ada + Rdr + ew.
(i Th. x Abſchn. 5. Jä. u >

| Sat WERNE: ne
nd. — J
Xdx + Yıy- + Ziz = Pdp -ı + Qdgq + Rdr + —
ſo wird aus der — Gleichung

| " dp

; ‚ wo bas zweite Glied dieſer Sigg ein — for
| muß, weil Das enflere eins iſt.

Diefe Gleichung tft alſo mit beiten (F (10) einerley.
Betrachtet man daher das Differential von
Prote
——

in ie auf x, y, 2; fo iſt nicht ſchwer einzufchn, daß man 1 dan
sten Gliede der geſuchten Gleichung biefa Form geben Tann:

d. a
HE * —

[3 = F
— (dp
j ®

‘

\
2
309
4— 1 *
x \

Ä 3 J N) (air pi 2 +

rd EN
(& wu 5 nr 5 |

d
I — 5) ctay — — nn

‚dz

md man fieht ſogleich, daß biefe Erspe ein vollonmenes Differential

jederzeit feyn wird, wenn ed
pdx + gdy -r ırdz ° Ba ——

iſt, denn alsdenn iſt das Differenttal der letiern in Vezug auf t 2 uiid |

d -d
Wa— * — — da

— *

| & ebenfatß, und es geben bie befamıten Bertgmgen der Integrabilitaͤt

dp. dd: __ — a —
u Ta
“dp dr r
pm — ——
dz dx ei. Ä en
dg "de AS Fe Bi =
— — ⸗- Gi u —
dz dy

| Hieraus folgt, bog man ber Gleichung 8 durch die einfache Vor⸗
anöfegung, 1 |
—— pdx «x qdy + rdz

ein dollkommenes Differential fen, genug than — wedarch der Kalkul
der ar ber flüfligen Maſſe ſebr vereinfacht wird.

‚ses | | 3

510 J —
Da dies aber nur eine beſondere Vorausſctzung iſt; fo muß man vor
allen Dingen unterſuchen, in welchen Faͤllen ſie ſtatt haben kann und muß.

17) Es ſey Kuͤrze halber

ds de a
oo o—— u m (ei.
dy , dx \
2 —
— J de P
gu — dm m
B dz dx
dq dr \ .
a
und man hat nur "bie Groͤße
de

dq de, -
| dx dyr Tea
“algde-pdy)r —

ß (rdx — pdz) +; ..

'y (rdy— gdz)
zu einem vollkommenen Differential zu machen. Wir wöllen jege anneh⸗
men, bie veraͤnderliche Größe x habe einen ſehr geringen Werth, alsdenn
kaun man den Groͤßen p, q, T folgende Formen In Reiben geben:

Part en

q — g! + g”t + gi? + glg + etc.,

erbeten ec, 0°...
wo die Größen pl, p%, p! etc; qiglı gi, ete., ll, il, ete.
Funktion: von x, y, z ohne t ſeyn werden. = — sende ı

ze man dieſe Werthe in den 3 Größen =, 3,7; fo wer⸗

=>.

& mn +

— | 511
ea at witz + et
"B—ep + Pi pl a Bun etc.
= rt rt HdR MR ete.

wenn man .
a! — dp‘ — gg
.“ .dy dx '
a al mm dp" — de“
y dz
etc.
dp’ dr’
Vu m =
R Se dz B x 9’ R
dp! dr’
Wi En ul
e z dx
dp’“ dr’
4 — u —
——— dx ’
etc.
| mm dq’ drf
7 dz — dy ”
" etc,
fegt.
- Durch biefe verfchlebenen Subflitationen, un wenn man n Die Gucder

nad) den Potenzen von t orbnet, wird die Groͤße
dp

—

512 —

— + = dy + ‚ge dz
- de Ta
& (gdx — — —
B (rdx — ‚pdz) +
y(rdy — qdz) >
fi in folgende verwandeln
pudx + qudy Kıtdze

Aldi pl) —

B'Arde —pdz) +

ledy — gide) nr
t (2 (p“dx »% auay * on *
a! (gidx — pudy) + |
pl (ilidx — pldz) rn «©. e -
y (dtdy — g!dz) —
a" (gidx — pdy)r

. gl (v!dx — p/dz)

yU (edy — q’dz)) *

eo (3 (pllidx + qilidy % —8 4
Cqudx — plidy) +

4⸗ (vudx — pWidz) +
yi (re dy $ gi dz) +

all (qudx — p’dy) a
a (vidx — pldz) m

‘

“

gl Celdy. — q"dz) +
«li Caldx — - p'dy) 40
gli Keldx — - p/dz)) +
— ‚(äy - — ydz)) +

etc.

s13

e mb ba dieſe Größe ein lei Diferenllal unabhängig e vom Werthe
von t ſeyn muß; fo muͤſſen auch die Größen, womit die Potenzen von e -
multipliciet ſind, jede insbeſondere ein vollkommenes Differentiai ſeyn.

Dies vorausgeſetzt, wollen wir annehmen
p'dx »+ gdy n rldz

fen ein volllommenes — Alsdenn u den Sehne Ci

fügen.
dp! ‚I.
dy — "dx ’.
dp* da?
dz —— dx
dt dr
WEITER,

folglich a—0, Bo, =

unb die erftere Größe, bie ein vollkommenes Differential feyn ‚ders

wandelt ſich in
pudx qudy sm rlldz -

und man hat Folglich dieſe Bebingungegleiäungen

1
—F

Aus der aten Groͤße, bie An: vollommenes — ſeyn wuß

wird d alebenn |
ar 1

—

2 Cote

ehe

514 —

2 epdx + quidy —— rd):
und ed erwachſen daraus bie neuen Gleichungen

u a: 0, BU — 0, yırı = 0. .

. Die zte Größe, die ein vollkommenes Differential feyn muß, wird
daher feyn
3 (pd x ++- quudy — —R
woraus man anf gleiche Art die Gleichungen

Auuu4 o, Bll=e, Yıl=o

Iſt alfe
p/dx + q/dy »u. r’das
ein vollkommenes Differential; fo muͤſſen auch
p“ dx 4 —* dy > rt dz, | | |
piidx u gtdy og el dz,; . =
ps dx + giudy + stuidz, |
etc. |
vollkommene Differentiale feyn.
Die ganze Größe
pdx + qdy «+ rdz
wird alfo in dieſem Falle ein vollkommenes Differential feyn, wenn man .
die Zeit t als ſehr Flein anntınmt.
17) Hieraus folgt, Daß, wenn bie ar
pdx + qgdy + rdz

ein vollkommenes Differential iſt, wenn —E o, ſie es — N |
wenn t irgend einen fehr Fleinen Werth hat; woraus man allgemein
ſchließen Bann, daß diefe mer allezeit tin vollkommenes Differential ſeyn

muß,

⸗

— . | 515

| uf ‚ wie aud) ber ‚Werth von e befigaffen feyn mag. Denn weil fie es

von == 0 bis t —9 feyn muß (mo F irgend eine fehr Kleine Größe tft);
fo muß fie auch ein vollkommenes Differential von !— o bie ! ==
feyn, wenn man flatt t überall I + r/ fubftituirt, wie man auf gleiche
Art benetfen ann; fie wird es folglich auch von t — o bist 2}.

ſeyn u. fh —

Da nun der Anfang von.t willküͤhelich iſt, und mant ſowohl of

als negativ annehmen kann; fo folgt, — wenn bie Größe

pdz + gdy F rd

in irgend einem Augenblicke ein vollkominenes .Differentiꝛ if; fe es u
in ben andern Augenblicken ſeyn wird. |

Iſt ‚folglich ein einziger Augenblick, ‚worin fie Kein vollfommenes
Differential iſt; fo kann ‚fie es aud während ber ganzen Bewegung nie
ſeyn, ‚benn wäre fie es In irgend einem andern — ſo —

es auch im erſten Augenblicke ſeyn.

18) Faͤngt die Bewegung von der Rue. anz .fo bat man
p=o 9* 0, =,
wenn t= %

pdx »r qdy + rdz wird alfo für tieſen Augenblick integrabel feon,
und folglich wird fie es en IR ber ganzen Dauer ber Bewe⸗

gung fen.

Sind aber gewiſſe Geſchwiadigkeiten der Alöffigen Maſſe vom Ans |

fange an eingebrüdt; fo hängt alles von ber Natur dieſer RN

Feiten ab, je nachdem die Größe
pdx -+ qdy -+ rdz

integrabel iſt oder nicht. Im erftern Falle if biefe Grote

pdx qdy :+ ıda
alezet BONN: im 2ten niemals,

Ttt ⸗ * Wer⸗

516 RR — , ⸗

erden bie anfänglichen Geſchwindigkeiten durch einen Stoß anf
die Dberfläche des flüffigen Körpers, wie durch bie Würkung eines Stem⸗
pels hervorgebracht; fo kann man. erweifen, daß pdx + qdy + rdz
im erften Augenblide integrabel feyn muß. Denn bie Gefdyoinbigkeiten
p. 4, r, bie jeder Punkt der flüffigen Maſſe durch den’ Ber Oberfläche er⸗
theilten Stoß erhält, muͤſſen fo beſchaffen ſeyn, daß, wenn man biefe
Geſchwindigkeiten aufhöbe, und zugleich jedem Punkte des flüffigen Körs
pers gleiche Geſchwindigkeiten im entgegengefeßten Sinne eindruͤckte, bie
ganze Maſſe des flüffigen Körpers in Ruhe ober tm Gleichgewichte bliebe.
Es muß alfo bey diefer Maffe ein Gleichgewicht flatt finden wegen des
an der Oberfläche angebrachten Stoßes und der Geſchwindigkeiten oder
Kröften-an jebem ihrer Innern Punkte. . Nach dem allgemeirien Gefeße
des Gleichgewichts der flüffigen Körper (1 Th. 7 Abſchn. 37.) muͤſſen
alfo die Größen p, q. r fo befihaffen feyn, daß pdx - qdy -+ rdz
ein vollkommenes Differential if. In diefem Falle muß alfo biefelbe
Größe allzeit bey jedem Augenblick der Bewegung ein bollfommenes Difs
ferential feyn. |

19) Man koͤnnte vielleiht daran zweifeln, .ob ed au bey einem

fluͤſſigen Körper Bewegungen geben koͤnne, für die
pdx + qdy "+ rdz
kein vollkommenes Differential iſt. |
Um biefen Zweifel durch ein fehr einfaches Wepfpiel zu heben, hat
man nur ben Fall zu betrachten, worin
p==gy- q — — 8X, 0,
wäre, wo g eine gewiffe beftändige Größe ift.
Man ficht fogleih, daß in diefem Falle
pdx 7 qdy rn rdz |
fein vollkommenes Differential iſt, denn dieſe Größe wird hier -
g (ydx — xdy) | | F
welche nicht integrabel iſt.

—2

Indeſ⸗

davon das Sutegral giebt

J J I — — 0 sır
Indeſſen wird die Gleichung (L) (192 an nnd für rs integrabel
feyu; deun man erhält

dp a dq
dy

und alle andere partielle Differentiatien von p und q werden = = 0 ſeyn /

dx a

ſo dag die gefuchte Gleichung ſeyn wird

a-dV——g (adi + ir)

AV Eye fund et t

welcher Werth den 3 Gleichungen (F) (10) genugthun 7—— Was
aber die Gleichung (G) (10) anbetrifft; ſo wird fie u va Pe /

weil die angenommenen Werthe geben

⸗

dp dq _. Z=e.
ra al

Uebrigens ift offenbar, daß biefe Werthe von p. q, r bie Bervegung
eines flüffigen Körpers vorftellen, der ſich um bie fefte Achſe der Coordi—
naten z mit einer befländigen und g gleichen angulairen Geſchwindigkeit
bewegt, und man weiß, daß eine ähnliche Bewegung bey einem Fluido
jeberzett-ftatt finden ann. Hieraus laͤßt ſich der Schluß ziehn, daß man
beym Calkul der Ddcillatiogen bed Meers wegen der Anziehung ber Sonne
und des Monde nur die Größe pdx «++ qdy + rdz ale integrabel

„ annehmen Fann, benn fie ft ed nicht, wenn das Fluidum in Anſehung

der Erde in Ruhe iſt, und nur die mit derſelben —— Umdrehungsbe⸗

wegung hat.

20) Machtem wir nun ſo die Faͤlle beſtimmt haben, in denen man
verſichert iſt, daß die Größe pdx qdy -+ rdz ein vollkommenes
Differential ſeyn muß; fo wollen wir jeßt ſehn, wie man dach dieſer Ber
bingung bie Gleichungen ber Bewegung fluͤſſi ger Koͤrper awoͤſen kann.

Tr z — Es

sig — J
Es ſey daher pdx quy rn cdz do, tie @ eine gewiſſe
Funktion von x, y, z und ber veraͤnderlichen Größe t iſt, welche in dem
Differential do als beftänbig angeſehn wird; man bat alsdaun F
—20 do 49,
ur dy’ dz.’
unb wenn man -biefe Teste. in ber Gleichung CL) (15) ſubſtituirtz fo
wird aus ihr: Ä

di — ve

d?9 do do do d’o do d29
dt dx = dx de ” dy 'dady 9 dz ar

+ (de + dy dx — ri = dy dy® + “ dydz
= eo — —V — de ꝙ dz
+ (er "dade de Fi "dydz 7. * —*

wovon das Integrale in Anſehung der x, y, 2 offenbar iſt:
dp .,rdon? ‚den: @ .
LIT)

Man ·koͤnnte hier noch eine. milllührliche Funktion. von t .binzuabbiren, _
weil dieſe veraͤnderliche Groͤße bey der Integration als beſtaͤndig iſt ange⸗
fehn worden. Allein ich bemerke hier zugleich, daß dieſe Funktion als in*
dem Werth von 9 enthalten angefehn werben kann. Denn vermehrt man
© um eine gewiſſe Funktion T von et; fo bleiben die Wertbe von p, q, r
- biefelben wie vorhin, und das zte Glied der vorhergehenden Gleichung

dT
wird um die ſurtun — 7 vermehrt werben, welche willkuͤhrlich iſt.
— | s Man

— — 319

"Man bat daher nicht nöchtg noch eine willtährihe Funktion von t hinzus
zuaddiren, und bie. Gleichung wirb darum doch nichts an ihrer Allge⸗
meinheit verlieren.

. Mau erhält = durch biefe Sting.

- — OT.
=V — * *1 ( 2) + +3 Y;
welcher Werth den 3 Gleichungen (FF (10) zugleich genngthun wird, und
die Beſtimmung von 9 wird von. ber Gleichung (@ (10) abhängen,
welche, wenn man für p, qı £ ihre MWerthe
d® .do do ni:
dx’ dy’ ds e Ba
ſubſtituirt, wird z—
eo ⸗ Po ee —
7 * Iyr- + 7 = —
Die ganze Schwuͤrigkeit beſteht alſo nur in ber Jetegratien dieſer
ie Gleichung.

21) Es giebt aber noch ein Fall von — Umfange, darin
bie Größe — |
pdx »7 ady. u rdz | e

ein vollkommenes Differential ſeyn muß, nämlich der, wo man annimmt,
daß die Geſchwindigkeiten p, q, r, fehr gering feyen, und bie fehr kleinen
Größen von ber zten und ben folgenden-Drdnungen weglaͤßt. Denn
man fieht- leicht, daß ” biefer Hypotheſe biefelbe Gleichung (L) ſich in

dieſe ——
dp dq —

wo man ſieht, daß, da —
| dp

—1
26 j | —

Ex .
ne

x *

27 a ee . —— — nl R — Bee
"dp dg dt ,- na ann
Er et, — dz 2. me
— det ar Pr | 2

in Unfehung x, y, z integrabel feyn muß, die Größe pdx F gdy +
rdz ed ebenfald ſeyn muß. Man hat auf biefe Art diefelben Formeln
ald (20), wenn man @ als eine fehr Eleine Funktion gannimmt, and die
sten Dimenfionen von,P und deffen Differentialien weglaͤßt. ee
In biefem Falle kann man ferner die Werthe von x, y, z ſelbſt für
eine gewiffe Zeit beftimmen. Denn man hat zu biefer Abfiht nur die ®
Gleichungen (9) an | J
dx = pdt, dy=gdt, dz=rdt j
‚ gu integriren, in denen man, da p, q, 7 fehr Hein find, und folglich and
dx, dy, dz ſehr klein von derfelben Ordnung im Gegenfaß der dt find,
x, y, z.ald beflänhige Größen in Anfehung der Größe t anfehn kann.
Betrachtet man daher t allein ald veränderlich In den Funktionen p, q, r
und abbirt die beſtaͤndigen Größen », b, c; fo erhält man fogleih
x=a+ Ipdt, | we .
ei a y- * 4 ſqdt, | j J
J z=cC + Srdı ; i Sa _
Seßt man baher Kürze halber = (Pd md verwandelt‘ in die
veränderlihen Größen x, y,z ins, b,c; ſo hat man folgende fehr eins
fache Ausdruͤckungen: * Ba cc. ..
u: dd.
de
dv
db a 24

| x = a +
y-b+

ı 0 m '

de”.

Ir >

.
EIERN . 3 521

—

| — |
wo die Funktion & dergeftalt angenommen werben muß, bußfie=o fg,
wennt—= 0, bamit'a, b, e die anfänglichen Werthe von x, y, ⁊ feyen. ä

Diefer Fall findet beſonders bey der Theorie der Wellen flatt, wie
wir weiter unten fehn werden. | |

22) Wäre übrigens die Maſſe dea flüffigen Körpers fo beſchaffen,
daß die eine ihrer Dimenfionen beträchtlic, Fleiner fen als jede ber beiden
andern, fo dag man 3. B. die Coordinaten 2 ald fehr Klein in Anfehung
der x und y.anfehen koͤnnte; fo wuͤrde dieſer Umſtand ebenfals bie Yuflds

fung der allgemeinen Gleichungen erleichtern. Denn es ift klar, daß -

man alsdaun den unbefaunten Größen p, q, c,. 4 folgende Form
geben Einnte = |
| p=p + pfı - pa? + etc,
g=y + qg'/z + gi? ete..
= gr u tn ete.
A=A + Allz u Allg? u etc. |
worin p‘, pX, ete.ʒ q!, q“, etc.; r4,ıH, etc.; D4, AM, etc, Funktionen von
x, y, t ohne z’find, fo daß menn man biefe Subftitufionen verrichtet,
man Gleichungen in Reihen erhält, welche nur aus partiellen Differentias
lien in Beziehung auf x, y, t beftehn.

Um hiervon eine Art von Kalkul zu geben, wollen wir das Fluidum
von neuen ald homogen annehmen, wo A—=1 iſt und den Anfang
damit machen, bie vorhergehenden Werthe in ber Gleichung G (10) zu
ſubſtituiren. Ordnet man alddann die Glieder nad) z; fo befommt mans .

dp dig ir

F dp Hat | J—
ERS (a Se — rt) Rn
dx. dy 4 .

522. ® — — F

® or
dp’ dur = -
— 22 | — +, + 3. un) | e
x dy ——
+ etc, —

ſo daß man folgende beſondere Gleichungen it weil p/, pl, etc., q’,
q’', etc, Fein z enthalten müffen: ’ * Ze |

—

de dd

— ar Ho—

dx + dy * t | o

dp" da“ "

dpti dgl. Ä RF |
u un Ä
dr 7 dy wo — — | |
ete. | |
durd bie man fogleich die Orig vr’, 27) neu, etc., beftimmen muß, und
die anbern Größen r/, p’, p’’, etc.. q’, q“, etc, noch unbeftimmt bleiben.
Die naͤmlichen Subflitutionen derrichtet man in, der Öleihung (L) (15),
welche mit den 3 Gleichungen (F) (ro) übereinfommt, und bie fich leicht |
auf folgende Form beingen läßt: |

Aa — av ende + Bdy on rdz +
2z (4dx + + Bß' dy. + yldz) —
2e (a'dx — — * ee) *.

etc.
wenn man Kürze halber ſetzt:

« de’ p ar 2 dp‘ ind
ds un reine äy.t Er

jebe insbeſondere integrabel ſeyn.

EL EL I en
8 == dt sp dx 9 dy rg
dr’ dr
— 7 7 1] A, N
— "er eg Rn
“ dp" dp! d do“ |
p p ? ap
I — _ } ri_
az J ax + P dx 1 dy
gu dp! + gr pur —R
x j dy
da", „da A LH
l a u pa RR
Deren
g’ dg! — 2 r q* — 4/,
dy 75. |
| des re A del dr! |
l — — Ra
2 : l *
q/⸗ Pr + ar >L« zu = —
2. ſ. f.
Damit alſo dns ate ne Gleichnng integrabel ſey, muͤſſen
bie Groͤßen —
adx -+ edy,

ydz + z (e/dx + Bldy),
‚yizdz 2 zi(nldx.n Budy)
etc. m

Uun 2. - Bedeutet

—— | es 523

524 ; ; | —
Bedeutet baher eine Funktion von x, Y t ohne 2; fo hat man
dieſe Bedingungen F

du dy dy’ n
— — — — 44 —— —
= x’ dx’ = ad —*
2 dw dy dylt.- 2
ß 5 ß 3, Rt == dy otc.

und die integrirte Gleichung iſt |
1—=V+uw + 72 2 2 yiz? + etc

und man hat nur'den vorhergehenben Bebingungeglehungen durch die
unbeſtimmten Funktlonen u, 2, pP‘, p etc., Y ‚ge, etc. genug zu thun.

| Der Calkul wuͤrde noch leichter werden, wenn die beiden veraͤnderli⸗
hen Größen y und 2 zugleich ſehr klein in Anſehung der x wären; denn

man anne alsdaun nur fegen
= — p— pAy plz oz pllliye az —8 —
9 — ——— quuya gquuyz etc.
r — yo iz ya yz etc.

wo die Größen pp‘, etc., g’, q’, etc., 1, 1.’ nur Funktionen yon x
bedeuten. Verrichtet man diefe Subftitutionen in ber Gleichung (G: und
ſetzt bie Glieder, darin y, z und ihre Produkte vorkommen, jedes msbe⸗
ſondere = 0; ſo erhaͤlt man

PP —

| 7 + g’! + ll —— 0, . |

> d p⸗ es i | j nu
| = + ag + — == 0, | | —

etc.

—

— \ IEREENETIEER j 25

gerad) erhält die Gleichung (L) biefe Form:
dia dV =adx .r Ady “r ydz or
| y (eds u Bdy + n/dı) ae
— Biya nd
meun mas feßt-

er dp‘ u Indie j
— —
d * ' dat — —
B= == 4 —* 4 q/gl! ++ gt,
#
* == = * F * ger 4 LIE
dp‘ „ap dp

| ar pl + er: * a are *

ete.

on man ag hier für die Zategeubitikt. Bifer Gleidgung: bie Bebin⸗

= oo. ' a
;

y
u, a — „ etc.
| 4 4

durch die man erhaͤlt
— V * («dx m By ett.

Endlich kann man auch oft den Calkul durch Subftitutfonen bereinfa⸗
chen, wien man ſtatt Der Eagle x, y, z andere veraͤnderliche Groͤßen
| Unu 3 | Ang

26 — — x ' P

£, 7.2 einführt, welche gegebene; Funktionen von jenen feyen, und wenn
vermoͤge der Matur der Aufgabe, die veränberliche Größe 2 3. B. ober

die beiden veränberlihen Größen 7 und Z'fehr Hein in Anfehung der &
find; fo kann. man fi Reduktionen bedienen, bie ben eben vorgetragenen
analog find. | | |

— re | $. IL

"Bon der Bewegung — und homogener fluͤſſigen Maſſen in Gefäßen oder

ren von einer gewiffen Figur.

23) Um den Nußen ber Princkpien und Formeln zu zeigen, die wir
eben gegeben haben, wollen wir fie auf die flüffigen Maffen anwenden,

die ſich in Gefäßen oder Röhren von einer gegeben Figur bewegen. Wir '

wollen annehmen, der flüffige Körper fey homogen und ſchwer, und bes
finde fi vorher in Ruhe, oder er fey durch den Stoß eines an der Obers
fläche angebrachten Stempels in Bewegung gefeßt worden; alsdann müfs

fen die Geſchwindigkeiten p. q, r.jebed Theilchens fo befchaffen fepn, daß

bie Größe pdx + qdy »+ rdz integrabel ſey (18); folglich kann man
da die Sormeln (20) anwenden.

Es fey daher 9 eine Funktion von x, y, z und t und durch bie

Gleichung | | |

#9 4 op MR Be
er Face ne
beſtimmt; alsdann hat man ſogleich für die Geſchwindigkeiten jedes Theil⸗
chend nad) den Direktionen der Coordinaten x, y, zdiefe Ausdrüdungen

dx’. nn

und

— x z $27

und —
ı——V “e *3 F
— ie —

—F N
u dz Te |
welche Größe = = 0 bey ber Auffern freien EEE ‚bes Fluidums ſeyn
muß (2).
Was nun den Werth von V — der von den beſchleunigenden F

Kraͤften des Fluidums abhaͤngt (15), und wenn man &, 7. 2 bie Winkel
nennt, die die Achſen der Coorbinaten x,.y, z mit ber Bertifallinie mas

den, die vom Schneldepunft diefer Uchfen gezogen find, und ihre Rich⸗

tung von oben nach unten zu haben; ſo erhaͤlt man:
x, Col £,
1 — 8 Coſ 1»
Z: — — g Cold;
das Zeichen — gebe ich ben Werthen ber Kräfte x, Y,Z, indem dieſe
Kraͤfte die Coordinaten x, y, z zu verringern ſtreben ſollen. Weil nun:
.. dv Xdx + Ydy -p Zdz; -
% erhält man durch die Integration
— — 9x ee Col 7 — 8: N

24) Es ſey jeßtz= « ober z — 4So bie Gleichung für eine ber
Wände des Canal, wo « eine gegebene Funktion von x, y ohne z ober
tif. Damit alsdaun dieſelben Theilchen des Fluidums allezeit dieſe
Wand berühren: hat man nur fe —— (1) (12) ————— in⸗

dem man A=z—a ſetzt. 2,8

Alsdann hat man
do de d« do de
dz dx ' dx dy .dy-

Er wel⸗

528 — | =
welcher Gleichung der Werth 2=« genugthun muß. Jede Wand giebt
eine ähnliche Gleichung. Weil ebenfald.A — 0 die Gleichung der äuffern
- Fläche des Fluidums fl, damit Diefelben Theilchen — in —
Oberflaͤche ſich befinden; ſo hat man die Gleichung

4a de da de da do Aa... j

ray tan *

welche fintt haben muß, und folglich einerlei Werth von z mit der Gl
dung A =,o geben muß. Diefe Gleichung aber iſt nicht mehr Be
dig, febat die angefühtte Bebingung nicht mehr flatt hat.

25) Dies vorandgefeßt fange man damit an bie Funktion © zu be⸗
flimmen. Da aber die Sleihung, wovon fie abhängt, durch Feine bes
kannte Methode allgemein integrabel iſt; fo wollen mir aunehs
men, eine der Dimenſionen ber flüffigen Maſſe fey fehr Elein in Anfehung
der beiden andern, ſo daß bie Coorbinaten z z. B. fehr gering in Anſe⸗
hung der x und y ſeyen. Mad biefer Borausfegung Tann man ben Werth
von ⸗ durch eine Reihe von folgender Form ausdruͤcken
0 ⸗ 0 zo" 22 U gt u etc,
wo 9, O, , etc. Funktionen von x, y, tohne z ſind.

Merrihtet man nun biefe Subſtitutionen in der vorhergehenden
Gleichung; ſo wird ſie

—

de pi 0
a2 r dy? + 2 pt *

dtp! .d?.9
dus 7 Iye

parptt ® gu
| + * — vo) 4

sc —0.

+232") 8

— 529

Sebt man ia Die Sieber, worin ——— Potenzen von z
Gramm 0; fo erhält man _ —

I»

gu — — 4.9 — dor
2dx? ady?’
3 d? otı — 5 d? gi

gi — — — — —,
"2.3dx? 2,3dy? | 7

gl degi
3.442? 3.4dy?’
BL „dt g' 42

——ö—⏑ö⏑—⏑ü ü⏑0

2. 3. 4dx 3.4 dx?dy? = 2.324 dy*t®

gullı — —

—
—

ete. | | |
Der Ausdruck von 9 wird daher

u 1 nn u E22) Opa EEE 4 — —
⸗ =. — 2 dx? 7)
| 23 /02 d? pu | do! )

23 du — dy⸗

on z* ag, 240 —
2.3.4 — — — Der

wo die Funktionen &', 0 äibekanie find, woraus man erſieht, daß |
— Ausdruck das vollkommene Sutegral ber vorgegebenen Formel iſt.

Da man den Ausdruck von 2 gefunden bat; ſo man durch
‚bie Differentiation p, 9, rauf folgende Art.

Xxx | =

330 . | ——

da: dot: deu 2 — 90. —
—

Pe + ea oAds dxdy2,
Iou !
ac Krk |
4-5 )-
(em + Tre \ er
fer + )-
Eee 2 2 ; \ —
6

| 23 de ꝙ 32 d+ ot d4.g1
| 2.3 \ dx* Bar Fr: dy? m dy*
Und ſubſtituirt man dieſe Werthe in dein Auodrucke von A 103);

fo er folgende Form:
— Al + za A 2,14 4 g’ — 4 etc,

—) + etc,

Be
ar s
= — g (x Colt + yanlı) a er al >E

—R

don de! delt! | — /
pe do! "dot
dx dx dy .dy

— (Tr 2 —

EB Tr

j : vn J J 531
u | d’ sp d’o’ a | 2-|
UN en u
en Kae Fame) * Li
‚dor Ir " 8*51 [FE

30 le Tiay
Ex | ‚de‘ d+ op’ 3er: d? A ne]
-: dy [55 F* „dx?
d? 9 *
— 3 gu I. + — + ete.
u. ſ. f.

26) Iſt alſo z = « bie Gleichung der Wände, wo a eine ſehr kleine
Funktion von x und y ohne 2 iſt; fo wird die Bedingsgleichung, damit
dieſelben Theilchen Immer dieſe Wände beruͤhren (24) durch die vorherge⸗
henden Subſtitutionen:

dp’ da _ del d« d2pt "A298
Un. Ei ARE TC
— aa er FI:
42 ol da d? ER da ' d? #gp" d? gu do"
= dx — dy dy —— dx Pr dy?
” dr dig: = d’g.

a ray) dr \rdy
ar da B
— 77— — etc, = 177
dy‘
Da biefe Gleichung ſtatt haben muß, Denn Mmanz=.« feßt; [0 0. ver⸗
wandelt fie ſich in Ag einfachere :

Erz a a 8 | gm

u #
F ” dx — rd
? x 0000 .dy
dp dot! ®
en 22 RR A
adx “ ady a
N N gde ady
0, 1.8g! dig :
3
2 dx?’ 1245)

d’ go! d’ 91
dx”dy = dy? )

+ et. =0,_

und biefe Gleichung muß für den ganzen — der gegebenen Mände
wahr an

27) Endlich wird die Gleihung für die innere un dee Siibums, |
da A=oift, Han biefer Form fepn: |

a za ete. — o3

und die Bedingungsgleichung dafuͤr, daß dieſelben Theilchen auf der Ober⸗
flaͤche bleiben (24) wird ſeyn:

da’ de! da . do da

dt + dx "dx. dy ' ay-
dal dgpW da’ do! dau |
ua ta x
/ I 0° / ud -
DE Ar ir te

+ gt 00 *

>“ z

ER = g’ pen. J dgit div
2 o. zu 2 ee,
(5 — — J — Tu er Peer 935

a0 dam age di dg am |

| dx dx * dy j dy u dy dy

| — a4nę dx
=)’ 5”

J dx’ dx dy dx

d’g’ | d’ ol" Z dar — er
(ae * 5) do

4 ; "
Be Erze u 08
VE 2. 2 JB ee
Se de 3, u *
etc. = 0 |

Bringt man z aus biefen beiben Gietchungen — ſo —
eine an und fuͤr ſich beſtehende — fuͤr alle Rn der ie
Dperflä che,

Anwendung nn Formeln auf bie — einer ‚lid Waffe, bie # |
“einem geraden und beinah vertifalen Gefäße 1A Ä

28) Wir wollen jeßt annehmen, ber flüffige Körper = in einem:
geraben beinah vertitalen Gefaͤße, und wir wollen um: mehrerer Einfache
heit willen fegen, bie Abſciſſen x fenen vertikal Und von oben biß unten
getheilt; alsdann erhält man (23)

— —0, 7=90°; ge=g0° |
and Cl:t=1ı, Cflr=oa, Coff?=o,
Xxx z - Mir

534 . — 1 2

Wir wollen ferner, um bie Aufgabe foviel ale moͤglich zu vereinfa⸗
chen annehmen, daß das Gefaͤß eben ſey, ſo daß von den beiden Ordina⸗
ten y und z, bie erſtern y== o, die andern z aber ſehr gering ſeyen.
Endlich fey z = a und z = 8 bie Gleichung der beiden Wände des Ges
faͤßes, indem « und 8 bekannte und fehr geringe Funktionen von x ſeyen.

Alsdann hat man in Anſehung dieſer Wände die heiden Glei⸗
chungen (26)

„a „. ge. -
r dx . "dx. —
⸗ 7 dx 2dx a.
—
d. dp! d 2 dp" j u
Maui dx — — eic, = o
” dx a. mn

welche bazu dienen werden bie Funktionen 2’ und @ zu. ——

Wir wollen die Größen z, a, 8 als fehr klein von ber erſten Ord⸗
nung anfehn, und wenigftend bey der erſtern Näherung die Größen von
ber aten und ben folgenden Ordnungen vernachlaͤſſi igen.

“ Die 2 vorhergehenden Gleichungen laffen fi ch daher auf dieſe Dingen: :
do!
aa ——
9" — — u O0,

welche von einander abgezogen, geben

| —
. 2

—— —
davon das Integral iſt — | —
dp’ 2
a |
dx. p

Ed %

wo d eine willkuhrliche Funktion von t f — eine fee Kleine Groͤße
von der erſten Ordnung ſeyn muß.

Es iſt aber offenbar, daß = — A bie Korizontale Breite | des Sefäfe
fes iſt, die wir durch y ausdruͤcken. Man har —
— d |
dx — y ee
und wenn man von nenen In Anfehung x integrirt
dx
0 = — I

——

wenn9 eine neue — Funktion von t iſt.
Addirt man eben diefe Gleichungen zu einander und ſetzt

— — „ fo zieht man daraus
F

y —— in en °
I. En

dx — ur
"woraus inan fieht, daß, weil y, a, 2 {ehr Bleine Größen von der erffen
Ordnung find, PU aud eine fehe kleine Größe vou berfelden Ordnung
» feyn wird, | Ze 26 u ee 2
\ Laͤßt man nun allezeit die Größen von der zten Ordnung weg; fo
erhaͤlt man durch die Formeln (25) für.bie vertitale Geſchwindigkeit:
ET te | u

v#rode Y ö I... | . —

9 —

und für die horizontale Geſchwindigkeit:
| 2 (dı o

en Bl Be "8
—— Fe

— —18
F y
en} m Z —— | — “ i -

dx: . dx

& de | dy ):
— 7 ‚dx * er) dx /

—
Endlich ba Col £= 05 fü wird die Größe A! ebenfals ein ſehr klei⸗
ned von der erften Ordnung feyn. Folglich wird der Werth von A auf
— - de dx dJ$ . ,?
u er ——— —

gebracht.

Dieſer Werth — 0 geſetzt, giebt die Figur der Dberflä e des
flüffigen Körpers; und da er die Ordinate z nicht enthält; Ha allein
. 2 | ‚ ’ ö

r — die

die Abſciſſe x und bie Zeit tz fo folgt,. daß die Oberflaͤche des fluͤſſigen
Körpers jeden Augenblick eben und korizontal feyn muß. |

Endlih wird bie Bedingungsgleichung, daß allezeit die naͤmlichen

Theilchen ſich auf der Oberflaͤche befinden, aus gleichem Grunde durch
folgende ausgedruͤckt:

da dp da’
Fre Par

di 2 6. da —
dt „dx — *

27) =

⸗

| 29) Um die Größen, die ſich anf die obere Oberfläche des Fluidums
bezgiehn, von denen’ zu unterfheiden, bie zur untern Oberfläche gehören;
fo wollen wir mit einem Strich die erftern und durch 2 Striche bie andern
bezeichnen. So werben alfo x’, y’, etc. die Abfciffe, die Breite des Ges
faͤßes u. ſ. w. für die obere Oberfläche feyn; x", y“ aber eben biefe
Abſciſſe, die Breite des Gefäßes u. ſ. w. für bie untere Oberfläche ſeyn.
Es werden alfo auch A‘, A’ in ber Folge die Werthe von A für die beiden.
Dberflächen bezeichnen, fo daß man für die obere Oberfläche die Gleis
chung at: . Er “7
a | ’ de ‚dx d9 2
TEE TFT
und für die untere bie Ähnliche Gleichung
er = u. de dx” ds 8?
a ee az

— — 0,
2 5

Endlich wird
— dar- ge da’ —

— 4 — Menge
dt Y dx.

Do die

538 ; — _ ; 2

die Bedingnugsgleichnng fern, dag Befelben Thellchen, die einmal anf

ber obern Oberflädye fi ch befinden‘, — —— — bleiben; und
da. — da
de =. "dxw ®
wird Die ——— ſeyn, daß die untere EIER. allezeit
dieſelben Theilchen des Fluidums enthalten.

Dies vorausgeſetzt hat man 4 Fälle nad) der Art, wie ein E iger
Körper In einem Gefäße laufen Tann, zu unterfcheiden, and I biefer
. Fälle heifcht eine befondere Aufloͤſuug.

30) Der erfie Fall iſt der, wo eine gegebene Groͤße des Flutbums _

in einem unbeflimmten Gefäße läuft. In biefem Kalle ift ed- offenbar,

daß beide Oberflächen jeberzeit bie naͤmlichen Theilchen enthalten mäflen,

und daß man auf biefe Art für diefe beiden Oberflächen bie ERS
gen hat Ä
Vo, Mo
und ferner | | |
da’ ‘ da "©
£ — * 7 er = 0 .- —
dl 9 8 da

dt * ya! dx” Eu

welche 4 Gleichungen zur Beſtimmung der veraͤnderlichen Sniper Kur,

. 4, I in t dienen werten.

Die Gleichung A! — ö giebt bifferentlirt
— da’ di’

— dx’ — dt =
dx’ ur
folglich
9* F da!- da: dw
dt de de >. “

Sub⸗

Subftitutät man nun dieſen Werth in der eig —
dar 8 da
dt: 7 er. Benz ss. |
5 GE 2 di’ j
und dividirt durch 1,7; ſo erhaͤlt man
| de z 2 ee .-
dr i — 7 —1—

Eben fe findet m man ' wenn men bie Seidung 2 up 0 ‚mi der |

dan dal dxi
KIEL FoHe T
verbindet, folgende: —_
rdgd Br
de == Zn
"Dan hat alfo bie von einander abgefonderten Gleichungen
ade = y’dzl = yldzu % we
Sand.folgfich durch bie Integration u ‚ | |
frldxt — Sy det = m,

— m eine beftänbige Groͤße iſt, welche u die gegebene Größe
des Fluidums ausbrückt, welche in bem Gefäße fließt, -Diefe Gleichuug
giebt auf biefe Art ben Werth, von x in x’,

# ” Seöfiei man jet in ber SHeichug —*& =0 für dt beſſen Werth

Id | sde „ dx’ ie 92
y'd - m 4 — m ARE ®
0 ni wind fie — gr + y' * — —— ay? —

— | ir Ä Yyy 2 welche,

Bu 7 —
welde, wenn man fi vu — yldz! maletiplicirt, gicht
9?dx!
gr'x dr — 17. — 49 — -
a: 2 y'
die, wie man fi a — iſt, und deren integral ſeyn wich |

=0, _

girtztdxt — * — — ſeds = Cooſt.

Auf die naͤmliche Art findet man, wenn man -

ber de in der Gleichung al — ofeßt, und durch — dx multiplicht,
eine nene integrable Gleihung, deren Integral ſeyn wird:

—
Ede Zittze Conſt. ———

Zieht man dieſe beiden Gleichungen v von einander ab, um das Glied
ſads wegzuſchaffen; ſo erhaͤlt man dieſe:

u !
BR — (Fr x r B u
, N)
‚ woie Größen —2* dx — [y'x! bis und f * 1 di | F

dx
gralien von yx dx u —, von x= x on bis _— z genommen
ausdruͤcken, und wo L — ai

Diefe Gleichung giebt alſo din x’, weil x’ ſchon in x’ durch bie oben
gefundene Öleichung bekannt iſt. Hat man auf dieſe Art Itnx; fo findet

y’ dx!
man ie Li durch bie Gleichung dt ee deren Tntegra if j

U
an die Stelle °

| — 41
ne —
ter N 5

wo H eine willtührliche beſtaͤndige Größe if.

Was nan bie beiden beftänbigen Größen L und H betrifft; b kann
man fie durch den anfänglichen Zuſiand des Fluidums beſtimmen. Denn
wenn t— 0; fo iſt der Werth von x’ durch die anfängliche Lage bes fluͤſ⸗
figen Körpers im Gefäße gegeben, und nimmt man an, daß bie anfangs
lichen Geſchwindigkeiten des Fluidums — o feyen; fo muß man do
baben, wenn t— 0,, damit bie — von p, q,r (28) = => 0

werden.

Waͤre aber der flaſtge Körper Anfangs durch gewiſſe Stoͤße in Be
wegung gefeßt worben; alsdenn wuͤrden bie Werthe von A’ und A!’ geges
ben ſeyn, wenn t== o iſt, weil die Größe % in Beziehung auf bie Ober⸗
fläche des flüffigen Körpers den Druck ausdrückt, den berfelbe hier aus;
übt, | = ber durch einen aͤuſſern Druck im Gleichgewicht — werden
muß (2)

Nun aber iſt (29)
7 4
ar — Le nal

“4 I.
| 9 F y
— —

ſetzt man daher t= 0; fo erhält man eine Gleichung, die Eu dient,
den anfänglichen Werth von d zu beſtimmen.

—

Die Aufgabe iſt alſo aufgelößt, und wie gu bed ———
voͤllig beſtiumt.

31) Der ꝛte Kal findet ſtatt, wenn das Gefäß von einer beſtimm⸗
ten Länge iſt, und bad Fluidum durch den Boden bes Gefaͤtes fließt.
VDypp 3 In

542 5 mem

fläche die beiden dee
MM —— 0, — no Ken: | F J on
[5 VG DA un € | — 2—

uam Mm vv. : —
für die untere aber hat man nur bie Gleichung
h - u O,

- weil. wegen bed Ausfluffes des Fluidums hier in icon Augenblick neue
Theilchen auf dieſe Oberflaͤche kommen muͤſſen. Aber auf einer andern
Seite wird die Abſciſſe x" für eben dieſe Oberflaͤche gegeben und beſtaͤndig
ſeyn, fo daß nur 3 unbefannte m zu —— f ind, —— x, d
und Y.

"Die beiden erſtern Gleichungen geben ſoglbeich wie im verfergfeen
Kalle diefe:

v/dx!
dt: — — und

* *
* . — 4 —
— —

r dxt

ya — — -— og
u er ar AT, ’
bie Sleichung a = oaber giebt ne 2
— dt ax a3, eo —— ur
5X > dt * “ar — —
a

wo man er bemerken hat, — xy * = — — — ſinb,

bie ei ‚um nie willen — £ b, a ‚anbeuten wolleg.
E j | Su

In diefem alle hat man alfo wie im vorhergehenden fuͤr die obere Ober⸗

— 543

Subftitnirt man daher anflatt dt beffen Werth > und multiplicirt

darauf durch — y’ dx’; fo erbält.man die —*
42 dx’
gfvidx —ndde — 2d9 —. =”

== 0,

Zieht man num von biefer bie vorhergehende Steifung ab, am die
Glieder ed3 wegzuſchaffen; fo erhält man

— 1 ⁊dx — J— |

welche Gleichung nur die beiben a — und d Aathaãt, und

durch die man alſo eine dieſer — Groͤßen in Funktionen der

andern beſtimmen kann.
Endlich wird man t durch, dieſelbe verůnderliche — mutgörhdt

| erhalten, indem man die Gleichung

integrirt. Und man wird die Geffänbigen Größen durch den anfängt
chen Zuftand des Fluidums wie im vorhergehenden Problem beftinmen,

32) Der ste Fall findet ftatt, wenn das Fluidum in einem unde .
ſtimmten Gefäße fließt, welches aber jederzeit zu einerlei Hoͤhe durch das

befländig neu hinzugegoffene erhalten wird. Diefer Fall iſt der vorige
umgekehrt; benn man hat hier für bie untere Oberfläche bie beiben Glei⸗
chungen:
"a — 0,
dar & daN
Trauer

== 03

und

544 —

und fuͤr die obere Oberflaͤche allein

1 u O

wegen ber befläudigen Verwechſelung, bie zwiſchen ben: Theilchen a
Oberflaͤche vorgeht.

Man hat alfo nur in den Gleichungen (31) die Größen x’, y’ In
x’, yll zu verwandlen, und für f, hi, n die gegebenen Werthe von

xy), ſ z anzunehmen.

— ſetzen wir voraus, bie Hiezufügang! des neuen Fluidums
geſchehe dergeſtalt, daß jede Schichte ſogleich die Geſchwindigkeit der
naͤchſt auf fie folgenden annimmt, und daß die Verminderung an Ges
ſchwindigkeit dieſer Schichte während des erften Augenblicks mit derjenigen
einerlei ift, wenn das Gefäß während dieſes Augenblicks nicht zu beefelben
Höhe voll erhalten wäre.

33) Endlich ift der Ießtere Fall derjenige, wo ber flüffige Körper
aus einem Gefäße von einer beflimmten Länge fich ergießt, bad allezeit
zu einerlei Höhe voll erhalten wird. - |

Hier kommen Immer neue Theilchen auf bie.obere und aut Dbers
flaͤchez man hat alfo nur für dieſe beiden ra bie beiden en
ungen ö

a un 0, Al am 0;

- aber zugleich find auch die beiden Abſciſſen x’ und x’ gegeben und , befäns
dig, fo daß nur die beiben unbekannten Größen d und I int au ur
men find.

Eee, b.
— —
dx! dx’!

[—=0./l——N,

Yo. yı
als⸗

— 00 so

| — werden die beiben Gleichnugen |

a0, A o0,
r ich in folgende verwandlen:

de do

rt —

du, der Ent
ce arm“

. 44
und ſchafft man hieraus — weg; fo Hat man

dt
I. | 2
sen Un Gm -m)t=«e
woraus man it ER
— (N—n) de |
1 1 E
—A En) | |

wo alfe die veraͤnderlichen Größen von einander getrennt End, und bie
durch Zirkelbogen ober Logarithmen integrabel iſt.

34) Die vorhergehenden Aufloͤſungen kommen mit denen aberein,
die die erſten Schriftſteller, denen wir die Theorien der Bewegung der
fluͤſſigen Koͤrper verdanken, nach der Vorausſetzung, daß die verſchiede⸗
nen Schichten des Fluidums genau ihren Paralleliſmus beibehalten, indem
fie ind Gefaͤß fallen, gefunden haben. (Man ſehe Daniel Bernoul⸗
lis Hydrodynamik, Johann Bernoullis — und D Atembert⸗

Traite des Hude),

Unſre Analyſe zeigt, daß dieſe Worenoſelung nur genau ſtati finbet,
wenn die Breite des Gefaͤßes unendlich klein iſt, aber daß ſie in allen
Faͤllen als eine ————— gebraucht werden kann, und daß die

333 — — daraus

N o ü
546 b > Genaue

daraus folgenden Auflöfungen bis auf bie Groͤgen der aten Ordnung geräte
find, wenn man bie Breiten bes Gefaͤßes als Größen ber erfien Ord⸗
nung anfieht. SE |

Der große Vorzug biefer Analyſe aber Befteht darin, daß man burdy
diefelben fich immer mehr md) inehr ker wahren Bewegung flüffiger Körs
per in Gefäßen von einer gewiffen Figur nähern kann; denn nachdem
man , wie wir eben gethan haben, bie erſten Werthe ber unbefannten
Groͤßes gefunden hat, Inden man bie aten Dimenſionen der Breiten bed

Gefäßen vernachläfjigtz; fo wird es leicht feyn, bie Approrimation weiter

zu treiben, indem man auf bie vernadhläffigten Glieder Ruͤckſicht nimmt.
Die weitere Auseinanderfeßung hiervon hat weiter Feine Schwierigkeit,
als bie Weitlaͤuftigkeit des Calkuls, und wir laſſen und gegenwärtig
nicht weiter barin ein. | SE |

. Anwendung eben diefer Zormeln auf die Bewegung einer fläffigen Körpers,
Der in einer etwas tiefen und beinah horizontalen Möhre befindlich iſt, und ins⸗
ei - befondere auf die Bewegung. ö

35) Da wir die Hoͤhe des flüffigen Körpers fehr gering annehmen 5

fo muß man die Ordinaten z vertifal und von oben nach unten zu annehs
men, bie Abſciſſen x und die andern Ordinaten y werben horkzontal ſeyn,
und man hat (23)

Clhe—=d, Chr=o, Coſꝰ — 1. =
Man nehne die Adıfen von x md y in ber horizontalen Ebene ar,
die durch bie obere Oberfläche des Fluidums im Zuftande des Gleichges
wicht gebildet wird, und es ſey 2 « bie Gleihung für den Grun
der Möhre, wenn « eine gegebene Funktion von x und y ff. 6.

| Die Größen z und « fehen wir als fehr Mein von ber erften Orbnung
an, und wir werben die Größen ber aten und folgenden Ordnungen d. bh.
hiejenigen, wortn die Quadrate und Probußte von z und = vorkommen,
weglaſſen. . a
2 Die

Ä — ⸗ J 547

Die Bolngargegleihues in Bufebung des Den — s—
giebt 126) |

dp! dp
4. — ? —
* = dy z

"woraus man ſi eht, daß 4 eine Größe Hon der erſten — iſt.

Endlich verwandelt f ch ber Werth ber Größer in A m Az (2 5); \

und man muß im MWerthe von A! die Größen von ber 2ten Sebmung, und
‚in dem von A" die Größen ber erſten Ordnung weglaffen. . Auf - Aut

hat man, ba
CE — o, Coly == 0, Colg = 1,
die, Formeln. (25)

do’ done
N — Hl):

A —— — 83.

Für die ‚obere —— des ftuſſtgen Koͤrpers hat man and de
Gleichung
aM— 82 — o,
und die Bedingungsgleichung
| da! — — — di’
de. dx Fdy y "dy

d? a — op!
„(ir + dy? — =
| Die Gleichung IE -gı=0 giebt ſogleich 2 — — fir die Figur
‚ber obern RUE des fügen o Koͤrpers in eb Ang, und -

— 8 gl +

r *

ee Ä de ⸗
die Formeln p8 gg = (25)

—

i —*
4.
. *

bie Bedingungsgleichung auch in Anfehung eben biefer Dberflädie ſtatt

finden muß; fo muß fie auch wahr ſeyn, wenn man darin flatt z eben
2 Ad — |
biefen Werth z fubſtituirt. Diefe Gleichung wird daher biefe Form

| vekommen: |
| de. dor.
— J—
au 93 ne - TE |
dk dx dy 87 —

und ſubſtituirt man noch für 0 feinen oben gefundenen Werth; fo hat
wu | —

d | dp
a REIT, - ART
"ae Aa ea

At
wo man nur flatt A'-beffen Werth:

dgl," αν-—
ar. %J.+:(5)

zu fubflitufren hat, md man erhält eine Gleichung in partiellen Differen⸗
tialien don der 2ten Ordnung bie dazu dienen wird 9 in Funktionen vor
2, y, t zu beſtimmen. =
Die Figur der obern Oberfläche wird man hernach aus ber Ölefhung
—* er * 2 EN). 2./dg" m |
gdt g\dx/ g\dy)
Tennen lernen, und wollte man auch die horigonfalen Geſchwindigkelten
p. q jedes Theilchens des fluͤſſigen Koͤrpers wiſſen; ſo haͤtte man ſie durch

= z

dı
36) °

— 2409

36) Die —— Ser Steigungen in partiellen Differentiar
Ken iſt noch fehr weit von des nothwendigen Vollkommenheit fuͤr die Inte⸗
gration fo berwickelter Gleichungen, als die gegenwaͤrtigen find, enffernt;
es bleibt alſo kein Mittel uͤbrig als biefe Rn duch einige Einſchraͤn⸗
Lungen zu vereinfachen.

Wir wollen in dieſer PEN —— der fluͤfſige Koͤrper weiße
bey feiner Bewegung nur unenblid wenig von (einir horizontalen‘ Lage ab,
fo daß die Ordinaten z ber.obern Oberfläche allezeit fehr Hein feyen und

- daß auſſerdem die horigontalen. Geſchwindigkeiten p und q — unend⸗

Hd) klein ſeyen. Die Größen

Bee U A 1 EL.
er Teer Par 7 >
muͤſſen baher unenblich DARF ‚und. eben ſ af fe Site e fo
beſchaffen ſeyn.

Laͤßt man daher in der vorgegebenen Gleichung bie — — |

. Grögen von ber 2ten und folgenden Ordnungen wei; fo erhält fie Pr |
gende linenre Form . | |

FOR Le „ae
eu 4% - oO dy*» 5.
de — 8 dx —— 5 dy — *
and man hat J |
+ 3
= £ r P
age
h Su dy Ä

rer Diefe

550 | — I —

Dieſe Gleichung enthält daher die allgemeine Theorie geringer Bewe⸗
gungen eines wenig ‚tiefen Flnidums, und folglich bie wahre Theorie‘ der
durch ſucceſſive Erhebungen und'Erniedrigungen gebildeten und unendlich
Keinen eines ftehenden Waſſers, das in .einer wenig tiefen Röhre oder
Baſſin enthalten iſt. |

Die Theorie der Wellen, die Newton Propofit. 46. Lib. II. gegeben
hat, gruͤndet ſich auf die zu Huͤlfe genommene tind wenig natuͤrliche Vor⸗
ausſetzung, daß die vertikalen Oscillativnen der Wellen denen des Waſſers
in einer. krummen Röhre analog ſeyen, und muß daher als völlig unzu⸗
‚Yönglich zur Erklärung dieſer Uufgabe.angefehn werben. —

37) Nimmt man an, die Roͤhre oder das Baſſin habe einen hori⸗
zontalen Grund; ſo iſt die Größe ⸗ beſtaͤndig, und ber Tiefe des Waſſers
‚gleich, und die. Gleichung für die Bewegung der: Wellen wird

d2.9! do! d2 go! j a

rc = 2:(7 ray 0) | Eu F

Dieſe Gleichung tft denjenigen völlig aͤhnlich, welche die kleinen Bes
wegungen der Luft bey der Bildung des Schalls beſtimmt, indem man
nur auf die Bewegung der dem Horizont parallelen Theilchen Ruͤckſicht
nimmt, wie ‚man in gten Artikel des folgenden Abſchnitts ſehen wird,
Die Erhebungen 2 über die horizontale Lage des Waſſers kommen mit den
Verdichtungen ber Luft überein, und die Tiefe « des Waffers in dem Canal:
entſpricht der Höhe der Atmofphäre, ‚wenn.man diefe homogen annimmt.
- So findet alfo eine volllommene Anazogie zwiſchen den auf ber Oberfläche
eines ruhigen Waſſers burch bie abwechfelnden Erhebimgen und Erniebris
gungen des Waflers, ‚und ben in ber Luft durch die abwechfelnden Vers -
dickungen und Verbünnungen ber ‚Luft gebildeten Wellen -flatt® Mehrere
Schriftſteller hatten dieſe Analogie fhon,angenommen, aber niemand hatte
‚fie noch flrenggenug erwiefen. | '

- Da nun die Geſchwindigkeit der Fortpflanzung des Schalle derjeni⸗
‚gen gleich iſt, ‚bie ein ſchwerer Koͤrper durch feinen Fall von der Hälfte
ber ald homogen ‚angenommenen -Atmofphäre erlangen würde; fo wird

oo | . ‚bie

—

2 — 551

bie Geſchwindigkeit ber Fortpflanzung” ber Wellen einerlei mit der ſeyn

die ein ſchwerer Koͤrper durch den Fall von einer der Haͤlfte der Tiefe des

Waſſers in dem Kanal gleichen Hoͤhe erlangen wuͤrde. Iſt dieſe Tiefe
alſo von einem Fuße; fo wird die Geſchwindigkeit der Wellen in 1“ =
5,495 ſeyn, und ff die Tiefe bes Waſſers mehr oder weniger groß; fo
verändert ſich die Geſchwindigkeit der Wellen in der verkehrten doppelten
Verhaͤltniß ter Ziefen In dem Falle, daß fie nicht zu beträchtlic, find,

Wie Äbrigens die Tiefe des Maffers und die Figur des Bodens bes
Schaffen feyn mag; fo kaun man alkezeit die vorhergehente Theorie anwen⸗
beit, wenn man anninimt, Maß bey ber Bildung ber Wellen das Waſſer
bis auf eine fehr geringe Tiefe weder erfchüttert noch bewegt worden iſt,

- welde Voraudfeßung an und für fi) fehr leicht wegen der gegenfeitigen -
Zaͤhigkeit und Anhaͤngung der Theilchen des Waſſers anzunehmen iſt,

und die man auſſerdem durch die Erfahrung ſelbſt in Anſehung großer
Meereswellen beſtaͤtigt findet. Auf dieſe Art wird alſo die Geſchwindig⸗
keit der Wellen an und für ſich die Tiefe « beſtinmen, worin das Waſſer

bedh fhrer Bildung in Bewegung if. Denn if dieſe Geſchwindigkelt =

Fuß in 1’’; fo hat man. J
| =:

Zuß. er

Ze ——
2 -30, 196 _ |
Im roten Bande der alten Memoiren ber Pariſer Akademie der

| Wiſſenſchaften findet man Erfahrungen über die Geſchwindigkeit der Wels

len von La Hire, die 12 Fuß für dieſe Geſchwindigkeit in 1’ oder genauer
1, 412 Fuß in 1 gegeben haben. Setzt mau daher n= ı, 412; fo

| 66 8
hat man bie Tiefe æ es d.h. po: eines Zolles oder beinah

10 Linien.

Neun⸗

352 | —

‘
8.

j oo Neunter Abſchnitt.. De Se
Bon der Bewegung der — oder elaſtiſchen fluͤſſigen
Ba Koͤrper. F N |

5) I" die allgemeine Gleichung (8 Abſchn. 2) auf biefe Art flüffiger

4 Maſſen anzuwenden; bemerfe man, daß das Stlieb SAdL darin

verſchwindet, meil bie Bedingung ber Unpreßbarkeit, welche diefed Glieb

‚giebt, in ber gegenwärtigen, Voraüsſetzung nicht mehr flatt findet; aber
auf einer andern Seite hat man auf die Würkung der Elaftichtät Ruͤck⸗

ſicht zu nehmen, die ſich der Zufammenbrüdung entgegenfeßt, und die

das Fluidum auszubreiten firebt. | 3

Es fey daher » bie Elaſticitaͤt eines gewiſſen Theilchens Din des fluͤſ⸗
figen Körpers; man erhält alsdann fuͤr dieſes Theilchen das Moment
— sd. (Dx, Dy Dz) zum erſten Gliede derſelben Gleichung hinzuzu⸗
addiren, indem ihre Wuͤrkung In der Vermehrung des Volumens Dx
Dy Dz biefes Theilchens, und folglid in der Werminderung um bie
Größe — Dx Dy Dz beſteht. Man hat alfo für jebes Theilchen das
Integralglied — Sad. (Dx Dy Da) anftatt des liebes SAdL gu fühs
flituiren. Da nun 2 se ' |

$L == 8.(DxDyDz:); en

fo tft Har, daß bie allgemeine Gleichung von derfelben Form bleiben wird,
wenn man nur Adn — s-Herändert. Man gelangt daher auch durch dafs
ſelbe Verfahren zu 3 endlichen den Gleichungen CA) ähnlichen Gleichun⸗
gen alb: — er

i z .°
* led u
2 553
* x
ö .« zus = .
— — * ‚Tr .. en a a‘ EN v — a
Lage en BR |.
2 * .* F
— EX u nee OR:
a — in EG v° - — +: be —— ER % r 4%
’ 5 ‘ I ”

[2 “ ”
os

ey wo Br
= (Zr) MD mes en (I). :

— 4
de2 J
4 * FH Wei) = 1%
= IT y
£ 7,
Be a 2. 6

= 2

= 2 N . NER — ’ Pr |
rg, er . * CN x len. 1 | h % f
ET |

Eben fo muß auch der Werth = 1* 0 beh der Oberflaͤche des
Fluidums ſeyn, wenn das Fluidum frey iſt z Weed aber in Wänden ein
deſthiöh —— —RX enz leid,
zur Erhaltung vbes Fultms ansſchen, mhülches an und für ſich einleuch⸗
tend tft ,- indem bdie * ‚Kraft feiner Thelichen ausdruͤckt. |

2) Bey.b Peeihayen flüffigen Körpern iſt die Dichtigkeit-A allezeit
durch eine gegebene. nte — von s, Xu Ya, t gegeben/ die von
dem Geſetze der Elaſticktaͤt des Fluidums und von dem der Hitze abhängt,
bie nach der Vokaus eung jeden Augenblick in allen Punkten des Rauıne
wuͤ Man hat oe Fi { |

*
Kun

« * [%V

— U unbekannte Örögerns, x, yyz ft.r zu beſtiamen
und Iran 'haͤt vaher noch ine 'äte Gleichung —2 Aufg Golls |
kommen aufjuläfen, '* Wey’ben unpreßbaren flüffigen Körpern gab die
Bedingung der Unperänkenlichkeit bes Volumens bie Öleihung {B) (33:
und die der Unperänbesichkeit der Dichtigkeit von einem Uugentttäyum :
andern die Gleihung (H) (11). Bey den preßbaten flüffigen Körpern
hat Eeine diefer beiden Bedingungen befonders flott, weil: das Wolumen-
und die Dichtigkeit fi auf einmal verändern, aber bie Mafle, die dag...‘
Produkt aus dieſen beiden Elementen iſt, muß, unverändert bleiben... Man: ».
hat daher d. Dm = 0 ober d. (ADxDyDz)==o, und durd die
Differentlation nach Art der Logarithmen —

-. dA d. (Dx Dy D2)

Bo > 2
—— — O0,
4 DXDYDæ
.. i z — je 3 N
xXGIA | nn
7 fl. — J w
— aan - Sub⸗
J. en « — — 7 2 ð en > * J 3 . — a 24 —

554 | —

Subſtituirt man daher den Ben vor Fi (Dx.DyDz) (melder
mit dem von d&. (Dx DyDz) (8 Abſchn. 2 )-einerley if, wenn man
an. din d veraͤudert); % hat man die Gleichung

da !Ddix Diüy Dia 3—
— a a

J welche mit der Gleichung (B) ( Ab n. 3.). Sbereinfommt,“ Jene beʒieht

ſich auf die Unveraͤnderlichkeit des RIESE biefe anf die Unveraͤnder⸗
lichkeit der Maſſe. —

| 3) Betrachtet man bie Eoorbinaten x, y.z als Funktionen der. Pre
mitiven rer a, b,.c und der feit dem Unfange ber Bewegung vers
floffenen Zeit t; fo erhalten die Gleichungen (a) zu ein dem (Abſchn.
8: 5) ähnliches Verfahren folgende Form: |

dix .. de u de Bu :
ta 2035 222 2222 }
dy ds
er GE Drrnren er =
da = ——0 IT een er)
kde
ober folgende‘ einfachere |
| IE )
N! — 91
In! I 3% Pre N we.
A lee dl
i ie

alldx

— | 555

pin Nie fy indyoy
al — m ei

gar “2)E ei

lee n+@= DE | e
| - d2z dz \ de. —

— TE Te

:[@ ie + = Si

= 2): . —
det Ja Fr °)

welche veränderte Gleichungen den veränderten (C)' and (D) a. a. O.
analog ſind.

5 Die Sleichung (c) aber laͤßt durch Anwendung der Tranöfbrmak

tionen (3 Abſchn. 3) leicht auf biefe a —

urn. dA .de Ä Pu a

| re i Be : —
wo die Differentialien dA und de ſich allein auf bie — Geoße t

| beziehn. Integrirt man alſo; ſo erhaͤlt man a fund. (a,b,c).

Nun haben wir aber a. a. O. gefehn, PT
wirb. Rft alſo H alsdann der Werth von a; fo hat man H = —
—X U me

PR 22 » f ‘ e u 7 n. a L &r Ju ur .19

N =H ober: —XR FE a ee
“rn wenn man für d feinen Werth fußfitufe a
Aaaa 2 » — a dx

| - ur
550 ‚ fe} TEN
| j og Br . « —
— dx dy t, dz * — 3* = — 1. It:
37 FR $ I: at . r = ee ; — a Las
“u . UD:-8 — li.
N. “
dx la ER a‘ Rule
ru — ag‘ — Br RN ——
— db „da de * dr
N BR, ol: x —
| Tage et
dx 1:4 F * a = 1 = 52
a ee Fand”
ee. En. :
— — 517 - =e —
— — ae [8 54 ; © , p
. „dx Idy dz — ae
u ’ a 872 CH; rn. 5 m . F
dc „eb. a een
—6 .. N - 5 u . 4
ar s ! =
dx ,‚dy: dz Sı Se

H3elli.ihte — — — EB ni
ı ‚ he de da ‘db Fr °. en
44,1 CR, N DIN tn ——— 2

ne 3 dy id
— ——

—A 7
ge ui seltie
—* dieſe Art Bein en " Ar rn Mas

Endlich muß man au bey Diefen — — EN was
(8 Abſchn. — in it der — ve a. ges '
gt habe, ae, —— Te

4) Wil mar — was weit einfacher en — ite |
ben Geſchwindigkeiten p. qur der Theilchen nach. ben Richtungen ber Toors
binaten x, y, z haben, indem man dieſe Beſchwindigkeiten ſowie bie Gebe
fen A und s ald Funktionen von x, y, z, t anfichta: fa. hat aaa. la Tran‘
förmationen (8 Abfchn, 10.) anzumenden, und bie zu (2) geben
ſogleich dieſe veränderten denen (F) a. a. O. — ee

-
* a Zn Zu " —— vo “ = = PX}
az
7
ie

u 2 R s “
—

— — * Er

ee ee 3 re —— in: — — 557
— ee, —
⸗d de; -. — ge rn %w Be Ina: J
4 — de), ie: + x\ eo) © £
es ji: Eidg: 5 1.9: ‚de, ARE Bere — F Er

dq dq

dq dq J
— sl):
(z ara — ar m

ds. „de dr | |
ei Fr 2 Tauerr wei —D——

In der Gleichung (b) muß man auſſer der Subſututien von pdt,
qdt, rdt anſtatt dx, dy, dz und ber —— ia D in d, noch

—8 deßen vollftaͤndigen Werth e m te
| dA . dA dA -- Je RU PER RR
Brtegi Ki

— ‚ und 62% bie Beige de en man ie oerÄnberte

Gleichung: 2.0.2. E .

re da EN

— Ai. *7 — —

” Adt, * — e * — 44 Adz + se |
"AB: 10 Pr da; . an a — = A RE — et —
en — — a

melde bag dle Multiplication mit A auf — nude —

wird t Er — —

"3A! '&Cap) _ &lag) ar
& an re

Die Vedingung wegen der Bewegung der Vyheilchen uf der Öbers

fläche kann — bie Gleichung (I) (8, Abſchn. 12. ausgedruͤckt —
naͤmlich

A dA AA a A a Mn
rt HEgTne
Aaaa 3 ſey

518 | —
ſey bie Gleichung der Oberfläche, wenn man A=o fegt. er,
5) Dan ann der Gleichung @) Li dena tan, win man”
j\ ds j N N i = \
\ — dt’ ® ._ 2 u $
J
dp. W —
dy x ‚
ver ’

| feßt, | , wo — By unbefannte Funktionen von x, — z,t 17 Dur diefe
- Subflitutionen wird bie genannte Gleichuug on
da du iR a,

’ ‚dt > dtdx = . dtdy = dt dz — — Re, a

welche in Anſehung t integrabel iſt. Das Integral ft — =
da _ I ‚dy- in —
Am — — u re — er

Wwo F eine willkuͤhrliche Funktion von x, y, z ohne t iſt, Me von ver an⸗

faͤnglichen Dichtigkeit des Fluldums abhängig iſt. | es

Kat 7 —
Man ade. de erh rg
: Pan Ar 2 b J 2 = — — >
lud ar car or ee
ER © en I" — ee | |
| ee dß Per u
— da — T u |
. dx dy de E X nr
= ı u u —

— — dy 30 ..: =
i S r EN . dt F F u; A ee
F & B _
au — mit fu d . ” »
— yo * . s

Easfteirt man daher Biefe. Werthe in Gleichungen (£ j mb
fest ferner für 8 deſſen Werth in: Funktionen von A, % Ys. 2, .t (3);
ſo erhält man 3- Gleihungen in partiellen Differentialten zwifchen den '
unbekannten Größen &, 4, nnd dem 4 veränberlihen Größen. x, y. €
and die Aufloͤſung der Aufgabe hängt allein von ber Jutegration biefer
Gleichungen ab. Dieſe Iutegration aber ge bie —— der ber
Tannten Analyſe⸗ | a

6) Nimmt man. feine Ruͤckſ cht auf die Sig u und ‚andere, Urgfis de
die in Anſehung der Elafticität unabhängtg von ber Dichtigkeit eine? Ver⸗
aͤnderung hervorbringen koͤnnen; ſo iſt der — der Elaſticitat —

eine Funktion der Dichtigkelt A gegeben. .— — fi aiſo eine Differential |

größe worin tur eine veraͤnderliche Größe — und fotgtid —
bel. Wir wollen dieſes Integral =E feßen, .

Es fen ferner die Größe Xdx + Ydy + Zdz ein vollkomme⸗
‚nes Differential, deffen Integral V ſey, mie (8 Abſchn. 15.)

Multiplicrt man nun. bie Steigungen (f) (4) reſpektiv durch de,
dy, dz und abbirt fie zu einander; fo erhält man, wenn man durch A
dividirt eine Gleichung vom ber Form: I

; 2 R d
a -[F-# pP =— * * 4 * ef a Fra £

— —— J ale

s6 — —

da hier Das 4. Glied —— — — muß es das at ebenfalls ſeyn.
Man hat alſo von neuein ben‘ Fall der Sleichemg ¶) ——— 15. )«
und man gelanpt Folglich zu aͤhnlichen Refubektm * Ä

ft alfo die Groͤße pdx ad: y = eds in irgend — —

unit e ein volllommenes. Differential, welches imr Anfang der. Bewe⸗
and jederzeit ber Sal jſt, wenn das Fluidum den Bufiand, der Ruhe vun

jagt, oder durch einen an der Dberfläche angebrachten Steß in Bemegung

gefegt. wied; fo muß — Größe allezeit ein Be ——

fegn cs Abſchn. 17. 18).

Bey dieſer Hypotheſe feße man wie Cie 8, 0) pdr + ads R
+ ‚rdz = m. — giebt

J 7 — * * — * * nn —* —
24 .. . A vie . ö
u. ; 4 — * er 7
do [9 u a al -
- —
we —

*
v e
B ‘ . “
= * 1270 ’» = ae

J * * — —
m
7

— t — a pi 4 . :£,

1 5 —

und die Gicdun ci) a —* sum Seht — —

— y- en = NT zen

—— ey
en nn — 0 *t.

welcher Werth auch En den 3 Sritunger 5 (4) genugtgun wird.

27 u Zu k
Yıxolıe oo
‘5 * 4 —

ze FE — ZI 56T.

de | |
Da nun F — — — m fotgtg eine Kunktion von A if, indem «

eine bekannte —— von A iſt; fo erhält man, wenn man den aus der .
vorhergehenden Gleichung gezogenen Werth von A, fowie bie. von p, q, r
in der Gleichung (g) (4) fubftituirt , eine Gleichung in partiellen Diffes
rentialien. von 2, welche, da fie dieſe unbefannte Größe allein enthält, zu
ihrer Beflimmung hinreiht. Die ganze Schwuͤrigkeit wird alſo auf dieſe
einzige Integr ation: gebracht.

8) Bey den bekannten elaftifchen Stüffigfeiten iſt bie Slafticität allezeit
der Dichtigkeit proportional, fo Daß man für dieſe flüffige Körper ⸗i4
hat, wenn i einen beftändigen Coefficienten bedeutet, den man, wenn
man ben Werth der Elaſticitaͤt für eine gegebene Dichtigkeit kennt, bes
ſtimmen kann.

So iſt fuͤr die Luft die Elaſticitat dem Gewichte einer Saͤule Quec⸗
ſilber in dem Barometer gleich. Nennt mat daher H die Höhe bed Bas
rometerd für eine gemiffe Dichtigkeit der Luft, die man zur Einheit ans
nimmt, n die Didytigkeit ded Queckſilbers d. h. das Verhältnif in Zah⸗
len der Dichtigkeit des Queckfilbers zu der ber Luft, welches mit dem ber
fpecififhen Schweren einerlei ift, und-g die befchleunigende Kraft der.
Schwere; fo bat man, wenn A— 1 iſt, s=gnH; Yolglih ie gnH;

“wo man zu bemerken hat, daß nH die Hoͤhe der ald homogen angenoms
menen Atmofphäre if. Bezeichnet man daher biefe Höhe durch h; fo

hat man einfacher i i=gh und folglich e = gh A. Weil alfoE = f *

fo hat man E = ghl. a. Die Gleichung 8). (4) kann aber feigud—
Form erhalten

dla 4]!. 14 „dla | a F
t Fer Tre Bar ne
dp dq dr — >

rer — 0

do de de... U

———— man baher > sh‘ 7* ar anſtatt la,pgq

Pan. und — Du — er fie '
.gh J

562

(58 4x2 + = Tr. Dr +
dE de. 49
£ dt Tr dx dx +

= do.
5*
90 | — * —
Ru mo J | ö ’

Man hat vaher nur "fr E beffen oben gefimdenen un zu Bag
culren, unbimun. . |

> er j
ä — eo de ꝙ
BT ayı ern ge
av. 20 av dp dv de,

ee »

— bel 5. — — —
dx dx . dy: dy dz —
do 8% de do do die
min‘ 4 — um Z ml 5 — ou /) ml 5 —
dx dxds dy Al dz dzde -

(22 ’d’o do — "Ir
— de? -(& da dz?

dd dö IR
[a 2* Ze
‚.. d® dp de ꝙ a: m
"dx ' dz ' dade
do .d® d? .
4 F = O,:: . (n), -:

E 2 — —— —
5dy da dydz Be

— | 563
welche allein ve Dheorie ber Bewegung der elaſtiſchen Riten Maſer in
dieſer Hypetheſe enthält, nur —

9) Iſt die Bewegung des Flalums ſehr gering, und nimmmte man
nur auf bie fehr Meinen Größen von der erften Ordnung Ruͤckſicht; fo has
ben wir (8 Abſchn. 21.) gefehn, daß die Größe pdx -- gdy -r rdz.
‚ebenfalls nothwendig ein vollkommenes Differential iſt. Ju Nſen Falle
finden alſo die vorhergehenden Formeln allezeit ſtatt, mie auch bie Bewe⸗
gung des Fluidums beſchaffen ſeyn mag, wenn ſie nur ehr Re u folgs |
Uch bie Zunftion O ebenfalls fehr lein iſt.

Bey der Bewegung des Schalls —— man an, bie — der
Theilchen der Luft ſey ſehr gering; man erhält daher für dieſe Theorie,
Andem man in ber Gleichung (n) bie Größe P als ſehr Klein anſieht,
und die lieber weglaͤßt, worin fie über bie Ite Dimenſi ion — die
allgemeine Gleichung:

⸗
N e us

le * rt —— 49

d.x? —
dv 'd@ Er dp = ie er a
dx: dx —— dy — 77 on

Laͤßt man nun bie zweiten Dimenſi onen von 9 im Wenten von E m
eg; fo hatman nur —A

Man kann die — 9 als ⸗¶ o im Zuſtande der Ruhe und des
Sacstniäpe "anehmen. Wan bat daher aud) in dieſem Zuſtande

ap" =
— 0 und ſolgich 8hl. — V; und
EN 5.0: en
"gh

Am—e

0 | Bobb2 En

"564 " = —

Iſt Die Luft in Vibration; fo ſey ikee natuͤruche Dichtigkeit in ber
Verhaͤltniß ı ++ s: ı vermehrt, wo s eine fehe Heime m Geifeif: mas
hat Daher BABEMEIR, | ’

— V
gh nat m ge
A==e a: ’ ee a
und folglich wenn man bie Quabrate von s weglaͤßt 2
V
la — — — — 5 und
gh
d do
— ghde
- Sn Anfehung bes Werths von V aber, der von ben —
den Kräften abhängt, indem ınan bad Fluidum als ſchwer, und um mehr
rerer Einfachheit willen die Orbinaten z als vertifal, und von ohen nad)

unten gerichtet ahnimmt, erhält man durch bie Formel (8 Abſchu. 23.)
v-— 82, wog die befcjleunigenbe Kraft der Schwere ifl.

Die Gleichung für die Xheörte des Schalls wird alſe fen:

dep eo — ir —
sh dx? Baer Ay 3 da Era a

d ® d: ® - i a 2 — Di %
de In |

Hat man burch dieſe Steidung | 9 Befkinnt;, % — maı —*
a p. q. x der Luft fowie ihre Verdichtung 5 durch bie er u

__.dp, do .„‘ Re Ges
Zu PA Ba dy’ de’ gb de!

— Steht man ur auf die herizuntal⸗ Bewegung bee Luft; fo"

nimmt man an, die Funftion @ Re u 2, ſondern nur x, y.

Die Gleichung in 0 wird daher

do — —979
dx? Tg: 9°

Aber auch nach dieſer Vereinfachung ſelbſt i# ß e bad woch vlel zu
verwickelt, um auf eine vollkowmene Art integrirt werben zu koͤnnen.
Uebrigens iſt dieſe Gleichung völlig derjenigen der Bewegung.der Wellen
in einer horizontalen. und ‚wenig tiefen Röhre RR: . Dan ſehe

(Abſchn. 37.) .

Bis jetzt hat man nur den Fel — auflbſen koͤnnen, wo
‚man die $uft nur von einer Dimenſion anſieht, d. h. den Fall einer toͤ⸗
nenden Linie, deren Theilchen nur in die Laͤnge ſich bewegen.

In dieſem Falle enthaͤlt alſo, wenn ·˖ man eben dieſe Linie für die
Achſe x annimmt, die Funktion 9 kein y die ie obige Gleichung wird
‚ auf diefe gebracht: |

nt? de d: so

Er am

welche derjenideni der ſölngenden Eluen äh it/ and zum bein
nen Sntegralhat ?
gti 5b) * ir ah),

wenn man durch die Charakteriſticken oder ZeichnF und f, 2 willkührliche
Funktionen andeutet. —

er Se 5 e — 7
Dieſe Fo chließt 2 wi heorien. in f ch, die des Schalls
der Ilvteh Er Et: fi, ind er Fortpflan gung des Schalls in
der cien Luft. am hat eifo nur die beiden willfährlichen Funktionen

gehörig zu befffiimmen, "und bie Prinzipien, en bey diefer Dr Immang
zum —2 — dienen rhffeih, BAR Are, di

nr | | Bbbb 3 11) Bey

— | 5665

*
—
| er
2 s

11) Bey ben Gesten haten man nur die darin — tomende
Linie zu betrachten. Man nimmt an, dee anfängliche Zuſtand biefer "inte

ſey gegeben, indem dieſer von den den Theilchen eingedruͤckten Erſchuͤtte⸗

rungen abhängt, und man verlangt. * — der ae In |
wien ..

Der Aufang * Abſciſſen x fe eine der Enden dieſer Unie und ihre z
Laͤnge d. h. die der Flöte ſey = a. Die Verdichtungen s und die fängens
Geſchwindigkeiten p find folglich gegeben, wenn t— o von x0 56‘
x =; wir wollen fie S und P nennen.

t “”

d. d
Daı nun s = und p = 5? und. man an bifferentiiri den af

gemeinen Ausdruck von P (10) und bezeichnet durch Fl und fr die Difer
‚zentialien der durch F und f bezeichneten Funktionen, ſo daß

— drr
; — "x = u i
Fe u eis,
fo bat man

— — —— ————— —
— El + tY'gh) — f(x — tV gb)... —

r
—

Sea man daher t=0 und vertanbält ie pin? und sih$; Pur man
BR Fx + fig, Bu Ka Se Ed;
Yo Fr — fi — all,
"Da nun P und S.für jede Asfihe x och 5 alles nie

jft; fo hatman auch in diefem Anfanz z bie Meithe von: Fe x und Px ; folg⸗

lich hatman auch bie Werth von p und s für, eine Abſciſſe und eine gewiſſe
Zeit, fowelt x Tit) g hin ben — ö und « «,singefäloffen find. |

a 00
— | | ag | Da
= \ er
—
|

— — 567

. Da aber bie t immer macht; ‚fo werben bie Grögen x x + tgl
mx — Tr: gh bald diefe Grenzen überfchreiten, und die Beſtimmung
der Funktionen FF (x + tY gh), f!lx — tr gh) hängt alddenw
Bon den Bebingungen ab, bie an ben Enden der tönenden Linie, je nach⸗
dem bie Slöthe offen: oder verſchloſſen iſt, ſtatt haben.

12) Wir wollen zuerft die Flöte als an beiden Enden offen anſehn,
fo daß bie tönende Linie darin fogleich mit der aͤuſſern Luft in Verbindnig.
ſteht. Alsdann iſt Mar, daß ihre Elaflichät- in biefen Beiben Puntter
nur durd) ben befländigen Druck der Atmofphäre im Gleichgewicht gehals
ten wird, und alfo die Verbichtung s allezeit = o feyn muß. In dieſem
Falle ha mar alfos=o, wen x — o und x — a, wie aud ber Werth
Yon t beſchaffen ſeyn mag, welches bie — — n BR

giebt
F(i/ gb) — Kr) =

F’(a + ıY'gh) — ee = |
welche allezeit ſtait muͤſſen, wenn € einen gewiſſen poſitiven
Werth hat.

Nimmt man ie für z fegend eine BER Größe aus fv erhätt -
. man a
Br
Heod)-
Solange alfo 1) 2 I a; fo wird r man die Werthe von F’ — *
and f ( — 2) kennen, indem man fie auf (a — und F’z bringen
Kann, welche gegeben find,

Wir wollen in biefen Formeln ar z flatb z feßen; — aAtdann ge
ben fie
| Br (as Je (—z)- Pz
!(ır-ı1)= Fler z)=f la 2)

Solange

"Solange 2) z < a kennt man’ auch die Werthe von FÜ(aa 4.2)
und !(—a— 2)3 Inden fie fi sur bie von, Fz und a — 2) brinz⸗
gen laſſen, welche Fegeben ſind.

Setzen wir von neuem in den beiden lehern — at zfürz

und verbiuden fie mit den erſtern, weil. z beſchaffen ſeyn ur wie man
will; fo hat man N

(gar 2) =F Gt :
(— 2: —2z) = f(—ı)='f

. —

—

Endlich kennt man 3) folange z < a, mod bie Wathe von

F/ (3a z2)und ſ— ga —z), indem dieſe ſich auf die gegebenen
Werthe von F/z und f! (a — z) bringen laſſen. Eben fo findet man,
wenn man wiederum a +-z für 2 feßt

F (4a + 2) — fl (—z) = Fir,

Ra Zr (+2) — fl),
woraus man 4) die Werthe von F/ ( 42 2) und (— 30h)
ſo lange z, x a ift, findet u. ff. i

Auf dieſe Art hat man alſo die Werthe der Funktionen F’ (x +
tY gh). und f(x —t V gb) wie auch die Zeit t, die feit dem Anfange ber
Bewegung ber tönenben Linie perfloffen ift, feyn mag. Für jeden Augenblick
. Sennt man. daher den Zuftand diefer Linie d. h. die — p und

| die Verdichtuagen s von jedem ihrer Theilchen.

Aus ben vorhergehenden Formeln ift e8 einleuchtend , daß die Wer⸗
fe diefer Funktionen dieſelben bleiben werben, wenn man bie Größe
t Vghum 2a oder 4a, 6a u. ſ. w. vermehrt. Die fhallende Linte wird
folglich nach jebem durch die Öleihung ty gh = 2a beftimmten, Zeit⸗
raum, . in denſelben Zuftaud wieder zurückkommen. Dabui e er.

hält man 17777 für biefen Beitrain. ?

Die Dauer der: — der — Unie iſt von ben pri⸗
mitiven Erſthuͤtterungen unabhängig, und hängt allein von der .. a
dieſer Linie und Höhe huder Atwoſphaͤre ab.

Segen. — die beſchleunigende Kraft der Shwererg=1; fo mug
man für die Einheit der Raͤume das doppelte von dem nehmen, ben ein
chwerer Körper frei in ber zur Einheit angenommenen Zeit durchlaͤuft
2 Abſchn. 2). Nimt man alfo, welches gefgehn kann, h zur Einheit
ber Räume an; fo AR die Einheit ber Zeit diejenige, welche ein ſchwerer

oͤrper zubringt, um don einer Hoͤhe =, — a fallen, und bie Zeit einer

Schwingung ber fhallenden £inte wird bush 28 ausgedruͤckt werben; ober
weiches auf ind hbinauskommt/ die Zeit einer Schwingung wird ſich zu

derjenigen des Falls eines Koͤrpers von de Höbe - 2 verhalten, wie aa:h.

13) Wäre die Flöte-an ihren Eben Enden verſchloſſen; fo Könnten

die Verdichtungen s feyn wie fie wollten, indem bie. Glaftieirät der Theil⸗

hen durch den Widerftand der Wände erhalten würbe; aber aus berfelben '

Urſache müßten bie Geſchwindigkeiten p bier =o fon, Na von neuen
die Bedingungen gäbe

r.. Ft V.gh) * f! —

ii Perth la ty gb)=e

Diefe $ormeln fommen mit denen aͤberein, bie wir oben unterſucht
haben, wenn man darin nur bie bhrch bezelchnete Funktion negatlv feßt.-
Es laſſen ſich alſo daraus auch ähnliche Schluͤſſe ziehn, und man hat beus
— Ausdruck fuͤr die Dauer der Oscillationen der ſchallenden Fiber.

Anders wuͤrde es ſich ver Iten, wenn bie — an einem Ende“
fe, am andern verſchloſſen wäre.

F Alsdann muͤßte allezen im ‚offenen Ende = — o und im verſchtoſſenen
es |

= [1

-&cec F Nimmt

N »
4 *
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—
—
.

- Nimt man alfo bie Flote offen ober x am Def ver
= a ou; fo hat man bie Bedingungen

Füuvg)—fltty=e 00.0

"Pla +#tVYgh) + Pla —ı vg) oo.

| : Daraus zieht man durch eine (12) Shnliche Aralyſe die Planen |

Formeln
J
!(— 2) — Fig,
FE! (ou + 2) u Fr,
t (a) — fl),
FP(3a + z) — fi (G— 1), \
(2 — ı)e — Fiz,
FACAS 2) = Fr,
EEE TEN | en >
So oft alfo z< a; fo find bie Funktionen Erz und P (a — 2)

durch den primitiven Zuſtand der fchallenden Fiber gegeben; vermittelſt
derſelben wird man alfo auch die Werthe der andern Funktionen

F (a + 2), F’ (au + z),.,‚ei |

ft (zz), fl (0 —2).,.etc | —
erkennen, und man erhält ſolguich den Bund ber Fiber nach — nis
wviſſen Zeiten

| Aus ben —— Formeln ſieht man — daß dieſer Zu⸗
ſtand nur nach einer — die Okt mung t A = ga Kun

Fer "'_

—— 571

Zeit einerlei wird; woraus folgt „daß bie Dauer der Wibratigger einmal
kinger als bey ben. an beiden Enden offenen oder verfchloffenen Floͤten ſeyn
wird. Dies bemweißt auch die Erfahrung in Anfehung ber Drgelfpiele,
- die man auf franzoͤſiſch bour dons nennt, und die an ihrem obern bem
Munde entgegengefeßten Ende geblafen den Ton. einer ulebrigern Oktave,
als wenn ſie offen waͤren, geben.

Man ſehe übrigens aͤber die Theorie der Ficten bie beiden erſten
Wände. der Turiner Akademie, die Memoiren von Paris für er und
die Novi Commentsrii Yon Petersburg 16 Band,

J 14) Mir wollen jegt eine ſchallende Linie von unbeſtimmter karge
betrachten, die nur in einem fehr geringen Umfange im Anfauge eine Er⸗
ſchuͤtterung erleide; alsdann hat man ben Fall von der euft
burch fchallende Körper, -

Wir wollen annehmen, bie anfänglichen Gefchwinbigkeiten erſtreck⸗
ten fi) nur von x=obiöx= a, wenn a eine fehr" geringe Groͤße iſt.
Die Geſchwindigkeiten p und anfänglichen Verdichtungen P, S find folglich
- für alle Abfciffen x gegeben; fie mögen nun pofitiv oder negativ feyn;
aber wuͤrkliche Werthe werben fie nur von x=o bis x=a haben
Auſſerhalb diefer Grenzen werben fie völlig = 0 "feyn.: Ebenfo wirb es
ſich folglich mit ben ——— F’/x und #/x verhalten, weil man, wenn
mant=o madt, hat j :

co. P== Fx IXx
| SYgh=Fx— fx
und folglich | ee
—— P-+ sV gh

3 |

* x

ECccebier⸗

57 3

Hieraus folgt, daß, wenn man für z eine poſitive Größe nimt,
die x a iſt, bie Funktionen F' (x eV gh) und f! (x — t VYgh) nur
wirkliche Werthe infofern haben werden, baß man x t agh=z hat:
Folglich werden nach einer Zeit t bie Geſchwindigkeiten p p und bie Verdich⸗
tungen s für ale Punkte der fallenden Linie = o fern, ausgenommen
| iu biejenigen, bie ten Abfciffen s=z27rtVögl entſprechen.

| Man erklaͤrt dadurch, wie der Schall ſich fortpflanze, und wie er ſich
nad) und nach anf beiden Seiten des ſchallenden Koͤrpers und in gleichen Zei⸗
ten ber ſchallenden au Länge der anfänglichen Fiber a gleichen Fibern bildet.

Die Geſchwindigkeit der Fortpflanzung dieſer Fibern wird do durch
den Coefficienten V’ gh ausgedruͤckt; fie iſt folglich beſtaͤndig und von der
primitiven Bewegung unabhaͤngig, welches auch die Erfahrung beweißt,
indem jeder Schall, er mag ſtark oder ſchwach ſeyn, mit einer merklich

zn Geſchwindigkeit ſich fortzupflanzen ſcheinet.

Setzt man alſo wie (12) 832 1 und — fo wird ber abſolute
* dieſer Geſchwindigkeit auch — 1. Die Einheit der Geſchwiundig⸗
keiten iſt hier diejenige, die ein ſchwerer Koͤrper durch ſeinen Fall von der
Hälfte desRaums Ir, der zur Einheit angenommen worden iſt (2 Abſchn. 2)
erjangen, muß. . Die EBENEN des Schalls wird alſo zu einer Hoͤhe

gehoͤren.

15) Nehmen wir mit dem groͤßten Theil der Phyſiker die Luft 850
mal leichter als das Waller, und das Waſſer 14. mal leichter als
das Queckſilber; fo hat man 1: 1190o0 für bie Verhaͤliniß des
ſpeciviſchen Gewichts der Luft zu dem des Queckſilbers. Setzt
man daher bie mittlere Höhe des Barometers = 28 Franzoͤſiſche Zoll;
fo kommt 333200 Zoll oder 277663 Fuß für die Hoͤhe h einer gleichfoͤr⸗
mig dichten Luftſaͤule, die mit der Queckſilberſaͤule in dem Batometer dad
Gleichgewicht hält. Die Geſchwindigkeit des Schalld wird alfo zu einer -
Höhe 138833 Fuß gehören, und wird folglich = 915 Secunden feyn.

. Die Erfahrung giebt ohngefähr 10885 welches alfo um 4 vom vori⸗
gen verſchieden iſt. Diefer Unterſchied aber kann allein der Üngewippe

Nom

— 00000. 058

der durch bie Erfahrung erhaltenen Mefultate zugeſchrieben wer Man

ſehe hieruͤber beſonders eine Abhandlung des verftorbenen La rt in den

Memoiren der Berliner Akadenne für 720o6.

16) Iſt die ſchallende Linle auf einer Seite burch ein unveraͤnderlu Zr
ches Hinderniß begrenzt; ſo hat das, dieſes berührende Lufttheildhen Feine

Bewegung. Wenn ˖ folglich a der Werth der Abſciſſe = tft, die demfelben.

entſpricht; fo muß die Geſchwindigkeit p = o feyn, wenn x — a, tie |

auch t befchaffen feyn mag; welches bie Bedingung giebt:
Flat Veh) + f‘ (a — t Vgh) = o.
Wir haben aber geſehn, daß Be Funktion f (a — t U gh) einen

wuͤrklichen Werth hat, folange — t Vghb — 2(14); weil folglich
Ela nt Vgh)=— fl la — tgh); fo hat die Funktion F’

Ca -# t,/ gh) ebenfalls würklihe Werthe, wen a ıvrgben

d. b.wenneVgh=a —z. Die Funktion F(x + t Y'gh) ift folgs
lich nicht nur wirllih, wenn x * t UV gh=z; fordern aud) wenn
x + tVgh= 2. — 23 hieraus folgt, daß in dieſem Falle bie Ges

" 4

. Die fchallende Fiber wird alfo, nachdem fie ben Raum durchlau⸗
fen hat, durch das Hinderniß, worauf ſie ſtoͤßt, gleichſam zuruͤckgewor⸗
fer und mit berfelben ie wieder abprallen. So hat man,

eine fehr netärliche Erklärung der Jewoͤhnlichen Echoss. —
Auf —— Art wird man die zuſammengeſetzten Echos erklaͤren,

wenn man annimmt, daß die ſchallende Linie auf beiden Selten durch uns

bewegliche Hinderniſſe befchloffen werde, die nad) und nad) die fallenden

Fibern zuruͤckwerfen werben, und gewiſſe beftänbige Oscillationen bewuͤr⸗
fen. Dan Bann hierüber die oben (3) angeführtet Werke ſowie die

Memoiren der Berliner Akademie für 1759 und 1765 weiter nachleſen. |

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Bon ©. 285 — 300 leſe Flöte. Be fin u ‚fm u! etc, ſtets
Coß y ſia u;. ‚fin? u ei PR — Bu

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Da der Be F mehreren amternonmenen Seifen, die Gorrefhte
ce ann Rh wlofinte, fo wird man iben wohl dieſe wenigen Behin.

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